专题01 平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定（期中复习讲义）八年级数学下学期新教材青岛版

专题01 平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定 （期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平行四边形相关求解 题型02 中位线相关求解 题型03 矩形相关求解 题型04 直角三角形斜边上的中线 题型05 菱形相关求解 题型06正方形相关求解 题型07 中点四边形 题型08 折叠问题 题型09最值问题 题型10 综合性问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平行四边形的定义及性质 平行四边形对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分。 主要以选择题、填空题形式出现，难度不大，得分率较高。 平行四边形的判定 五种判定方法 以解答题为主，常与三角形全等结合进行综合证明。 矩形的判定和性质 矩形四个角都是直角、对角线相等。 常与折叠问题、直角三角形斜边中线性质结合考查。 菱形的判定和性质 菱形对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 常在综合性大题中出现，有时与圆或相似三角形结合求长度，具有一定的综合性和难度。 正方形的判定和性质 正方形是有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形（既是矩形又是菱形）。 综合性较强，常与旋转、折叠等变换结合，有时也与函数相关知识联系。 三角形的中位线定理 三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半。 常以选择题、填空题形式出现。主要用于证明两直线平行或线段的倍分关系。 知识点01 平行四边形 1、 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、 平行四边形的性质： （1） 平行四边形的对边相等； （2） 平行四边形的对角相等 （3）平行四边形的对角线互相平分。 3、 判定平行四边形的条件 （1） 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2） 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3） 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4） 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 知识点02 矩形、菱形、正方形 1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.判定矩形的条件 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2） 三个角是直角的四边形是矩形 （3） 对角线相等的平行四边形是矩形 3.平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等 4.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 5.判定菱形的条件 （1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2） 四边相等的四边形是菱形 （3） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6.正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形的条件： （1） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2） 有一组邻边相等的矩形是正方形 （3） 有一个角是直角的菱形是正方形 题型一 平行四边形相关求解 解｜题｜技｜巧 1. 转化思想 · 边：对边平行且相等，常用来求边长或证全等。 · 角：邻角互补，对角相等，常与角平分线结合，可推出等腰三角形。 · 对角线：互相平分，这是构造中点三角形或中线倍长的关键。 2. 判定方法选择 · 已知边：优先证另一组对边平行（定义）或相等。 · 已知角：优先证另一组对角相等。 · 已知对角线：优先证对角线互相平分（最直接）。 3. 常见辅助线 · 连对角线：构造全等三角形，转移角或边。 · 作平行线或垂线：构造矩形，用于计算面积或线段长度。 · 倍长中线：已知一组对边相等时，常将一边上的中线倍长，构造平行四边形。 易｜错｜点｜拨 1. 判定条件遗漏 · 错误：一组对边平行，另一组对边相等 → 误判为平行四边形。 · 正解：这可能是等腰梯形，必须是“同一组对边平行且相等”才成立。 2. 图形分类讨论不全 · 已知三点求平行四边形第四个顶点时，常漏解。正确做法是：分别以已知线段为边或对角线，利用中点坐标公式求解，通常有3个解。 3. 忽视对角线性质 · 看到对角线，立刻想到互相平分，这常用来证明中点或倍分关系。 【典例1】如图，在中，平分，，，则的周长是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式1】如图，中，，，平分交于点，平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，平分，，分别为和的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 题型二 中位线相关求解 答｜题｜模｜板 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴根据三角形的中位线定理可得：， 则． 故选：A． 【典例1】如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】．如图，是的中位线，的角平分线交于点，连接并延长交于点，若，则的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式2】．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E，F分别是，的中点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型三 矩形相关求解 答｜题｜模｜板 如图，将长方形绕点旋转至长方形的位置，此时的中点恰好与点重合，交于点若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 解：连接， 四边形是矩形，， ，， 将矩形绕点旋转得到矩形， ，，，， 的中点恰好与点重合， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【典例1】如图 ，在矩形中，，，是上的动点，于，于，则的值为 （    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，矩形的对角线，相交于点，，取中点，连接，取中点，连接，若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 题型四 直角三角形斜边上的中线 答｜题｜模｜板 如图，在长方形中，连接，将沿着翻折至长方形所在的平面内，得，与交于点F，O为的中点，连接．若，，则线段EF的长度为（　　） A． B． C． D． 解：∵将沿着翻折至长方形所在的平面内，得， ∴ ∵， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴． 【典例1】如图，在正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在等腰直角中，，M、N分别为、上的点，，P为上的点，且，，则（    ） A． B． C． D．或 【变式2】．如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点．若，，则的周长为（　　） A．10 B． C． D．14 题型五 菱形相关求解 答｜题｜模｜板 如图，在中，，若，则的周长为（   ） A．12 B．24 C．30 D．36 解：∵在中，， ∴是菱形， ∴， ∴的周长． 【典例1】如图，菱形中，对角线、相交于点，，交于点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 【变式2】．如图，在菱形纸片中，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点E处，折痕为，点分别在边上，则的面积为（    ） A．3 B． C．4 D． 题型六 正方形相关求解 答｜题｜模｜板 如图，在边长为2的正方形中，为边的中点，延长至点，使，以为边作正方形，点在边上，则的长为（    ） A． B． C． D． 解：∵在边长为2的正方形中，为边的中点， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴． 【典例1】如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【变式1】．如图，已知正方形的边长为4，点分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式2】．如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 题型七 中点四边形 解｜题｜技｜巧 1. 转化思想 · 边：对边平行且相等，常用来求边长或证全等。 · 角：邻角互补，对角相等，常与角平分线结合，可推出等腰三角形。 · 对角线：互相平分，这是构造中点三角形或中线倍长的关键。 2. 判定方法选择 · 已知边：优先证另一组对边平行（定义）或相等。 · 已知角：优先证另一组对角相等。 · 已知对角线：优先证对角线互相平分（最直接）。 3. 常见辅助线 · 连对角线：构造全等三角形，转移角或边。 · 作平行线或垂线：构造矩形，用于计算面积或线段长度。 · 倍长中线：已知一组对边相等时，常将一边上的中线倍长，构造平行四边形。 易｜错｜点｜拨 1.图形分类讨论不全 · 已知三点求平行四边形第四个顶点时，常漏解。正确做法是：分别以已知线段为边或对角线，利用中点坐标公式求解，通常有3个解。 2.忽视对角线性质 · 看到对角线，立刻想到互相平分，这常用来证明中点或倍分关系。 【典例1】如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【变式1】．如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若四边形的面积为，则四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）． A． B． C． D． 题型八 折叠问题 答｜题｜模｜板 如图，正方形的边长为4，点是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点．和的平分线，相交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 解：如图，连接， ，四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， ， 将沿直线翻折得， ，， ， 又， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， 设点H到的距离为h， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【典例1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，E在同一直线上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：①把△ABF翻折，点B落在CD边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；②把△ADH翻折，点D落在线段AE上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上．若AD＝6，CD＝10，则△ECF和△EHG的面积比是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F，若，，则的长为（   ） A． B． C．5 D．3 题型九 最值问题 答｜题｜模｜板 如图，在菱形中，对角线，，点分别是边边上的动点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 解：如图所示，在上取一点，使得，连接，，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴点关于的对称点为点，， ∴， ∴， ∴的最小值为的长度， 设菱形的对角交于点，则， ∴在中，， ∴， ∴ 【典例1】如图，在菱形中，对角线，，点分别是边边上的动点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在菱形中，，E是边的中点，P是边上一动点，的最小值是，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D．0.5 【变式2】．如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接、、，则四边形周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C． D． 题型十 综合性问题 答｜题｜模｜板 如图，矩形中，，对角线相交于O，过C点作交于E点，H为中点，连接交于G点，交的延长线于F点，下列4个结论：①；②；③；④．正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 解：在中，H为中点， ， ， ，①结论正确； ， ， ，， ，②结论正确； 如图，连接， ，， ， 同理可得，， ，即， ， 不能得出，③结论错误； ， ， 矩形， ，，， ，， 由②可知，， ， ， ， ， ， ， ，④结论正确 【典例1】如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【变式1】如图，平行四边形中，对角线、相交于点，，、、分别是、、的中点，下列结论：①；②；③；④平分；⑤四边形是菱形．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，，连接，则下列结论：；；；四边形是菱形．其中正确的有（      ） A． B． C． D． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．7 D．5 2．下列说法中不正确的是（   ） A．四边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．正方形的对角线相等 D．对角线相等的四边形是矩形 3．如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在菱形中，两条对角线，，则此菱形的面积为______． 5．如图，每个小正方形的边长为1，在中，D，E分别为的中点，则线段的长为_____． 期中重难突破练（测试时间：15分钟） 1．如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，矩形纸片中，，把纸片沿直线折叠，点落在处，交于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，对角线，相交于点，且，的面积为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，，，求的度数_____． 5．如图，在等腰中，，，E，M，F分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是_______． 期中综合拓展练（测试时间：10分钟） 1．如图，周长为16的菱形中，点分别在边上，为上一动点，则线段的长最短为（    ） A．3 B．4 C． D．6 2．如图，在正方形中，P是边上一动点（不与A、B重合），对角线相交于点O，过点P分别作的垂线，分别交于点E、F，交于点M、N，下列结论：①；②；③；④当P是的中点时，，其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 3．如图，在正方形中，，点E在对角线上，且不与A，C重合，过点E作于点F，于点G，连接． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的最小值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定 （期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平行四边形相关求解 题型02 中位线相关求解 题型03 矩形相关求解 题型04 直角三角形斜边上的中线 题型05 菱形相关求解 题型06正方形相关求解 题型07 中点四边形 题型08 折叠问题 题型09最值问题 题型10 综合性问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平行四边形的定义及性质 平行四边形对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分。 主要以选择题、填空题形式出现，难度不大，得分率较高。 平行四边形的判定 五种判定方法 以解答题为主，常与三角形全等结合进行综合证明。 矩形的判定和性质 矩形四个角都是直角、对角线相等。 常与折叠问题、直角三角形斜边中线性质结合考查。 菱形的判定和性质 菱形对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 常在综合性大题中出现，有时与圆或相似三角形结合求长度，具有一定的综合性和难度。 正方形的判定和性质 正方形是有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形（既是矩形又是菱形）。 综合性较强，常与旋转、折叠等变换结合，有时也与函数相关知识联系。 三角形的中位线定理 三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半。 常以选择题、填空题形式出现。主要用于证明两直线平行或线段的倍分关系。 知识点01 平行四边形 1、 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、 平行四边形的性质： （1） 平行四边形的对边相等； （2） 平行四边形的对角相等 （3）平行四边形的对角线互相平分。 3、 判定平行四边形的条件 （1） 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2） 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3） 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4） 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 知识点02 矩形、菱形、正方形 1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.判定矩形的条件 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2） 三个角是直角的四边形是矩形 （3） 对角线相等的平行四边形是矩形 3.平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等 4.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 5.判定菱形的条件 （1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2） 四边相等的四边形是菱形 （3） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6.正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形的条件： （1） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2） 有一组邻边相等的矩形是正方形 （3） 有一个角是直角的菱形是正方形 题型一 平行四边形相关求解 解｜题｜技｜巧 1. 转化思想 · 边：对边平行且相等，常用来求边长或证全等。 · 角：邻角互补，对角相等，常与角平分线结合，可推出等腰三角形。 · 对角线：互相平分，这是构造中点三角形或中线倍长的关键。 2. 判定方法选择 · 已知边：优先证另一组对边平行（定义）或相等。 · 已知角：优先证另一组对角相等。 · 已知对角线：优先证对角线互相平分（最直接）。 3. 常见辅助线 · 连对角线：构造全等三角形，转移角或边。 · 作平行线或垂线：构造矩形，用于计算面积或线段长度。 · 倍长中线：已知一组对边相等时，常将一边上的中线倍长，构造平行四边形。 易｜错｜点｜拨 1. 判定条件遗漏 · 错误：一组对边平行，另一组对边相等 → 误判为平行四边形。 · 正解：这可能是等腰梯形，必须是“同一组对边平行且相等”才成立。 2. 图形分类讨论不全 · 已知三点求平行四边形第四个顶点时，常漏解。正确做法是：分别以已知线段为边或对角线，利用中点坐标公式求解，通常有3个解。 3. 忽视对角线性质 · 看到对角线，立刻想到互相平分，这常用来证明中点或倍分关系。 【典例1】如图，在中，平分，，，则的周长是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：D． 【变式1】如图，中，，，平分交于点，平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【变式2】．如图，在中，平分，，分别为和的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先由三角形的中位线的性质求得，再根据平行线的性质得到，，再根据平行线的性质与角平分线定义得到，从而得到，然后由求解即可． 【详解】解：∵，分别为和的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二 中位线相关求解 答｜题｜模｜板 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴根据三角形的中位线定理可得：， 则． 故选：A． 【典例1】如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】延长交于H，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：延长交于H， ， ， ， 是的中位线， ． 【变式1】．如图，是的中位线，的角平分线交于点，连接并延长交于点，若，则的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据中位线性质求出，，求出，然后由角平分线和平行线的性质推出，得到，，然后求出，证明出，得到． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∴ ∴ ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 【变式2】．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E，F分别是，的中点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中位线定理和已知，易证明是等腰三角形． 【详解】解：∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是，的中点， ∴，分别是与的中位线， ∴，， ∵， ∴， 故是等腰三角形． ∵， ∴． 题型三 矩形相关求解 答｜题｜模｜板 如图，将长方形绕点旋转至长方形的位置，此时的中点恰好与点重合，交于点若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 解：连接， 四边形是矩形，， ，， 将矩形绕点旋转得到矩形， ，，，， 的中点恰好与点重合， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【典例1】如图 ，在矩形中，，，是上的动点，于，于，则的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由矩形性质证明面积为的一半，据此求出面积与、的长，再连接，通过两个小三角形面积之和等于的面积，列方程求出． 【详解】解：如图，连接，过点作， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ，， ，， ，， ，， ，， ， 解得． 【变式1】．如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中可求得的长，由角平分线的定义和平行的性质可证得，则可求得的长，则可求得的长． 【详解】解：四边形为矩形， ∴，，， ，， ， ， ∵， ， 平分， ， ， ， ， . 【变式2】．如图，矩形的对角线，相交于点，，取中点，连接，取中点，连接，若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】证明是等边三角形，结合点是中点，得出，然后结合点是中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可． 【详解】解：在矩形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∵点是中点， ∴， ∵点是中点， ∴． 题型四 直角三角形斜边上的中线 答｜题｜模｜板 如图，在长方形中，连接，将沿着翻折至长方形所在的平面内，得，与交于点F，O为的中点，连接．若，，则线段EF的长度为（　　） A． B． C． D． 解：∵将沿着翻折至长方形所在的平面内，得， ∴ ∵， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴． 【典例1】如图，在正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质解答即可； 【详解】解：连接， 正方形和正方形中， ，， ， ， ， ， 是的中点， 【变式1】．如图，在等腰直角中，，M、N分别为、上的点，，P为上的点，且，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先求出，再分两种情况：①当点是的中点时，②当点不是的中点时，求出的度数，然后求出的度数，由此即可得． 【详解】解：∵在等腰直角中，， ∴， ∵， ∴． ①如图，当点是的中点时， ∴，符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图1和图2，当点不是的中点时，取的中点，连接， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴在图1中，，此时，不满足三角形的内角和定理，舍去； 在图2中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 【变式2】．如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点．若，，则的周长为（　　） A．10 B． C． D．14 【答案】C 【分析】由点O是的中点，E为的中点可得，在中，利用勾股定理求得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即可得的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵点O是的中点，E为的中点， ∴，， 在中，，， 根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，． ∵四边形是矩形， ∴， ∵点O是的中点， ∴． ∴的周长为． 题型五 菱形相关求解 答｜题｜模｜板 如图，在中，，若，则的周长为（   ） A．12 B．24 C．30 D．36 解：∵在中，， ∴是菱形， ∴， ∴的周长． 【典例1】如图，菱形中，对角线、相交于点，，交于点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质，可得，，由平行线的性质，结合等腰三角形的判定和性质，可得，即可得的长． 【详解】解：菱形中，，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【变式1】．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质得到，结合，可证明是等边三角形，然后根据等腰三角形的三线合一性质，可证明，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出，最后根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在中，． 【变式2】．如图，在菱形纸片中，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点E处，折痕为，点分别在边上，则的面积为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：连接， 四边形为菱形，， ，， 是等边三角形， 是中点， ，，， ， ∵， ， 由折叠可得，，， ， ， ，即， 过点G作于点N，交的延长线于点M，则，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 题型六 正方形相关求解 答｜题｜模｜板 如图，在边长为2的正方形中，为边的中点，延长至点，使，以为边作正方形，点在边上，则的长为（    ） A． B． C． D． 解：∵在边长为2的正方形中，为边的中点， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴． 【典例1】如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质可得，，结合三角形的面积公式计算出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】．如图，已知正方形的边长为4，点分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得，，然后证明得，进一步得，从而知，利用勾股定理求出的长即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式2】．如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵已知正方形中，， ∴， 根据勾股定理，对角线 由折叠可知：， ∴，且， 的周长 因为， 所以， 因此周长． 题型七 中点四边形 解｜题｜技｜巧 1. 转化思想 · 边：对边平行且相等，常用来求边长或证全等。 · 角：邻角互补，对角相等，常与角平分线结合，可推出等腰三角形。 · 对角线：互相平分，这是构造中点三角形或中线倍长的关键。 2. 判定方法选择 · 已知边：优先证另一组对边平行（定义）或相等。 · 已知角：优先证另一组对角相等。 · 已知对角线：优先证对角线互相平分（最直接）。 3. 常见辅助线 · 连对角线：构造全等三角形，转移角或边。 · 作平行线或垂线：构造矩形，用于计算面积或线段长度。 · 倍长中线：已知一组对边相等时，常将一边上的中线倍长，构造平行四边形。 易｜错｜点｜拨 1.图形分类讨论不全 · 已知三点求平行四边形第四个顶点时，常漏解。正确做法是：分别以已知线段为边或对角线，利用中点坐标公式求解，通常有3个解。 2.忽视对角线性质 · 看到对角线，立刻想到互相平分，这常用来证明中点或倍分关系。 【典例1】如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定，中点四边形，三角形中位线 ，设交于点Q，交于点P，结合三角形中位线证出四边形是平行四边形，再结合，证出结果即可． 【详解】解：设交于点Q，交于点P， ∵分别是的中点，     ∴，且，且，     ∴，且，         ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 故选：A． 【变式1】．如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若四边形的面积为，则四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点，分别为边，的中点， 是的中位线， ，且， 同理可证，，且， ，且， 四边形为平行四边形， 点，分别为边，的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ． 故选：A． 【变式2】．如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：是四边形的两条对角线，是四边形各边的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， 则，且；，且；，且；，且， ，且， 四边形为平行四边形， 当时，， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 综上所述，要使四边形为矩形，应添加的条件是， 故选：B． 题型八 折叠问题 答｜题｜模｜板 如图，正方形的边长为4，点是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点．和的平分线，相交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 解：如图，连接， ，四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， ， 将沿直线翻折得， ，， ， 又， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， 设点H到的距离为h， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【典例1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，E在同一直线上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，角的计算，解决此类问题的关键，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．根据折叠的性质和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】解：由题意知， 则， 所以， ， ． 故选：C． 【变式1】．如图，在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：①把△ABF翻折，点B落在CD边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；②把△ADH翻折，点D落在线段AE上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上．若AD＝6，CD＝10，则△ECF和△EHG的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用翻折不变性可得AE=AB=10，推出DE=8，EC=2，设BF=EF=x，在Rt△EFC中，x2=22+（6-x）2，可得x=，设DH=GH=y，在Rt△EGH中，y2+42=（8-y）2，可得y=3，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=∠D=90°，AB=CD=10，AD=BC=6， 由翻折不变性可知：AB=AE=10，AD=AG=6，BF=EF，DH=HG， ∴EG=4， 在Rt△ADE中，， ∴EC=10-8=2， 设BF=EF=x，在Rt△EFC中有：x2=22+（6-x）2， ∴x=，即BF= ∴CF=BC-BF=6-= 设DH=GH=y，在Rt△EGH中，y2+42=（8-y）2， ∴y=3，即DH=GH=3 ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【变式2】．如图，矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F，若，，则的长为（   ） A． B． C．5 D．3 【答案】A 【分析】连接，判断出，得出，进而求出，最后利用勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ， 由折叠知，， ， E是的中点， ， ， ， ， ， ， 在中，． 题型九 最值问题 答｜题｜模｜板 如图，在菱形中，对角线，，点分别是边边上的动点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 解：如图所示，在上取一点，使得，连接，，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴点关于的对称点为点，， ∴， ∴， ∴的最小值为的长度， 设菱形的对角交于点，则， ∴在中，， ∴， ∴ 【典例1】如图，在菱形中，对角线，，点分别是边边上的动点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，在上取一点，使得，连接，，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴点关于的对称点为点，， ∴， ∴， ∴的最小值为的长度， 设菱形的对角交于点，则， ∴在中，， ∴， ∴， 故选：D ． 【变式1】如图，在菱形中，，E是边的中点，P是边上一动点，的最小值是，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D．0.5 【答案】D 【分析】找出点关于的对称点D，连接，则就是的最小值，进而可求出的值即可求出的最小值． 【详解】解：连接交于P，连接， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得关于对称，则， ∴，， 即就是的最小值， ∵， ∴是等边三角形， ∵E是边的中点 ∴， ∴（等腰三角形三线合一的性质） 在中，， ∴， ∴． ∴ 当时最小 ∵ ∴ 故选：D 【变式2】．如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接、、，则四边形周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 题型十 综合性问题 答｜题｜模｜板 如图，矩形中，，对角线相交于O，过C点作交于E点，H为中点，连接交于G点，交的延长线于F点，下列4个结论：①；②；③；④．正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 解：在中，H为中点， ， ， ，①结论正确； ， ， ，， ，②结论正确； 如图，连接， ，， ， 同理可得，， ，即， ， 不能得出，③结论错误； ， ， 矩形， ，，， ，， 由②可知，， ， ， ， ， ， ， ，④结论正确 【典例1】如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点, 过作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形，故正确； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴平分，故正确； ∴，故错误； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故错误； 综上可得：正确； 故选：A． 【变式1】如图，平行四边形中，对角线、相交于点，，、、分别是、、的中点，下列结论：①；②；③；④平分；⑤四边形是菱形．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵E为中点， ∴，故①成立； ∵，G是中点， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴，且， ∵四边形为平行四边形， ∴，且， ∴， ∴，故②成立； ∵， ∴, ∴（两直线平行，内错角相等）， 在和中， ∵， ∴，即③成立； ∵, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴ 即平分 故④正确， 若四边形是菱形 ∴， ∴ 与题意不符合 故⑤错误 故选C． 【变式2】如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，，连接，则下列结论：；；；四边形是菱形．其中正确的有（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，故正确； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，故正确； ∵四边形是平行四边形，四边形是菱形， ∴，， ∴是中位线， ∴，故正确； ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形，故正确， 综上可知：正确， 故选：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．7 D．5 【答案】D 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ． 2．下列说法中不正确的是（   ） A．四边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．正方形的对角线相等 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【详解】A、四边相等的四边形是菱形，选项正确，不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，选项正确，不符合题意； C、正方形的对角线相等，选项正确，不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，选项错误，符合题意； 故选：D． 3．如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 无法判断， 故选：D． 二、填空题 4．如图，在菱形中，两条对角线，，则此菱形的面积为______． 【答案】 【详解】解：∵菱形的面积等于对角线积的一半， ∴， 故答案为：． 5．如图，每个小正方形的边长为1，在中，D，E分别为的中点，则线段的长为_____． 【答案】 【详解】解： ∵D，E分别为的中点，， ∴． 故答案为：． 期中重难突破练（测试时间：15分钟） 1．如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 2．如图，矩形纸片中，，把纸片沿直线折叠，点落在处，交于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠得，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 在直角三角形中，， ． 3．如图，在中，对角线，相交于点，且，的面积为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，对角线，相交于点， ， ， ， ， ， ． 4．如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，，，求的度数_____． 【答案】 【详解】解：∵是对角线的中点，、分别是、的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 5．如图，在等腰中，，，E，M，F分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是_______． 【答案】26 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ∴平行四边形的周长为， 故答案为：26． 期中综合拓展练（测试时间：10分钟） 1．如图，周长为16的菱形中，点分别在边上，为上一动点，则线段的长最短为（    ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】B 【详解】解：作点关于的对称点， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴点落在上， 则，，连接交于点， ∴， 由两点之间线段最短可知，当在一条直线上时，的值最小， 此时， ∵四边形为菱形，周长为， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值为． 2．如图，在正方形中，P是边上一动点（不与A、B重合），对角线相交于点O，过点P分别作的垂线，分别交于点E、F，交于点M、N，下列结论：①；②；③；④当P是的中点时，，其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】A 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 又， ，①结论正确； 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ，②结论错误； 如图，过点作交于点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 由①可知，， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， 四边形是正方形， ， ，③结论正确； 设正方形的边长为，则， 是的中点， ， 同③理可证，四边形、是正方形， ， ， ，， ，④结论错误， 故答案为：①③． 3．如图，在正方形中，，点E在对角线上，且不与A，C重合，过点E作于点F，于点G，连接． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴， 由勾股定理得； （2）证明：如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，， 当时，的值最小，即的值最小， ∵四边形为正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴此时，， 即的最小值为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $