2026年湖南省对口招生考试《数学高频考点冲刺卷》（三）（原卷版+解析版）

编写说明：本套冲刺卷严格依据湖南省2026年普通高等学校对口招生考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第3卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 高频考点冲刺卷（三） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知，，则线段的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，且，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．下列函数中，在定义域上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 4．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 5．在等差数列中，，则（    ）． A．2023 B．2024 C．4052 D．4048 6．已知，则（    ） A． B．4 C． D．3 7．在同一坐标系中，当时，函数 和的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 8．若直线被圆所截，则弦长为（    ）. A． B．2 C．3 D．2 9．函数的定义域为（ ） A．， B．， C．， D．， 10．如图，四棱锥的底面为正方形，平面，、分别是、的中点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．某中职学校有1750名学生，其中高一650人，高二600人，高三500人，现在计划利用AI软件进行分层抽样，从全校学生中抽取350人进行“中学生体质建康调查”，则抽到的样本中，高一有________人. 12．已知角终边过点，那么______. 13．16名社区志愿者组成4行4列的方阵，现从中选出2人，要求他们既不在同一行又不在同一列，则不同的选法种数为______________. 14．已知直三棱柱底面的一边长为，另两边长都为，侧棱长为，它的侧面积为________ ，体积为__________ 15．若，则的值为_________． 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知是等差数列，是的前n项和，，，是等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 17．(本小题满分10分) 如图所示，在三棱柱中，底面，，，D为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 18．(本小题满分10分) 某射击爱好者进行射击，每次命中目标的概率为0.8，如果连续射击3次，每次是否命中目标是相互独立的，记命中目标的次数为． (1)求的分布列： (2)求命中目标的次数小于3的概率，以及的数学期望与方差． 19．(本小题满分10分) 已知椭圆C：的长半轴长为5，焦距为6． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线l的方程． 20．(本小题满分10分) 我们知道，函数的图像关于坐标原点对称的充要条件是该函数为奇函数，可以推广为函数图像关于点对称的充要条件是函数满足.现有函数 (1)判断函数的奇偶性: (2)若函数的图像关于点对称，求实数的值. 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 中，角、、的对边分别是、、，且． (1)求的大小； (2)若，，求的面积． 22．(本小题满分10分) 要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如表所示.每张钢板的面积，第一种为，第二种为.今需要A，B，C三种规格的成品各12，15，27块，问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小？ 类型 A规格 B规格 C规格 第一种钢板 1 2 1 第二种钢板 1 1 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套冲刺卷严格依据湖南省2026年普通高等学校对口招生考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第3卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 高频考点冲刺卷（三） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知，，则线段的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段中点的坐标公式求值即可. 【详解】已知，， 则线段的中点坐标为，即. 故选：B. 2．已知集合，且，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系，将代入列方程求解即可. 【详解】已知集合，且， 则，解得. 故选：A. 3．下列函数中，在定义域上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数的单调性判断. 【详解】由一次函数的单调性可知，在定义域上为减函数；故A错误； 由二次函数的单调性可知，在定义域上先减后增；故B错误； 由反比例函数的单调性可知，在上单调递增，在定义域上不是增函数，故C错误； 由指数函数的单调性可知，在定义域上单调递增； 故选：D 4．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 【答案】C 【分析】根据，并结合充要条件的定义可判断结果. 【详解】因为， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C 5．在等差数列中，，则（    ）． A．2023 B．2024 C．4052 D．4048 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式求出公差，再根据通项公式直接求解即可. 【详解】等差数列中， 由， 得， 解得， 所以. 故选：C 6．已知，则（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】D 【分析】根据已知条件先求出向量和，再计算其内积即可. 【详解】已知、、， 则，， 所以. 故选：D. 7．在同一坐标系中，当时，函数 和的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数恒过的定点以及函数的单调性判断即可. 【详解】因为当时，函数恒过定点， 且在上为增函数，故CD错误； 又当时，函数恒过定点， 又，则，则函数在R上为减函数，故A正确. 故选：A. 8．若直线被圆所截，则弦长为（    ）. A． B．2 C．3 D．2 【答案】B 【详解】利用圆的弦长公式即可得解. 【分析】因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离为， 则所求. 故选：B 9．函数的定义域为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义域转化成解含正弦函数的不等式易得答案. 【详解】对于函数，令，即， 解得，， 所以函数的定义域为，. 故选：C. 10．如图，四棱锥的底面为正方形，平面，、分别是、的中点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】A 【分析】利用线线平行证线面平行，利用线面垂直证线线垂直，利用线线垂直证线面垂直即可. 【详解】作的中点，连接，    因为是的中点，是的中点，则为的中位线， 则，， 因为底面为正方形，是的中点，则， 所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以不平行，所以不平行，A错误； 因为平面，底面，则，B正确； 因为，平面，平面，则平面，C正确； 因为平面，底面，则， 又底面为正方形，则， 因为平面，平面，且， 所以平面，D正确； 故选：A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．某中职学校有1750名学生，其中高一650人，高二600人，高三500人，现在计划利用AI软件进行分层抽样，从全校学生中抽取350人进行“中学生体质建康调查”，则抽到的样本中，高一有________人. 【答案】 【分析】根据题意结合分层抽样的定义即可得解. 【详解】根据题意可知，学校有1750名学生，其中高一650人，抽取350人， 则人， 故答案为：. 12．已知角终边过点，那么______. 【答案】/ 【分析】根据角终边过点的定义，求解正弦值和余弦值即可. 【详解】因为角终边过点， 所以， 所以， ， 所以. 故答案为: . 13．16名社区志愿者组成4行4列的方阵，现从中选出2人，要求他们既不在同一行又不在同一列，则不同的选法种数为______________. 【答案】72 【分析】根据组合的定义，结合题意进行求解即可. 【详解】从16人中选出2人，共有种选法， 若选出的2人既不在同一行又不在同一列， 则共有种选法. 故答案为：72. 14．已知直三棱柱底面的一边长为，另两边长都为，侧棱长为，它的侧面积为________ ，体积为__________ 【答案】 【解析】利用棱柱的侧面积公式可求得该棱柱的侧面积，利用柱体的体积公式可求得该三棱柱的体积. 【详解】如图所示，该直三棱柱的侧面积为. 直三棱柱的底面为等腰直角三角形，底边上的高为， 所以，该直三棱柱的体积为. 故答案为：；. 【点睛】本题考查三棱柱侧面积和体积的计算，考查计算能力，属于基础题. 15．若，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系，以及二倍角的正弦公式，即可求解. 【详解】由题意知， 所以， 即. 故答案为：. 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知是等差数列，是的前n项和，，，是等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由与的关系可得，求出公差后，可得的通项公式；先求，，从而得公比，据此可求的通项公式； （2）利用分组求和法可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为是的前n项和，， 所以， 因为， 所以， 所以； 所以， 又因为， 所以，； （2）由（1）可知， 所以 . 17．(本小题满分10分) 如图所示，在三棱柱中，底面，，，D为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明过程见解析. (2). 【分析】（1）由直线与平面垂直的定义与判定方法即可得解. （2）由直线与平面所成的角的定义及解直角三角形即可得解. 【详解】（1）在三棱柱中,底面. 所以. ,,为中点. 所以. ，且两直线在平面内， 所以. （2） 连接,因为,所以是直线与平面形成的角. 在直角中. 所以. 综上所述:直线与平面所成角为 18． (本小题满分10分) 某射击爱好者进行射击，每次命中目标的概率为0.8，如果连续射击3次，每次是否命中目标是相互独立的，记命中目标的次数为． (1)求的分布列： (2)求命中目标的次数小于3的概率，以及的数学期望与方差． 19． 【答案】(1)分布列见解析 (2)概率，数学期望，方差. 【分析】（1）由伯努利概型的概率公式计算出每一个取值的概率，再列分布列即可. （2）由期望和方差的计算公式代入计算即可. 【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 故的分布列为: 0 1 2 3 P （2）命中目标的次数小于3的概率为 . 的数学期望， 又因为， 所以的方差. 19．(本小题满分10分) 已知椭圆C：的长半轴长为5，焦距为6． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的长半轴长和焦距求出椭圆的标准方程即可； （2）根据弦中点问题用点差法即可得解. 【详解】（1）由题意可知，，半焦距． ∴， 则椭圆C的标准方程为． （2）当直线l的斜率不存在时AB的中点在x轴上，不符合题意. 设点A、B的坐标分别为，，直线l的斜率为， 则， ∴ ， ∵线段AB的中点坐标为， ∴，， 直线l的斜率为， 则，即， ∴直线l的方程为， 整理可得，． 20．(本小题满分10分) 我们知道，函数的图像关于坐标原点对称的充要条件是该函数为奇函数，可以推广为函数图像关于点对称的充要条件是函数满足.现有函数 (1)判断函数的奇偶性: (2)若函数的图像关于点对称，求实数的值. 【答案】(1)奇函数 (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义可得结论； （2）由函数图像关于点对称的充要条件可得，再根据奇函数的性质可求解. 【详解】（1）是奇函数，理由如下： 要使函数有意义，则，即， 解得或， 所以函数的定义域为，关于原点对称. 又因为， 所以是奇函数； （2）因为函数的图像关于点对称，由题意可得 ，即， 又，所以， 由（1）知，为奇函数，所以, 所以，解得. 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 中，角、、的对边分别是、、，且． (1)求的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理以及余弦定理求解即可. （2）根据三角形的面积公式以及两角和的正弦公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，进而. 则. （2）因为，， 所以. 因为，，所以. 因为，所以为锐角，.. 所以三角形面积为. 22．(本小题满分10分) 要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如表所示.每张钢板的面积，第一种为，第二种为.今需要A，B，C三种规格的成品各12，15，27块，问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小？ 类型 A规格 B规格 C规格 第一种钢板 1 2 1 第二种钢板 1 1 3 【答案】截第一种钢板4张，第二张钢板8张或者第一种钢板6张，第二张钢板7张 【分析】根据题意得到约束条件与目标函数，利用线性规划的图解法（注意整数点的取法）即可得解. 【详解】设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板总面积为， 则约束条件，，目标函数为， 作出可行域（如图）， 结合图象可知，过点（或附近整数点）时，取得最小值， 联立，解得，则， 由于点A不是可行域内的整数点， 因此将直线平移至过可行域内的点和时， 能使最小，且最小值为. 所以截第一种钢板4张，第二张钢板8张或者第一种钢板6张，第二张钢板7张时， 可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $