第三章 第2节 利用导数研究函数的单调性-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

高考总复习数学(BS) 5.D[设切点为(x0,logx0),由y= log3x,可得y= n3则y'1== 1 n3k,所以n3, 解得 (kxo=log3xo k-eln 3 命题点3 [典例](1)[解析]由y=e十x,得 y=ex+1,y1x=o=e°+1=2，故曲 线y=ex十x在(0,1)处的切线方程为 y=2x+1; 由y=ln(x十1)+a,得y=中' 设切线与曲线y=ln(x十1)十a相切 的切点为(xo,ln(xo十1)十a), 1 由两曲线有公切线得)一。干=2， 解得x=一 1 立，则切点为 (合a+1n子）切线方程为y 2(+2)+a+h号-2x+1+a ln2,根据两切线重合，所以a-ln2=0, 解得a=ln2. [答案]ln2 ②[解析]由y一专，则y-二， 设切点为（号）则切线斜率 产则在点（云）的切战方程 为y-=1(x-),代入点P ea e 坐标得m一-1一(1一0)，整理 eo e 为m=号一x十1 即这个方程有三个 e 不等式实根，令f代x)=已二+山，则 f()=二2+3x-2， er 令f(x)>0,则1<x<2, 函数f(x)在（一，1）上单调递减，在 (1,2)上单调递增，在(2，十∞)上单调 递减，故得f(1)<m<f(2),即m (日) [答案]D 跟踪训练 1.AD[由题意知f(x)=-上(x 2r x >0),因为f(x)在x=x1和x=x2(工 ≠x2)处切线平行，所以f(x1)一 f(x2),即1 1 2√Jxx12√ 1 = ，A正 确：由基本不等式及工≠工2，可得之 1 +2> x 二，即 N√x1x2 x1x2>256,B错误；x1十x2>2 √工1x2>32,C错误；x号十x号>2x1x >512,D正确.] 2.解析：法一：因为y=x十lnx, 跃升·关键能力题型1 所以y-1+y11-2 [典例](1)[解析]由题可知，f(x)= 3.x2+6.x-6e2+5, 所以曲线y=x十lnx在，点(1,1)处的 且f(x)的定义战为R,则f(x)=6x 切线方程为y一1=2(x-1), +6-6e2=6(x+1-e),令g(x)=x 即y=2x-1. +1-ex,则g'(x)=1-e,x∈R,当x 因为y=2x一1与曲线y=ax2十(a十 ∈(-∞，0)时，g'(x)>0,当x∈(0， 2)x十1相切， +∞)时，g’(x)<0,所以g(x)在 所以a≠0（当a=0时曲线变为y=2x (一∞，0)上单调递增，g(x)在(0，十∞) 十1与已知直线平行)， 由/y=2x-1, 上单调递减，则g(x)的最大值为g(0) ya2+(a+2)x+1消去 =0,故g(x)≤0恒成立，故f(x)≤0 在R上恒成立，所以f(x)在R上单调 得a.x十ax十2=0.由△=a2-8a=0, 递减，即函数f(x)的单调减区间为 解得a=8. (-,十00). 法二：同法一得切线方程为y=2x一1. [答案]D 设y-2x-1与曲线y=ar2+(a十2)x (2)[解]函数f(x)的定义域为(0， +1相切于点（x0,a.x号十(a十2)xo十1). +oo),f(x)=(x-2e)In x-x- 因为y'=2ax+(a+2), 2e2,所以f(--2g+1nx, 所以y1=5,=2axo+(a十2). 由2a.xo+(a+2)=2. 设g(x)=f(x)=-2g+1n,因为 lax+(a+2)x0+1=2xo-1, x 解得人=-2 y 2e ,y=lnx都在(0，+∞)上单 (a=8. 调递增，所以g(x)在(0，十∞)上单调 答案：8 递增，且g(e2)=0,所以x∈(0，e2) 第2节 时，g(x)<0,f(x)<0,f(x)单调递 自主诊断查验思考辨析 减；x∈(e2,十∞)时，g(x)>0,f(x) (1)×(2)× (3)/(4)/ >0,f(x)单调递增.所以f(x)在 小题查验 (0,e2)上单调递减，在(e2,+∞)上单 1.A[当x∈(-3,0)时，f'(x)<0,则 调递增 f(x)在（一3,0）上是减函数，其他判断 跟踪训练 均不正确，门 1.D [由f(x)=x·ex-e+1,得 2.A[由图象上任意一点P(x0,yo)处 f(x)=(x+1-e)·e2,令f(x)>0, 的切线方程为y=(x号十x0一2)x十 解得x>e一1，所以函数f(x)的递增 (%-x8-x8+2x0), 区间是(e-1,十∞).] 知f(x)的导数为f(x)=x2+x-2, 2.解：因为f(x)=x2一(1nx)2,其中 令f(x)<0,解得-2x1.] x∈(0，+o∞)，则f(x)=2x-2lnE 3.解析：f(x)=sinx十rcos x-sinx =xcosx, 设g(x)=2x-2n兰，则g(x) 令f'(x)=rcos x>0,则其在区间 （一，x)上的解集为（一，一受）和 2(22+In)()=2+In (0,受)即函数f(x)的单调递增区 -1,可得/(x)=2x+1>0恒成立， 受)*(0.受)片 所以h(x)为(0，十o∞)上的增函数，且 间为（一π，一 h(1)=0,所以g(x)在(0,1)上单调递 答案：(-x,-受)和(0，受） 减，在(1，十∞)上单调递增，所以 g(x）min=g(1)=2,所以f(x)mn=2 4.解析：一般地，由f(x)>0能推出f(x) >0,所以f(x)>0,所以f(x)在 为增函数，反之，则不一定，如函数f(x) (0,十∞)上单调递增， =x3在区间（一∞，十∞）上单调递增， 题型2 但是f(x)≥0，因此f(x)>0是函数 [典例][解]f(x)的定义域为(0，十∞)， f(x)为增函数的充分不必要条件. 答案：充分不必要 5.解析：法一：由y=1- 京≥0，得x≤ (a.x2-2)(x-1) -a或x≥a. 当a0时，x∈(0,1)时，f(x)>0, f(x)单调递增，x∈(1，十o∞)时， “y=x十《的单调递增区间为(-∞， f(x)<0,f(x)单调递减」 -a],[a,+∞). 当a>0时，f'(x) ,函数在[2，十∞)上单调递增， ∴.[2，十∞)二[a,+o∞)，∴.a2. (√周)(+√) 又a>0,.0<2. 法二-1艺猴题意知1-学≥0 ①当0a<2时层>1. 在x∈[2，十o∞)上恒成立，即a2≤x2 恒成立， f(x)>0,f(x)单调递增， x∈[2，+o∞)，x2≥4，a2≤4， ,2)时，f(x)<0,f(x) 又a>0,.0a2. 当x(1Wa) 答案：(0,2] 单调递减。 ·398· ③当a-2时三-1，在xE0+ 内，f(x)≥0，f(x)单调递增 @当a>2时，0</层<1.当re (0√)或x1,+∞)时f >0,f(x)单调递增， 当x∈ 层)*f0 单调递减 综上所述，当a0时，f(x)在(0,1)上 单调递增，在(1，+∞)上单调递减： 当0<a<2时，f(x)在(0,1)上单调递 增，在 (√侣)上单调递减，在 当a=2时，f(x)在(0，十∞)上单调递增： 当a>2时，x)在（√侣）上单河 递增，在 (√侣)上单调递成，在 (1,十∞)上单调递增 跟踪训练 解：f(x)的定义域为(-1，十o∞)， f(x)=r-(a2-2a] (x+1)(x+a)2 ①当1<a<2时，若x∈(-1，a2-2a), 则f(x)>0,f(x)在(-1，a2-2a)上是 增函数： 若x∈(a2-2a,0),则f(x)<0,f(x) 在(a2-2a,0)上是减函数. 若x∈(0，十∞)，则f(x)>0,f(x)在 (0,十∞)上是增函数. ②当a=2时，f(x)≥0，f(x)=0成 立当且仅当x=0,f(x)在（一1，十∞） 上是增函数. ③当a>2时，若x∈(-1,0)，则 f(x)>0,f(x)在（一1,0）上是增函数； 若x∈(0，a2-2a),则f(x)<0,f(x) 在(0，a2一2a)上是减函数； 若x∈(a2-2a,十∞)，则f(x)>0, f(x)在(a2-2a,十o∞)上是增函数. 题型3命题点1 1.CD[设g(x)=2 cos x 则g(xr）=f·osr+f)·sinx coSr 因为x∈(0，)时，cos(x)十 sin f)<0,所以x∈(0，)时， g(x)= (x)·cosx十f(x)·sinz <0.因此g(x)在(0，受)上单调递 减，所以g()>g(子)小g(百)> g()小即 ()、() 2 ()>厨() () 2 r()）(传) 参考答案 2.A[构造函数g(x)=fx》 [子题3]解：由母题可知，f(x)的单调 g(x)=x.f()-2f(x) 递减区间为 =1,即a=3. xf(x)-2f2,当x>0时， [子题4]解：f(x)=x3一ax一1， f(x)=3x2-a. xf(x)-2f(x)>0,故g(x)>0, g(x)在(0，十∞)上单调递增， 由f)=0,得=士(a≥0》. 又f(x)为偶函数，y= 为偶函敦， 1 :f(x)在区间(-1,1)上不单调， 所以gx)=f为偶函数，在(-0,0) 0<@<1,得0<4<3， 3 x 单调递减 即a的取值范国为(0,3) f(-3)=1,则f(3)=1,g(-3)= 跟踪训练 8(3)=f3》=1.fCx1 9t, ,c[令f(x)-=,f(x) 当>0时，即9<分g<日 1 2-21n,令f(x)>0,得0<x<e, (2.x)2 =g(3),所以x∈(0,3)； 令f(x)<0,得x>e, 当x<0时，即f2>1 所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e, 9g(x)>1 9 十∞)上单调递减，因为c=2-l1n2 =g(-3),所以x∈(-∞，-3). 综上所述，x∈（一∞，-3）U(0,3) e2 命题点2 [母题][解](1)f(x)=3.x2-a. e2 ①当a0时，f(x)≥0， 所以f(x)在(-∞，十∞)上为增 -f2).6=元-fe.则fe> 4 函数 ②当a>0时，令3x2-a=0, f()>f2),脚a<<6.] 得x-土3a 2.B[令h(x)=巴，则∥(x) 3 er 当>@或-@时， ∫(x)一f(x>0,所以函数h(x)在区 3 3 e f(x)>0: 间(0，十∞)上单调递增，所以e一 当-3@<r<30时，f(r)<0. f(x2+x)>e-2f2)台fr+2 3 3 因此f(x)在-，- √3a 3 f2台h(x2+x)>h(2)台x2+x>2, (+）上为增画教，在 解之得x一2或x>1,即原不等式 的解集为（一∞，一2）U(1,十∞).] 3a,3u 3.解析：由函数的解析式可得f(x)= 】上为减函数 3 3 alna+(1+a)xln(1+a)≥0在区间 综上可知，当a≤0时，f(x)在（一∞， (0,十∞)上恒成立， 十∞)上为增函数： 则(1+a)rln(1+a)≥-alna,即 当a>0时，f(x)在-oo,- V3a 3 (信）≥o在区何0+) (+四）上为增画教， 在 上恒底主，此（告）”-心 In a (,)上为减画数 1n(1+a),而a+1∈(1,2)， (2)因为f(x)在（一∞，十∞）上是增 故ln(1+a)>0, 函数，所以f(x)=3x2-a≥0在 故n(a+1)≥-lha, 10a<1, (-∞，十∞)上恒成立，即a≤3x2对 x∈（一∞，十∞）恒成立.因为3.x2≥ 即aa+1)≥1故51≤a<1, 10<a<1, 2 0,所以只需a0.又因为a=0时， f(x)=3x2≥0，f(x)=x3-1在 结合题意可得实数a的取值范国 (一∞，十∞)上是增函数，所以a0, 即a的取值范围为（一o∞，0]. [学) [子题1]解：因为f(x)=3.x3-a,且 f(x)在区间(1，十∞)上为增函数，所 答案[ 以f'(x)≥0在(1，十∞)上恒成立， 第3节 即3x2一a≥0在(1，十∞)上恒成立， 复盘·必备知识必备知识掌握 所以a3.x2在(1，十∞)上恒成立，所 1.(1)都小于极大值点极大值 以a3,即a的取值范围为（一∞，3]. (2)都大于极小值点极小值 子题2]解：由f'(x)=3x2一a≤0在 2.(3)左正右负左负右正 (-1,1)上恒成立，得a≥3x2在(-1， 3.(1)极值(2)各极值函数值fa), 1)上恒成立，因为一1x<1,所以 f(b)4.(1)最优化 3.x2<3,所以a≥3，即当a的取值范国 自主诊断查验思考辨析 为[3，十o)时，f(x)在（一1,1）上为减 (1)×(2)/(3)×(4)×(5)/ 函数 (6)X ·399·主题二第三章导数及其应用 [命题点3]两曲线的公切线 (3)求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲 典例](1)(2024·新课标I卷)若曲线y=e+x 线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更 在点(0，I)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a 清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其 的切线，则a (2)若过点P(1,m)可以作三条直线与曲线C: 中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线 与直线相切，直线与抛物线相切可用判别 y=之相切，则m的取值范围为 ( 式法。 3 B.o.) 跟踪训练 C.(-∞，0) () 1.(多选)已知函数f(x)=√-lnx,若f(x)在 x=x1和x=x2(x1≠x2)处切线平行，则() …解题技法 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲 A+ √x1√x2 线、切线、切点的三个关系列出参数的方程： B.x1x2<128 ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切 C.x1+x2<32 线上；③切点在曲线上. D.x￥+x>512 (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的 2.已知曲线y=x十lnx在点(1,1)处的切线与曲 切线”：在“点P处的切线”，说明点P为切 点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P 线y=a.x2十(a十2)x十1相切，则a 处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一 C温馨提污 定在切线上，不一定在曲线上： 学习至此，请完成配套训练 课时冲关16 第2节 利用导数研究函数的单调性 ★[课程标准] 1.了解函数的单调性与导数的关系， 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 3.能利用导数解决有关不等式、参数等问题. 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 自主诊断查验 1.函数的单调性与导数的关系 ◆[思考辨析] 函数y=f(x)在某个区间内可导： 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 (1)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f(x)>0, 里打“/”，错误的打“X” 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增； (1)f'(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.() (2)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f(x)<0, 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减； (2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图 (3)若在某个区间内，子(x)≥0且只在有限个点为0， 象就越“平缓” 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增； (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有'(x)=0, (4)若在某个区间内，f(x)≤0且只在有限个点为0， 则f(x)在此区间内为常数函数。 ( ) 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减. (4)f(x)在(a,b)上单调递增与(a,b)是f(x)的 2.求函数单调区间的步骤 单调递增区间意义不一样。 ) (1)求定义域. ◆[小题查验] (2)求导. 1.如图所示是函数f(x)的导 (3)由导数大于0求单调递增区间；由导数小于0 函数f(x)的图象，则下列判 y=f(x 求单调递减区间. …重要结论， 断中正确的是 () 1.f'(x)>0(或f(x)<0)是f(x)在(a,b)内单 A.函数f(x)在区间（一3,0） 调递增（或递减）的充分不必要条件； 上是减函数 2.若f(x)可导且f(x)=0不恒成立，则f(x) B.函数f(x)在区间（一3,2）上是减函数 ≥0（或f(.x)≤0）是f(x)在(a,b)内单调递增 C.函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 (或递减)的充要条件. D.函数f(x)在区间（一3,2）上是单调函数 49 高考总复习数学(BS) 2.已知f(x)是定义在R上的函数，它的图象上任 4.f'(x)是f(x)在区间[a,b]的导函数，则“在区间 意一点P(xo,yo)处的切线方程为y=(x十x0 (a,b)内f(x)>0”是“f(x)在该区间内单调递 一2)x十(y0一x8-x6+2x0),那么函数f(x)的 单调递减区间为 增”的 条件 A.(-2,1) B.(-1,2) 5.(忽视端点取等号致误)若y=x+a(a>0)在 C.(-∞，-2) D.(1,+∞)》 3.(BSD选择性必修第二册P5练习T2改编)已知 [2,+o∞)上单调递增，则a的取值范围是 定义在区间（一π，π）上的函数f(x)=xsin x十 cosx,则函数f(x)的单调递增区间是 跃升>关键能力 题型突破素养提升 题型1〔 利用导数求函数的单调区间 跟踪训练 [典例](1)已知f(x)=3x2+6x一6ex+5,则函 1.函数f(x)=x·er-ex+1的递增区间是( 数f(x)的单调减区间为 A.(-∞，e) B.(1,e) C.(e,+o)》 A.(1,+∞) B.(ln3,+o) D.(e-1,+o∞) C.(-∞，ln3) D.(-∞，+∞) 2.已知函数f(x)=2一(1nx)2.讨论函数f(x)的 (2)已知函数f(x)=(x-2e2)lnx-x-2e2.讨 单调性. 论f(x)的单调性. 题型2利用导数判断或证明函数的单调性 [典例] 已知f(.x)=a(x-lnx)+2 ,a∈R. T2 讨论f(x)的单调性. 方法指导 利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f(x)>0 或f'(x)<0求出单调区间. (2)当方程f'(x)=0可解时，解出方程的实根， 依照实根把函数的定义域划分为几个区间， 方法指导 确定各区间f(x)的符号，从而确定单调 导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 区间. (1)求f(x); (3)若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据 (2)确认f'(x)在(a,b)的符号； f(x)结构特征，利用图象与性质确定f(x) (3)下结论：f(x)>0时为增函数；f(x)<0时 的符号，从而确定单调区间 为减函数 提醒：若所求函数的单调区间不止一个，这些 易错警示 区间之间不能用并集“U”及“或”连接，只能用 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取 “,”“和”字隔开. 值对不等式解集的影响进行分类讨论， 50· 主题二第三章 导数及其应用 :跟踪训练 (6)对于不等式xf(x)-f(x)>0(或<0)，构造 讨论函数f(x)=ln(x+1)-a(a>1)的单 函数F(x)=f(x≠0). x 调性. (7)对于xf(x)十nf(x)>0型，构造F(x) x"f(x),则F(x)=x”-1[xf(x)+nf(x)] (注意对x”一1的符号进行讨论)，特别地，当 n=1时，xf'(x)十f(x)>0,构造F(x) xf(x),F'(x)=xf'(x)+f(x)>0. (8)对于xf(x)一nf(x)>0(x≠0)型，构造 r)=2,则Fr=@ (注意对x”+1的符号进行讨论)，特别地，当 n=1时，xf'(x)-f(x)>0,构造F(x) f2,则r'(x)=f()f>0. x2 题型3 函数单调性的简单应用 (9)对于不等式f(x)+f(x)>0(或<0)，构造 函数F(x)=e'f(x). [命题点1]比较大小或解不等式 (10)对于不等式f(.x)-f(x)>0(或<0)，构造 1.(多远)已知定义在(0，上的函数f),f(x) 函数F(x)= f(z) er 是f(x)的导函数，且恒有cos xf'(x)+sinx f(x)<0成立，则 [命题点2]已知函数的单调性求参数的取值 范围 A. R(f( [母题] 已知函数f(x)=x3-a.x-1. c.f()>f() D2f>f年 (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值 2.已知定义在R上的偶函数f(x),其导函数为 范围 f'(x),当x>0时，若xf(x)-2f(x)>0, [破题关键点](1)讨论(x)的符号是正的 代-3》=1，则不等式四<日x的解集是（ 还是负的； x A.(-o∞，-3)U(0,3) (2)转化为f'(x)≥0在(-∞，+∞)上恒 B.(-3,3) 成立 C.(-3,0)U(0,3) D.(-∞，-3)U(3,+∞) 解题技法 构造法解f(x)与f(x)共存问题 (1)对于不等式f(x)十g'(x)>0(或<0)，构造 函数F(x)=f(x)十g(x) (2)对于不等式f(x)一g(x)>0(或<0)，构造 函数F(x)=f(x)一g(x); 特别地，对于不等式(x)>k(或<k)(k≠ 0),构造函数F(x)=f(x)一kx [子题1]函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，十∞)上 (3)对于不等式f(x)g(x)+f(x)g'(x)>0(或 为增函数，求a的取值范围. <0),构造函数F(x)=f(x)g(x). (4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0(或 <0),构造函数F(x)=f( g(3g(x)≠0). (5)对于不等式xf(x)十f(x)>0(或<0)，构造 函数F(x)=xf(x). 51· 高考总复习数学(BS) [子题2]函数f(x)不变，若f(x)在区间（一1,1） 规律总结… 上为减函数，试求a的取值范围. 已知函数单调性，求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b) 上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调 递增，则f(x)≥0；若函数单调递减，则f(x) ≤0”来求解 易错警示 f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b) 都有f'(.x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间 上f(x)不恒为0，应注意此时式子中的等号不 [子题3]函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为 能省略，否则漏解 (-1,1),求a的值. 跟踪训练 1.已知a= 2-1n2,则这三个数的 e2 大小关系为 A.c<b<a B.a<b<c C.a<c<b D.c<a<b 2.已知f(.x)的定义域是(0，十∞)，f(x)为f(x) 的导函数，且满足∫(x)<'(x),则不等式 [子题4]函数f(x)不变，若f(x)在区间（一1,1） exf(x2+x)>e-2f(2)的解集是 ( 上不单调，求a的取值范围. A.(-2,1) B.(-o∞，-2)U(1,+o∞) C.(-1,2) D.(-∞，-1)U(2,+∞) 3.(2023·全国乙卷)设a∈(0,1)，若函数f(x)= a+(1十a)在(0，十o∞)上单调递增，则a的取值 范围是 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关17 第3节 利用导数研究函数的极值、最值 ★[课程标准] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间 上函数的最大值、最小值 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极 1.函数极值的概念 大值与极小值统称为极值. 2.求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)在包含x0的一个区间(a,b)内，函数y=-f(x) (1)求导函数f(x). 在任何不为x0的一点处的函数值 点 (2)求方程f(x)=0的根 x0处的函数值，称点xo为函数y=f(x)的 (3)列表，检验f'(x)在方程f(x)=0的根左右两 ,其函数值f(xo)为函 侧的函数值的符号，如果 ,那么函 数的 数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果 (2)在包含xo的一个区间(a,b)内，函数y=f(x) ,那么函数y=f(x)在这个根处取得 在任何不为。的一点处的函数值 点 极小值：如果左右两侧符号一样，那么这个根不 xo处的函数值，称点xo为函数y=f(x)的 是极值点 ,其函数值f(xo)为函数的 (4)得极值，由表得极大值与极小值。 ·52·