第二章 第6节 对数与对数函数-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

高考总复习数学(BS) 第6节对数与对数函数 ★[课程标准] 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对 数或常用对数. 2.通过具体实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象，探索并了解对 数函数的单调性与特殊点。 3.知道对数函数y=logax与指数函数y=a互为反函数(a>0,且a≠1). 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 (2)对数函数的图象与性质 1.对数的概念 底数 a>1 0<a<1 (1)对数的定义：一般地，如果a(a>0,且a≠1)的 b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为 3 x=1 x=1 ,记作 =b,其中a叫作对 图 y=log.x 数的 ,N叫作 (1,0) 象 /A(1,0) (2)对数与指数的关系：给定底数后，对数运算是指 y=log x 数运算的 ,即ab=N台b= (3)两种常见对数 定义域： 对数形式 特点 记法 值域： 常用对数 底数为 自然对数 底数为 当x=1时，y=0,即过定点 2.对数的性质、换底公式与运算性质 性质 当x>1时， (1)对数的性质：①1oga1= ;②logaa= 当x>1时， ③alog,V-;④Dlog.a= (a>0,且a≠1). 当0<x<1 当0<x<1时， (2)对数的运算法则 时， 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,b>0,那么 ①loga(MN)= 在(0，+∞)上 在(0，+∞)上 M 是 是 ②logaN ③log M=blog.M(n∈R) 4.反函数 (3)对数的重要公式 习惯上，对数函数表示为y=logx(a>0,且a≠1)，指 ①换底公式：一般地，若a>0,b>0,c>0,且a≠1， 数函数表示为y=ar(a>0,且a≠1).指数函数 c≠1，则logb= y=a'是对数函数y=logax的 ,对数函 1oga,推广1ogb·1ogc·1og.d 1 数y=logax-也是指数函数y=a的 ②1ogb= 即它们 ,它们的图象关于直线 =logad. y=x对称. 3.对数函数及其性质 ·重要结论· (1)概念：给定正数a,且a≠1，指数函数y=a2是 对数函数的图象与底数大小的比较 定义在R上，值域为(0，+∞)的单调函数，所以 如图，作直线y=1,则 A2 log x 对于每一个正数y,都存在唯一确定的实数x, 该直线与四个函数图象 log x y= 使得y=a.由函数的定义，x就是y的函数，称 交点的横坐标为相应的 为以a为底的对数函数，记作x=logay.习惯 底数 上，将自变量写成x,函数值写成y,因此，一般 故0<c<d<1<a<b. log x 将对数函数写成 (a>0,且a≠1)， 由此我们可得到以下规 其中a称为 律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大。 ·34· 主题二第二章函 数 自主诊断查验 A.10 B.1 ◆[思考辨析] C.2 D.1g5 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 2.已知a=10g2,61og83,c三7，则下列判断正确 里打“√”，错误的打“X”. 的是 ) (1)函数y=1og2(x+1)是对数函数. A.c<b<a B.b<a<c (2)10g2x2=21og2x. C.a<c<b D.a<b<c (3)当x>1时，logax>0. 3.若函数y=f(.x)是函数y=a(a>0,且a≠1)的 (4)对数函数y=logx(a>0且a≠1)的图象过定点 反函数，且f(2)=1,则f(x)= ) (1,0),且过点(a,1), a1 1 ,函数图象只在第 A.log2 R 一、四象限 ( C.logo.x D.2x-2 （5)函数y=1n甚与y=lh1+x)-ln0- 4.(BSD必修第一册P113练习T2(2)改编)函数y= 的定义域相同. ( 1og已3的定义域为 ◆[小题查验] 5.(忽视定义域的限制致误)已知y=loga(2-ax) 1.(BSD必修第一册P1o1练习T2(4)改编)计算： 在[0,1]上是减函数，则a的取值范围是 2lgV5-1g4-立= 跃升>关键能力 题型突破素养提升 题型1 对数的基本运算 题型2 对数函数的图象及应用 1.(多选)已知a,b均为正实数，若logab+loga [母题] 5 当0<r≤号时，<gx,则a的取值范 a0=,则云可以是 围是 A司 B 2 C.√2 D.2 2.若1og312=x,log412-y,则1+ C.(1,√2) D.(√2,2) y A.-1 B.1 C.3 D.4 [破题关键点]方法一：构造函数(x)=4 3.已知9r=4心=6，则x十)2 和g(x)=log。x,利用这两个函数图象的上下 z2y2 位置关系，求出a的取值范围；方法二：采用排 A.25 B.16 C.9 D.4 除法 4.g3)-lg9+1(g27+lg8-1g√个000) [子题1]将母题变为：若不等式x2一logx<0对x∈ 1g0.3·1g1.2 (0,)恒成立，则实数口的取值范围是 题后反思 [子题2] 将母题变为：当0<≤子时W反<1og, 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形， 则实数a的取值范围是 化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然 [子题3]将母题变为：已知函数f(x)= 后正用对数运算性质化简合并. l0g2x,x>0, 且关于x的方程f(x)十x一a=0 (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运 (3x,x≤0， 算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对 有且只有一个实根，则实数a的取值范围是 数真数的积、商、幂的运算。 35 高考总复习数学(BS) 规律总结 [命题点3]与对数有关的复合函数问题 应用对数型函数的图象可求解的问题 4.已知函数f(x)=log。|ax2-(2a+3)x十6|在区 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象 间[子4小上单调递增，则实数口的取值范围为 的对数型函数，在求解其单调性（单调区 间)、值域（最值）、零点时，常利用数形结 3 合思想. A.5≤a<4 B<a< (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应 的函数图象问题，利用数形结合法求解， C<a<或a>1D.号<a<1或a>1 [命题点4]利用对数函数的性质求参数 题型3〔 对数函数的性质及应用 5.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=（x+a)ln(x [命题点1]比较对数值的大小 十b).若f(x)≥0.则a2+b2的最小值为() 1.已知a=1og315,b=1og420,2=1.9,则 A司 c. D.1 A.a>c>b B.c>a>b 规律总结 、 C.b-a>c D.a>b>>c 2.设a=log49,b=l0g25,c=31-log,4,则a,b,c的大 对数函数性质及应用中应注意的问题 (1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的 小关系为 对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可 A.b>a>c B.b>c>a 以找中间量，也可以用换底公式化成同底的 C.a>b>c D.c>b>a 对数再比较. [命题点2]解简单的对数不等式 (2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算 .设函数f)n1+x)1十，2则使得f)D 性质化为同底数的对数值，再利用对数函数 的单调性转化为一般不等式求解. f(2x一1)成立的x的取值范围是 (3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的 A( 复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三 方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在 B(- U(1,+∞) 定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三 是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等 c() 函数复合而成的 D(,-)u(G+ C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关12 第7节 函数的图象 ★[课程标准] 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数， 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题 3.会结合函数性质判断或选择函数的图象. 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 1.利用描点法作函数的图象步骤 y=f(x)+k (1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式： 上k(k>0) 移个单位 (3)讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称 左移 y=f(x+a) y=f(a) 右移 性等)； a(a>0) a(a>0) y=f(x-a) 个单位 下k>O)个单位 (4)列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值 移个单位 点、与坐标轴的交点等)，描点，连线。 y= ·36·高考总复习数学(BS) (2)令g(x)=a.x2-4x+3,f(x)= （3）,由于f(x)有最大值3， 所以g(x)应有最小值一1， 1a>0, 因此必有{3Q一4=-1， a 解得a=1,即当f(x)有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使y= (行)”的值城为0，+) g( 应使g(x)=ax2一4x十3的值战为R, 因此只能a=0.(因为若a≠0，则g(x) 为二次函数，其值域不可能为R).故a 的值为0. 跟踪训练 1.c[-(号)--（侵） 1 -6,因为0<6<7<1，故。> b,即a>b,故0<b<a<1. 周为a+b-1>2b-1-2×(合)）广-1 =2宁-1>0，所以c-24+6-1>20 1,所以c>a>b.] 2.解：当>0时z≥2· =2,当且仅当x=1, 即x=1时取“=”， 当x≤0时，0<2≤1,4-2+2+m =(2r-2)2+m-4,当2x=1,即x= 0时，4一2+2十m取最小值m一3， /4-2+2+m,x≤0， 因f(x)= 的最 ,.x>0 小值为2，于是得m一3≥2，解得m 5,所以m的取值范国为[5，十∞). 答案：[5，十∞) 3.解析：设1= (2)】 >0,又y=t2-8t +17=(t-4)2+1在(0,4]上单调递 减，在(4，十∞)上单调递增.令 () ≤4，得≥-2◆（）广> 4,得x<-2.而函数1= ()在R 上单调递减，所以函数y= ·(分)+17的增区间为[-2，+∞， 减区间为（一∞，一2）. 答案：增区间为[一2，十∞)，减区间为 第6节 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)以a为底N的对数log N 底数真数(2)逆运算1ogN (3)10 lg N e In N2.(1)①0 ②1③N④b(2)①logM+logN ②1ogM-1og,N(3)①log 3.(1)y=logx底数(2)(0，十∞) R(1,0)y>0y0y0y>0 增函数减函数4.反函数反函数 互为反函数 自主诊断查验思考辨析 答案：(1)×(2)×(3)×(4)/ (5)/ 小题查验 1.B[原式=lg(5)2+lg√=lg5+ 2 lg2=lg10=1.] f(x)1 2.C[以c=号为中间量，构造增函数 y=log5x和y=log8x,log52<log√5 g(x) 1 -2-l0gs 2<logs 3.] 当a>1时不满足条件，当0<a<1 3.A[由题意知f(x)-logx(a>0,且 时，品出两个函载在(0，号]上的图 a≠1). f(2)=1,.1og2=1.a=2. 象，可知f(合)下（侵）小 ∴.f(x)=log2x.] 4{<号} 即21g合则o>盟所以a的取 5.解析：：y=log(2-ax)是由y= loga,u=2-ax复合而成，又a>0, 值范国为(91) ∴.u=2一ax在[0,1]上是减函数， 由复合函数关系知y=log“应为增 法二：0<x≤21<4≤2， 函数，a>1, log>4>1, 又由于x在[0,1]上时y=log(2- ax)有意义，u=2-ax又是减函数， ,0<a<1,排除选项C,D;取a=立， ,x-1时，u=2-ax取最小值是umn =2-a>0即可，.a<2, 综上可知，所求a的取值范国是(1,2). 1 答案：(1,2) 则有4位=2，lg时立-1，显然<1gx 跃升·关键能力题型1 不成立，排除选项A 1.AD[令I-logb,则+-含， 「答案]B .212-51+2=0,(21-1)(t-2)=0, [子题1]解析：由x2--loga<0, 得x2<logar, 1=或1=2lbgb=号或1g力 f (r)=x2,f2 (x)=logaxr, =2,a=b2或a2=b. :a5=,代入得2b=a=b2或b=2a 要使x(0,号)时，不等式2< =a2,.b=2,a=4或a=2,b=4, logx恒成立， 只需()=r2在(0,2)上的图象 2.B[因为1og312=x,log412=y,所以 在f2(x)-logx图象的下方即可，当 1og1212 1og1212 a>1时，显然不成立： x= 1o log]s logn 当0<a<1时，如图所示， og2a所以-1oge3, 1 x =10g124, y C)-ogx 011 =1og12(3×4)=1.] 3.B[92=4￥=√6 要使r2<1gx在x∈（0，分)上恒 log,log6g 6 威立，需f(合)f(合) y=lg5=1ogw6t-log影6， 所以有（位）广≤1合，解得a≥ 1g6=4log63, 4 1 4 -1og26 1 41og62,. (x+y)2 g“话. (+）-4b8+o- 即实数a的取值范国是[品，l） 答案：[品) (41og66)2=16.] 4.解析：原式= [子题2]解析：若√F<lgx在x∈ √Ig30-21g3+(21g3+3g2-号)】 3 (0,]成立，则0<a<1,且y=匠的 (1g3-1)·(1g3+2lg2-1) 1-g30·2（1g3+21g2-1D 图象在y=logx图象的下方，如图 所示， (1g3-1)·(1g3+21g2-1) 3 2· 答案：一 3 2 题型2 y=log.x [母题][解析]法一：构造函数f(x) /1 =4和g(x)=logx, 由图象知√<lg。 ·392· 0<a<1, 综上所递，实数口的取值范周为是≤ a<3或a>1,] 即实数a的取值范国是(61）片】 命题点4 答案：（品1） 5.C[当x<-a时x十a<0,当x>-a 时x十a>0,当x<1-b时ln(x+b) [子题3]解析：如图，在同一坐标系中 <0,当x>1-b时ln(x十b)>0,所以 分别作出y-f(x)与y=-x+a的 要f(x)恒非负，必须-a=1-b,即 图象， b-a=1,所以a2+b2 (a-b)2+(a+b)2 2 2,当且仅当 号b-时取等号.] 1 a=- 第7节 y-x+ 复盘·必备知识必备知识掌握 -x+1 2.(1)y=f(x)-k(2)①-f(x) 其中a表示直线在y轴上的裁距，由 ②f(-x)③-f(-x)④log r(a>0 图可知，当a>1时，直线y=一x十a 且a≠1)(3)①f(a.x)②af(x) 与y=f(x)只有一个交点 (4)①f(x)|②f(|x|) 答案：(1，十∞) 自主诊断查验思考辨析 题型3命题点1 (1)/(2)× (3)×(4)/(5)× 1.D[a=1og315=1og3(3×5)=1+ 小题查验 1og35>1,b=1og420=1og4(4×5)= 1.C[因为题图②中的图象是在题图① 1十1og45>1,c=1og21.9<1,因为 的基础上，去掉函数y=f(x)的图象 1og5=8>5-1og45,所以a 在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧 1g31g4 图象翻折到y轴右侧得到的，所以题 >bc.] 图②中的图象对应的函数可能是y 2,A[因为函数y=log2x在定义域上 f(-x).] 单调递增，故b=log5>log23=log49 2.A[因为y=9x=32x,所以将函数y =a>log2=1,又因为c=31-lg4 =3”的图象上所有，点的横坐标变成 383-w-3寺-是<1，所以b> 原泉的号倍，纵坐标不变，即可得到 a>1>c.] 函数y=9的图象.] 命题点2 3.A[定义在R上的函数f(x)满足 3.D[A中，fx)=1-=-z f(一x)=f(x),所以f(x)为偶函数， =一f(一x)(x≠士1)为奇函数，其图 当x>0时，f(x)=ln(1+x)- 1 象关于原点对称，故排除A:B中， 1+x2 汇 为增函数，由f(x)>f(2x一1)结合偶函 f-)==x百=-x气 数图象的对称性可知x>2x一1，两 一f(x)(x≠士1)为奇函数，故排除B: 边平方并化简得(x一1)(3.x一1)0， C中，f(-x)= -x 解得3<x<1.所以不等式f(x)> f(x)为偶函数，当x=2时，f(2)= f(2x-1)的解集为(31）门 吕1-号<0，故排除C] 命题点3 4.解析：由题中图象可知不等式一2< 4.C[函数y=f(x)是由y=log1与 f(x+t)<4,即为f(3)<f(x十t) t=|(x-2)(ax-3)|复合而成， f(0),故x十t∈(0,3)，即不等式的解 ①当0<a<1时，因为y=log,t为减 集为（一t,3一t),依题意可得t=1. 函数，且函数f(x)=l1ogax一(2a十 答案：1 30x十61在区同[子小上单羽递增， 5.解析：由题意a=x十x, 所以t=|(x-2)(ax-3)|在 令y=|x+x=2xx≥0， 0,x0, [侣]小上单满追该：结合1 图象如图所示，故要使a=|x|十x只 有一解则a>0. 2)(ax 一3)|的图象可得 y=a '/y=*x 2。空·解得；≤y 7 3 0 34 答案：(0，十∞) 跃升·关键能力题型1 ②当a>1时，因为y=log,t为增函数， 解：(1)：函数的定义域为{xx>0}, 且函数f(x)=1og|a.x2-(2a+3)x+6 且y=ehr=x(x>0), 在区间[子4]上单调递增，所以1一 ∴.其图象如图(1)所示」 1(x-2)(ax-3) 在[子4]上单调 ty 逃增，又因为此时是<3，结合1 12x |(x一2)(ax一3)|的图象可知此时符 合题意. 图(1) 图(2) ·393· 参考答案 (2)将函数y=log2x的图象向左平移 一个单位，再将x轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y |1og2(x十1)|的图象，如图(2)所示. a,x≥0 (3),y .只需作出0<a<1时函数y=a(x ≥0)和y= (合)广x<0)的图象，合 起来即得函数y=az(0<a<1)的图 象.如图(3)所示. -101x -2-10123元 图(3) 图(4) (4)y=2+ x-1, 故函数图象可由y= 上的图象向右平 移1个单位，再向上平移2个单位而 得，如图(4)所示 题型2命题点1 「典例1门「解析]令f(x)=一x2+(e -e)sin I, 则f(-x)=-(-x)2+(ex-e)· sin(-r)=-x2+(ex-e sin x =f(x) ·y=f(x)为偶函数，排除A,C； f(径)-于+e-e e音—e一受元o, 故排除D,B正确. [答案]B 跟踪训练 L.D[因为f(x)=simx十+2的定义 域为R,又因为f(一x)=sin(一x)+ 2 。=inx十x千1≠一f(x),听 以f(x)不是奇函数，排除A,B项， =-1+ 1十2<0，所以排除C项] 2 [典例2][解析]由图象可知，f(x) 图象关于y轴对称，为偶函数，故A、B 错误，当x>0时，f(x)=5(C+e) x2+2 恒大于0，与图象不符合，故C错误. [答案]D 跟踪训练 2.A[对于B,当x>1时，f(x)= 3-4x,易知e-e1>0,3-4x< er-e 0,则f(x)<0,不满足图象，故B 错误； 对于心了)=洁三定义线为 (,子) (是)（层+） 又因为f(一x)= 4-x-3 r-3-f代x),则f(x)的图象关于 erfex y轴对称，故C错误；