2026年湖南省对口招生考试《数学高频考点冲刺卷》（五）（原卷版+解析版）

编写说明：本套冲刺卷严格依据湖南省2026年普通高等学校对口招生考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第5卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 高频考点冲刺卷（五） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知两点和，则的距离为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．以下各函数中偶函数为（    ） A． B． C． D． 3．若集合，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知等比数列，其中，，则数列的前5项和（    ） A．16 B．21 C．31 D．32 5．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，，若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 8．已知 ，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9．已知点和圆，则过点P且被圆所截得的弦最短的直线方程为（   ） A． B． C． D． 10．已知正方体的棱长为1，下列结论正确的是（    ）    A．异面直线与的所成角为 B．与的夹角是 C．二面角的度数为 D．二面角的度数为 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．某校高一学生550人，高二学生500人，高三学生450人，为了了解学生视力情况，采用分层抽样在高三抽取了18人，则高二应抽取的人数为_____. 12．已知函数，则不等式的解集是______． 13．将3本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则3本数学书相邻的概率为________. 14．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为 的扇形，这个圆锥的体积是______. 15．若，则______ 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，当为何值时，有最小值？最小值是多少？ 17．(本小题满分10分) 已知小明在罚球线附近定点投篮的命中率为，投篮3次，投中记2分，投不中扣1分． (1)设ξ为小明三次投篮得分的总和，求ξ的分布列及期望； (2)求小明投篮3次至少命中2次概率． 18． (本小题满分10分) 已知椭圆过点，且离心率为． (1)求的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率分别为．证明：为定值． 19．(本小题满分10分) 如图所示，在正方体中，是底面两条对角线的交点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角. 20.(本小题满分10分) 已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求使函数的实数x的取值范围. 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 如图所示，已知的内角，点在边上，，.求： (1)的值； (2)的长. 22．(本小题满分10分) 哈三中学生食堂出售甲、乙两种食品，甲每份售价元、乙每份售价元，经检测，食品中含有三种学生所需的营养物，其中食品甲每份含分别为、、毫克，食品乙每份含分别为、、毫克，而营养师认为学生每餐至少需此三种营养物分别为、、毫克.问一学生进餐应对甲、乙食品各买几份，能保证足够的营养要求，又花钱最少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套冲刺卷严格依据湖南省2026年普通高等学校对口招生考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第5卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 高频考点冲刺卷（五） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知两点和，则的距离为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据两点之间的距离公式求解即可. 【详解】因为点和， 所以的距离为. 故选：C. 2．以下各函数中偶函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于选项A：因为，所以函数不是偶函数，因此选项A不符合题意； 对于选项B：因为的定义域为关于原点对称， 且，所以函数是偶函数，因此选项B符合题意； 对于选项C：因为，所以函数不是偶函数，因此选项C不符合题意； 对于选项D：因为的定义域为，不关于原点对称，所以函数不是偶函数，因此选项D不符合题意. 故选：B. 3．若集合，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的解法化简集合，利用交集的定义求出答案. 【详解】集合， 或， ∵，∴且，解得， 则的取值范围为. 故选：A. 4．已知等比数列，其中，，则数列的前5项和（    ） A．16 B．21 C．31 D．32 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式及前项和求解. 【详解】设数列的公比为， ∵，，， ∴，解得，则， ∴. 故选：C. 5．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分别解含绝对值的不等式和一元二次不等式，再根据充分条件与必要条件的概念可判断结果. 【详解】由等式可得：，解得； 由不等式可得：，解得． 由于，但， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 6．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可判断各数之间的大小关系. 【详解】因为函数在定义域上是减函数，所以； 因为函数在定义域上是增函数，所以； 因为函数在定义域上是减函数，所以； 所以 . 故选：D. 7．已知向量，，若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合平面线性运算的坐标表示及两平面向量垂直的性质即可得解. 【详解】向量，， ， 因为，则，解得， 故选：. 8．已知 ，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合三角函数的图像求出解集即可. 【详解】如图，分别为，的函数图像， 由图像可知，在与的交点后，有， 则当时，令， 由，可得， 由图可知，交点位于第一象限，解得， 所以，所以不等式的解集为. 故选：D. 9．已知点和圆，则过点P且被圆所截得的弦最短的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合直线与圆的位置关系，先求出圆心与点P连线的斜率，继而求出直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】设圆的圆心为O，则， 所以， 由题意，当直线过点P且垂直于直线时，直线被圆截得的弦长最短， 所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即. 故选：C. 10．已知正方体的棱长为1，下列结论正确的是（    ）    A．异面直线与的所成角为 B．与的夹角是 C．二面角的度数为 D．二面角的度数为 【答案】D 【分析】A项，根据异面直线的概念，找出为异面直线与的所成角，结合正方体的性质即可求解；B项，先找出为与的夹角，结合正方体的性质即可求解；CD项，根据二面角的概念，找出为二面角的平面角，为二面角的平面角，结合三角函数的定义，正方体的性质即可求解. 【详解】对A，在正方体中，， 所以为异面直线与的所成角，因为， 所以是等边三角形，则， 即异面直线与的所成角为，故A错误. 对B，在正方体中，， 则是等边三角形，所以与的夹角，故B错误. 对C，连接交于，连接，在正方体中， ，所以平面， 因为平面，不在平面内，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，故C错误.    对D，在正方体中，平面平面， 不在平面内，所以，因为平面即平面， 所以二面角即平面与平面的二面角， 因为平面平面，又， 所以为二面角的平面角，即为，故D正确.    故选：D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．某校高一学生550人，高二学生500人，高三学生450人，为了了解学生视力情况，采用分层抽样在高三抽取了18人，则高二应抽取的人数为_____. 【答案】20 【分析】根据分层抽样的特点，利用抽样比相等求解. 【详解】设高二应抽取的人数为，则，所以. 则高二应抽取的人数为20人. 故答案为：20. 12．已知函数，则不等式的解集是______． 【答案】 【分析】根据题意结合指数函数的单调性列出不等式，解含绝对值的不等式即可得解. 【详解】因为， 不等式可化为， 因为函数，底数，所以在定义域上为减函数， 所以有，解得． 不等式的解集为． 故答案为：. 13．将3本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则3本数学书相邻的概率为________. 【答案】/0.5 【分析】根据分步计数原理和排列法算出排法，再结合古典概率问题求解即可. 【详解】根据分步计数法，不考虑相邻问题，4本书排成一行有种排法； 3本数学书相邻的排法如下： 先排数学书有种排法， 再将3本数学书视为一个整体，再和语文书排列，有种排法， 所以3本数学书相邻的排法有种. 即3本数学书相邻的概率为. 故答案为：. 14．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为 的扇形，这个圆锥的体积是______. 【答案】 【分析】由弧长公式结合条件求得母线长，根据圆锥底面周长等于侧面展开图弧长求得底面半径，进而可得圆锥的高，最后由圆锥体积公式求得结果． 【详解】设为扇形的圆心角度数，圆锥的母线长为，底面半径为． 由弧长公式，可得，解得． 因为圆锥底面周长等于侧面展开图弧长，即，解得． 根据勾股定理求出圆锥的高cm， 所以圆锥的体积为． 故答案为：. 15．若，则______ 【答案】 【分析】先根据两角差的正弦公式化简等式，再根据同角三角函数商的关系求解. 【详解】∵， 题目已知，， ∴，即. 即，. 故答案为：. 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，当为何值时，有最小值？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当或时，有最小值 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，即可求解. （2）利用等差数列前n项和公式，即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以数列的通项公式为，即． （2）由等差数列的前n项和公式得， 所以， 即从到单调递减，从到单调递增，且, 所以当或时，有最小值，即. 17．(本小题满分10分) 已知小明在罚球线附近定点投篮的命中率为，投篮3次，投中记2分，投不中扣1分． (1)设ξ为小明三次投篮得分的总和，求ξ的分布列及期望； (2)求小明投篮3次至少命中2次概率． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2) 【分析】（1）根据题意，确定的值，求出对应的概率，结合二项分布即可求解. （2）根据至少命中2次，即命中2次和3次概率之和即可求解. 【详解】（1）由题意得，投篮3次，投中记2分，投不中扣1分， 则①投篮3次投中0次，得分；②投篮3次投中1次，得0分； ③投篮3次投中2次，得3分；④投篮3次投中3次，得6分． 所以所有可能的取值为：. 因为小明在罚球线附近定点投篮命的中率为， 由题意知，服从二项分布，且， 故；； ；. 随机变量的分布列为： E 0 3 6 P . （2）记至少命中2次， 则 18． (本小题满分10分) 已知椭圆过点，且离心率为． (1)求的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率分别为．证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合椭圆上一点及离心率公式即可求出方程. （2）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及两点求斜率公式证明即可. 【详解】（1）由点代入椭圆方程得， 又，且， 解得 故椭圆方程为： （2）证明：由与椭圆联立得 ，消去y得，， 设，，由题知， ，                 ， (定值) ，证毕. 19．(本小题满分10分) 如图所示，在正方体中，是底面两条对角线的交点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）证明：因为在正方体中，可知平面， 又平面，所以， 又因为､是正方形ABCD的对角线，因此， 又､是平面内的两条相交直线， 所以平面. （2）连接，由（1）可知直线和平面所成的角为， 且为直角三角形，， 设正方体棱长为1，可得，， 所以，且， 所以，因此和平面所成的角为.    20.(本小题满分10分) 已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求使函数的实数x的取值范围. 【答案】(1). (2)偶函数，理由见解析. (3). 【分析】（）根据对数型复合函数的定义域求法即可求解. （）利用奇偶函数的定义法即可判断. （）利用对数函数的性质解不等式即可求解. 【详解】（1）要使函数有意义， ∴，即，∴， ∴的定义域为. （2）由（）得的定义域为， ∵函数， ∴， ∴为定义域为的偶函数. （3）∵，， 即， 又函数在上单调递增， ∴，∴，∴或， ∴实数x的取值范围为. ∴，∴，∴或， ∴实数x的取值范围为. 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 如图所示，已知的内角，点在边上，，.求： (1)的值； (2)的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中运用正弦定理求解；（2）在中，根据（1）得，再运用余弦定理求解. 【详解】（1）在中，，，， 由正弦定理有，代入可得， 所以. （2）因为，所以， 因为，是等腰三角形，即是锐角， 所以， 在中，，， 由余弦定理得， 解得（舍）. 22．(本小题满分10分) 哈三中学生食堂出售甲、乙两种食品，甲每份售价元、乙每份售价元，经检测，食品中含有三种学生所需的营养物，其中食品甲每份含分别为、、毫克，食品乙每份含分别为、、毫克，而营养师认为学生每餐至少需此三种营养物分别为、、毫克.问一学生进餐应对甲、乙食品各买几份，能保证足够的营养要求，又花钱最少？ 【答案】当买甲份，乙份时，能保证足够的营养要求，又花钱最少 【分析】设买甲食品份，乙食品份，根据已知条件列不等式组，结合线性规划的知识求得正确答案. 【详解】设买甲食品份，乙食品份，由题意可知满足的关系为： ，，花费为， 由解得，设， 根据线性约束条件，画出可行域如下图所示， 由图可知，平移基准直线到点时，取得最小值， 所以当买甲份，乙份时，能保证足够的营养要求，又花钱最少. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $