课时15 函数模型及应用-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

1.当f-10-0,即a-员时f 而g()-f(x)-1,易知x=十号，k 2 =5x2十4x-1,解得x1=-1,x2 ∈Z是g(x)的零点，而相邻零点的距 离为1，故g(x)在[，]上至少存在2 =5' 个零点 答案：12 六x=方是（-11)内的唯一零点。 16.解：(1)，f(x)为偶函数，.f(一x) ,当f1)=0时，即a=一言时， =f(x),p 10g(4x+1)-kx= 1og4(4x+1)+kx,即(2k+1)x=0, f(x)=-3.x2+4x-1,解得x1=1, 1 1 k=一2 x2=3 (2)依题意有10g,4+1)一号 “x-子是(-1,1)内的唯一零点 =log4(a·2x-a), 综上可得，a的取值范国是 即{4+1=(a·2r-a)·24, {}[-] la·22-a>0, 令t=2,则(1-a)2+at+1=0(*), 13.B[由题意，当0<x3时，作出函 只需其有一正根即可满足题意： 数y=|lnx|与y=sinr的图象. ①当a-1时，1= 一1，不合题意 ②(*)式有一正一负根11,2， 3 (4=a2-4(1-a)>0, 2 即 1∠0 42=1- -3-2-1012345678x 得a>1,经验证正根满足at一a>0, 3 ,a>1. ③()式有相等两根，即△=0→a 由图可知，函数y=|lnx与y=sinx 在(0,1)和[1,3]内各有一个交点， =士2反-2，此时t=2(a-1D' 所以f(x)在(0,3]上有2个零点. 由当x>3时，f(x)=f(x一3)，由函 若a=2(巨-1)，则有1一2(a< 数周期性的性质可得 0,此时方程(1一a)t2十at十1=0无正 当3x6时，f(x)上有2个零点， 当6x9时，f(x)上有2个零，点， 根，故a=2(√2-1)舍去： 当9<x<10时，f(x)上有1个零，点， 若a=-2(反+1)，则有1-2a-D 所以f(x)在(0,10)上有7零点 个数.门 >0,因此a=-2(√2+1). 14.ABD[如图在同一坐标系中分别作 综上所述，a>1或a=-2-2√2. 出函数y1=2,2= E为=log2x 课时冲关15 1.B「由题中散，点图的定义域及函数增 的图象， 减性可排除C,D选项，由散点图的增 长方式可知函数模型为指数型，门 ① 2 2.D[若2023年是第1年，则第1年全 年投入的科研经费为1300×1.12”万 元，由1300×1.12m>2000,可得 1g1.3+nlg1.12>lg2,所以n×0.05 11 >0.19,得n>3.8,即n≥4，所以第4 y=logzx 年，即2026年全年投入的科研经费开 依题意直线y=k与三个函数都有交 始超过2000万元.] 点，需判断这些交点的横坐标之间有 怎样的大小关系， 3.A[由25=号，lg2=0.3010,所以 由图知，有三种不同的情况：当直线 y=k在①位置时，显然有yx<之： 5 lg 2 =g5-g2 当直线y=k在②位置时，显然有工 x=loge =1g2 1g 2 y:当直线y=k在③位置时，显 1-21g2_1-2×0,3010≈1.322，即x 然有x<y.] 1g2 0.3010 的值约为1.322.] 15,解折：由巴知，令=合，则f(合）】 4.D[由于L=L0Dr,所以L=0.5× f(合)=1，因f(x)>0,所以 D,依题意0.45=0.5×D器→D 6·则1-0.5×（品）商1=0. 9 f(2)-1,又f)f1-x)=1→ f(-x)f(1十x)=1,因f(x)为偶函 数，所以f(x)f(1十x)=1,故f(x) ×(品)<a.05（品）产<0 fx+=f(x+2),所以f(x)是 (品)<品<-1， 以2为周期的周期函数，故 G·(1g9-lg10)<-22,G·(1g10 ()-()-(合)-： 22 1g9）>22,G>1g101g9G> 由题意知，n1=一1，n<0,n>0,且n 22 22 22 一m=叶≥20，当=1时，等号 1-21g31-2×0.477万=0.0458 ≈480.35，所以所需的训练迭代轮数 成立，①式说明区间长度大于等于2， 至少为481轮.] ·509· 参考答案 5.D[因为在线购买人数y(单位；人) 与某产品销售单价x(单位：元)满足 关系式：y一20一x十40，单调递 减，所以B正确：将x=25,y=2025 代入y0x+40,可得2025 25二20一25+40，解得：m=10050,所 以A正确：由题意可得所得利润为： 6x-0(2罗-+40) -x2+60x+9200=-(x-30)2+ 10100, 所以当x=30,最大利润为10100元， C正确，D错误.] 6.C[由题意得，x小时后的电量为 (3000一300.x)毫安，此时转为B 模式， y 70 可得10小时后的电量为(3000一300x)· 2则由题意可得（300-30）· 210z>3000×0.05, 化简得(10-x）·20>0.5, 即10-x>29-x, 令m=10-x,则m>2m-1, 由题意得0<x<10,则0<<10， 令m分别为1,2时，这个不等式左右 两边大小相等， 由函数y=x和y=2-1的图象可知， 该不等式的解集为1<m<2, 所以1<10-x<2,得8<x<9.] 7,BD[A选项，由题意得N(t)= N(分)广又因为N)=N,e, 故N(侵)广-N,e,两边取对数 得，子1n0.5=-,T-ln2,A错 误：B选项，由A可知，T与x成正比 例关系，B正确：C选项，由B可知，T 与x成正比例关系，由于铀234的x值 小于铀235的x值，故T1<T2,C错误； D选项，T=xln2=6.475×10ln2,T =xln2=3.558×101n2, T3=6.475X102n2>1, 故10000T-3.558X101h2 D正确. 8,ABD[购物总额为78元，则应付款 为78一5=73元，A正确：购物总额为 228元，则应付款为228×0.9=205.2 元，B正确：购物总额为368元，则应付 款为300×0.9+68×0.8=324.4元，C 错误；购物时一次性全部付款442.8元， 则包含购物总额300元应付的270 元，还有172.8元对应购物额度为 1728-216,因此购物总额为300+ 0.8 216=516元，D正确.] 高考总复习数学(BS) 9.解析：由题中散点图的走势，知模型① 不合适 若十b,即>36时，函数S=一2 4 曲线过点(4，子)则后三个模型的 ·(-)+a+2在0，上 4 8 解析式分别为②y= 1+1og21:③y- 是增函数，因此，当x=b时，面积S 3 取得最大值ab-b2. 1 1 1 之1+3④y=F+3,当1=1时，代 综上可知，若a≤3b,当x=a十中时， 入④中，得y一合，与周不将，易知极 四边形EFGH的面积取得最大值 合最好的是②.将1=8代入②式，得y (a+b)2 :若a>3b,当x=b时，四边形 -号+1og8-(米). 8 EFGH的面积取得最大值ab一2」 答案：② 10 13.解析：D[由题意可得，当x∈[0,6] 时，翼人做匀加速运动，u(x)=80十 10.解析：根据条件：ar0十24=124， 40 ar+24=64, 3x,“速度差函数”u(x)= 3x. 当x∈「6,10]时，翼人做匀减速运 ∴.a=100,r= 2 动，速度u(x)从160开始下降，一直 M=100(号)广+24. 降到80，u(x)=160一80=80. 当x∈[10,12]时，翼人做匀减速运动， ∴.M(4)= 100(号)广+24-26.56， (x)从80开始下降，u(x)=180-10x, (x)=160-(180-10.x)=10.x-20. 由10（号）/+24<21.01 当x∈[12,15]时，翼人做匀加速运 动，“速度差函数”u(x)=160一60 100,结合所给的图象，故D正确.] 得（号）'<o.1, 14.ABDL对于A,由题意可得a=4,当 lg(号)'<1g0. 0≤r≤4时y=84,当1<x≤ 10时，y=20-2.x,当x=2时，y= [lg2-(1-lg2)]<-5. 8-24-20 64 3 故A正确： ,∴.t(21g2-1)<-5,代入lg2≈0.301 64 -4≥4， 得-0.398t-5,解得t>12.5. 对于B,当0≤x≤4时8- ,最小的整数t的值是13. 解得x≥0，故0≤x≤4， 答案：26.5613 当4<x10时，20-2.x≥4 11.解析：由方案一可知，满10人可打9 解得x≤8，故4<x8, 折，则单人票价为270人，由方案二 综上所述，0≤x≤8. 可知，满5000减1000元，按原价计 若一次投放4个单位的洗衣液，则有 算5000≈16.7，则满5000元至少凑 效去污时间可达8分钟，故B正确： 300 对于C,当6x10时， 齐17人，17×300-1000=4100，则 单人票价为4100 y-2×(6-)十 17 241，满10000元 时，10000≈33.3，则需34人，单人 小--+ 32 300 -6, 票价为241人，满15000元时， 15000 300 =50,人数不足，241<270， 当x=8时y=6+号-6=9故C 错误； .用方案二先购买34张票，剩余13 对于D,:4≤14-x≤8， 人，不满足方案二，但满足方案一， .总费用为34×300-2000+13× “y=14-x+Px 32 -6 300×0.9=11710(元). 答案：11710 12.解：设四边形EFGH的面积为S, ≥1-·产-6=8 1 由题意得S△AEH=S△G=22, 6,当且仅当14-x2即x1 S△BEF=S△DHG 一4√②时取等号，∴y有最小值8② -(a-)b- 一6≈5.3>4，，∴.接下来的4分钟能 够持续有效去污，故D正确.] 由此得S=ab一 15.解析：①设函数s(t)表示此人第一天 2[合2+a-x6-] 距离A地的路程，则是一个不减的函 数，设函数(1)表示此人第二天距离 =-2x2+(a+b)x A地的路程，则是一个不增的函数， =-2(x-a+) +a+b)2 其中t表示时间，s(t)、l(t)的定义域 4 8 都是[0,6]，值域相同.同一坐标系画 函数的定义域为{x0<x≤b}, 出s(t)、I(t)的图象，必有一个交点， 因为a>b>0, 即两天中都在此刻经过此，点（如图 所以0<a十中.若a十+也≤b,即a≤ 1),故①正确； 2 ②画出两天的速度（自变量为时间t) 动，r=十色时面积S取得最大 函数图象并求与x轴国成的面积，就 是路程，不可能一个总在另一个下 值a+b)? 方，在交点处时刻，他们的速度相等 8 (如图2)，故②正确： ·510· ③在某个路程函数s(t)中，过s(t)上 一点作平行于t,s轴的矩形，如果四 个顶点都在曲线上，则意味着速度的 绝对值相等，（对角线就是割线，斜率 就是平均速度)，但不是每种函数曲线 都能成功，图3显示可以，函数模型就 是两个一次函数，图4显示不成功，可 以构造函数模型为（这里假定时间1∈ (0,6),AB之间距离为4)， 1 2 t,∈(0,2)， s(t)= 3 1 1-21[2,6), -31+4,∈(0,1)， l(t)= {--61E[1,6.在这 个图象上经计算，找不到这样的矩 形，故③错误 ∴。正确的说法是①② 速度) 路程 图2 D 路程1 图3 图4 答案：①② 16.解：(1)设顾客一次购买x斤土豆，每 斤土豆的单价为f(x)元， 由题意知：f(x)=(1≤x≤5， xN4),因为f)=+1-1+1 所以y=f(x)在[1,5]上为单调递减 函数。说明一次购买的斤数越多，单 价越低， (2)根据题意，按照年数的不同取值 范围，选出总回报最高的方案. 由题意可知方案一对应的解析式为 y=6+(x-3)×2=2x. 列表得出三种方案所有年数的总回 报，可以精确得出任意年数三种方案 对应总回报的大小关系，进而可得出 如下结论： 授资 年数x 3 4 5 6 78 910 总回 报y 方案一 68101214161820 方案二 33 3 方策三 33÷3÷93÷3÷273 当投资年数为3一5年时，选择方案 一最住；当投资年数为6年时，选择 方案一或方案二最佳：当投资年数为 7年或8年时，选择方案二最佳；当投 资年数为9年时，选择方案二或方案 三最佳；当投资年数为10年时，选择 方案三最佳， 课时冲关16 1.D[由f(x)=er+ln(x+1),得 f(x)=ae“++又fo)-4, 所以f(0)=a+1=4,则a=3.] 2.C[设曲线y=f(x)在x=1处的切线 方程为y一1十6.删仁。=0.部符高考总复习 数学(BS) [答题栏] 课时冲关15 1 「基础训练组] 21.在一次实验中，某小 组测得一组数据(x, 3 y)(i=1,2,…,11)并 .4 由实验数据得到下面 的散点图.由此散点 4-20 门4x 图，在区间[一2,3]上，下列四个函数模型(a,b --.6 为待定系数)中，最能反映x,y函数关系的是 7 B.y=a+b* -8 A.y=a+bx --.-13 C.y-a+logbx D.y=atb 、1 2.某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研 经费投入.若该高校2023年全年投入科研 经费1300万元，在此基础上，每年投入的科 研经费比上一年增长12%，则该高校全年投 入的科研经费开始超过2000万元的年份是 (参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2 ≈0.30) () A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年 3.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了 简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始 使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与 对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数 的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若2 =号g2=0.3010,则x的值约为（) A.1.322 B.1.410 C.1.507 D.1.669 4.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实 现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经 网络优化中，指数衰减的学习率模型为L LoD,其中L表示每一轮优化时使用的学习 率，L。表示初始学习率，D表示衰减系数，G表 示训练迭代轮数，G)表示衰减速度.已知某个 指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5， 衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学 习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下 (不含0.05)所需的训练迭代轮数至少为（参考 数据：1g2≈0.3010，lg3≈0.4771)() A.11 B.22 C.227 D.481 ·26 数模型及应用 5.在线直播带货已经成为一种重要销售方式， 假设直播在线购买人数y(单位；人)与某产 品销售单价x(单位：元)满足关系式：y= x-20 一x十40，其中20<x<100,m为常数，当 该产品销售单价为25时，在线购买人数为 2025人；假设该产品成本单价为20元，且每人 限购1件；下列说法错误的是 () A.实数m的值为10050 B.销售单价越低，直播在线购买人数越多 C.当x的值为30时利润最大 D.利润最大值为10000 6.已知某电子产品电池充满时的电量为3000 毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电 模式可供选择.模式A:电量呈线性衰减，每 小时耗电300毫安时；模式B:电量呈指数 衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量 为当前电量的倍.现使该电子产品处于满 电量待机状态时开启A模式，并在x小时后， 切换为B模式，若使其在待机10小时后有超 过5%的电量，则x的取值范围是() A.1<x<2 B.1<x≤2 C.8<x<9 D.8≤x<9 7.(多选)放射性物质在衰变中产生辐射污染 逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数 量随时间t的衰变公式N(t)=Noe,No表 示物质的初始数量，τ是一个具有时间量纲 的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰 期T指的是放射性物质数量从初始数量到 衰变成一半所需的时间，已知ln2=0.7,下 表给出了铀的三种同位素x的取值：若铀 234、铀235和铀238的半衰期分别为T1, T2,T3,则 ( 物质 x的量纲单位 x的值 铀234 万年 35.58 铀235 亿年 10.2 铀238 亿年 64.75 A.T=rln 0.5 B.T与x成正比例关系 C.TI>T2 D.T3>10000T1 8.(多选)“双11”购物节中，某电商对顾客实行 购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一 定额度，可以给予优惠：(1)如果购物总额不 超过50元，则不给予优惠；(2)如果购物总 额超过50元但不超过100元，可以使用一 张5元优惠券；(3)如果购物总额超过100 元但不超过300元，则按标价给予9折优 惠；(4)如果购物总额超过300元，其中300 元内的按第(3)条给予优惠，超过300元的 部分给予8折优惠.某人购买了部分商品， 则下列说法正确的是 A.如果购物总额为78元，则应付款为73元 B.如果购物总额为228元，则应付款为 205.2元 C.如果购物总额为368元，则应付款为 294.4元 D.如果购物时一次性全部付款442.8元，则 购物总额为516元 9.为研究西南高寒山 区一种常见树的生 4 长周期中前10年的 ● 生长规律，统计显 1 示，生长4年的树高o1234567 为了米，如图所示的散点图，记录了样本树 的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关 系.请你据此判断，在下列函数模型：①y= 2r-a:@y=a+1og2t:③y=24+a:①y √+a中（其中a为正的常数），生长年数与树 高的关系拟合最好的是 (填写序号)， 估计该树生长8年后的树高为米. 10.某种物质在时刻t(min)的浓度M(mg/L) 与t的函数关系为M(t)=ar+24(a,r为 常数).在t=0min和t=1min测得该物质 的浓度分别为124mg/L和64mg/L,那么在 t=4min时，该物质的浓度为 mg/L; 若该物质的浓度小于24.001mg/L,则最 小的整数t的值为 (参考数据： 1g2≈0.3010). 11.某景区套票原价300元/人，如果多名游客 组团购买套票，则有如下两种优惠方案供 选择： 方案一：若人数不低于10，则票价打9折： 若人数不低于50，则票价打8折；若人数不 低于100，则票价打7折.不重复打折. 方案二：按原价计算，总金额每满5000元 减1000元. ·26 主题二第二章函数 已知一个旅游团有47名游客，若可以两种 方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用 的最小值为 元 12.如图所示，在矩形 ABCD中，已知AB=a, BC=b(a>b).在AB、 AD、CD、CB上分别截 取AE、AH、CG、CF都等于x,当x为何值 时，四边形EFGH的面积最大？求出这个最 大面积. [能力提升组] 13.在中国天门山举行的WWL翼装飞行世 锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映 了他从某时刻开始的15分钟内的速度 u(x)与时间x的关系，若定义“速度差函 数”u(x)为时间段[0，x]内的最大速度与 最小速度的差，则u(x)的图象是() 0 6 101215x u(x) ↑u(x) 100.- 100 80 80…A 20 20 0 6101215元 0 6101215元 B u(x) u(x) 188 1w 20- 20… 0 6101215x 0 6101215 14.(多选)市场上有一种新型的强力洗衣液，特 点是去污速度快.已知每投放a(1≤a≤4，且 a∈R)个单位的洗衣液在一定水量的洗衣 机中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着 时间x(分钟)变化的函数关系式近似为 5 高考总复习数学(BS) y=a·m,其中当0≤x≤4时，m= 16一1， 8-x 当4<≤10时，m=5-2x,若多次投放， 则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放 的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和. 根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于 4(克/升)时，它才能起到有效去污的作用. 则下列结论正确的是 () A.一次投放4个单位的洗衣液，在2分钟时， 洗衣液在水中释放的浓度为曾克/升 B.一次投放4个单位的洗衣液，有效去污 时间可达8分钟 C.若第一次投放2个单位的洗衣液，6分 钟后再投放2个单位的洗衣液，第8分 钟洗衣液在水中释放的浓度为5克/升 D.若第一次投放2个单位的洗衣液，6分 钟后再投放2个单位的洗衣液，接下来 的4分钟能够持续有效去污 15.某人第一天8：00从A地开车出发，6小时 后到达B地，第二天8：00从B地出发，沿 原路6小时后返回A地.则在此过程中，以 下说法中，正确说法的序号是 ①一定存在某个位置E,两天经过此地的 时刻相同； ②一定存在某个时刻，两天中在此刻的速度 相同； ③一定存在某一段路程EF(不含A、B),两 天在此段内的平均速度相同 (以上速度不考虑方向) 16.土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高粱一起 被称为全球五大农作物.云南人爱吃土豆， 在云南土豆也称洋芋，昆明人常说“吃洋 芋，长子弟”.2018年3月，在全国两会的代 表通道里，云南农业大学名誉校长朱有勇 院士，举着一个两公斤的土豆，向全国的媒 体展示，为来自家乡的“山货”代言，他自豪 地说：“北京人吃的醋溜土豆丝，5盘里有4 盘是我们澜沧种的！” (1)在菜市上，听到小王叫卖：“洋芋便宜卖 了，两元一斤，三元两斤，四元三斤，五元四 斤，六元五斤，快来买啊！”结果一群人都在 买六元五斤的.由此得到如下结论：一次购 买的斤数越多，单价越低，请建立一个函数 模型，来说明以上结论； ·266 (2)小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目 的投资，约定如下：①投资金额固定；②投 资年数可自由选择，但最短3年，最长不超 过10年；③投资年数x(x∈N+)与总回报 y的关系，可选择下述三种方案中的一种： 方案一：当x=3时，y=6,以后x每增加1 时，y增加2； 方案二y=号2； 方案三：y=(3)x. 请你根据以上材料，结合你的分析，为小王 提供一个最佳投资方案.