专题03 充要条件 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题03 充要条件 一、知识梳理 （1）充要条件 一般地，若命题“如果p, 那么q”是真命题，其逆命题“如果q， 那么p”也是真命题， 即p⇒q且p⇐q，则称p是q的充分且必要条件，简称充要条件，也称p与q等价，记为p⇔q ． （2）充分条件、必要条件与充要条件的总结 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 注意：若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； (5)若A⫌B，则p是q的必要不充分条件； 二、题型精练 题型1 充要条件 【典例1】．已知，则“”是“”的什么条件（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】．充分必要条件是（    ） A．或 B．且 C． D． 【典例3】．求方程至少有一个负实根的充要条件． 题型2 充分不必要条件 【典例1】．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型3 必要不充分条件 【典例1】．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型4 既不充分也不必要条件 【典例1】．“”是“在上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】．已知命题；命题，问p是q的_______条件. 三、知识检测 1．函数是偶函数的充要条件是（     ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．的充分必要条件是（    ） A． B． C．且 D．或 4．“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 6．是的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．“不等式在上恒成立”的充要条件是（   ） A． B． C． D． 8．一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件为（    ） A． B． C． D． 9．用充分条件、必要条件或充要条件填空： （1）是的________； （2）是的_______； （3）若则且是的______； 10． 已知a，b，c，d为实数，且，则“”是“”的__________条件． 11． 已知命题：一元二次方程有实数根，命题：，则是的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 12． “”是“”的__________条件． 13． 角终边在第二象限是的______________条件． 14．判断下列各题中的是的什么条件． (1)：为整数，：为整数； (2)：两条直线相交，：这两条直线仅有一个公共点； (3)：函数是单调递增函数，：； (4)：，：． 14． 已知，是否存在实数m，使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 15． 已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求的取值范围； 17．设函数的定义域为，集合，记. (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 充要条件 一、知识梳理 （1）充要条件 一般地，若命题“如果p, 那么q”是真命题，其逆命题“如果q， 那么p”也是真命题， 即p⇒q且p⇐q，则称p是q的充分且必要条件，简称充要条件，也称p与q等价，记为p⇔q ． （2）充分条件、必要条件与充要条件的总结 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 注意：若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； (5)若A⫌B，则p是q的必要不充分条件； 二、题型精练 题型1 充要条件 【典例1】．已知，则“”是“”的什么条件（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据三角形函数的诱导公式进行化简，再根据充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】根据诱导公式，. 所以，“”可以推出“”. “”也可以推出“”. 故已知，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 【典例2】．充分必要条件是（    ） A．或 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】利用充要条件的等价性即可得解. 【详解】因为等价于， 等价于，等价于或， 所以充分必要条件是或. 故选：A. 【典例3】．求方程至少有一个负实根的充要条件． 【答案】 【分析】根据方程根的情况，分类讨论即可得解. 【详解】①当时，可得，符合题意； ②当时，方程为一元二次方程，易知方程的根不为零， 若方程有一个负实根，一个正实根， 则，解得， 若方程有两个负的实数，则必须满足，解得， 综上，该方程至少有一个负实根的充要条件是a的取值范围为． 题型2 充分不必要条件 【典例1】．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的概念，即可得解. 【详解】由得或， 所以“”“”， “”“”， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 题型3 必要不充分条件 【典例1】．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解一元二次不等式，再根据必要不充分条件的定义判断即可. 【详解】由得或 因此“”“或”， “或” “”， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 【典例2】．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】当时，取，此时，即充分性不成立； 当时，必有，即必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 题型4 既不充分也不必要条件 【典例1】．“”是“在上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据一次函数的单调性及充分条件必要条件的概念即可判断． 【详解】∵“”“在上是减函数”，且“”“在上是减函数”， ∴“”是“在上是减函数”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 【典例2】．已知命题；命题，问p是q的_______条件. 【答案】既不充分也不必要 【分析】根据充分性与必要性的定义，结合诱导公式即可得解. 【详解】当时，此时无意义，故充分性不成立； 当时，与不一定相等， 例如，此时，故必要性不成立； 所以p是q的既不充分也不必要条件， 故答案为：既不充分也不必要. 三、知识检测 1．函数是偶函数的充要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质易得答案. 【详解】因为函数是偶函数， 所以充要条件是， 所以. 故选：A. 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式和充要条件的判定即可解得. 【详解】不等式可化为， 解得，即充分性成立； 由也可以推出，必要性成立， 所以“”是“”的充要条件． 故选：C． 3．的充分必要条件是（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】D 【分析】利用充要条件的判定方法可解 【详解】，即或， 反之，若则，若则； 故的充分必要条件是或； 故选：D. 4．“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线与圆相切的定义判断即可. 【详解】由直线与圆相切的定义可知，“圆心到直线的距离等于圆的半径”可得“直线与圆相切”，故充分性成立， 由“直线与圆相切”可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立， 所以“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件. 故选：C. 5．“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充要条件的知识即可得解. 【详解】因为， 所以“”的充要条件是. 故选：C. 6．是的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求出绝对值不等式的解集，再根据充要条件进行判断即可. 【详解】由解得或， 所以是或的充分不必要条件. 故选：A. 7．“不等式在上恒成立”的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式恒成立的问题，结合充要条件的概念即可求解. 【详解】因为“不等式在R上恒成立”，则，解得. 又，则. 所以“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件. 故选：A． 8．一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合必要不充分的定义与一次函数的图像与性质即可解得. 【详解】解：一次函数的图象过一、三、四象限， 则且，即且． 因为且或且. 所以是一次函数的图象过一、三、四象限的必要不充分条件. 故选：B 9．用充分条件、必要条件或充要条件填空： （1）是的________； （2）是的_______； （3）若则且是的______； 【答案】 充分条件 充分条件 充要条件 【分析】根据充分条件，必要条件的概念填空即可. 【详解】若，则，“”能推出“”， 若，则或，“”不能推出“”. 所以是的充分条件. 若，则，所以“”能推出“ ”， 若，则或， 所以“ ”不能推出“”， 所以是的充分条件. 若且，则，“且”能推出“”， 若，则且，“”能推出“且”. 所以且是的充要条件. 故答案为：充分条件，充分条件，充要条件. 10．已知a，b，c，d为实数，且，则“”是“”的__________条件． 【答案】既不充分也不必要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】若，满足“”，则. 故 . 若，满足，则“”. 故 . 故，“”是“”的既不充分也不必要条件． 故答案为：既不充分也不必要. 11．已知命题：一元二次方程有实数根，命题：，则是的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充要 【分析】结合一元二次方程的根与系数的关系和充要条件的定义即可求解. 【详解】∵一元二次方程有实数根. ∴是的充要条件． 故答案为：充要 12． “”是“”的__________条件． 【答案】必要不充分 【分析】利用充分条件与必要条件的定义即可求解. 【详解】若，则或，，充分性不成立； 若，则，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 13．角终边在第二象限是的______________条件． 【答案】充分不必要 【分析】根据充分不必要的条件判断即可. 【详解】因为角终边在第二象限， 可得，， 可推出，故充分性成立， 反过来时，，或，， 此时角终边在第二象限或第四象限，，故必要性不成立， 则角终边在第二象限是的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要. 14．判断下列各题中的是的什么条件． (1)：为整数，：为整数； (2)：两条直线相交，：这两条直线仅有一个公共点； (3)：函数是单调递增函数，：； (4)：，：． 【答案】(1)充分不必要条件 (2)充要条件 (3)既不充分也不必要条件． (4)是的必要不充分条件． 【分析】根据充分必要条件的判定即可求解. 【详解】（1）由为整数为整数，由为整数为整数，如时，，是分数，∴是的充分不必要条件． （2）两条直线相交这两条直线仅有一个公共点，这两条直线仅有一个公共点两条直线相交，∴是的充要条件． （3）函数是单调递增函数，， ∴是的既不充分也不必要条件． （4）．，，∴是的必要不充分条件． 15．已知，是否存在实数m，使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】不存在，理由见解析 【分析】根据充要条件的定义求解. 【详解】不存在. ∵， ∴若p是q的充要条件，则， 解得且，故此方程组无解. 所以，不存在实数m，使p是q的充要条件． 16．已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求的取值范围； 【答案】 【分析】先解一元二次不等式，再根据是的充分不必要条件知道集合的包含关系易得答案. 【详解】令，， ∵是的充分不必要条件， ∴ ，∴， 解得． 17．设函数的定义域为，集合，记. (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分别求解集合，建议补集和交集运算可得答案； （2）利用必要不充分条件得出集合间的关系，利用限制条件可得答案. 【详解】（1）解得，所以， 因为，所以， 当时，或， 所以或. （2）是的必要不充分条件，则是的真子集， 从而， 解得， 即实数的取值范围是. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $