第二章 第7节 函数的图象-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

高考总复习数学(BS) 规律总结 [命题点3]与对数有关的复合函数问题 应用对数型函数的图象可求解的问题 4.已知函数f(x)=log。|ax2-(2a+3)x十6|在区 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象 间[子4小上单调递增，则实数口的取值范围为 的对数型函数，在求解其单调性（单调区 间)、值域（最值）、零点时，常利用数形结 3 合思想. A.5≤a<4 B<a< (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应 的函数图象问题，利用数形结合法求解， C<a<或a>1D.号<a<1或a>1 [命题点4]利用对数函数的性质求参数 题型3〔 对数函数的性质及应用 5.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=（x+a)ln(x [命题点1]比较对数值的大小 十b).若f(x)≥0.则a2+b2的最小值为() 1.已知a=1og315,b=1og420,2=1.9,则 A司 c. D.1 A.a>c>b B.c>a>b 规律总结 、 C.b-a>c D.a>b>>c 2.设a=log49,b=l0g25,c=31-log,4,则a,b,c的大 对数函数性质及应用中应注意的问题 (1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的 小关系为 对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可 A.b>a>c B.b>c>a 以找中间量，也可以用换底公式化成同底的 C.a>b>c D.c>b>a 对数再比较. [命题点2]解简单的对数不等式 (2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算 .设函数f)n1+x)1十，2则使得f)D 性质化为同底数的对数值，再利用对数函数 的单调性转化为一般不等式求解. f(2x一1)成立的x的取值范围是 (3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的 A( 复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三 方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在 B(- U(1,+∞) 定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三 是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等 c() 函数复合而成的 D(,-)u(G+ C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关12 第7节 函数的图象 ★[课程标准] 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数， 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题 3.会结合函数性质判断或选择函数的图象. 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 1.利用描点法作函数的图象步骤 y=f(x)+k (1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式： 上k(k>0) 移个单位 (3)讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称 左移 y=f(x+a) y=f(a) 右移 性等)； a(a>0) a(a>0) y=f(x-a) 个单位 下k>O)个单位 (4)列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值 移个单位 点、与坐标轴的交点等)，描点，连线。 y= ·36· 主题二第二章函 数 (2)对称变换 自主诊断查验 ①y=f(x) 关于x轴对称 ◆[思考辨析] 关于y轴对称 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 ②y=f(x) y- 里打“√”，错误的打“X” ③y-f(x) 关于原点对称 (1)函数y=2x的图象关于直线x=0对称， 关于y=x对称 ( ④y=ar(a>0且a≠1) (2)当x∈(0，十∞)时，函数y=|f(x)|与y f(|x)的图象相同. ( (3)伸缩变换 (3)函数y=f(x)与y=-一f(x)的图象关于原点 。>1,横坐标缩短为原来的。倍，纵坐标不变 对称. () ①y=f(x) 0<a<1,横坐标伸长为原来的。倍，纵坐标不变 (4)若函数y=f(x)满足f(1十x)=f(1-x),则 函数f(x)的图象关于直线x=1对称.() y= (5)将函数y=f(一x)的图象向右平移1个单位 a>1,纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变 ②y=f(x 得到函数y=f(一x一1)的图象. () 0a<1,纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变 ◆[小题查验] y= (4)翻转变换 1.(BSD必修第一册P66思考交流T2改编)已知图 保留x轴上方图象 ①中的图象是函数y=(x)的图象，则图②中的 ①y=f(x) 将x轴下方图象翻折上去y 图象对应的函数可能是 保留y轴右边图象，并作其 ②y=f(x) 关于y轴对称的图象 …重要结论。 1.函数图象自身的轴对称 (1)f(-x)=f(x)台函数y=f(x)的图象关于y 轴对称； 图① 图2 (2)函数y=f(x)的图象关于x=a对称台f(a十x) A.y=f(lxl) B.y=|f(x)川 =f(a-x)台f(x)=f(2a-x)台f(-x)=f(2a C.y=f(-Ixl) D.y=-f(-|x|) +x); 2.(2025·北京卷，4)为得到函数y=9的图象，只 (3)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a十x)= 需把函数y=3的图象上的所有点 () f(b一x),则函数y=f(x)的图象关于直线x 学对 A.横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 B.横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 2.函数图象自身的中心对称 C.纵坐标变成原来的号倍，横坐标不变 (1)f(一x)=一f(x)台函数y=f(x)的图象关 D.纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变 于原点对称； 3.(2025·天津卷)已知函数 (2)函数y=f(x)的图象关于(a,0)对称台f(a+x) y=f(x)的图象如图，则f(x) =-f(a-x)台f(x)=-f(2a-x)台f(-x) 的解析式可能为 ( =-f(2a+x); (3)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对 A.f(x)=1-1z可 称台f(a+x)=2b-f(a-x)台f(x)=2b f(2a-x). B.f(x)= x-1 3.两个函数图象之间的对称关系 C.f(x)- x (1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于 1-x2 直线x= 对称（由a十x=b-x得对称轴 D.f(x)= x 2 x2-1 方程)； 4.(忽视复合函数中间变量的范围致 (2)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直 误)已知函数f(x)在R上单调且其 线x=a对称； 部分图象如图所示，若不等式一2< (3)函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于 f(x+t)<4的解集为(-1,2)，则实 点(0，b)对称； 数t的值为 (4)函数y=f(.x)与y=2b-f(2a-x)的图象关 5.若关于x的方程|x=a一x只有一个解，则实数 于点(a,b)对称， a的取值范围是 37 高考总复习 数学(BS) 跃升>关键能力 题型突破素养提升 题型1〔 作函数的图象 题型2〔 函数图象的识别 分别作出下列函数的图象： ◆[命题点1]由函数解析式选图 (1)y=elnz; [典例1](2024·全国甲卷（理）)函数y=一x2+ (2)y=|1og2(x+1)|: (ex-e-x)sinx在区间[-2.8,2.8]的图象大 (3)y=ax(0<a<1); 致为 (4)y= 2x-1 x-1 方法指导 知式选图的策略 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函 数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性（有时可借助导数判断），判 断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性： (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复： (5)从函数的特征点（与坐标轴的交点、经过的定 点、极值点等)，排除不合要求的图象. 1跟踪训练 1.函数f(x)=sinx十 2、的图象可能是( 1+2x ◆[命题点2]由函数的图象选解析式 题后反思 [典例2](2023·天津卷)函数 画函数图象的一般方法 f(x)的图象如图所示，则 (1)直接法.当函数表达式（或变形后的表达式） f(x)的解析式可能为( 是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的 A.f(x)= 5(er-ex) 特征直接作出. x2+2 (2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数 B.f(.x)= 5sin x 的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图 x2+1 象变换作出，但要注意变换顺序.对不能直接找 C.f(x)= 5(e'+er) x2+2 到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移 变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的 D.f(x)=5cosz x2+1 影响 、 易错警示… 易错警示 注意联系基本函数图象的模型，当选项无法排除 可先化简函数解析式，再利用图象的变换作图 时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口. ·38· 主题二第二章函 数 跟踪训练 题型3 函数图象的应用 2.已知函数f(x)的部分图象如 [命题点1]研究函数的零点或方程解的个数 图所示，则f(x)的解析式可 (e,x0, 能为 ( 1.设函数f(x)= 若f(x)一k=0有 In xl,>0, A.fx）=4x-3 er-ex 三个不同的实数根，则实数k的取值范围是 er-e-z ( B.f(x)= 3-4x A.(0,1) B.(0,+o∞) erte-x C.(0,1] D.[0,+∞) C.f(z)= 4|x|-3 [命题点2] 求不等式的解集或判断不等式是 D.f(x)=x-1 否成立 [命题点3]用函数的变化趋势及特殊值选图 2.已知函数f(x) 2 则f(x) [典例3]如图，正△ABC的中 (log4(x+1),-1<x<1, 心位于点G(0,1),A(0,2),动 点P从A点出发沿△ABC ≤号：的解集为 的边界按逆时针方向运动， A.(-∞，0] B.(-1,0] 设旋转的角度∠AGP =x C.(-1,0]U[1,+o∞) D.[1,+∞) (0≤x≤2π)，向量OP在a 3.(多选)已知直线y=一x十2分别与函数y=e (1,0)方向的射影为y(O为坐标原点)，则y关于 和y=lnx的图象交于点A(x1,y1),B(x2y2)则 x的函数y=f(x)的图象是 下列结论正确的是 A.x1十x2=2 B.e"te"2>2e C.xIn x2+22In x1<0 n>号 ◆[命题点3]求参数的取值或范围 x一1x≤0， 2T1 4.已知函数f(x) 若关于x的方程 In x ,x>0, x 方法总结 f(x)=x十a无实根，则实数a的取值范围为 1.解决动点的函数问题思路：采用“以静观动”，即 ( 将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化 A.(-0U(日1 B.(-1,0) 特征，从而作出选择. 2.知式选图的解题思路：根据解析式结合所给图 c.(0.) D.(0,1) 象，灵活运用特殊值及函数的变化趋势排除错 误的选项，快速选择 规律总结 (1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注 !跟踪训练 意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义 3.如图，圆O的半径为1，A是圆 域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应 上的定点，P是圆上的动点，角 单调性，对称性对应奇偶性 的始边为射线OA,终边为射线 (2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参 OP,过点P作直线OA的垂线， 数的值（范围）：构造函数，转化为两函数图象 垂足为M,将点M到直线OP的 的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出 距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0，π] 两函数的图象，数形结合求解。 上的图象大致为 (3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数 法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将 不等式问题转化为两函数图象的上、下关系 问题，从而利用数形结合求解 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关13 ·390<a<1, 综上所递，实数口的取值范周为是≤ a<3或a>1,] 即实数a的取值范国是(61）片】 命题点4 答案：（品1） 5.C[当x<-a时x十a<0,当x>-a 时x十a>0,当x<1-b时ln(x+b) [子题3]解析：如图，在同一坐标系中 <0,当x>1-b时ln(x十b)>0,所以 分别作出y-f(x)与y=-x+a的 要f(x)恒非负，必须-a=1-b,即 图象， b-a=1,所以a2+b2 (a-b)2+(a+b)2 2 2,当且仅当 号b-时取等号.] 1 a=- 第7节 y-x+ 复盘·必备知识必备知识掌握 -x+1 2.(1)y=f(x)-k(2)①-f(x) 其中a表示直线在y轴上的裁距，由 ②f(-x)③-f(-x)④log r(a>0 图可知，当a>1时，直线y=一x十a 且a≠1)(3)①f(a.x)②af(x) 与y=f(x)只有一个交点 (4)①f(x)|②f(|x|) 答案：(1，十∞) 自主诊断查验思考辨析 题型3命题点1 (1)/(2)× (3)×(4)/(5)× 1.D[a=1og315=1og3(3×5)=1+ 小题查验 1og35>1,b=1og420=1og4(4×5)= 1.C[因为题图②中的图象是在题图① 1十1og45>1,c=1og21.9<1,因为 的基础上，去掉函数y=f(x)的图象 1og5=8>5-1og45,所以a 在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧 1g31g4 图象翻折到y轴右侧得到的，所以题 >bc.] 图②中的图象对应的函数可能是y 2,A[因为函数y=log2x在定义域上 f(-x).] 单调递增，故b=log5>log23=log49 2.A[因为y=9x=32x,所以将函数y =a>log2=1,又因为c=31-lg4 =3”的图象上所有，点的横坐标变成 383-w-3寺-是<1，所以b> 原泉的号倍，纵坐标不变，即可得到 a>1>c.] 函数y=9的图象.] 命题点2 3.A[定义在R上的函数f(x)满足 3.D[A中，fx)=1-=-z f(一x)=f(x),所以f(x)为偶函数， =一f(一x)(x≠士1)为奇函数，其图 当x>0时，f(x)=ln(1+x)- 1 象关于原点对称，故排除A:B中， 1+x2 汇 为增函数，由f(x)>f(2x一1)结合偶函 f-)==x百=-x气 数图象的对称性可知x>2x一1，两 一f(x)(x≠士1)为奇函数，故排除B: 边平方并化简得(x一1)(3.x一1)0， C中，f(-x)= -x 解得3<x<1.所以不等式f(x)> f(x)为偶函数，当x=2时，f(2)= f(2x-1)的解集为(31）门 吕1-号<0，故排除C] 命题点3 4.解析：由题中图象可知不等式一2< 4.C[函数y=f(x)是由y=log1与 f(x+t)<4,即为f(3)<f(x十t) t=|(x-2)(ax-3)|复合而成， f(0),故x十t∈(0,3)，即不等式的解 ①当0<a<1时，因为y=log,t为减 集为（一t,3一t),依题意可得t=1. 函数，且函数f(x)=l1ogax一(2a十 答案：1 30x十61在区同[子小上单羽递增， 5.解析：由题意a=x十x, 所以t=|(x-2)(ax-3)|在 令y=|x+x=2xx≥0， 0,x0, [侣]小上单满追该：结合1 图象如图所示，故要使a=|x|十x只 有一解则a>0. 2)(ax 一3)|的图象可得 y=a '/y=*x 2。空·解得；≤y 7 3 0 34 答案：(0，十∞) 跃升·关键能力题型1 ②当a>1时，因为y=log,t为增函数， 解：(1)：函数的定义域为{xx>0}, 且函数f(x)=1og|a.x2-(2a+3)x+6 且y=ehr=x(x>0), 在区间[子4]上单调递增，所以1一 ∴.其图象如图(1)所示」 1(x-2)(ax-3) 在[子4]上单调 ty 逃增，又因为此时是<3，结合1 12x |(x一2)(ax一3)|的图象可知此时符 合题意. 图(1) 图(2) ·393· 参考答案 (2)将函数y=log2x的图象向左平移 一个单位，再将x轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y |1og2(x十1)|的图象，如图(2)所示. a,x≥0 (3),y .只需作出0<a<1时函数y=a(x ≥0)和y= (合)广x<0)的图象，合 起来即得函数y=az(0<a<1)的图 象.如图(3)所示. -101x -2-10123元 图(3) 图(4) (4)y=2+ x-1, 故函数图象可由y= 上的图象向右平 移1个单位，再向上平移2个单位而 得，如图(4)所示 题型2命题点1 「典例1门「解析]令f(x)=一x2+(e -e)sin I, 则f(-x)=-(-x)2+(ex-e)· sin(-r)=-x2+(ex-e sin x =f(x) ·y=f(x)为偶函数，排除A,C； f(径)-于+e-e e音—e一受元o, 故排除D,B正确. [答案]B 跟踪训练 L.D[因为f(x)=simx十+2的定义 域为R,又因为f(一x)=sin(一x)+ 2 。=inx十x千1≠一f(x),听 以f(x)不是奇函数，排除A,B项， =-1+ 1十2<0，所以排除C项] 2 [典例2][解析]由图象可知，f(x) 图象关于y轴对称，为偶函数，故A、B 错误，当x>0时，f(x)=5(C+e) x2+2 恒大于0，与图象不符合，故C错误. [答案]D 跟踪训练 2.A[对于B,当x>1时，f(x)= 3-4x,易知e-e1>0,3-4x< er-e 0,则f(x)<0,不满足图象，故B 错误； 对于心了)=洁三定义线为 (,子) (是)（层+） 又因为f(一x)= 4-x-3 r-3-f代x),则f(x)的图象关于 erfex y轴对称，故C错误； 高考总复习数学(BS) 对于D,当x>1时，f()=- ==1+ 由反比例函数的性质可知，f(x)在 (1,十∞)上单调递减，故D错误； 检验选项Af)一二行满足因 中性质，故A正确.] 命题点3 [典例3][解析] 设BC边与y 轴交点为点M, 由已知可得GM =0.5, 因而可得AM= 1.5,由此正三角 形的边长为√5，连接BG,可得 tan∠BGM= 2 1 =√5，即∠BGM= 2 ，则∠BGA=号，由图可知当x π时，射影y取到最小值，其大小为 2 一，由此可兼除A,B追项：又当点 P从点B向点M运动时，x变化相同 的值，此时射影长的变化变小，即图象 趋于平缓，由此可排除D [答案]C 跟踪训练 3.C[解法一：由题图：当x=号时，0P ⊥OA,此时f(x)=0,排除A,D选项；选 项当x∈(0，受)时.0M=osx,设点 d M到直线OP的距离为d,则O= sin r,d=OMsin x-sin xcos x, 1 1 f(x)=sin reos=2sin2.x≤2， 排除B选项 解法二：如图所示，过，点M作OP的垂 线，垂足为D. O M x=4T 当一受时，MD=0,排除A,D选项， 当x=天或x=3还时，MD取得最大值 4 4 1 为2，排除B选项] 题型3命题点1 1.C[当x≤0时，函数y=e单调递 增，函数值集合为(0,1]，当0<x≤1 时，函数y=一lnx单调递减，函数值 集合为[0，十∞)，当x≥1时，函数 y=lnx单调递增，函数值集合为 [0,十∞)，作出函数y=f(x)的图象 与直线y=k,如图， y y=f(x) 观察图象知，当0<k≤1时，函数y= 对于D,由x1十x2≥2√1x2,解得 f(x)的图象与直线y=k有3个交点， x1x21,由于x1≠x2,则x1x2<1, 所以f(x)一k=0有三个不同的实数 故D错误.] 根，实数k的取值范国是(0,1].] 命题点3 命题点2 2.C[作出画数y=fx)与y=之x的 4.B[因为函数f(x) 图象，如图， n,x>0, y=x y=x+a 2 y=x-1 y=f(x) 10 1 当≥1时（）广≤号，作出函教 -3 4 y=(宁)广与y=宁：的因象， 关于x的方程f(x)=x十a无实根等 价于函数y=f(x)的图象与直线y 由图象可知，此时解得x∈[1，十∞)： x十a无交点， 当-1<x<1时，log4(x+1)≤号x, 设直线y=x十a与f(x)=ln(x>0) 作出函数y=log4(x十1)与y=2x 的切点为P(x0yo),由f(x)= 的图象，它们的交点坐标为(0,0)， 1一ln,由已知有： 1-lnx0=1,解得 (1,之）小结合图象知此时x∈(-1,0]. x0=1,则P(1,0),则切线方程为：y= x一1，由图知：函数y=f(x)的图象与 所以不等式f(x)≤子x的解集为 直线y=x十a无交点时实数a的取值 范国为一1<a<0.] (-1,0]U[1,+∞). 3.ABC[函数y=ex与y=lnx互为反 第8节 函数，则y=e'与y=lnx的图象关于 复盘·必备知识必备知识掌握 y=x对称. 1.(1)f(xo)=0零点横坐标 将y=一x十2与y=x联立，则x=1, (2)x轴零点 (3)f(a)·f(b)<0 y=1. 零点至少 由直线y=-x十2分别与函数y=e 2.连续f(a)·f(b)0 和y=lnx的图象交于点A(x1y), 3.(x1,0),(x2,0)(x1,0) B(x2,2),作出函数图象，则A(x1, 自主诊断查验思考辨析 1),B(x2y2)的中点坐标为(1,1). (1)×(2)X (3)/(4)/(5)/ 小题查验 4 y=心 y=x 1.A[根据二分法的概念可知选项A y=-x+2 中函数不能用二分法求零点.] 2.B[f(x)=0.32-Nx(x>0)在(0， y=Inx 十∞)上单调递减. XB f(0.3)=0.30.3-√0.3 4-3-2-12入34x -1 -0.30.3-0.30.5>0. 2 f(0.5)=0.3.5-√0.5 =0.30.5-0.50.5<0, 对于A,由十=1，解得十0=2， ,.f(x)的零点在区间(0.3,0.5)上.] 2 3.D[因为f(0)f(0.5)<0,由零点存 故A正确： 在性知：零点x0∈(0,0.5)，根据二分 对于B,e十e'≥2We5·e= 2√e5x-2√e-2e,因为x1≠ 法，第二次应计算(9) 即f(0.25).] x2,即等号不成立，所以e十e> 4.C[因为f2)=ln2-2<0,f(e)=lne 2e,故B正确： 十2e一6>0，且f(x)为增函数，所以 对于C,将y=一x十2与y=e联立 f(x)的零，点所在的区间为(2，e).] 可得一x+2=ex,即ex十x-2=0. 5.解析：当a=0时，f(x)=一x一1， 设f(x)=e十x-2,且函数为单调递 令f(x)=0得x=-1, 增函数， 故f(x)只有一个零点为一1，当a≠0 ,f(0)=1+0-2=-1<0, f(侵)）-e+是-2=et- 时，则△=1十4a=0a=-1 2>0, 故函数的零点在(0，)上，即0<1 综上有a-0或-子 <号，由十=2，则1<<2， 答案0或-十 跃升·关键能力题型1 1>x2,lmx2十xlh= 1.A[.ab<c,..f(a)=(a-b)(a c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c) In za- 1<fnri-aln- =(c一a)(c-b)>0,由函数零点存在 性定理可知：在区间(a,b),(b,c)内分 (x1一x2)lnx2<0,故C正确； 别存在零点，又函数f(x)是二次函 ·394·