第二章 第5节 指数与指数函数-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

主题二第二章函数 第5节指数与指数函数 ★[课程标准] 1.了解指数函数模型的实际背景 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质. 3.理解指数函数的概念，会画指数函数的图象. 4.理解指数函数的性质，并能简单应用. 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 续表 1.指数幂的拓展 函数y=a和y=b (1)正分数指数幂：给定正数a和正整数m,n(n>1,且 ),若存在唯一的正数b,使得 ②当x=0时，a”=b=②当x=0时，a”=b= m,n ,则称b为a的严次幂，记作b= 这就是正分数指数幂. ③当x>0时，a>b>③当x>0时，0<a< b 当k为正整数时，分数指数幂a”满足： 有时，也把a”写成 的形式 (3)指数函数的图象和性质 (2)负分数指数幂：给定正数a和正整数m,n(n>l, a>1 0<a<1 且m,n ),定义：a”=1=1 y y=a' = 2.有理指数幂的运算性质：aa=a+s;(a')=a; 图 (ab)r=abr,其中a>0,b>0,r,s∈Q. 01) 象 10,1)-y=1 --.y=1 (1)无理指数幂 0 0 一般地，给定正数a,对于任意的无理数a,规 定：ag= (1)定义域： a (2)指数幂的运算性质 (2)值域： 条件 指数幂的运算性质 (3)过定点 ,即x=0时，y= a°·a2= (4)当x<0时， (4)当x<0时， ；当x>0时， a>0,b>0, ;当x>0时， (a)3= a,B为实数 性 令 (5)在R上是 (ab)°= (5)在R上是 当x值趋近于正无穷 当x值趋近于正无穷大 3.指数函数及其性质 大时，函数值趋近于 时，函数值趋近于： (1)概念：形如y=a(a>0且a≠1)的函数叫做指 当x值趋近于负无穷大 数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是 当x值趋近于负无穷 R,a是底数. 时，函数值趋近于 大时，函数值趋近于 (2)指数函数值大小比较 函数y=a和y=b a>b>1 0ab<1 对 函数y=a与y=(日)a>0,且a≠1)的图象 ①当x<0时，0<a ①当x<0时，a>b≥ 性 关于 对称，且它们在R上单调性 b< 31. 高考总复习数学(BS) ·重要结论· (4)函数y=x+1(a>1)的值域是(0，十o∞). 1.(a)"=a(n∈N+). ( ) a,n为奇数， (5)函数y=2x在R上为单调减函数.( ) 2.Wa"- lal= （a,a≥0，n为偶数. ◆[小题查验] -a,a<0, 1.(BSD必修第一册P78例3改编)设a>0,m,n是 3.指数函数的图象与底数大小的比较 正整数，且n>1,则下列各式中不正确的是 如图是指数函数(1)y=a,(2)y=b,(3)y=c, ) (4)y=dr的图象，底数a,b,c,d与1之间的大 A.aiai-a B.(a)4=a 小关系为c>d>1>a>b. C.a-am D.a片= 1 规律：在y轴右（左）侧图象越高（低），其底数 越大 2.(多选)已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)， 3) 且f(一2)>f(-3),则a的可能取值为 () (1 A司 B.2 c D.4 3.已知0<m<n<1,则指数函数①y=m',②y= nx的图象为 ) y1①② y↑②① ②①y 自主诊断查验 1 ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 4.已知a= 3) 3 里打“/”，错误的打“×” 5 ,c= ,则 (1)a"与(Wa)"都等于a(n∈N+). a,b,c的大小关系是 (2)2a·2b=2ab 5.(忽视开偶次方规则致误)计算(1十√2)3+ (3)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数. /(1-√2)4 跃升>关键能力 题型突破素养提升 题型1〔根式与有理数指数幂的运算（基础点） 题型2 指数函数的图象及应用 1.化简4a·b-÷- 的结果为( [典例] (1)函数f(x) 的图象大致为 A一器 B.-8a C.- 6a D.-6ab 2.化简： a-8ab 4b*+2%ab+a 01出 Waa☑ D (a>0) a·a (2)当x>2时，函数y=4a-1(a>0,且a≠1)的 3.已知14=7=4=2，则2-1+1 图象恒在函数y=3x一4的图象下方，则a的取 值范围为 题后反思 指数幂运算的一般原则 (3)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数 点，则b的取值范围是 运算. 。[互动探究] (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的 1.若将本例(3)中“|y=2+1”改为“y=|2r1”, 倒数. 且与直线y=b有两个公共点，则b的取值范围 (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化 是 成分数；底数是带分数的，先化成假分数. (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的 2.若将本例(3)改为：函数y=|2x一1|在（一∞，k] 形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. 上单调递减，则k的取值范围是 易错警示 3.若将本例(3)改为：直线y=2a与函数y 运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能 |a一1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则 既有分母又含有负指数. a的取值范围是 ·32· 主题二第二章函数 方法指导 4x十3 4.已知函数f(x) 指数函数图象可解决的两类热点问题及思路 (1)若a=一1，求f(x)的单调区间： (1)求解指数型函数的图象与性质问题 (2)若f(x)有最大值3，求a的值； 对指数型函数的图象与性质问题（单调性、最 (3)若f(x)的值域是(0，+o∞)，求a的值. 值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应 指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其 图象，然后数形结合使问题得解 (2)求解指数型方程、不等式问题 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利 用相应指数型函数图象数形结合求解， 易错警示 应用指数函数的图象解决指数方程、不等式问题 以及指数型函数的性质，要注意画出图象的准确 性，否则数形结合得到的可能为错误结论。 日跟踪训练 1.函数f(x)=|2r一1|-m恰有一个零点，则m的 取值范围是 A.(1,+∞) B.{0}U(1,+∞) C.{0}U[1,+o∞) D.[1,+∞) 2 x≥0 2.已知函数f(x 则f(x)图 -lx2+2xl,x<0, 规律总结 象上关于原点对称的点有 ( 指数函数的性质及应用问题解题策略 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 (1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及 中间值(0或1)法， 题型3 指数函数的性质及应用 (2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决 P[命题点1] 比较指数式的大小 此类问题应利用指数函数的单调性，要特别 1.下列大小关系不正确的是 注意底数a的取值范围，并在必要时进行分 类讨论 A.(-2.5)3>(-2.5) <(0.4)- (3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数 的概念和性质同函数的其他性质（如奇偶性、 c()<() D.2.5.6>20.2 周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定 时，对底数的分类讨论· [命题点2]简单的指数方程或不等式的应用 日跟踪训练 2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0 时，f(x)=4x一3×2x+2a.则关于x的不等式 1.已知a= 3 ,c=2a+b-1,则( f(x)≤一6的解集为 ( A.c-b>a B.a>b>c A.(-∞，-2] B.(-∞，-1] C.c>a>b D.b>a>c C.[-2,0)U(0,2) D.[-2,0)U(2,+∞) -2x+2十m,x≤0， [命题点3]探究指数型函数的性质 2.已知f(x) +1,x>0 的最小值为2， 4x,.x≥0， 3.(1)已知实数a≠1，函数f(x) 2a-t,x<0. 则m的取值范围为 若f(1-a)=2,则a的值为 3.求函数y )-8 1 -17的单调区 -7,x<0, 间 (2)设函数f(x) 若f(a)<1 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关11 则实数a的取值范围是 ·33高考总复习数学(BS) 直线x=2与各暴函数的图象及y=x 其中x一y十y2 的图象的交，点的纵坐标分别为2n, 21,2m,21,从图中可观察得2<2 1-2x <1<2m<21,由指数函数y=2r在R 3 3 上是增函数，可得1<一1,0<n<1.门 4.A[,函数f(x)=(m2-m-5)》 =11x-2+4x2 xm-6是暴函数，，m2-m-5=1, 9x2 解得m=一2或n=3. 号（但）+号×+合 ①D ,对任意x,x2∈(0，十o), 且≠，满足f西)-f 11 ->0, x1一x2 当1 9 4 =具时①式取得最 ∴函数f(x)在(0，十∞)为增函数， 9 ∴.m2-6>0,∴.m=3(m=-2舍去)， .f(x)=x3为增函数.对任意a,b∈ 大值-号×（供）+号×+号 R,且a十b0,则a>-b,,∴.f(a)> f(-b)=-fb),.∴.f(a)+f(b)>0.] 一吕所以1的最小值是吕。 17 题型2命题点1 1.A[由题意，函数y=ax2+bx十c, 答案号 因为a十b+c=0,令x=1,可得y a十b十c=0,即函数图象过点(1,0)， 4.C[因为f(x)=-(x-2)2+2,x∈ 义由a>b>c,可得a>0,c<0,所以抛 L0,2J, 物线的开口向上，可排除B、D项， 所以{frmm=f0)=即fr)的 令x=0,可得y=c0,可排除C项.] (f(x)max=f2)=2, 命题点2 值域为[1,2]， 2.解：(1)由函数f(x)=x2-2ax-3,可 因为对于任意x1∈[0,2]，总存在 得f(x)的图象开口向上，且对称轴为 x2∈[-1,1]，使得g(x2)-f(x1) x=a,要使得f(x)在[3，十∞)上单调 成立， 递增，则满足a≤3，所以a的取值范围 所以f(x)的值域为[1,2]是g(x)在 为（一∞，3]. [一1,1]上值域的子集， (2)由函数f(x)=x2-2a.x一3，可得 当a>0时，g(x在[-1,1]上为增函数， 所以g(一1)g(x)g(1),所以g(x)∈ f(x)的图象开口向上，且对称轴为 x=a,当a<一1时，函数f(x)在 [-a-1,a-1], [一1,2]上单调递增，所以f(x)的最 所以{a-11,解得a≥3， (a-1≥2， 小值为f(-1)=2a-2:当-1≤a2 当a<0时，g(x)在[-1,1]上为减函 时，函数f(x)在[一1，a]上单调递减 在[a,2]上单调递增，所以f(x)的最 数，所以g(1)≤g(x)≤g(一1)，所以 g(x)∈[a-1,-a-1], 小值为f(a)=一a2-3:当a>2时，函 数f(x)在[一1,2]上单调递减，所以 所以仁。12，保得。-3 f(x)的最小值为f(2)=1-4a, 综上，实数a的取值范围是（一∞，一3] 综上可得，f(x)在[一1,2]上的最小值 U[3,+∞).] (2a-2,a<-1, 题型3 为f(x)mn= -a2-3,-1≤a≤2， [典例][解]令f(x)=ax2一2(a十 1-4a,a>2. 1)x+a-1. 引申探究 (1)方程有一正一负根时，f(x)对应的 解：由函数f(x)=x2一2ax一3，可得 图象只有如图①，②两种情况. f(x)的图象开口向上，且对称轴为 x=a,当a<-1时，函数f(x)在 [一1,2]上单调递增，所以f(x)的最 大值为f(2)=1-4a: 当-1Ka≤号时，画数f)的最大值 ① ② 为f(2)=1-4a: 因此f(x)=0有一正一负根等价于 当号<a<2时，函数f(x)的最大值 {9o{00. (a>0, 为f(-1)=2a-2; 解得0<a1. 当a>2时，函数f(x)在[一1,2]上单 所以0<a<1时，方程有一正一负根. 调递减，所以f(x)的最大值为f(一1) (2)方程两根都大于1时，f(x)对应的 =2a-2. 图象只有如图③，④两种情况 综上，当a<之时，画数f)的最大 值为f2)-1-4如：当>号时f的 最大值为f(-1)=2a-2. 命题点3 1x>0, ③ ④ 3.解析：依题意， -12>0,解得 因此f(x)=0两根都大于1等价于 3 fa>0, fa<0, 0<<则士>2 △>0， △>0， 2a+1D>1,或2a+1>1. 由x2-y2≥x-y,得≥yy 2a 2a f(1)>0 f(1)0, ·390· 解得a∈. 所以不存在实数a,使方程两根都大 于1. 互动探究 解：(1)令f(x)=ax2-2(a十1)x +a-1. 当a=0时，方程变为一2x一1=0，即 工=一2，符合题意：当a≠0时，4 4(a+102-4a(a-1D=0∴a=-子 所以当。=0或一子时，方程有唯 一实根. (2)因为方程有一根大于1，一根小 于1. f(x)大致图象如图⑤，⑥. ⑤ 所以必须满足∫a>0, f1)<0或 a0, {f1)>0.解得a>0. 所以当a>0时，方程有一根大于1，一 根小于1， 第5节 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)互素=ama”a÷=a器 am(2)互素 2.(2)aa+日aga·b 3.(2)<111111 (3)R(0,+∞)(0,1)10<y<1 y>1y>10<y<1增函数正 无穷大0减函数0正无穷大y 轴相反 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)× (3)/(4)×(5)/ 小题查验 1.A 2.AC[由指数函数f(x)=ax (日)）广a>0,且a≠1.且f-2)> f(一3)，根据指数函数单调性可知 日>1，所以0<a<1.] 3.C[由0<m<n<1,.y=m2,y=n 在R上单调递减，所以排除AB选项： 令x=1,n1,C项正确.门 1解析“（号）广是减画数， ()>()>()脚 >b>1.又=（受）<（受）”- 1,∴.c<b<a. 答案：c<b<d 5.解析：√1+2)+√(1-√②)4-1+ √②+|1-√21-1+√2+2-1-2√2. 答案：2√2 跃升·关键能力题型1 1.C[原式=-6a子+分b寸-导 -6ab1=] 2.解析：原式= (3)[解析]曲线y=2x+1与直线 a奇[(a寺)3-(2b)3] y=b的图象如图所示， (a寸)2十a寸·(2b)+(2b÷)2 a中-2b×(a·a)t a (a·a)Fa(a 26)x a =a2 -2y=-2-1 a-2b寸a 答案：a2 由图象可得如果y=2十1与直线 3.解析：由题设可得2亡=14,2方=7,2 y=b没有公共点，则b应满足的条件 是b∈[-1,1]. =4,则2-古=14=222-古+片 7 [答案][-1,1] =2×4=23,. 6+-8 互动探究 1.解析：曲线y=2一1|与直线y=b 答案：3 的图象如图所示， 题型2 y 1 [典例](1)[解析]作出函数y2 Y-6 0 (合)广≥0的象如图所示 由图象可得，如果曲线y=2一1|与 (2x,x<0 直线y=b有两个公共，点，则b的取值 范围是(0,1) 答案：(0,1) 2.解析：因为函数y=2r一1的单调递 减区间为（一∞，0]，所以k≤0，即k的 取值范围为（一∞，0]. -3-2-101234x 答案：（一∞，0] -1F 3.解析：y=a一1的图象是由y=先 向下平移1个单位，再将x轴下方的图 3 将y一 品的因象向走平梦1个辛位 象沿x轴翻折过来得到的. 当a>1时，两图象只有一个交点，不合 题意，如图①：当0a<1时，要使两个 得到f(x)= I x+1 的图象 图象有两个交点，则0<2a1,得到 (2) [答案]B 0<a< 之，如图②. (2)[解析]由题意，得当x>2时，不 =2a1y 等式4a-1<3x-4恒成立，即a1 令f)-a1,ge)-子-1，在同 图① 图② 一平面直角坐标系中作出两个函数的 综上u的取值范国是(0,2) 图象，当a>1时，如图所示， y个 答案：(0号）】 跟踪训练 1.C[由题设，y=|2-1与y=n只有 f(x)=a* 一个交点，又y=2一1的图象如下： 01 =x-1 由图可知，Hx∈R,a-1> 3 x-1恒 y-2-i 成立，故不满足题意； 0 当0<a<1时，如图所示， .m∈{0U[1,+o∞).] y 2.C[作出f(x)的图象，再作出函数 y一（侵）广≥0，关于原点对称的图 f(x)=a-1 象如图所示 012 由图可知，要Vx>2a1<子r-1 0123x 恒成立，需f(2)≤g(2),即a2-1≤ 是×2-1，解得u≤2，故0<a≤号 综上可知a的取值范周是(0，号] 因为函数y=(2)x≥0，关于原点 对称的图象与y=-|x2十2x|,x<0, 答案] o] 图象有三个交，点，故f(x)图象上关于 原，点对称的点有3对.] ·391· 参考答案 题型3命题点1 1.C[A选项，(-2.5)宁=(2.5)方， (-2.5)÷=(2.5)音.因为2.5>1， 号>号又周为指数函数y=2.5在 R上单调递增，所以(2.5)÷>(2 5),即(-2.5)>(-2.5)号，故A 正确：B选项，04)子=（号） 因为0 <1,- 1 > 3 :又因为 指数函数y= (侣)广在R上单调 ，所以（号）】 <(0.4)-÷,故B 正痛：C选项，因为（宁）】 >1, (受) <1,所以 (合) () ,故C错误；D选项，因为2. 51.6>1,2-0.2<1,所以2.51.6> 20.2.故D正确.] 命题点2 2.A[因函数f(x)是定义在R上的奇 函数，且当x≥0时，f(x)=42-3× 2x+2a,则f(0)-4°-3×20+2a= 2a一2=0，解得a=1,即当x≥0时， f(x)=4x-3×2+2,当x<0时， -x>0,则f(x)=一f(-x)= -(4x-3×2r+2),而当x≥0时， f(x)一6时， jx<0, 1-(4x-3X2x+2)≤-6， 即∫x<0, 1(2x-4)(2x+1)≥0， 变形得 jx<0, 12-x≥4， 解得工≤一2，所以不等式 f(x)一6的解集为（一∞，一2].] 命题点3 3.解析：(1)当a1时，41一a=2,解得 a=立；当a>1时，代入不成立.故a 的值为受 (2)若a<0.则fa)<1=(合)°-7 <1台（位）°<8，解得a>-3 故-3<a<0: 若a≥0，则f(a)<1台√a<1,解得a<1. 故0<1.综上可得，一3a<1, 答案：1号 (2)(-3,1) 4.解：(1)当a=-1时，f(x) () -x-4x+3 ,令g(x)=-x2-4x 十3，由于g(x)在(-∞，-2)上单调 递增，在（一2，十∞）上单调递减，而 y=(传)在R上单润适减，所以 f(x)在（一∞，一2）上单调递减，在 (一2，十∞)上单调递增，即函数f(x) 的单调递增区间是（一2，十∞），单调 递减区间是（一∞，一2）. 高考总复习数学(BS) (2)令g(x)=a.x2-4x+3,f(x)= （3）,由于f(x)有最大值3， 所以g(x)应有最小值一1， 1a>0, 因此必有{3Q一4=-1， a 解得a=1,即当f(x)有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使y= (行)”的值城为0，+) g( 应使g(x)=ax2一4x十3的值战为R, 因此只能a=0.(因为若a≠0，则g(x) 为二次函数，其值域不可能为R).故a 的值为0. 跟踪训练 1.c[-(号)--（侵） 1 -6,因为0<6<7<1，故。> b,即a>b,故0<b<a<1. 周为a+b-1>2b-1-2×(合)）广-1 =2宁-1>0，所以c-24+6-1>20 1,所以c>a>b.] 2.解：当>0时z≥2· =2,当且仅当x=1, 即x=1时取“=”， 当x≤0时，0<2≤1,4-2+2+m =(2r-2)2+m-4,当2x=1,即x= 0时，4一2+2十m取最小值m一3， /4-2+2+m,x≤0， 因f(x)= 的最 ,.x>0 小值为2，于是得m一3≥2，解得m 5,所以m的取值范国为[5，十∞). 答案：[5，十∞) 3.解析：设1= (2)】 >0,又y=t2-8t +17=(t-4)2+1在(0,4]上单调递 减，在(4，十∞)上单调递增.令 () ≤4，得≥-2◆（）广> 4,得x<-2.而函数1= ()在R 上单调递减，所以函数y= ·(分)+17的增区间为[-2，+∞， 减区间为（一∞，一2）. 答案：增区间为[一2，十∞)，减区间为 第6节 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)以a为底N的对数log N 底数真数(2)逆运算1ogN (3)10 lg N e In N2.(1)①0 ②1③N④b(2)①logM+logN ②1ogM-1og,N(3)①log 3.(1)y=logx底数(2)(0，十∞) R(1,0)y>0y0y0y>0 增函数减函数4.反函数反函数 互为反函数 自主诊断查验思考辨析 答案：(1)×(2)×(3)×(4)/ (5)/ 小题查验 1.B[原式=lg(5)2+lg√=lg5+ 2 lg2=lg10=1.] f(x)1 2.C[以c=号为中间量，构造增函数 y=log5x和y=log8x,log52<log√5 g(x) 1 -2-l0gs 2<logs 3.] 当a>1时不满足条件，当0<a<1 3.A[由题意知f(x)-logx(a>0,且 时，品出两个函载在(0，号]上的图 a≠1). f(2)=1,.1og2=1.a=2. 象，可知f(合)下（侵）小 ∴.f(x)=log2x.] 4{<号} 即21g合则o>盟所以a的取 5.解析：：y=log(2-ax)是由y= loga,u=2-ax复合而成，又a>0, 值范国为(91) ∴.u=2一ax在[0,1]上是减函数， 由复合函数关系知y=log“应为增 法二：0<x≤21<4≤2， 函数，a>1, log>4>1, 又由于x在[0,1]上时y=log(2- ax)有意义，u=2-ax又是减函数， ,0<a<1,排除选项C,D;取a=立， ,x-1时，u=2-ax取最小值是umn =2-a>0即可，.a<2, 综上可知，所求a的取值范国是(1,2). 1 答案：(1,2) 则有4位=2，lg时立-1，显然<1gx 跃升·关键能力题型1 不成立，排除选项A 1.AD[令I-logb,则+-含， 「答案]B .212-51+2=0,(21-1)(t-2)=0, [子题1]解析：由x2--loga<0, 得x2<logar, 1=或1=2lbgb=号或1g力 f (r)=x2,f2 (x)=logaxr, =2,a=b2或a2=b. :a5=,代入得2b=a=b2或b=2a 要使x(0,号)时，不等式2< =a2,.b=2,a=4或a=2,b=4, logx恒成立， 只需()=r2在(0,2)上的图象 2.B[因为1og312=x,log412=y,所以 在f2(x)-logx图象的下方即可，当 1og1212 1og1212 a>1时，显然不成立： x= 1o log]s logn 当0<a<1时，如图所示， og2a所以-1oge3, 1 x =10g124, y C)-ogx 011 =1og12(3×4)=1.] 3.B[92=4￥=√6 要使r2<1gx在x∈（0，分)上恒 log,log6g 6 威立，需f(合)f(合) y=lg5=1ogw6t-log影6， 所以有（位）广≤1合，解得a≥ 1g6=4log63, 4 1 4 -1og26 1 41og62,. (x+y)2 g“话. (+）-4b8+o- 即实数a的取值范国是[品，l） 答案：[品) (41og66)2=16.] 4.解析：原式= [子题2]解析：若√F<lgx在x∈ √Ig30-21g3+(21g3+3g2-号)】 3 (0,]成立，则0<a<1,且y=匠的 (1g3-1)·(1g3+2lg2-1) 1-g30·2（1g3+21g2-1D 图象在y=logx图象的下方，如图 所示， (1g3-1)·(1g3+21g2-1) 3 2· 答案：一 3 2 题型2 y=log.x [母题][解析]法一：构造函数f(x) /1 =4和g(x)=logx, 由图象知√<lg。 ·392·