专题01 充分条件 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题01 充分条件 一、知识梳理 （1）命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． （2）充分条件 一般地，若命题“如果p，那么q ”是真命题，即由p可以推出q，则称p是q的充分条件，记作p⇒q． 若命题“如果p，那么q”是假命题，即由p不能推出q，则称p不是q的充分条件，记作p⇏q ． 注意：若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则：若A⊆B，则p是q的充分条件。 二、题型精练 题型1 命题 【典例1】．判断下面哪句诗是命题（    ） A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 【典例2】．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例3】．请将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假. (1)一元二次方程有两个实数根; (2)负数的立方是负数; (3)对顶角相等. 题型2 充分条件 【典例1】．下列选项中，p是q的充分条件的是（    ） A． B． C． D．是实数，是有理数 【典例2】．对于结论“”成立的充分条件，以下说法错误的是（   ） A． B．集合N中的元素都是集合M的元素 C．集合M中的元素是集合N的元素 D． 【典例3】．指出下列命题的条件和结论，并判断是否为的充分条件. (1)如果，那么； (2)如果，那么. 【典例4】．设p：，q：，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 三、知识检测 1．命题“如果，那么”的条件p和结论q分别是（    ） A．p：，q： B．p：，q： C．p：x 是实数，q： D．p：，q：x 是实数 2．使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．下列三个命题中真命题的个数是（    ） （1）集合的非空真子集个数为3； （2）若全集U为小于6的自然数，集合，则； （3）若，，则条件p是结论q成立的充分条件. A．0 B．1 C．2 D．3 4．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．下列选项中，是“”的充分条件的是（   ） A． B． C． D． 6．若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．的一个充分条件为（       ） A．或 B．或 C．且 D．且 8．使不等式成立的充分条件为（    ） A． B． C． D． 9．下列命题中，是的充分条件的是________． ① ：，：； ② ：两个三角形面积相等，：两个三角形全等； ：，：方程无实根． 10．若 p：“两个三角形全等”，q：“两个三角形面积相等”，则p是q的_____________条件. 11．写出一个的充分条件 _______． 12．已知：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围为__________. 13．已知集合，集合，是的充分条件，则实数的取值范围是________________． 14．已知有三个条件：①；②；③，中能成为的充分条件的是_____填序号 15．指出下列命题的条件和结论，并判断是否为的充分条件. (1)如果一个三角形是等腰三角形，那么其底边上的中线垂直于底边并且平分顶角； (2)如果，那么或； (3)如果且，时，那么，. 16．已知二次函数（m为实数），判断“”是不是“在区间上单调递增”的充分条件，并说明理由. 17．已知集合，且，若是的充分条件，求实数的取值范围. 18．已知命题：，命题：，且是的充分条件，求实数的取值范围． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 充分条件 一、知识梳理 （1）命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． （2）充分条件 一般地，若命题“如果p，那么q ”是真命题，即由p可以推出q，则称p是q的充分条件，记作p⇒q． 若命题“如果p，那么q”是假命题，即由p不能推出q，则称p不是q的充分条件，记作p⇏q ． 注意：若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则：若A⊆B，则p是q的充分条件。 二、题型精练 题型1 命题 【典例1】．判断下面哪句诗是命题（    ） A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 【答案】A 【分析】根据命题的概念分析即可. 【详解】A是陈述句，是命题， B是疑问句，不是命题， C是祈使句，不是命题， D是感叹句，不是命题， 故选：A． 【典例2】．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】结合条件不等式，利用作差法比较大小即可. 【详解】若，则，即； ，即； ，即，故AC错，B对； 若，则，故D错. 故选：B. 【典例3】．请将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假. (1)一元二次方程有两个实数根; (2)负数的立方是负数; (3)对顶角相等. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）根据命题的概念改写并判断即可. 【详解】（1）由一元二次方程有两个实数根， 可得，若该方程是一元二次方程，则该方程有两个实数根，为假命题. （2）由负数的立方是负数， 可得，若一个数是负数，则这个数的立方也是负数，为真命题. （3）由对顶角相等， 可得，若两个角是对顶角，则它们相等，为真命题. 题型2 充分条件 【典例1】．下列选项中，p是q的充分条件的是（    ） A． B． C． D．是实数，是有理数 【答案】A 【分析】本题考查充分条件的定义（为真），逐项判断即可． 【详解】对于选项，因此p是q的充分条件； 对于选项不一定推出（如），故不符合题意； 对于选项 或，不一定推出，故不符合题意； 对于选项D：实数包括有理数和无理数（如是实数但不是有理数），即是实数 是有理数，故不符合题意； 故选：A． 【典例2】．对于结论“”成立的充分条件，以下说法错误的是（   ） A． B．集合N中的元素都是集合M的元素 C．集合M中的元素是集合N的元素 D． 【答案】B 【分析】根据子集及充分条件的概念判断即可. 【详解】对于A，若，则，故是的充分条件； 对于B，若集合N中的元素都是集合M的元素，则， 如，此时不能推出， 故“集合N中的元素都是集合M的元素”不是的充分条件； 对于C，若集合M中的元素是集合N的元素，则， 故“集合M中的元素是集合N的元素”是的充分条件； 对于D，若，则， 故是的充分条件. 故选：B. 【典例3】．指出下列命题的条件和结论，并判断是否为的充分条件. (1)如果，那么； (2)如果，那么. 【答案】(1)条件：；结论：；是的充分条件 (2)条件：；结论：；不是的充分条件 【分析】根据找出条件和结论，再根据命题真假与充分条件的关系判断即可. 【详解】（1）条件：；结论：. 因为，所以，， 即， 所以此命题是真命题，是的充分条件. （2）条件：；结论：. 因为当时，或， 所以此命题是假命题，不是的充分条件. 【典例4】．设p：，q：，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】根据充分条件的定义即可求解. 【详解】由题意得，p：，即. q：， 即.因为p是q的充分条件，所以.解得. 所以实数a的取值范围. 三、知识检测 1．命题“如果，那么”的条件p和结论q分别是（    ） A．p：，q： B．p：，q： C．p：x 是实数，q： D．p：，q：x 是实数 【答案】A 【分析】由命题的结构判断即可. 【详解】命题的结构为“如果条件p，那么结论q”， 因此“”是条件p，“”是结论q. 故选：A． 2．使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用充分条件与集合的关系，分析判断各选项即可得解. 【详解】根据据充分条件与集合的关系， 使成立的充分条件是集合的一个子集， 经检验，只有B选项满足要求. 故选：B. 3．下列三个命题中真命题的个数是（    ） （1）集合的非空真子集个数为3； （2）若全集U为小于6的自然数，集合，则； （3）若，，则条件p是结论q成立的充分条件. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据集合的相关知识以及充分必要条件的判断求解即可. 【详解】对于（1），可知集合有两个元素， 其非空真子集有个，所以错误； 对于（2），因为全集，又因为， 可得，所以错误； 对于（3），当时，，则，得，故充分性成立； 当时，取，则，故必要性不成立. 所以条件是结论成立的充分条件，故正确. 所以真命题的个数为1个. 故选：B. 4．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式，再由充分条件的性质求解即可. 【详解】当时，不等式的解集为空集，不符合题意， 当时，不等式，解得， 因为不等式的一个充分条件为， 则是的子集， 故. 故选：C. 5．下列选项中，是“”的充分条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分性的定义逐项判断即可得解. 【详解】，推不出，不具有充分性，故错误； ，推不出，不具有充分性，故错误； ，推不出，不具有充分性，故错误； ，可以推出，具有充分性，故正确， 故选：. 6．若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解绝对值不等式得到，再利用充分条件与集合的关系得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】对于，显然，则，即， 因为不等式成立的充分条件是， 所以， 则，解得，即. 故选：A. 7．的一个充分条件为（       ） A．或 B．或 C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，结合对各选项赋值即可求解. 【详解】对A，B，令或，则得不到，故AB错误； 对C，令，则得不到，故C错误. 对D，且，由同向不等式相加的性质知，，故D正确． 故选：D. 8．使不等式成立的充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的单调性和充分条件判断即可. 【详解】由可得，， ，且，时，不等式不成立， 故且， 可设为指数函数， 当时， 所以函数单调递增，则， 所以或， 故是不等式成立的充分条件. 故选：C. 9．下列命题中，是的充分条件的是________． ① ：，：； ② ：两个三角形面积相等，：两个三角形全等； ③ ：，：方程无实根． 【答案】 【分析】根据充分条件的概念求解即可. 【详解】∵， ∴或，不能推出. ∴不是的充分条件． ∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴不是的充分条件． ∵，∴，即， ∴方程无实根，∴是的充分条件． 故答案为： 10．若 p：“两个三角形全等”，q：“两个三角形面积相等”，则p是q的_____________条件. 【答案】充分 【分析】根据充分条件的定义判断. 【详解】全等三角形的面积一定相等（，充分性成立）， 但面积相等的三角形不一定全等（如等底等高的两个三角形，必要性不成立）， 故是的充分条件. 故答案为：充分 11．写出一个的充分条件 _______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用分式运算求得的等价条件，再根据充分条件的概念写出一个满足条件的即可. 【详解】等价于， 即，则，解得， 的一个充分条件是， 故答案为：（答案不唯一）． 12．已知：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】利用充分条件与集合的关系得到，从而得解. 【详解】因为是的充分条件，所以， 即，所以， 则实数的取值范围为. 故答案为：. 13．已知集合，集合，是的充分条件，则实数的取值范围是________________． 【答案】 【分析】根据充分条件的概念，可得，即可求解. 【详解】集合，集合， 因为是的充分条件，所以， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 14．已知有三个条件：①；②；③，中能成为的充分条件的是_____填序号 【答案】① 【分析】根据充分条件的判定一一分析即可. 【详解】①由可知，即， 故“”是“”的充分条件； ②当时， ； ③当，时，满足，有 ； 故②、③不是的充分条件.所以能成为“”的充分条件的只有①， 故答案为：①. 15．指出下列命题的条件和结论，并判断是否为的充分条件. (1)如果一个三角形是等腰三角形，那么其底边上的中线垂直于底边并且平分顶角； (2)如果，那么或； (3)如果且，时，那么，. 【答案】(1)条件：一个三角形是等腰三角形；结论：其底边上的中线垂直于底边并且平分顶角；是的充分条件 (2)条件：；结论：或；是的充分条件 (3)条件：且，；结论：，；不是的充分条件 【分析】根据充分必要条件的判定判断即可. 【详解】（1）条件：一个三角形是等腰三角形； 结论：其底边上的中线垂直于底边并且平分顶角. ∵等腰三角形底边上的中线垂直于底边并且平分顶角， ∴此命题是真命题，是的充分条件. （2）条件：；结论：或. ∵可转化为，即或， ∴此命题是真命题，是的充分条件. （3）条件：且，；结论：，. ∵因为，，，所以可有等无数组情况，不一定只有， ∴此命题是假命题，不是的充分条件. 16．已知二次函数（m为实数），判断“”是不是“在区间上单调递增”的充分条件，并说明理由. 【答案】是，理由见解析 【分析】先求解函数的对称轴，再根据函数的单调递增区间可求解m的取值范围，再根据充分性的性质判断即可. 【详解】“”是“在区间上单调递增”的充分条件，理由如下： 的对称轴为：， 由于开口向上，其单调递增区间为， 要是在区间上单调递增， 则，解得， ∴可推出，即可以推出在区间上单调递增， 故“”是“在区间上单调递增”的充分条件. 17．已知集合，且，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】利用充分条件结合集合的范围求参数范围. 【详解】集合，且， 由是的充分条件知，， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 18．已知命题：，命题：，且是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】根据充分条件列出不等式组进而求解. 【详解】∵是的充分条件， ∴， ∴解得， ∴实数的取值范围是． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $