专题02 必要条件 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题02 必要条件 一、知识梳理 （1）逆命题 将命题“如果p，那么q”中的条件p和结论q互换，变成“如果q，那么p”，称这个命题为原命题的逆命题． （2）必要条件 一般地，若命题“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那么p”是真命题，则称p是q的必要条件，记作p⇐q． 若命题“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那么p”是假命题，则称p不是q的必要条件，记作p⇍q ． 注意：若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则：若A⊇B，则p是q的必要条件。 二、题型精练 题型1 必要条件 【典例1】．下列选项中，是的必要条件的是（    ） A． B． C．四边形是正方形，四边形是矩形 D． 【典例2】．下列选项中，是“”的必要条件的是（   ） A． B． C． D．” 【典例3】．用必要条件的语言表述下面的性质： (1)若，则； (2)正方形的对角线互相垂直且相等； (3)两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等． 【典例4】．判断下列命题中的条件是否为结论的必要条件． (1)如果，那么； (2)如果，那么函数的值随值的增大而增大； (3)如果，那么． 【典例5】．已知条件，条件，且是的必要条件，求的取值集合. 三、知识检测 1．下列选项中，p是q的必要条件的是（    ） A．p：，q： B．p：x是偶数，q：x是整数 C．p：，q： D．p：x是无理数，q：x是实数 2．是的（     ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．都不是 3．对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是（    ）. A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 4．对任意实数，，，在下列命题中，真命题是（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 5．下列三个命题中真命题的个数是（    ） （1）若集合，则；（2）若全集，且，则（3）若，则条件p是结论q成立的必要条件 A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知，且q是p的必要条件，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 7．若a，b都是实数，试从①；②；③中分别选出适合下列条件者，用序号填空． （ⅰ）a，b都为0的必要条件是________； （ⅱ）使a，b都不为0的充分条件是________． 8． 已知条件，条件，且是的必要条件，则的取值集合是______． 9． “”是“”的_____条件（填“充分”或“必要”）． 10． 已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为______. 11． 下列不等式：①x<1；②0<x<1；③-1<x<0；④-1<x<1.其中，可以是<1的一个充分条件的所有序号为_______，可以是<1的一个必要条件的所有序号为_______. 12．已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是__________． 13．下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等. (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例. (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形. (4)若，则 (5)若为无理数，则x，y为无理数 14．设集合，集合，其中． (1)若，全集U=R，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 15．判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：，q：． (2)p：，q：． (3)p：是无理数，q：是无理数． 16． 设集合，集合．若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围. 17．已知函数且的图象过点，. (1)求的值； (2)记在区间上的值域分别为集合，若是的必要条件，求实数的取值范围. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 必要条件 一、知识梳理 （1）逆命题 将命题“如果p，那么q”中的条件p和结论q互换，变成“如果q，那么p”，称这个命题为原命题的逆命题． （2）必要条件 一般地，若命题“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那么p”是真命题，则称p是q的必要条件，记作p⇐q． 若命题“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那么p”是假命题，则称p不是q的必要条件，记作p⇍q ． 注意：若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则：若A⊇B，则p是q的必要条件。 二、题型精练 题型1 必要条件 【典例1】．下列选项中，是的必要条件的是（    ） A． B． C．四边形是正方形，四边形是矩形 D． 【答案】D 【分析】根据必要条件的定义进行判断. 【详解】选项 A：若，则或，无法推出，即，故不是. 选项 B：若则，不能推出，即，故不是. 选项 C：若四边形是矩形，不一定是正方形（矩形只需四个角为直角，正方形需四边相等），即，故不是. 选项 D：若，则（代入得），即，故是的必要条件. 故选：D 【典例2】．下列选项中，是“”的必要条件的是（   ） A． B． C． D．” 【答案】D 【分析】根据必要条件的概念，依次判断，即可求解. 【详解】必要条件指当原命题成立时，该条件必定成立。 即若，则该条件必须满足， 对于A：因为，所以不成立，故A选项错误； 对于B：因为，所以，故B选项错误； 对于C：因为，所以不成立，故C选项错误； 对于D：因为，所以，故D选项正确. 故选：D. 【典例3】．用必要条件的语言表述下面的性质： (1)若，则； (2)正方形的对角线互相垂直且相等； (3)两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等． 【答案】(1)详见解析； (2)详见解析； (3)详见解析. 【分析】利用必要条件的定义求解. 【详解】（1）解：是的必要条件； （2）四边形的对角线互相垂直且相等是该四边形为正方形的必要条件； （3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等是两条直线平行的必要条件. 【典例4】．判断下列命题中的条件是否为结论的必要条件． (1)如果，那么； (2)如果，那么函数的值随值的增大而增大； (3)如果，那么． 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可 【详解】（1）∵“如果，那么”的逆命题“如果，那么”是真命题， ∴“”是“”的必要条件． （2）∵“如果，那么函数的值随值的增大而增大”的逆命题“ 如果函数的值随值的增大而增大，那么”是真命题， ∴“”是“函数的值随值的增大而增大”的必要条件． （3）∵“如果，那么”的逆命题 “如果，那么”是假命题， ∴“”不是“”的必要条件. 【典例5】．已知条件，条件，且是的必要条件，求的取值集合. 【答案】. 【分析】设出集合，根据题意得出，分类讨论是空集和不是空集的情况即可得解. 【详解】设条件，条件， 因为是的必要条件，所以， 所以或或， 当时，，满足题意； 当时，若，则，解得； 若，则，解得； 综上可得，的取值集合是. 三、知识检测 1．下列选项中，p是q的必要条件的是（    ） A．p：，q： B．p：x是偶数，q：x是整数 C．p：，q： D．p：x是无理数，q：x是实数 【答案】A 【分析】根据必要条件的概念求解即可. 【详解】选项A：由可得，但不一定可得，如，p是q的必要条件； 选项B：x是偶数可以得到x是整数，但x是整数不一定可以得到x是偶数，如，p不是q的必要条件； 选项C：可以得到或，故推不出，故p不是q的必要条件； 选项D：x是无理数可以得到x是实数，但x是实数不一定得到x是无理数，如，p不是q的必要条件. 故选：A. 2．是的（     ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．都不是 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】因为推不出，所以不是的充分条件， 又因为可以推出，所以是的必要条件. 故选：B. 3．对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是（    ）. A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】B 【分析】利用必要条件、充分条件与充要条件的判断方法求解. 【详解】A：当时，取，则不成立，即必要性不成立， 所以“”不是“”的必要条件，故A错误； B：当时，必有，即必要性成立， 所以“”是“”的必要条件，故B正确； C：当时，取，，则不成立，即充分性不成立； 所以“”不是“”的充分条件，故C错误； D：当时，取，则不成立，，即充分性不成立； 所以“”不是“”的充分条件，故D错误. 故选：B. 4．对任意实数，，，在下列命题中，真命题是（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】B 【分析】根据充分条件以及必要条件的定义，一一判断各选项中两条件之间的推理关系，即可判断出答案. 【详解】对于A，若，则由，“”不是“”的必要条件，A错． 对于B，，“”是“”的必要条件，B对， 对于C，若，则由，推不出，“”不是“”的充分条件 对于D，当时，，即成立，此时不一定有成立， 故“”不是“”的充分条件，D错误， 故选：B． 5．下列三个命题中真命题的个数是（    ） （1）若集合，则；（2）若全集，且，则（3）若，则条件p是结论q成立的必要条件 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系、全集与补集的概念以及充分条件与必要条件的定义，及可求解. 【详解】对于（1）：“3”为元素，应使用“”符号所以（1）为假命题； 对于（2）：全集，， 则，所以（2）为真命题； 对于（3）：因为，， 所以，即p是q成立的充分条件而非必要条件，所以（3）为假命题. 综上所述三个命题中真命题的个数是1个. 故选：B. 6．已知，且q是p的必要条件，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据题意，结合必要性的概念，即可求解。 【详解】因为q是p的必要条件，所以，解得. 所以实数a的取值范围为. 故选：B. 7．若a，b都是实数，试从①；②；③中分别选出适合下列条件者，用序号填空． （ⅰ）a，b都为0的必要条件是________； （ⅱ）使a，b都不为0的充分条件是________． 【答案】 ①② ③ 【分析】①即为或，即a，b中至少有一个为0；②，即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由知a与b同号，即a，b都不为0.再根据充分条件和必要条件的定义即可作答 【详解】①即为或，即a，b中至少有一个为0； ②，即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负； ③由知a与b同号，即a，b都不为0. 综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出“a，b都不为0”， 所以a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充分条件是③. 故答案为：①②；③ 8．已知条件，条件，且是的必要条件，则的取值集合是______． 【答案】. 【分析】由，解得，对分类讨论，利用是的必要条件，可得的值． 【详解】由，解得或， 所以即集合， 由，可得， 因为是的必要条件，所以， 即或， 解得或． 则的取值集合是， 故答案为：. 9．“”是“”的_____条件（填“充分”或“必要”）． 【答案】必要 【分析】由充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】的解是；的解是． 由不能推出，由能推出， 所以“”是“”的必要条件． 故答案为：必要. 10．已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】若是的必要条件，则，根据集合间的关系进行求解. 【详解】是的必要条件，， ，解得，即的取值范围为， 故答案为：. 11．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③-1<x<0；④-1<x<1.其中，可以是<1的一个充分条件的所有序号为_______，可以是<1的一个必要条件的所有序号为_______. 【答案】 ②③④ ①④ 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断． 【详解】由于<1，即-1<x<1， ①-1<x<1⇒x<1； ②0<x<1⇒-1<x<1；③-1<x<0⇒-1<x<1； ④-1<x<1⇒-1<x<1， 所以②③④是<1的一个充分条件， ①④是<1的一个必要条件. 故答案为：②③④；①④ 12．已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用必要条件定义与子集推出关系求解参数即可. 【详解】∵是的必要条件，∴，即， ∴，∴实数的取值范围为． 故答案为：. 13．下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等. (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例. (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形. (4)若，则 (5)若为无理数，则x，y为无理数 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 (4)不是 (5)不是 【分析】先根据条件得到他们之间的推导关系，再判定他们的逻辑关系. 【详解】（1）由平行四边形的性质定理，可得，所以 q是p的必要条件. （2）由三角形相似的性质定理，可得，所以 q是p的必要条件. （3）存在对角线垂直，但不是菱形的四边形，可得，所以 q不是p的必要条件. （4）由于 ，但，可得，所以 q不是p的必要条件. （5）由于为无理数，但不全是无理数，可得， 所以 q不是p的必要条件. 14．设集合，集合，其中． (1)若，全集U=R，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入求解即可； （2）由题意，再分与两种情况求解即可. 【详解】（1）若，则，又，故 （2）因为“”是“”的必要条件，故， 若，即时，成立； 若，由得， 综上： 15．判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：，q：． (2)p：，q：． (3)p：是无理数，q：是无理数． 【答案】(1)是 (2)不是 (3)是 【分析】根据必要条件得定义即可判断（1）（2）（3）． 【详解】（1）由 ，则成立，所以p是q的必要条件． （2）由 ，则不成立，所以p不是q的必要条件． （3）由是无理数 是无理数，则成立，所以p是q的必要条件． 16．设集合，集合．若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】利用“”是“”的必要条件，得到，求参数范围. 【详解】若“”是“”的必要条件，则， ， ①当时，，此时，即； ②当时，，有成立； ∴综上所述，所求的取值范围是． 17．已知函数且的图象过点，. (1)求的值； (2)记在区间上的值域分别为集合，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）代入点，求出； （2）求出的值域和的值域，根据题目条件得到，得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）的图象过点， ，解得. （2）由（1）得，当时，的值域为，即， 当时，的值域为，即， 是的必要条件， ， ∴，解得， 的取值范围是. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $