2026年湖南省对口招生考试《数学高频考点冲刺卷》（四）（原卷版+解析版）

编写说明：本套冲刺卷严格依据湖南省2026年普通高等学校对口招生考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第4卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 高频考点冲刺卷（四） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集与补集的概念运算即可. 【详解】已知全集，，， 则，所以， 故选：D. 2．已知命题，，则是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解绝对值不等式和二次不等式，然后由充分必要条件的定义即可得到结果. 【详解】，，即 ，即，，则，即， 所以是的必要不充分条件. 3．已知，若成等比数列，则实数的乘积的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 所以，，，， 所以，故， 则. 4．若函数和都是增函数，则的取值范围可能是（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】根据正、余弦函数的单调性即可求解. 【详解】由在上单调递增， 而在上单调递增， 所以函数和都是增函数时， ， 综上所述，选项D正确. 故选：D. 5．现有100位因酒驾拘留的人员，编号是1~100，现从中抽取5人作问卷调查，用系统抽样法抽取的编号可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据系统抽样方法的有关知识即可求解. 【详解】由系统抽样方法可知，从100位因酒驾拘留的人员中抽取5人， 组距为20，从每组中抽取一个， 对A：每组数的组距为5，故A项错误； 对B：每组数的组距为20，5组数中各抽取一个，共抽取5个，故B项正确 对C：.每组数的组距为2，故C项错误； 对D：每组数的组距为10，故D项错误； 故选：B. 6．在平面直角坐标系中，已知，角的终边与以坐标原点为圆心，2为半径的圆交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据任意角的三角函数的定义可求解. 【详解】设，由题可知， 根据任意角的三角函数的定义可得： ， ， 所以点的坐标为. 故选：A 7.以下函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A，，函数定义域为，且，所以函数为偶函数； 对于选项B，，函数定义域为，所以函数为非奇非偶函数； 对于选项C，，定义域为，且，所以函数为偶函数； 对于选项D，，函数定义域为， 且，所以函数为奇函数； 8．窗花是中国古老的传统民间艺术之一，如图1是一个正八边形窗花，正八边形边长为2，图2是该窗花的几何示意图形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵任意凸多边形的外角和都等于， ∴， ∵， ∴． 9．设函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式画出函数图象，结合图象求出时的取值范围. 【详解】画出的图象，如下图所示： 由可得或， 解得或，则的取值范围是. 故选：C. 10．直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m，r的取值有关 【答案】C 【分析】根据题意，得到直线恒过圆心，即可得到直线与圆的位置关系. 【详解】由直线，可化为，可得直线恒过定点， 又由圆，可得圆心为， 所以直线过圆心，此时直线与圆一定相交. 故选：C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．函数，的值域是______. 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求解值域即可. 【详解】函数， ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 12．已知且为第三象限角，则____________. 【答案】 【分析】先根据同角的三角函数关系式求出与的值，再计算. 【详解】因为为第三象限角，所以， 又因为，即， 代入，得， 即，且，解得， 所以， 则. 故答案为：. 13．经过点，且与直线平行的直线方程为______． 【答案】 【分析】先根据直线平行求得斜率，再根据点的坐标求直线方程. 【详解】∵所求直线与直线平行， ∴的斜率. 而直线过点，故直线方程为. 即. 故答案为：. 14．已知的二项展开式中含项的系数为，则实数________． 【答案】/ 【分析】写出二项展开式的通项公式求出值，结合题意列出方程即可得解. 【详解】的二项展开式的通项公式为， 令，解得， 所以含项的系数为，解得． 故答案为：. 15．在正方体中，与平面所成角的余弦值为________；与平面所成角的大小为________． 【答案】 / 【分析】利用线面角的定义可得结果. 【详解】设正方体的棱长为，则，，    平面，则直线与平面所成的角为，且， 平面，则直线与平面所成角. 故答案为：；. 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)倾斜角为的直线过点，且与双曲线交于，两点，为坐标原点，求面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出抛物线的焦点，再根据双曲线的渐近线结合的关系，即可求出双曲线的方程. （2）根据直线与双曲线相交，联立方程组结合韦达定理解决问题即可. 【详解】（1）已知抛物线的焦点为， 所以双曲线中， 又有双曲线的渐近线方程为， ， 解得， 所以的方程为. （2）由题意可知的斜率，且过点 所以的方程为， 所以 消并整理得：， 显然，设， 则， 所以 又点到的距离 ∴ 17．(本小题满分10分) 5个大小相同的小球分别标有数字1，1，2，2，3，把它们放在一个盒子中，现从中任意摸出2个小球，它们的标号分别为，记． (1)求； (2)求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）分别求出基本事件总数和目标事件数，根据概率公式即可解得. （2）根据的可能取值分别求出对应概率，列出分布列，再根据数学期望计算公式计算即可解得. 【详解】（1）由题，从盒子中摸出小球的基本事件总数为， 的基本事件数有， 故. （2）可能取值为， 则， ， ， ， 故的分布列为： 数学期望 18． (本小题满分10分) 已知数列为各项均为正数的等比数列，为其前项和，，. 求数列的通项公式； 若，求的最大值. 【答案】；4 【分析】（1）设等比数列的公比为，由，可得，即可求出结果． （2） ，即可得出结论． 【详解】解:在等比数列中，设公比为. 因为 所以 所以.即. 则或. 因为， 所以， 所以. 因为， 所以. 所以数列的通项公式 在等比数列中， 因为 所以 因为， 所以. 所以. 所以. 因为. 所以.即的最大值为. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．(本小题满分10分) 如图所示，直四棱柱的底面为梯形，．    (1)证明：平面； (2)若直四棱柱的体积为36，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）通过证明面面平行，再证明平面即可. （2）过点作于，连接，通过线面垂直证明线线垂直，得出二面角，再求出结果即可. 【详解】（1）证明：因为,平面， 平面,所以平面. 又因为,平面,平面 所以平面. 因为平面, 平面,所以平面平面. 因为平面,所以平面. （2）    过点作于，连接. 在中,. 所以. 因为四棱柱的体积为， 所以. 因为平面平面， 所以. 又因为平面， 所以平面. 因为平面,所以. 由此可知为二面角的平面角. 故. 20．(本小题满分10分) 已知函数且是定义在上的偶函数，且. (1)求的解析式； (2)若函数在上的最小值是1，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合偶函数的定义可得，代入化简即可求得k的值，结合，即可求得函数解析式； （2）根据题意，结合的解析式，可化简得到，利用换元法，结合指数函数和二次函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数， 所以，即， 整理得，所以， 所以 又因为，可得， 解得或， 所以 （2）由（1）知， 所以， 令，则， 因为在上是增函数，所以， 因为的最小值是1， 当时，，解得或（舍）， 当时，，不符合题意，舍去， 综上所述，. 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求的值； (2)已知复数，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的基本关系、正弦定理以及两角和的正弦公式求解； （2）解法一：利用复数的运算法则及复数模的公式计算. 解法二：利用复数的运算法则、三角函数和角公式及复数模的公式计算. 【详解】（1）在中，，， ． ，，， ． ，且，， 在中，，，B为锐角， ． ． （2）解法一： ，． ， ． 解法二： 由（1）知，且，则， ，， ， ． 22．(本小题满分10分) 中国一汽集团准备生产两种类型的新能源小轿车，需要甲、乙两种新型材料．生产一辆A型车需要消耗甲材料1吨、乙材料2吨，用个工时，产品获利6万元；生产一辆B型车需要消耗甲材料2吨、乙材料2吨，用个工时，产品获利8万元．该集团旗下某生产车间现有甲材料吨，乙材料吨，在不超过个工时的条件下，怎么安排生产才能使利润最大？并求出最大利润． 【答案】生产A型车6辆，B型车4辆，最大利润万元． 【分析】设生产A型车x辆，B型车y辆，再由题意列出约束条件，根据约束条件画出可行域，设，再由可行域求出最值即可. 【详解】设生产A型车x辆，B型车y辆， 约束条件为， 则最大利润为， 可行域如下， 如图可知，当目标函数过点时，为最大， 联立方程组， 解得，此时利润最大：万元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套冲刺卷严格依据湖南省2026年普通高等学校对口招生考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第4卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 高频考点冲刺卷（四） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知命题，，则是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，若成等比数列，则实数的乘积的值为（   ） A． B． C． D． 4．若函数和都是增函数，则的取值范围可能是（    ） A． B． C．D． 5．现有100位因酒驾拘留的人员，编号是1~100，现从中抽取5人作问卷调查，用系统抽样法抽取的编号可能是（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，已知，角的终边与以坐标原点为圆心，2为半径的圆交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7.以下函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 8．窗花是中国古老的传统民间艺术之一，如图1是一个正八边形窗花，正八边形边长为2，图2是该窗花的几何示意图形，则（    ） A． B． C． D． 9．设函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m，r的取值有关 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．函数，的值域是______. 12．已知且为第三象限角，则____________. 13．经过点，且与直线平行的直线方程为______． 14．已知的二项展开式中含项的系数为，则实数________． 15．在正方体中，与平面所成角的余弦值为________；与平面所成角的大小为________． 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)倾斜角为的直线过点，且与双曲线交于，两点，为坐标原点，求面积. 17．(本小题满分10分) 5个大小相同的小球分别标有数字1，1，2，2，3，把它们放在一个盒子中，现从中任意摸出2个小球，它们的标号分别为，记． (1)求； (2)求随机变量的分布列和数学期望． 18.(本小题满分10分) 已知数列为各项均为正数的等比数列，为其前项和，，. 求数列的通项公式； 若，求的最大值. 19．(本小题满分10分) 如图所示，直四棱柱的底面为梯形，．    (1)证明：平面； (2)若直四棱柱的体积为36，求二面角的正切值． 20．(本小题满分10分) 已知函数且是定义在上的偶函数，且. (1)求的解析式； (2)若函数在上的最小值是1，求的值. 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求的值； (2)已知复数，，求． 22．(本小题满分10分) 中国一汽集团准备生产两种类型的新能源小轿车，需要甲、乙两种新型材料．生产一辆A型车需要消耗甲材料1吨、乙材料2吨，用个工时，产品获利6万元；生产一辆B型车需要消耗甲材料2吨、乙材料2吨，用个工时，产品获利8万元．该集团旗下某生产车间现有甲材料吨，乙材料吨，在不超过个工时的条件下，怎么安排生产才能使利润最大？并求出最大利润． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $