专题04 集合的运算（一） 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题04 集合的运算（一） 一、知识梳理 1. 交集的定义 一般地，对于给定的集合A与集合B，由既属于A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作AB，读作“A交B”，即：A∩B={x|x∈A且x∈B} 2. 交集的性质 (1)A∩B=B∩A; (2)A∩A=A; (3)A∩∅=∅∩A=∅; (4)A∩B⊆A,A∩B⊆B. 3. 并集的定义 一般地，对于给定的集合A与集合B，由集合A与集合B的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作“A并B”，即A∪B={x|x∈A或x∈B} 4. 并集的性质 (1)A∪B=B∪A; (2)A∪A=A; (3)A∪∅=∅∪A=A; (4)A⊆A∪B,B⊆A∪B. 二、题型精练 题型1 求集合的交集 【典例1】． 已知集合A={1,2,3},B={1,3}则A∩B等于 ( ) A.{1,2,3} B.{1,3} C.{1,2} D.{2} 答案：B 分析：交集是两集合的公共元素组成的集合。 详解：，，公共元素为 1 和 3，所以 。 【典例2】．设集合M={1,3},N={a+2,5},，若M∩N={3}，求a的值. 答案：。 分析：已知 ，，且 。 这意味着 3 是  与  的公共元素，且没有其他公共元素。 因此 3 必须在  中，且 1 不能在  中。 详解： 由  得  或 （不可能）。 所以 。 此时 ，，符合条件。 若  则 ，，与  交集为 ，不符合。 因此 。 题型2 元素与集合之间的关系 【典例1】．已知集合M={0,1),N={1,2}，则MN等于 ( ) A.{1} B.{0,2} C.{0,1,2} D.Ø 答案：C 分析：并集是两集合所有元素合并，重复元素只记一次。 详解：，，合并后得 。 【典例2】. 设集合,B=，若A∩B={-1}，求AB 答案：。 分析：已知 ，即  是两方程的公共根，代入可求 ，再分别解两个方程得 A、B，最后求并集。 详解： 1. 将  代入两个方程： 2. 解方程组： (1) - (2)： 代入 (2)： 3. 求 A： 4. 求 B： 5. 求并集： 三、知识检测 1．已知集合A={1,2,3,4},B={2,3,6}，则A∩B= ( ) A.{1,3} B.{2,3} C.{1,2,3,4,6} D.{2,3,6} 答案：B 分析：交集是两集合的公共元素组成的集合。 详解： ，，公共元素为 2 和 3，所以 。 2．已知集合A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1)(x-3)>0}，则A∩B=( ) A.(-∞,-1) B. C. D.(3,+∞) 答案：D 分析：分别解不等式求出集合  和 ，再求它们的交集。 详解： 1. 集合 ： 所以 。 2. 集合 ： 二次函数开口向上，大于 0 的解集为两根之外： 所以 。 3. 求 ： ·  与  的第一部分  没有交集（因为  从  开始）。 ·  与  的第二部分  相交于 。 因此： 3．设集合A={x|x+2=0} =0}，则AB等于 ( ) A.{-2} B.{2} C.{-2,2} D.Ø 答案：A 分析：先分别求出集合  和 ，再求它们的交集。 详解： 1. 集合 ： 所以 。 2. 集合 ： 所以 。 3. 求交集： 。 4．设集合A={x∈N|-3≤x≤3},B={x∈Z|-2<x<3}，则A∩B= ( ) A.{-1,0,1,2,3} B.{0,1,2} C.{-1,0,1,2} D.{1,2} 答案：B 分析：先分别写出集合  和  的元素，再求交集。 详解： 1. 集合 ： 自然数通常包括 0, 1, 2, …，所以 。 因此 。 2. 集合 ： 整数  满足 ，即 。 因此 。 3. 求交集： 。 5．设集合A={x|x是参加自由泳的运动员｝,B={x|x是参加蛙泳的运动员｝，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为( ) A.A∩B B.AB C.AB D.AB 答案：A 分析：“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”表示同时属于集合  和集合  的元素，即两个集合的交集。 详解： · ：既在  中又在  中 ✅ · ： 是  的子集（不对） · ：参加自由泳或蛙泳的运动员（不对） · ： 是  的子集（不对） 6．已知集合M,P满足M∪P=M，则一定有 ( ) A.M=P B.MP C.M∩P=P D.M⊆P 答案： C 分析： 表示  中的所有元素都在  中，即 。 详解： · 若 ，则  成立。 · 此时 （因为  的元素全在  中）。 选项： A.  不一定（ 可以是  的真子集） B.  不一定（可能相等） C.  一定成立 ✅ D.  不一定（实际上 ） 因此选 C。 7．已知集合A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7}，则A∩B=( ) A.{(-1,2)} B.{1,2} C.{(1,2)} D.{-1,2} 答案：C。 分析：集合  和  分别表示直线上的点集，交集即两直线的交点。解方程组即可。 详解：解方程组： 由 (1) 得 ，代入 (2)： 代入 。 所以交点坐标为 ，即 。 8．集合A={x|x>0}，集合B={x|x>1}则A∩B= ( ) A.{x|x>1} B.{x|x>0} C.{x|0<x<1} D.Ø 答案：A 分析：交集是两集合的公共部分。，，公共部分为 。 详解： 即 。 9．设集合A={1,2},B={2,3,4},C=｛1,3,4}，则（AB)∩C等于( ) A.{1,2} B.{2,3,4} C.{3,4} D.{1,3,4} 答案：D 分析：先求 ，再与  求交集。 详解： 1. 2. 因此选 D。 10. 已知集合A={1,2},B={2,3,4}，则AB等于( ) A.{1,2,3,4} B.{1,2} C.{1,3,4} D.{2} 答案： A 分析：并集是两集合所有元素合并，重复元素只记一次。 详解： ，，合并得 。 因此选 A。 11．设集合A={0,1,a},B={1,2}，且AB ={0,1,2,3}，则a=( ) A.1 B.2 C.3 D.0 答案：C 分析：已知 ，且 ，。 并集中的元素为 0, 1, 2, 3，而  中已有 0, 1，还缺 3，所以 。 详解： 。 由题意 ，因此 。 验证： 时 ，与  并集为 ，符合。 因此选 C。 12．设集合A={x|2≤x≤4},B={x|3x-7≥8-2x}，则AB等于( ) A.{x|3≤x<4} B.{x|x≥3} C.{x|x>2} D.{x|x≥2} 答案：D 分析：先化简集合 ，再求 。 详解： 1. 解 ： 所以 。 2. 已知 。 。 3. 即  13．已知集合A={x|x>5},B={x|x<-2}，则A∪B= ( ) A.{x|x>5} B.{x|x<-2} C.R D.{x|x>5或x<-2} 答案：D 分析：并集是两集合所有元素合并。 ，，两者在数轴上不相连，合并后为两个区间的并集。 详解： 14．若集合≤x≤2}，则A∪B= ( ) A.{x|0≤x≤2} B.{x|-1<x≤2} C.{x|-1≤x<3} D.{x|-1<x<3} 答案：D 分析：先解不等式得 ，再与  求并集。 详解： 1. 解 ： 解得 ，所以 。 2. 。 。 3. 即  15．已知A={平行四边形}，B={四边形}，则A∩B= . 答案：{平行四边形} 分析： 是平行四边形的集合， 是四边形的集合。 所有平行四边形都是四边形，所以 ，因此 。 详解： 平行四边形是四边形的一种，所以  中的每一个元素都属于 ，故交集就是  本身。 16． 已知M={-1，1}，N={1,2},Q={-1,2},则(M∩N)∪Q= . 答案：。 分析：先求 ，再与  取并集。 详解： 1. ，，则 。 2. ，则 。 17．集合A={x|-7≤x<2},B={x|x≤4},则A∪B= . 答案： 分析：并集是两集合所有元素合并。 ，，合并后为 。 详解： 即 。 18. 已知集合A={x|x≤2},B={x|x≥m}则A∪B=R，求实数m的取值范围. 答案：实数  的取值范围是 。 分析： ，。 要使 ，两个区间必须覆盖整个实数轴，即  的左端点  必须不大于  的右端点 2。 详解： 若 ，则区间  中的数既不在  中也不在  中，并集不能覆盖 。 若 ，则 。 因此 。 19．设集合A={x|-1≤x<2}，集合B={x|x≤a}，若A∩B≠，求实数a的取值范围. 答案：实数  的取值范围是 。 分析： ，。要使 ，即两个区间有公共部分，则  的右端点  必须不小于  的左端点 。 详解： · 若 ，则  与  无交集（因为  中最大值为 ，而  中最小值为 ）。 · 若 ，则  在  中或右边，此时  与  有交集（至少包含  或更大）。 因此 。 20. 已知集合A={x|x<5}，且B={x|x<m},若A∩B=B，求m的取值范围. 答案：实数  的取值范围是 。 分析：，。  等价于 ，即  中的所有元素都属于 。  要求  的右端点  不超过  的右端点 5。 若 ，则  成立。 若 ，则  中包含大于等于 5 的数（如 5 和 5 以上），这些数不在  中，不满足包含关系。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 集合的运算（一） 一、知识梳理 1. 交集的定义 一般地，对于给定的集合A与集合B，由既属于A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作AB，读作“A交B”，即：A∩B={x|x∈A且x∈B} 2. 交集的性质 (1)A∩B=B∩A; (2)A∩A=A; (3)A∩∅=∅∩A=∅; (4)A∩B⊆A,A∩B⊆B. 3. 并集的定义 一般地，对于给定的集合A与集合B，由集合A与集合B的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作“A并B”，即A∪B={x|x∈A或x∈B} 4. 并集的性质 (1)A∪B=B∪A; (2)A∪A=A; (3)A∪∅=∅∪A=A; (4)A⊆A∪B,B⊆A∪B. 二、题型精练 题型1 求集合的交集 【典例1】． 已知集合A={1,2,3},B={1,3}则A∩B等于 ( ) A.{1,2,3} B.{1,3} C.{1,2} D.{2} 【典例2】．设集合M={1,3},N={a+2,5},，若M∩N={3}，求a的值. 题型2 元素与集合之间的关系 【典例1】．已知集合M={0,1),N={1,2}，则MN等于 ( ) A.{1} B.{0,2} C.{0,1,2} D.Ø 【典例2】. 设集合,B=，若A∩B={-1}，求AB 三、知识检测 1．已知集合A={1,2,3,4},B={2,3,6}，则A∩B= ( ) A.{1,3} B.{2,3} C.{1,2,3,4,6} D.{2,3,6} 2．已知集合A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1)(x-3)>0}，则A∩B=( ) A.(-∞,-1) B. C. D.(3,+∞) 3．设集合A={x|x+2=0} =0}，则AB等于 ( ) A.{-2} B.{2} C.{-2,2} D.Ø 4．设集合A={x∈N|-3≤x≤3},B={x∈Z|-2<x<3}，则A∩B= ( ) A.{-1,0,1,2,3} B.{0,1,2} C.{-1,0,1,2} D.{1,2} 5．设集合A={x|x是参加自由泳的运动员｝,B={x|x是参加蛙泳的运动员｝，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为( ) A.A∩B B.AB C.AB D.AB 6．已知集合M,P满足M∪P=M，则一定有 ( ) A.M=P B.MP C.M∩P=P D.M⊆P 7．已知集合A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7}，则A∩B=( ) A.{(-1,2)} B.{1,2} C.{(1,2)} D.{-1,2} 8．集合A={x|x>0}，集合B={x|x>1}则A∩B= ( ) A.{x|x>1} B.{x|x>0} C.{x|0<x<1} D.Ø 9．设集合A={1,2},B={2,3,4},C=｛1,3,4}，则（AB)∩C等于( ) A.{1,2} B.{2,3,4} C.{3,4} D.{1,3,4} 10. 已知集合A={1,2},B={2,3,4}，则AB等于( ) A.{1,2,3,4} B.{1,2} C.{1,3,4} D.{2} 11．设集合A={0,1,a},B={1,2}，且AB ={0,1,2,3}，则a=( ) A.1 B.2 C.3 D.0 12．设集合A={x|2≤x≤4},B={x|3x-7≥8-2x}，则AB等于( ) A.{x|3≤x<4} B.{x|x≥3} C.{x|x>2} D.{x|x≥2} 13．已知集合A={x|x>5},B={x|x<-2}，则A∪B= ( ) A.{x|x>5} B.{x|x<-2} C.R D.{x|x>5或x<-2} 14．若集合≤x≤2}，则A∪B= ( ) A.{x|0≤x≤2} B.{x|-1<x≤2} C.{x|-1≤x<3} D.{x|-1<x<3} 15．已知A={平行四边形}，B={四边形}，则A∩B= . 16． 已知M={-1，1}，N={1,2},Q={-1,2},则(M∩N)∪Q= . 17．集合A={x|-7≤x<2},B={x|x≤4},则A∪B= . 18.已知集合A={x|x≤2},B={x|x≥m}则A∪B=R，求实数m的取值范围. 19．设集合A={x|-1≤x<2}，集合B={x|x≤a}，若A∩B≠，求实数a的取值范围. 20. 已知集合A={x|x<5}，且B={x|x<m},若A∩B=B，求m的取值范围. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $