2026届高考数学模拟卷（二）（新课标Ⅰ卷）

2026年高考数学模拟卷（二）（新课标I卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用地区：全国高考新课标Ⅰ卷地区：湖北、湖南、广东、山东、江苏、浙江、江西、河南、河北、安徽、福建。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·江苏南京·一模）设全集，集合，，则（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 2．（2026·河北邯郸·一模）已知复数的共轭复数为，若，则可能为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江台州·一模）已知向量与的夹角为，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（2026·福建厦门·二模）已知函数，若，则（   ） A．0 B． C．1 D． 5．（2026·浙江·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，满足，，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 6．（2026·山东青岛·一模）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 7．（2026·河南南阳·一模）已知椭圆与椭圆交于四点，且，的焦点与这四点在同一个圆上，则（    ） A．4 B．5 C． D． 8．（2026·湖北黄冈·二模）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（   ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·湖南·三模）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·广东江门·一模）在中，角的对边分别为，且，则（    ） A． B．当时， C．当时，面积的最大值为1 D．当为锐角三角形时，的取值范围是 11．（2026·湖北荆州·一模）已知函数，其中，则（    ） A．若函数有且仅有1个零点，则 B．若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C．不存在，使函数存在唯一的极值点 D．若对恒成立，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·江苏南京·一模）在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15．则估计出总样本的平均数为_____． 13．（2026·山东省四月调研）已知函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________． 14．（2026·湖北黄冈·二模）设分别是与的零点，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题（第十五题13分、第十六题15分、第十七题15分、第十八题17分、第十九点17分），共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·山东滨州·一模）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，且，证明数列为等比数列，并求． 16．（2026·江西南昌·一模）近年来，青少年近视问题备受关注.为了探究中学生手机使用习惯与近视之间是否存在关联，某研究小组在某中学随机抽取了200名学生进行问卷调查.调查项目包括平均每天使用手机的时间（分为“少于1小时”和“1小时及以上”两类）以及是否被医院诊断为近视（分为“是”和“否”两类）.调查结果汇总如下表： 使用手机时间 近视 不近视 总计 少于1小时 40 60 100 1小时及以上 65 35 100 总计 105 95 200 (1)从该校学生中任选1人，记“该人平均每天使用手机时间少于1小时”为事件，记“该人近视”为事件.根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断平均每天使用手机时间与近视是否有关联，简要说明理由； (2)利用列联表中的数据，计算卡方统计量（精确到0.001），并判断是否有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关. 附：公式，独立性检验临界值表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17．（2026·湖南·三模）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 18．（2026·湖北孝感·二模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； (3)已知的左顶点和右焦点，直线与直线相交于点．试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（2026·湖南常德·二模）已知函数（其中为自然对数的底数）． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)若有两个不同的实数解，且，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟卷（二）（新课标I卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用地区：全国高考新课标Ⅰ卷地区：湖北、湖南、广东、山东、江苏、浙江、江西、河南、河北、安徽、福建。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·江苏南京·一模）设全集，集合，，则（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【详解】因为，，， 所以，即. 2．（2026·河北邯郸·一模）已知复数的共轭复数为，若，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 则， 由，得，解得， 结合选项可知可能为． 3．（2025·浙江台州·一模）已知向量与的夹角为，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先根据已知求得，再利用运算. 【详解】，故，解得， 则. 故选：A 4．（2026·福建厦门·二模）已知函数，若，则（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据辅助角公式及条件，可得a值，根据诱导公式及特殊角的三角函数值，即可得答案. 【详解】由辅助角公式得， 因为，所以在处取得最大值， 则，解得， 则， 所以. 5．（2026·浙江·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，满足，，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得函数是以为周期的周期函数，然后分别求得的值，结合函数的周期性，代入计算，即可得到结果. 【详解】将中的替换为可得， 则， 用替换，即， 所以函数是以为周期的周期函数， 由，令，则， 且是定义在上的奇函数，则，所以， 令，则，且，则， 令，则，因为，所以， 所以， 则 . 6．（2026·山东青岛·一模）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 【答案】D 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算. 7．（2026·河南南阳·一模）已知椭圆与椭圆交于四点，且，的焦点与这四点在同一个圆上，则（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可. 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 所以椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为，即， 又两椭圆的交点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由， 代入椭圆： 中， 得化简可得： ，解得：， 又，故. 8．（2026·湖北黄冈·二模）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（   ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 【答案】A 【分析】三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，利用正弦定理可得的外接圆半径，再利用外接球性质可求出外接球半径，再利用表面积公式计算即可得A；取与中点、，利用面面平行性质定理可得平面平面，则可得B；取靠近点的四等分点，利用线面垂直判定定理可得平面，则可得动点的轨迹为线段，计算出即可得C；由对称性，可假设平面，利用线面垂直性质定理与勾股定理可得，即可得在平面内轨迹，同理可得点所有轨迹，即可得D. 【详解】对于A：由四边形为正方形， 故三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球， 设三棱锥的外接球半径为R，的外接圆半径为， ， 故， 又，则， 故，，因为平面， 故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上， 则，即， 故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确， 对于B：取与中点、，连接、、， 由正方体性质可得，， 又平面，平面，故平面， 平面，平面，故平面， 又，、平面，故平面平面， 由平面，则点的轨迹是除去点，故B错误； 对于C：取靠近点的四等分点，连接， 由正方体性质可得平面，又平面，故， 由，，故与相似， 则，故 ， 故，又，、平面， 故平面，又平面，故动点的轨迹为线段， ，故C错误； 对D：若平面，因为平面，平面， 故，由，则， 即点的轨迹为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 同理可得，点也可为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 点也可为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 故其轨迹长度为，故D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·湖南·三模）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由对数函数的性质判断A，C；由基本不等式判断B；由判断D． 【详解】由于，则，，所以A，C正确； ，由A可知，所以此处等号不能取，所以，故B正确； ，D错误． 10．（2026·广东江门·一模）在中，角的对边分别为，且，则（    ） A． B．当时， C．当时，面积的最大值为1 D．当为锐角三角形时，的取值范围是 【答案】AD 【分析】对于选项A，通过正弦定理将角化为边的关系，结合余弦定理即可；对于选项B，将代入余弦定理可得，再次通过余弦定理即可求出；对于选项C，利用三角形面积公式结合基本不等式即可；对于选项D，通过正弦定理将表示为关于的三角函数，结合三角函数的性质即可求解； 【详解】对于A选项，由正弦定理，，是的外接圆的半径， 代入条件得，由余弦定理，， 又，故，故A正确； 对于B选项，将代入，得， 由余弦定理，，故，B错误； 对于C选项，若，由基本不等式可得 的面积， 当且仅当时取等号，故面积的最大值为，C错误； 对于D选项，由， 得， 由，得，又为锐角三角形，所以， 所以，所以，故.D正确. 11．（2026·湖北荆州·一模）已知函数，其中，则（    ） A．若函数有且仅有1个零点，则 B．若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C．不存在，使函数存在唯一的极值点 D．若对恒成立，则 【答案】ABD 【分析】利用参变分离的思想，结合函数图象进行求解 【详解】对于A，显然0不是函数的零点，当时，令，变形为， 令，，则， 令得或，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，作出的图象，如下： 直线与其仅有一个公共点，则； 对于B，，令， 函数有且仅有2个极值点，故有2个变号零点， 令得，显然0不是函数的零点， 当时，变形为，令， 则，令得，令得或， 故在上单调递减，在上单调递增， ，作出的图象，如下： 直线与其交于两点，则，故，B正确； 对于C，结合B的分析，显然当时，有且仅有一个变号零点， 函数存在唯一的极值点，C错误； 对于D，，即，当时，满足要求， 当时，，变形为， 令，结合A的分析，当x＞0时，，故，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·江苏南京·一模）在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15．则估计出总样本的平均数为_____． 【答案】164 【分析】运用总体样本均值公式进行求解即可. 【详解】总样本的平均数为； 故答案为：164. 13．（2026·山东省四月调研）已知函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________． 【答案】 【详解】如图： ①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，由图可得，又面积为，所以.设函数的最小正周期为T，则. 由题意得，解得， 即，又，解得. 14．（2026·湖北黄冈·二模）设分别是与的零点，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据函数零点的定义，运用转化法、同底的指数函数和对数函数互为反函数的性质，结合对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，因为函数是实数集上的增函数， 所以函数是实数集上的增函数， 因为是的唯一零点， 所以， 即是指数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标. 当时，因为是的零点， 所以， 设， 当时，因为函数是正实数集上的增函数， 所以是正实数集上的增函数， 即是指数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标， 显然函数与函数的图象关于直线对称，如下图所示： 显然，由数形结合思想可知：， 的中点在上， 所以， ，设 ， 由对勾函数的单调性可知该函数在时，单调递减， 即， 所以的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题（第十五题13分、第十六题15分、第十七题15分、第十八题17分、第十九点17分），共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·山东滨州·一模）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，且，证明数列为等比数列，并求． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）由结合等比数列的定义并验证首项即可求解. （2）迭代原式并相减后得到，使用累加法结合等比数列的前项和即可求解. 【详解】（1）由题意得，则， 则，整理得， ，解得， ，解得，故， 所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列， 则. （2）因为，迭代得， 两式相减得，即， 令，则， 当时，（常数），且， 故是以4为首项，3为公比的等比数列， 取，共7个奇数，可得 ， ， ， 将以上各式相加，可得， 易得是以4为首项，为公比的等比数列的前7项和， 则有，其中， 则. 16．（2026·江西南昌·一模）近年来，青少年近视问题备受关注.为了探究中学生手机使用习惯与近视之间是否存在关联，某研究小组在某中学随机抽取了200名学生进行问卷调查.调查项目包括平均每天使用手机的时间（分为“少于1小时”和“1小时及以上”两类）以及是否被医院诊断为近视（分为“是”和“否”两类）.调查结果汇总如下表： 使用手机时间 近视 不近视 总计 少于1小时 40 60 100 1小时及以上 65 35 100 总计 105 95 200 (1)从该校学生中任选1人，记“该人平均每天使用手机时间少于1小时”为事件，记“该人近视”为事件.根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断平均每天使用手机时间与近视是否有关联，简要说明理由； (2)利用列联表中的数据，计算卡方统计量（精确到0.001），并判断是否有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关. 附：公式，独立性检验临界值表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，，有关联，理由见解析 (2)12.531，有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关. 【分析】（1）根据表中数据，即可得和的值，并根据其数值大小，分析可得是否有关. （2）根据数据，求出的值，分析比较，即可得答案. 【详解】（1）在（平均每天使用手机时间1小时以下）条件下，近视的频率为， 用频率估计概率，得， 在（平均每天使用手机时间1小时及以上）条件下，近视的频率为， 用频率估计概率，得， 使用手机时间少于1小时的学生近视概率约为0.4，而使用手机时间1小时及以上的学生近视概率约为0.65，两者有较大差异. 因此直观判断，平均每天使用手机时间与近视有关联，使用手机时间越长，近视的概率越高. （2）由题意，，，，， 则， 由于，所以有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关. 17．（2026·湖南·三模）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，证明为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求出； （2）法一：先根据体积求出点到平面的距离，再建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，代入公式即可求出最大值； 法二：先根据体积求出点到平面的距离，延长和交于点，过作于，找到为平面与平面的夹角，再根据三角形面积相等得，同时结合即可求出. 【详解】（1）取的中点，连接，， ，分别是和的中点，与平行且xd； 和都垂直于平面，且，与平行且相等， 与平行且相等，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面． （2）设到平面的距离为， 则，故． 法一：由于垂直于平面，建立如图空间直角坐标系， ，， ，，，， 设，则， ，， 设平面的法向量为，则由得 取，得，，因此平面的一个法向量． 由于垂直于平面，因此是平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， ∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 法二：延长和交于点，过作于， 平面，，又,，且两直线在平面内， 平面，， 为平面与平面的夹角， 由，得， 而，所以，当且仅当时等号成立； ，， ∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 18．（2026·湖北孝感·二模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； (3)已知的左顶点和右焦点，直线与直线相交于点．试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在 【分析】（1）由渐近线倾斜角得到，再把点代入，建立方程求解； （2）设出点M的坐标为，，利用点到直线距离公式得到点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值； （3）先考虑时，再考虑，当M在x轴上方时，设出点的坐标，表达出，结合正切二倍角公式得到，故，当M在x轴下方时，同理可得结论. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得， 又由点在双曲线上，有， 代入，有，可得，， 故双曲线的标准方程为； （2）设点的坐标为，则，即． 双曲线的两条渐近线，的方程分别为，， 则点到两条渐近线的距离分别为，， 则． 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值． （3）存在． ①当时，，又是的中点， 所以，所以，此时． ②当时． ⅰ）当在轴上方时，由，，可得， 所以直线的方程为， 把代入得． 所以，则． 由二倍角公式可得． 因为直线的斜率及， 所以，则． 因为，， 所以． ⅱ）当在轴下方时，同理可得． 故存在，使得． 19．（2026·湖南常德·二模）已知函数（其中为自然对数的底数）． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)若有两个不同的实数解，且，求证：． 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导函数的正负性判断其单调性； （2）令，研究其单调性，求端点处的函数即可； （3）先求出，令得出，结合（2）可知，将问题转化为求证，最后构造函数求其范围即可. 【详解】（1）由得， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以当时，当时， 故的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）令， 则， 因为与的单调性一致，故在上单调递增， 因为，所以使得， 则当时，当时， 则在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以当时，， 故当时，； （3）由（1）知，的单调递减区间是，单调递增区间是， 因为，所以， 因为，所以， 令，得， 由（2）可知，时，，故， 欲证，只需证， 即证， 因为，故只需证， 令， 则， 因为在上单调递增，且，所以在上恒成立， 则在上单调递减，则， 则，故命题得证. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $