第二章 第9节 函数模型及应用-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

高考总复习数学(BS) 规律总结 跟踪训练 由函数的零点或方程的根的存在情况求参数 1.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x ∈R,都有f(1+x)=f(1-x),且当x∈[0,1] 的取值范围常用的方法 时，f(x)=22一1，若函数g(x)=f(x)-logax (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的 (其中a>1)恰有3个不同的零点，则实数a的取 不等式，再通过解不等式确定参数范围. 值范围为 (2)分离参数法：先将参数分离得a=f(x),再转 2.已知函数f(x)= x2+2,x≤1， Iln(x-1)|+2,x>1, 若关于 化成求函数f(x)值域问题加以解决， x的方程f(x)一k.x=0有且只有一个实数根，则 (3)数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面 实数k的取值范围是 直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结 C温馨提污 合求解 学习至此，请完成配套训练 课时冲关14 培优拓展④ 嵌套函数的零点 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解 套”，设中间函数为，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解。 2+2 ,x≤1， 汇·对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”， [典例]已知函数f(x) 2 则函 将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助 log2 (x-1),>1, 函数的图象、性质求解 数F(x)=f(f(x))-2f(x)一 的零点个数是 3 跟踪训练 ( x2+1 A.4 B.5 C.6 D.7 x<0), …名师点拨 已知函数f(x)= 则方程(x) x2-1 函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断 (x>0), 函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复 f(x)一6=0的实根个数为 ) 合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交 A.3 B.4 C.5 D.6 第9节 函数模型及应用 ★[课程标准] 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的 函数类型刻画现实问题的变化规律。 2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异， 理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义， 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象 1.常见的函数模型 与性质 函数 y=ax y=logax y=x" 函数模型 函数解析式 性质 (a>1) (a>1) (>0) ·次函数型 f(x)=a.x十b(a,b为常数，a≠0) 在(0，十∞)上 的增减性 二次函数型 f(x)=az十bz十c(a,b,c为常数，a≠0) 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 指数函数型 f(x)=ba+c(a,b,c为常数，a>0且 a≠1，b≠0) 随x的增大 随x的增大 随n值变 图象的变化 逐渐表现为 逐渐表现为 化而各有 f(x)=blogx十c(a,b,c为常数，a>0 与 平行 与平行 不同 对数函数型 且a≠1，b≠0) 存在一个xo,当x>x0时， 幂函数型 f(x)=ax”十b(a,b为常数，a≠0) 值的比较 有logar.<x"<a ·42· 主题二第二章函数 ·重要结论· 则对x,y最适合的拟合函数是 ( 1.对勾函数y=x十a(a>0)在(-∞，-a]和 A.y=2x B.y=x2-1 C.y=2x-2 D.y=log2x [√a,+o∞)上单调递增，在[-√a,0)和(0，√a 上单调递减.当x>0,x=√a时取最小值2√a; 2.(2024·北京卷)生物丰高度指数d=是河 当x<0时，x=一√a时取最大值一2√a, 流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河 2.当描述增长速度变化很快时，选用指数函数 流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度 模型. 指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的 3.当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会 生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变 增长到很大时，选用对数函数模型. 为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则 4.幂函数模型y=x”(n>0)可以描述增长幅度 不同的变化，当n值较小(n≤1)时，增长较慢； ( 当n值较大(n>1)时，增长较快 A.3N2=2N1 B.2N2=3N1 自主诊断查验 C.N3=N D.N=N ◆[思考辨析 3.(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量 里打“/”，错误的打“X”. 为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量 (1)函数y=2x的函数值在(0，+∞)上一定比 y=x2的函数值大. () 减少号则使产品达到市场要求的过滤次数可以 (2)在(0，+o∞)上，随着x的增大，y=ax(a>1) 为（参考数据：lg2≈0.301,1g3≈0.477）( 的增长速度会超过并远远大于y=x“(a>0)的 A.6 B.9 C.8 D.7 增长速度， 4.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系 (3)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b十c(a≠0， b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( 为y=alog3(x+1),设这种动物第2年有100 (4)幂函数增长比直线增长更快， 只，到第8年它们发展到 只 (5)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时 5.(忽视整体代入致误)把物体放在空气中冷却，如 间内变化量较大的实际问题中 ( 果物体原来的温度是01℃，空气的温度是0。℃， ◆[小题查验] 那么t分钟后物体的温度0（单位：℃）满足等式 1.在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组 0=0+(01-0)e:,其中k为常数.现有62℃ 数据，如下表： 的物体放到22℃的空气中冷却2分钟后，物体 0.50 0.99 2.01 3.98 的温度为42℃，再经过4分钟冷却，该物体的温 -0.99 -0.01 0.98 2.00 度可以冷却到 跃升>关健能力 题型突破素养提升 题型1 用函数图象刻画实际问题 中两变量的变化过程 1.在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针 方向沿周长为1的图形运动一周，O、P两点连线 的距离y与点P走过的路程x的函数关系如 图，那么点P所走的图形是 2.在用计算机处理灰度图象（即俗称的黑白照片） 时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表 示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其 明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这 ·43 高考总复习数学(BS) 样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值” 题型2应用所给函数模型解决实际问题 在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的 [典例]星等分为两种：目视星等与绝对星等，但 对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转 换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所 它们之间可用公式M=m十5一5lg2转换，其 示的效果： 中M为绝对星等，m为目视星等，d为到地球的 距离（单位：光年）.现在地球某处测得牛郎星目 255 视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星 等为0.03，绝对星等为0.5.则距离地球更近的 星球和它们到地球的距离之比（较远距离与较近 处理前 处理后 则下列可以实现该功能的一种函数图象是 距离之比)分别是（参考数据：100.19≈1.549， 100.906≈8.054,100.716≈5.199) 新灰度值 新灰度值 A.牛郎星，约1.5 B.织女星，约1.5 255 255 C.牛郎星，约2.9 D.织女星，约2.9 方法指导 原灰度值 原灰度值 255 0 255 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 B +新灰度值 +新灰度值 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数， 255 255 (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待 定系数 原灰度值 :原灰度值 (3)利用该模型求解实际问题 255 255 D 易错警示 3.衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘.某衡东土菜馆为 解决实际问题时要注意自变量的取值范围， 实现100万元年经营利润目标，拟制定员工的奖 励方案：在经营利润超过6万元的前提下奖励， 1跟踪训练 且奖金y(单位：万元)随经营利润x(单位：万元) (多选)(2023·新课标I卷)噪声污染问题越来 的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时 越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义 奖金不能超过利润的20%.下列函数模型中，符 合该点要求的是 ( 声压级Lb=20×1g卫，其中常数po(p0>0)是 (参考数据：1.015100≈4.432，lg11≈1.041) 听觉下限阈值，力是实际声压.下表为不同声源 A.y=0.04x B.y=1.015x-1 的声压级： C.y=tan D.y=log11(3x-10) 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 题后反思 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的 燃油汽车 10 60~一90 两种方法 混合动力汽车 10 50~60 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模 型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. 电动汽车 10 40 (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则 根据实际问题中两变量的变化快慢等特点， 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排 10m处测得实际声压分别为p1p2,p3,则( 除不符合实际的情况，选择出符合实际情况 A.p1≥p2 B.p2>10p3 的答案. C.p3=100po D.p1≤100p2 44· 主题二第二章函数 题型3〔 构造函数模型解决实际问题 (2)解不等式R(x)>r+: [典例]甲、乙、丙三辆出租车2025年运营的相关 (3)探究是否存在非零实数k,b,使得y=R(kx十b) 数据如下表： 为偶函数？若存在，求k,b应满足的条件；若不 甲 乙 丙 存在，请说明理由. 接单量t(单)》 7831 8225 8338 油费s(元) 107150 110264 110376 平均每单 15 15 15 里程k(公里》 平均每公里 油费a(元) 0.7 0.7 0.7 出租车空驶率= 出租车没有载客行驶的里程，依 出租车行驶的总里程 据上述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的 模型u=f(s,t,k,a),并求得甲、乙、丙的空驶率 分别为23.26%，21.68%，x%,则x= (精确到0.01). 规律方法 构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型； (2)推理、演算：对数学模型进行推理或数学 运算； (3)解模：求解数学模型，得出结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题」 跟踪训练 黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家 波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的 应用.黎曼函数定义在[0,1]上，R(x)= 日=号(9N号为既约真分数)】 (0,x=0或1或(0,1)内的无理数 (1)请用描述法写出满足方程R(x)=x(x≠0)的 解集；（直接写出答案即可） C温馨提 学习至此，请完成配套训练课时冲关15 ·45高考总复习数学(BS) 培优拓展4 [典例门[解析]令f(x)=1,则函数 F()可化为y=f)-21-是，则函 数F(x)的零，点问题可转化为方程 f()二21二号=0的根的问题， =0 令y=f()-21-立 3 则f()=21+立· 分别作出y-f(0和y-2+受的图 象，如图①，由图象可得有两个交，点 横坐标设为1，t2（不妨设<2)， 则t1=0,1<122: 2+ y y yf(t) 2 ☑ 702 图① 网勇 作函数y=f(x),与y=1的图象如图 ②，结合图象，当f(x)=0时，有一解， 即x=2;当f(x)=2时，结合图象，有 3个解.所以y=f(f(x)-2f(x) 吕共有4个零点 [答案]A 跟踪训练 A[f2(x)-f(x)-6=0,解得f(x) =-2或f(x)=3.当x<0时，f(x) =-2,解得x=-1,f(x)=3,解得x -3±5>0（合）：当x>0时，f(x)= 2 一2，解得x=-1十√2或x=-1-√2 <0(含)f(x)=3,解得x=3+区 2 或x=3-区<0（合）.综上，方程 f2(x)一f(.x)一6=0的实根为x=一1 或x=-1十反或x=3+压，即方 2 程f2(x)一f(x)一6=0的实根个数为 3个.] 第9节 复盘·必备知识必备知识掌握 2,单调递增单调递增单调递增 y轴x轴 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)/ (3)×(4)×(5)/ 小题查验 1.D[根据x=0.50,y=一0.99，代入 计算，可以排除A:根据x=2.01,y 0.98,代入计算，可以排除B,C:将各数 据代入函数y=lg2x,可知满足题意.] S-1 2.D[由题意可得 (2.1=nN 3.15= 两式相除得2.1lnN1=3.15lnN2, 所以lnN1=lnN15,即N1 Ng5,故N=N.] 3.BC[设经过n次过滤，产品达到市 场委水，则品×（台）广≤d即 2 (号)）”≤0由号≤-20，即 n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥ B最4们 4.解析：由题意知100=alog3(2+1), d d2 .a=100, 即1g3.26-0.716.1g3.26-0.906, .y=100log(x十1)，.当x=8时， y=100log39=200. 所以 =100.716≈5.199. 3.26 答案：200 5.解析：依题意42=22十(62-22)· 3.26-10.906≈8.054， d2 。,e跳=宁，故再经过4分钟冷 所以d2>d1,所以距离地球更近的星 d2 却，该物体的温度可以冷却到22十 3.26 (42-22)·e快=22+20·(e2k)2 球为牛郎星，且 d d =22+20×1=27℃. 3.26 4 100.906 答案：27℃ 100.716 =108.19≈1.549.] 跃升·关键能力题型1 「答案]A 1.D[对于A,点P在第一条边上时， 跟踪训练 y=x,但点P在第二条边上运动时， y是随x的增大先减小（减到最小时 ACD ['L-12=20Xlg 2-20x y即为三角形的第二条边上的高的长 度)，然后再增大，对比图象可知，A 1g2-20×1g2≥0.A≥1， Po 错误： p2 对于B,y与x的函数图形一定不是对 p1p2,所以A正确； 称的，B错误： 对于C,一开始y与x的关系不是线 :e-4=20x1g2>10.lg号 性的，C错误； 对于D,因为函数图象对称，所以D选 >合会>10，所以B错误： P3 项应为正方形，不妨设边长为a, L3=20X1g2=40,2=100,所 ,点P在第一条边上时（即0x Po Po 时)，y=x,点P在第二条边上运动时 以C正确； (即a≤x≤2a时)，y= ,L1-L2=20×1g 1≤90-50=40， √a2十(x-a)2,依然单调递增，点P 在第三条边上运动时（即2ax3a 1g么≤2A≤10，所以D正确.] 时)，y=√a2+(3a-x)2,单调递减， 题型3 点P在第四条边上运动时（即3a≤x [典例][解析]依题意，因为出租车 4a时)，y=4a一x,单调递减，且已 行驶的总里程为。，出租车有载客时 知y与x的图象关于x=2a= 行驶的里程为k,所以出租车空驶率 中=4a)对称，D正确.] 2.A[根据图片处理过程中图象上每 一k 个像素的灰度值转换的规则可知，相 1-k 对于原图的灰度值，处理后的图象上 每个像素的灰度值增加，所以图象在 对于甲，1-7831X15X0.1≈0.2326 y=x上方，结合选项只有A选项能够 107150 较好的达到目的.] =23.26%,满足题意： 3.D[对于函数y=0.04x,当x=100 对于乙，1-8225×15×0.7 时，y=4>3,不符合题意： 110264 对于函数y=1.015x-1,当x=100 ≈0.2168=21.68%，满足题意： 时，y=3.432>3,不符合题意： 所以上述模型满足要求， 则丙的空驶率为x% 对于函数y-an(后-1）不满足跪 1-8338X15X0.7≈0.2068 增，不符合题意； 110376 对于函数y-log11(3x-10),满足x∈ =20.68%,即x=20.68 (6,100]时是增函数，且y=1og11(3× [答案]20.68 100-10)-1og11290<1og111331=3, 跟踪训练 解：(1)依题意，x≠0，当x=1时， 结合图象，y=5x与y=log11(3x一 R(x)=0,则方程R(x)=x无解，当x 10)的图象如图所示，符合题意.] 为(0,1)内的无理数时，R(x)=0,则 A Y 方程R(x)=x无解，当x=卫(p,g∈ N+,卫为既约真分数)时，则R(x) 1 0 12345 日9为大于1的正整数，则由方程 R(x)=x,解得x=,9为大于1的 0 正整数，综上，方程R(x)=x(x≠0)的 题型2 [典例][解析]设牛郎星到地球的距 解集为{x|x=,g为大于1的 离为d1,织女星到地球的距离为d2, 正整数}. 所以2.19=0.7+5-51g3.26 d (2)若x=0或x=1或x为(0,1)内无 0.5=0.03+5-51g3.26 理数时，R(x)=0,而号x+号>0，此 时Rx)<吉十吉，若x=号(： 1 ·396· g∈N,号为既的真分)，则R() ,9为大于1的正整数，由R(x)> 1 p叶g<5,又因为x-号(p:g∈N· 11 卫为既约真分数)，所以工=立，3， 棕上，不等式R)>吉x十合的解系 1 为{位号} (3)存在非零实数=1,6=号，使得y =R(kx十b)为偶函数，即y= R(十)为偶函数，证明如下： 当x=0或x=1时，有R(0)=R(1)= 0成立，满足R(x)=R(1一x), 当x为(0,1)内的无理数时，1一x也 为(0,1)内的无理数，所以R(x)=R(1 -x)=0,满足R(x)=R(1一x),当 -号(p9EN+,号为既约真分). 0 则1-x=1-卫-9一上为既约真分 数，所以R(x)=R(1一x)=1,满足 R(x)=R(1-x), 综上，对任意r∈[0,1]，都有R(x)= R(1-x), 所以R(x)关于x=合对称， 即R(+)R(合-)： 则R(十号)为偶函数，所以，存在 非索实盛=1,6=合，使得y=RCk红 十b)为偶函数 第三章 第1节 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(2)切线的斜率2.fx十△x)-f(x) △x 3.0 ar-1 a'ln a e 1 1 xln a r cos x -sin r 1 cos2r 4.(1)f(x)土 g'(x)(2)f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 5.x的函数复合函数y=f(g(x) 自主诊断查验思考辨析 (1)/(2)×(3)/(4)×(5)/ 小题查验 1.B[因为f(1)= lim KD)-f(+2Ar-1. -2△x 所以1imf)=f1+2△2=-2.] △x 2,D[当x<0时，曲线的切线斜率大于0 且越来越大，当x>0时，曲线的切线斜 率小于0且越来越大.] 3.B[f(x)=19+lnx+x·1=20+ x lnx,由f(xo)=20,得20+lnx0= 20,则1nxo=0,解得xo=1.] 4.AD[A.(sinx)'=cosx,故正确； .1ogzx)=n3故错误 D.In-子故正病] 参考答案 5.解析：设切点坐标为N(x0,2.x8 题型3命题点1 3x0),则切线的斜率k=f(x0)=6.x品 1.A ['f(r)-e+2sin 一3，故切线方程为y=(6x品一3)x十 1+x2 32,又因为，点N在切线上，所以2x f(x)= -3x0=(6x-3)x0十32，解得x0 (e'+2cos r)(1+x2)-(e'+2sin r).2x 一2，所以切线方程为y=21x十32. (1+x2)2 答案：y=21x+32 (x-1)2e+2(1+x2)cos r4xsin 跃升·关键能力题型1 (1+x2)2 1.D[因为f(x)=2lnx十8x, 则f(0)=3, 所以f()=2+8, y=f(x)在点(0,1)处的切线方程 为y-1=3(x-0),即3x-y+1=0 所以1im1+2△x)-f1) 令x=0,得y=1, △x f1+2△x)-f(1) 令y-0,得x-分 =lim 2△x =2f(1) y=f(x)在点(0,1)处的切线与两 =20.] 坐标轴所围成的三角形的面积为S= 2.解：设f(x)= √x 则△y=f(1+△.x)-f1) 2.解析：①当P为切点时，由y= 1 √I十4左 -1 （行）/=2，得1=2=4，即过点 P的切线方程的斜率为4. =1-+Ax 8 √/1+△x 则所求的切线方程是y一3=4x一2》： (1-√/1+△x)(1+√/1+△x 即12.x-3y-16=0. W√1+△x(1+√1+△x) ②当P点不是切点时， -△x 设切，点为Q(x0,%), √/1+△x(1+√/1+△x) 则切钱方程为)y子=红一西小 △y 1 △ W1+△x(1+√1+△x) 因为切线过点P(2号)）起P点的 m-m -1 坐标代入以上切线方程，求得x0= -0√/1+△x(1+√/1+△x) 一1或x0=2(即点P,舍去)，所以切 1 2 点为Q(-1,-子）即所求切线方程 题型2 为3x-3y+2=0. 1.D [(el-)'=-el-:,(cos 3r)' 综上所述，过点P的切线方程为 =-3sin3x,(√/x-1)'= 1 12x-3y-16=0或3x-3y+2=0. 2√x-i' 答案：12x-3y-16=0或3x-3y+2 (xIn x)'=In x+1.] =0 2.解析：由2x+5=e+x+a得e2=x 十5-a,故可知y=x十5-a与y=e 3.解析：根据题意得，f(x)=兰，设切点 相切，y=e的导数y'=e,所以切点 坐标为(x0),则f'(xo)=4 横坐标为0，所以5一a=1,故a=4. 答案：4 所以切线1的方程为y=么(x-o) 3.解：(1)y=(x2)/sinx+x2(sinx)' =2xsin x+x cos x. 十0，将点(0,0)代入，可得0=a 2y-(x+) (0-xo)十yo,整理得yo=a,故aln ro =mxy+(- 11 -a,解得)=e,故f()=名，即切 (3)y= () 线1的斜率为品 -（cosx)'e-cosx(e')' 答案：号 (ex)2 命题点2 sin rtcos x 4.D[因为y=lnx十x2+(W5-a)x, 所以y=1+2x+5-a, (4):y-xn(2x+)o(2x+) 因为曲线在M处的切线的倾斜角0日 2sin(4+x)--2 sin 4e, [后，受)所以y≥am登-E对于 任意的x>0恒成立，即1十2x十5 sin 4x-2xcos 4.r. 一a≥√5对任意x>0恒成立，即a≤ (5)令u=2x-5,y=lnu, 2x+子又2x+≥2区，当且仅当 1 2 则y=(hwd=2—52-2x= 2 2x=即=号时，学号成主，故≤ 即y=2一5 2√2，所以a的取值范围是(-∞，22].] ·397·