专题03 集合之间的关系 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题03 集合之间的关系 一、知识梳理 1. 子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B 的子集，记作：AB或BA，读作“A包含于B”或“B包含A”. ［注］任何一个集合都是它本身的子集，即AA. 2. 真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作：AB 或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”. ［注］(1）空集是任何集合的子集，且是任何非空集合的真子集； （2）含有n个元素的集合A的子集有27个，真子集有2"-1个，非空真子集有2"-2个． 3. 集合相等 如果两个集合的元素完全相同，则称这两个集合相等.集合A等于集合B，记作A=B. 4. Venn图 用平面上封闭曲线的内部来表示一个集合，这种图称为Venn图. 二、题型精练 题型1 集合的子集 【典例1】．集合A={(-1,1),(1,-1)}的所有子集的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案： D 分析： 集合  含有 2 个元素。含有  个元素的集合，其子集个数为 。 详解： ，子集个数 。 子集分别为：、、、。 【典例2】．写出集合A={a,b,c)的所有子集. 答案：集合  的所有子集为： ，c} 分析：子集是包含于原集合的集合，包括空集和自身。 含有  个元素的集合，子集个数为 ，这里 ，共  个。 详解： 按元素个数从小到大列出： · 0 个元素： · 1 个元素 · 2 个元素： · 3 个元素： 题型2 集合的真子集 【典例1】．若｛1,2｝M{1,2,3,4}，适合条件的集合M的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 分析：，即  必须包含元素 1 和 2，且不能等于 （因为真子集符号 ⊊ 是包含但不等于），同时  是  的子集。 因此  必须包含 1 和 2，且至少再从  中选一个或两个元素。 详解： 设 ，其中  且 （因为  不能等于 ）。  的可能取值：、、。 对应 ： · · · 共 3 个。 【典例2】.若{a,b}⊆M⫋{a,b,c,d}，适合条件的集合M的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 分析： ，即  必须包含  和 ，且不能等于 ，同时  是  的子集。 因此  包含 ，还可从  中选 0 个、1 个或 2 个元素，但不能选两个（因为如果选了  和  则 ，违反真子集）。 所以只能选 0 个或 1 个。 详解：设 ，其中 ，且 。  的可能取值：、、。 对应 ： · · · 共 3 个。 题型3 集合的相等 【典例1】．设集合A={1,2m+1},B={3,1}若A=B，则m=（ ） A.1 B.2 C.3 D.0 答案：A 分析：若 ，则两集合元素完全相同。 ，，因此  必须等于 3。 详解： 由  得 ，所以 。 此时 ，成立。 【典例2】.已知集合A={a,b,3},B={3,2a,1}，若A=B，则a,b的值分别为 ( ) A.a=0,b=1 B.a=1,b=2 C.a=0,b=1或a=1,b=2 D.a=2,b=1或a=1,b=0 答案： C 分析：，，且 ，则两集合元素完全相同。 3 是公共元素，因此剩下的两个元素  必须与  对应相等（无序）。 详解： 由  得： 分两种情况： 1. 若 ，则 ，此时 。 但  时，，集合 ，而 ，相等，成立。 这是可能的解。 2. 若 ，则 。 此时 ，，相等，成立。 因此有两组解： 或 。 三、知识检测 1．已知集合B={1,m}，若B⊆A，则m= ( ) A.0 B.2 C.0或2 D.1或2 答案： C 分析：  意味着  中的所有元素都属于 。 ，其中 1 已经在  中，所以只需 。 但  中的元素是 1, 2, ，且集合元素互异。 详解： 由  得  或  或 。 · 若 ，则 （因为集合元素互异），此时  成立。 但  时，，不满足互异性（有两个 1），所以 。 · 若 ，则 ，，成立。 · 若 ，则  或 （已排除）。 当  时，，，成立。 所以  或 。 2．已知集合A={-1,3},b=0}，且A=B，则ab= ( ) A.8 B.6 C.2 D.-6 答案：B 分析：由  可知，方程  的解集为 。 利用根与系数的关系（韦达定理）可求 。 详解： 方程  的两个根为  和 。 韦达定理： 所以 。 3．集合M={x|0≤x<3且x∈Z}的子集个数为 ( ) A.8 B.7 C.6 D.5 答案：A 分析： ，含有 3 个元素。 含有  个元素的集合，子集个数为 。 详解： ，子集个数 。 4．集合M={x∈N|-1<x<3}的子集有( ) A.16个 B.15个 C.8个 D.7个 答案：C 分析：，自然数  满足 ，即 。 集合  含有 3 个元素，子集个数为 。 详解： · 条件： 且 ，所以 。 · 元素个数 ，子集个数 。 5．下列关系中：.正确的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 分析：逐个判断每个关系式的正确性。 详解： ① ：集合  与  相等，因此一个集合是它自身的子集（包含关系成立）✅ ② ：集合元素无序，相等 ✅ ③ ：空集是任何非空集合的真子集 ✅ ④ ：0 是元素， 是集合，两者不等 ❌ 正确的有 ①、②、③，共 3 个。 6．若集合A={-2,0,2},B={0}，则 ( ) A.A∈B B.B∈A C.A⊆B D.B⊆A 答案： D 分析：集合 ，集合 。 判断元素与集合、子集关系。 详解： A. ：A 是集合，不是 B 中的元素（B 中只有 0），❌ B. ：B 是集合，不是 A 中的元素（A 中是 -2,0,2），❌ C. ：A 不是 B 的子集（A 中有 -2,2 不在 B 中），❌ D. ：B 中的元素 0 在 A 中，✅ 因此选 D。 7．集合｛1,2｝的子集有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案：A 分析：集合  含有 2 个元素，子集个数为 。 详解： 子集为：、、、，共 4 个。 8．已知集合，则M的非空子集的个数是 ( ) A.15 B.16 C.7 D.8 答案：C 分析：先解不等式 ，且 ，得到  的元素。 再计算非空子集个数（子集总数减去空集）。 详解： 当  时，两边乘  得 ，即 ，且 所以 。 因此 ，有 3 个元素。 子集总数：，非空子集个数：。 9．下列各式中，表述正确的个数是( ) ① ③ A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 分析：逐个判断每个关系式的正确性。 详解： ① ： 是集合，不是  中的元素（元素是 0,1,2），❌ ② ：两集合相等，子集关系成立 ✅ ③ ：空集是任何集合的子集 ✅ ④ ：空集与含 0 的集合不相等 ❌ ⑤ ：左边是集合含两个元素 0 和 1，右边是集合含一个元素 (0,1)（有序对），不相等 ❌ ⑥ ：0 是元素， 是集合，不相等 ❌ 正确的有 ② 和 ③，共 2 个。 10. 已知集合A={x|x≥-2}，B={x|-2≤x ≤1}，则下列关系正确的是 ( ) A.A=B B.A⊆B C.B⊆A D.B∈A 答案： C 分析： ，即 。，即 。 显然  中的所有元素都在  中，所以 。 详解： A.  ❌（A 比 B 大很多） B.  ❌（A 中大于 1 的数不在 B 中） C.  ✅ D.  ❌（B 是集合，不是 A 中的元素） 11. 已知集合B={1,m,2}，若A⊆B，则实数m的值为( ) A.2 B.0 C.0或2 D.1 答案：B 分析：先解集合 ：方程  即 ，解得  或 ，所以 。 已知 ，且 ，即 0 和 1 都必须属于 。 1 已经在  中，所以只需 0 ∈ ，因此 。 详解： 由  得 ，故 。 此时 ，满足 。 若 ，则 ，不包含 0，❌。 若 ，则 ，不包含 0，❌。 因此只有 。 12．能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合关系的Venn图是( ) A. B. C. D. 答案：B 分析：本题可先分别求出集合M与集合N，再根据集合间的关系判断其对应的Venn图 详解：步骤一：求解集合M 已知集合M={x∈R|0≤x≤2}，该集合表示的是所有大于等于0且小于等于2的实数构成的集合，是一个连续的区间。 步骤二：求解集合N 已知集合，要求集合N，需要求解方程· 对提取公因式x可得x(x-1)=0。 根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”，可得x=0或x-1=0，即x=0或x=1 所以集合N={0,1}。 步骤三：判断集合M与集合N的关系 集合N中的元素0和1都满足集合M中0≤x≤2的条件，即集合N的所有元素都在集合M中，根据子集的定义：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（任意a∈A则a∈B) ，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B,，可得N⊆M。 步骤四：根据集合关系选择维恩图 因为N⊆M，所以集合N是集合M的子集，在维恩图中表示为集合N的区域完全包含在集合M的区域内。 13． {3,5} （填""、""或"=") 答案： 分析： 解方程 ，因式分解得 ，解为  或 。 所以解集为 ，与左边集合相同。 详解： 因此 。 14．已知集合A={x|x>-3},B={x|x>a}，且满足AB，则实数a的取值范围为 答案：实数  的取值范围为 。 分析：，。  表示  中所有元素都属于 ，即  是  的子集。 在数轴上， 是 ，要使 ， 的区间必须包含 ，即  的左端点  必须不大于 。 详解： 若 ，则 ，此时  中的数如 （大于 -3 但小于 a 时）可能不在  中，不满足包含关系。 若 ，则 ，与  相等，满足 。 若 ，则  比  范围更大，也满足包含关系。 因此 。 15． 已知集合A={-1,m},B={2,n}，且A=B，则m= ,n= 答案：， 分析：，，且 ，则两集合元素完全相同。 因此 ，即  和  与  和  对应相等（无序）。 详解： 由  得： 元素相等有两种情况： · 若 ，不可能； · 所以  必须等于 ， 必须等于 。 因此 ，。 16． 的关系是 . 答案：关系是 。 分析：解方程 ，得  或 ，所以解集为 。 集合  是它的真子集。 详解： 显然 ，且 ，所以 。 17．集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和，若P与Q相等.则a= . 答案：。 分析：，，且 ，则两集合元素完全相同。 因此  必须等于 4。 详解： 由  得  或 。 此时 ，成立。 18.设a,b∈R，集合求b-a的值. 答案： 分析：已知集合 ，且 。 集合中元素互异，且 0 出现在右边集合中，因此 0 必须在左边集合中。 左边集合中 1 ≠ 0，所以可能  或 。 但若 ，则右边  无意义，故 ，所以只能是 。 详解： 1. 由  得 。 2. 代入左边集合：。 3. 右边集合：。 两集合相等，即 。 · 若 ，则左边 ，右边 ，相等，此时 。 · 若 ，则左边  有重复元素 1，违反互异性，不行。 · 若  则 ，已排除。 所以 ，，。 19．设集合A={x|-2k+6<x<k-3},B={x|-k<x<k},k>3，已知A⫋B，求实数k的取值范围. 答案：实数  的取值范围是。 分析：已知 ，，且 （真子集）。 需满足  且 ，即  的区间完全在  内部且不相等。 详解： 1. 区间端点比较 第二个不等式  恒成立（等号不成立？等号时  右端点等于  右端点，但  是开区间，不影响包含）。 第一个不等式： 所以 。 2. 真子集条件 ，即至少有一个端点与  不同： · 若 ，则 ，左端点不同； · 若 ，则 ，左端点等于  左端点，此时需检查右端点：， 右端点为 6，仍满足真包含。 但  时 ，，，成立。 3. 结合  题目已给 ，且 ，所以 。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 集合之间的关系 一、知识梳理 1. 子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B 的子集，记作：AB或BA，读作“A包含于B”或“B包含A”. ［注］任何一个集合都是它本身的子集，即AA. 2. 真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作：AB 或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”. ［注］(1）空集是任何集合的子集，且是任何非空集合的真子集； （2）含有n个元素的集合A的子集有27个，真子集有2"-1个，非空真子集有2"-2个． 3. 集合相等 如果两个集合的元素完全相同，则称这两个集合相等.集合A等于集合B，记作A=B. 4. Venn图 用平面上封闭曲线的内部来表示一个集合，这种图称为Venn图. 二、题型精练 题型1 集合的子集 【典例1】．集合A={(-1,1),(1,-1)}的所有子集的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【典例2】．写出集合A={a,b,c)的所有子集. 题型2 集合的真子集 【典例1】．若｛1,2｝M{1,2,3,4}，适合条件的集合M的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【典例2】.若{a,b}⊆M⫋{a,b,c,d}，适合条件的集合M的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 题型3 集合的相等 【典例1】．设集合A={1,2m+1},B={3,1}若A=B，则m=（ ） A.1 B.2 C.3 D.0 【典例2】.已知集合A={a,b,3},B={3,2a,1}，若A=B，则a,b的值分别为 ( ) A.a=0,b=1 B.a=1,b=2 C.a=0,b=1或a=1,b=2 D.a=2,b=1或a=1,b=0 三、知识检测 1．已知集合B={1,m}，若B⊆A，则m= ( ) A.0 B.2 C.0或2 D.1或2 2．已知集合A={-1,3},b=0}，且A=B，则ab= ( ) A.8 B.6 C.2 D.-6 3．集合M={x|0≤x<3且x∈Z}的子集个数为 ( ) A.8 B.7 C.6 D.5 4．集合M={x∈N|-1<x<3}的子集有( ) A.16个 B.15个 C.8个 D.7个 5．下列关系中：.正确的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6．若集合A={-2,0,2},B={0}，则 ( ) A.A∈B B.B∈A C.A⊆B D.B⊆A 7．集合｛1,2｝的子集有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 8．已知集合，则M的非空子集的个数是 ( ) A.15 B.16 C.7 D.8 9．下列各式中，表述正确的个数是( ) ① ③ A.1 B.2 C.3 D.4 10. 已知集合A={x|x≥-2}，B={x|-2≤x ≤1}，则下列关系正确的是 ( ) A.A=B B.A⊆B C.B⊆A D.B∈A 11. 已知集合B={1,m,2}，若A⊆B，则实数m的值为( ) A.2 B.0 C.0或2 D.1 12．能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合关系的Venn图是( ) A. B. C. D. 13． {3,5} （填""、""或"=") 14．已知集合A={x|x>-3},B={x|x>a}，且满足AB，则实数a的取值范围为 15． 已知集合A={-1,m},B={2,n}，且A=B，则m= ,n= 16． 的关系是 . 17．集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和，若P与Q相等.则a= . 18.设a,b∈R，集合求b-a的值. 19．设集合A={x|-2k+6<x<k-3},B={x|-k<x<k},k>3，已知A⫋B，求实数k的取值范围. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $