第二章 第1节 函数的概念及其表示-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

必修第一册 第二章 主题二函数 函数 ShuXue 第1节函数的概念及其表示 ★[课程标准] 1.通过实例，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作 用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域 2.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 复盘>必备知识 打通教材强基固本 以备知识掌握 自主诊断查验 1.函数的定义及相关概念 ◆[思考辨析] (1)函数定义：给定实数集R中的两个 数 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 集A和B,如果存在一个对应关系f,使对于集 里打“√”，错误的打“×” (1)函数y=f(x)的图象与直线x=a最多有2 合A中的 数x,在集合B中都有 个交点 () 的数y和它对应，那么就把对应关系 (2)函数f(x)=x2-2x与g(t)=2-21是同一 f称为定义在集合A上的一个函数.记作y= 函数 () f(x),x∈A. (3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个 (2)相关概念：集合 称为函数的定义域，x称为 函数是相等函数. ;与x值对应的y值称为 ,集 4)fx)=1与g(x) 1(x≥0)，表示同一 -1(x<0) 合 称为函数的值域， 函数 (3)同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且 ◆[小题查验] 对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函 1.(多选)下列四个图象中，是函数图象的是( 数值相同，那么这两个函数是同一个函数。 2.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列 0 表法. 2.(BSD必修第一册P57习题2一2A组T4改编)下 3.分段函数 列函数中，与函数y=x十1是同一个函数的是 若函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不 ( 同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样 A.y=(Vx+1)2 B.y=+1 的函数为分段函数.分段函数虽由几个部分组 c.y-+1 2 D.y=x2+1 成，但它表示的是一个函数. f2x-1,x<1, ·重要结论 3.已知f(x)= 2x≥1， 若f(a)=1,则实数a 1.直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图象 有0个或1个交点. 的值为 2.函数定义域的基本要求 A.1 B.4 C.1或4 (1)分式函数中分母不等于零， D.2 4.函数f(x)= 3.x (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. +√/16-x2的定义域是 √x+4 (3)y=x°的定义域是{xx≠0}. 5.(忽视变量的范围致误)已知f(√元)=x一1，则 (4)对数型函数的真数大于0. f(x)= 17 高考总复习 数学(BS) 跃升>关键能力 题型突破素养提升 题型1〔 函数的定义域 方法指导 P[命题点1] 求给定函数解析式的定义域 已知函数的定义域求参数问题的解题步骤 (1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义 1.函数y= 1g(2-x) +(x一1)°的定义域是 W12+x-x2 域问题转化为方程或不等式的解集问题： (2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取 值或范围 2.函数y=√1og5(1-2sinx) 的定 跟踪训练 义域是 1.已知f(2x)的定义域是[-1,1]，则f(1og2x)的 A[-] B[-受) 定义域为 c[-,o D[-] 2.记函数f)2-的定义域为A,g) x+1 题后反思 lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为B.若 (1)已知函数的解析式求定义域，构建使解析式 B二A,则实数a的取值范围为 有意义的不等式（组）求解.如果所给解析式 题型2 求函数的解析式 较复杂，切记不要化简后再求定义域」 [典例门求下列函数的解析式： (2)所求定义域须用集合或区间表示. (1)已知f(1-sinx)=cos2x,求f(x)的解析式； (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义， 又要考虑实际问题的要求 2已知f+)-子+是求fx)的解析式： [命题点2]求抽象函数的定义域 (3)f(x)是一次函数，且满足f(f(x)=4x一3， [典例1]若函数f(x)的定义域为[一1,2]，则函 求f(x)的解析式： 数g(x)=f,一2的定义域是 ( (4已知f(x)满足2fx)+f() 3x,求f(x) Vx-1 A.[1,4] B.(1,4] 的函数解析式. C.[1,2] D.(1,2] O[互动探究] 若将本例改为“已知函数y=f(x2一4)的定义域 是[一1,5]”，则函数y=f(2x+1)的定义域 为 方法指导 求抽象函数的定义域的策略 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函 数f(g(x)的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出； (2)若已知函数f(g(x)的定义域为[a,b], 则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. ◆[命题点3]已知定义域确定参数问题 [典例2] 1)(多选)若函数y是+1在区间 [一2，一1]上有意义，则实数a可能的取值是 A.-1 B.1 C.3 D.5 (2)当xe(合+∞时.函数fxr)V2a-n 和g(x)=log2[2x2-(2a十3)x+2]有意义，则实数 a的取值范围是 ·18 主题二第二章函数 方法指导… (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围 函数解析式的求法 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x),可将 检验所求自变量的值或范围是否符合相应段 F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 的自变量的取值范围。 替代g(x),便得f(x)的解析式； (2)待定系数法：若已知函数的类型（如一次函 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分 数、二次函数)，可用待定系数法； 类讨论 (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可 P[命题点2] 解方程问题 用换元法，此时要注意新元的取值范围： (4)消去法：已知关于)与f(日) [典例1]已知函数f(x) (ex+1,x<0, 则方程 或f(-x) 2,x≥0， 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个 f(1+x2)=f(2x)的解集是 等式组成方程组，通过解方程组求出f(x): 方法指导 跟踪训练 分段函数与方程问题的求解思路 1.已知函数f(x)满足f(cosx-1)=cos2x-1,则 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验 (x)的解析式为 A.f(x)=2x2+4x(-2≤x≤0) 所求自变量的值是否符合相应段的自变量的取 B.f(.x)=2x2+4x(x∈R) 值范围. C.f(x)=2x-1(-2≤x≤0) 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分 D.f(x)=2x-1(x∈R) 类讨论 2.已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1) 1跟踪训练 f(x)=x-1,求f(x)的解析式 1.设函数f(x) 2+2x,x≤0， -x2,x>0, 若f(f(a)- f(a)+2=0,则实数a的值为 A.√2-1 B.-√2-1 C.2+1 D.-√2+1 [命题点3]解不等式问题 [典例2] 设函数f(x) 1x+1,≤0， 则满足 2,x>0, 3.(2024·新课标I卷)已知函数f(x)的定义域为 R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时， +f-)>1 的x的取值范围是 f(x)=x,则下列结论中一定正确的是 ( A.f(10)>100 B.f(20)>1000 方法总结 C.f(10)<1000 D.f(20)<10000 分段函数与不等式问题的求解思路：依据分段函数 题型3 分段函数及应用 的解析式，对不同范围的不同段分类讨论求解，最 [命题点1]求函数值 后将各段结果取并集.注意每段不等式结果与本段 1.设函数f(x)= (x-3,x≥10， 自变量的范围取交集得本段的最后结果。 ff(.x+4),x<10, 则f(8)= 跟踪训练 A.10 B.9 C.7 D.6 2.设函数f(x)= (x+1)2+2,x<1, 则不等式 2.已知a∈[-1,1]，函数f(x) -2x,x≥1， (sin[2x(x-a)],x≤a, f(3)+f(|x|-4)>0的解集为 {x2-2(a+1)x+a2,x>a, 若f(f(a)=1,则a= A.(-1,1) B.(-o∞，-1)U(1,+∞) 题后反思 C.(-7,7) 分段函数“两种”题型的求解策略 D.(-∞，-7)U(7,+∞) (1)根据分段函数解析式求函数值 C温馨提 首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选 学习至此，请完成配套训练课时冲关6 定相应的解析式代入求解。 19高考总复习数学(BS) (2)要保证本年度的年利润比上年度 有所增加，必须有 5y-(12-10)×10000>0, 0x1, 中{00.+20>0…条号0< <合，所以授入成本增加的比铜应 在(0，号)范国内。 跟踪训练 解：(1)由题意，得 y=100(1-)1o(1+0x） 因为售价不能低于成本价，所以 10(1-)-80≥0. 所以y=f(.x)=40(10-x)(25+4x), 定义域为x∈[0,2] (2)由题意得40(10一x)(25+4x)≥ 10260,化简得8x2-30x+130, 解得<< 所以x的取值范国是[合2] 主题二第二章 第1节 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)非空每一个唯一确定(2)A 自变量函数值{f(x)|x∈A} 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)/(3)×(4)× 小题查验 1.ACD[根据函数的定义，一个自变量 值对应唯一一个函数值，或者多个自 变量值对应唯一一个函数值，显然只 有B不满足，] 2.B 3.B[当a<1时，f(a)=2a-1=1,则 a-1=0,解得a=1(舍去)；当a≥1 时，f(a)=-=1,则6=2，解得a 2 =4.] 4.(-4,4] 5.解析：令t=√，则t≥0，x=2,所以 f(t)=2-1(1>0),即f(x)=x2-1 (x≥0). 答案：x2-1(x≥0) 跃升·关键能力题型1命题点1 12-x>0, 1.解析：由12+x-x2>0,得 (x-1≠0， 1x<2, -3x<4,所以一3<x<2且x≠1， (x≠1， 故所求函数的定义域为{x一3<x<2 且x≠1}. 答案：{x|-3<x<2且x≠1} f1-2sin x>0, 2.A[由题意，得 1og(1-2sinx)≥0， <r<, 2 sinx<' sin0, 1-2sinx≥1，即 2 2 x[]门 命题点2 2.解析：由已知得A={x|x<-1或x≥1}， [典例1][解析]由于函数f(x)的定 B={x(x-a-1)(x-2a)<0}, 义域为[-1,2]，对于函数g(x)= 由a<1得，a+1>2a, x2,有{-1≤x2≤2，解得1< ∴.B={x2ax<a+1}. √x-I lx-1>0, :B二A,.a十1≤-1或2a≥1， ≤4.因此函数gx)-f2的定义 a≤-2或分<a<1, √x-1 域是(1,4]. ∴.a的取值范围为a一2或 [答案]B 2 ≤a<1,即(-∞， 2u[1） 互动探究 解析：y=f(x2-4)的定义域是[-1,5]， 答案：(-∞， 2U[) 则x2-4∈[-4,21]， 题型2 即函数f(x)的定义城为[一4,21]， [典例][解](1)（换元法）设1-sinx 令2x+1∈[-4,21]， =t,t∈[0,2]， sin x=1-t,'.'f(1-sin x)=cos2x =1-sin2x,∴.f(t)=1-(1-t)2 则函数y=f(2x十1)的定义域 =2t-t2,t∈[0,2]. 为[-0] 即f(x)=2x-x2,x∈[0,2]. 答案：[-号10] 2(配凑法)：f(+)=2+是 命题点3 -2,.f(x)=x2-2, [典例2](1)[解析]函数y= -(+) x∈(-∞，-2]U[2,+∞). √会+1在区间[-2，-]上有意义， (3)(待定系数法)因为f(x)是一次 函数， 等价于名十1≥0在区间[-2，-1]上 所以设f(x)=kx十b(k≠0)， 所以f(f(x))=k(kx十b)+b 恒成立，由x<0,得a≤一x在区间 =k2x+kb+6, [一2，一1]上恒成立，所以a1. 又因为f(f(x)=4x-3, [答案]AB (2)[解析]由题意知，当x∈ 所以k2x+kb+b=4x一3， (2,+∞）时，不等式组 1 故2=4， 1kb+b=-3, (2axr-In x>0, {2x2-(2a+3)x+2>0成立. 解得么2或仫，2 所以f(x)=2x-1或f(x)=-2x十3. 对于2ax-lnx>0,整理得2a>l血2 (④（方程组法）将二代入2f(x)+ 令h(x)-血二，则'(x)=1-lnx。 f()=3, 当x∈（合e]时，h()>0,a)单 调递增： 得2r()+)-, x∈(e,十∞)时，h'(x)<0,h(x)单调 2+f(）-3, 递减，所以h(x)m=h(e)= 因此 e 则2a>日，解得a>品： 解得f(x)=2x- 对于2x2-(2a+3)x十2>0，整理得 跟踪训练 2at3人+由于G()=x+在 1.A[函数f(x)满足f(cosx一1)= 2 x cos 2.x-1=2cos2r-1-1=2cos c-2, (2,+∞）上的最小值为G(1)=2, 1 设cosx-1=t,则cosx=t十1， 由cosx∈[-1,1]知，t∈[-2,0]， 所以20士3<2解得a<子，综上了得 故原函数可转化为f(t)=2(t十1)2 <a< 2=22+4t,t∈[-2,0]， 即f(x)的解析式为f(x)=2x2+4x(-2 [答案] (品) x0).] 2.解：f(x)为二次函数， 跟踪训练 .f(x)=a.x2+br十c(a≠0)， 1.解析：由已知x∈[一1,1]，所以2x∈ .f(0)=c=2, .f(x+1)-f(x)=x-1, [合2]故)的定义战为 .2a.x+a+b=x-1, [空2]所以在画数y=f) 中，≤1og2x≤2，即1og2E≤1og2x -2-+2. ≤log24,所以√2≤x≤4，故f(log2x) 3.B[由题意可知，当x<3时，f(x)= x,所以可知f(1)=1,f(2)=2,又因 的定义域为[√2,4]. 为Hx∈R,f(x)>f(x-1)+f(x 答案：[V2,4] 2),所以f(3)>f(1)+f(2)=3,f(4) ·384· >f(2)+f(3)>5,同理可得，f(5)> 8,f(6)>13,f(7)>21,f(8)>34, f(9)>55,f(10)>89,…f(15)>987 f(16)>1597>1000,…,故选B.] 题型3命题点1 1.C[因为f(x)= （x-3,x≥10， 1ff(x+4)),.x10, 则f(8)=f(f(12))=f(9) =f(f(13))=f(10)=7.] 2.解析：f(f(a)=f(0)=1, 当0a1时，f(0)=sin(-2πa) 3 -1,得a=-有-k,故a=子： 当-1≤a<0时，f(0)=a2=1, 故a=一1. 答案：是或-1 命题点2 [典例1][解析]，函数f(x) 0. 方程f(1十x2)=f(2.x), .当x<0时，2=e2x+1,解得x=0, 不成立： 当x≥0时，f(1+x2)=f(2.x)=2, 成立 ,∴.方程f(1十x2)=f(2x)的解集是 《xx≥0}. 「答案]{xx≥0} 跟踪训练 1.B[令f(a)=t,f(f(a)-f(a)+2 =0,则f(1)=1-2, ①t≤0时，t2十2t=t一2，则t2+t十2 =0无解. ②t>0时，-t2=t-2,.t=1,.f(a) =1,a≤0时，a2+2a=1,则a=-√2 -1:a>0时，一a2=1无解，综上，a= -√2-1.] 命题点3 [典例2】[解析]第一步：解>合时， f+f(-)> 由题意得，当>号时，f)十 f(-号)）=2r+2r>1根成立， 即x>立 第二步：解0<≤空时f)十 f(-是)>1 当0cr≤2x)+f(-合) 2x+x- +1>1恒成立，即0< 2 第三步：解x≤0时，f(x)十 f(-)>1 当x<0时，x+1计x-之+1>1， 解得>-即-<<0. 第四步：取并集计算工的取值范国 综上x的取位范国是（子，十∞）】 [答案] 参考答案 跟踪训练 跃升·关键能力题型1命题点1 2.A[因为f(x)= (x+1)2+2,x<1, 1.C[令y=log5u,u=-x2+4x+12. -2x,x≥1， 由u=-x2+4x十12>0，得-2x6. 所以f(3)=一6， 因为函数y=logu是关于4的递减 f(-3)=(-3+1)2+2=6, 函数，且x∈（一2,2）时，u=一x2十4x 则f(3)+f(|x|一4)>0，即f(|x|一 十12为增函数，所以y=log5(一x2十 4)>-f(3)=6=f(-3), 4x十12)为减函数，所以函数y f(x)的函数图象如图所示： 1og÷(-x2+4x十12)的单调减区间 是(-2,2).] 2.B[当x≥0且y≥0时，x2+y2=1, 5 当x>0且y0时，x2-y2=1, 4 当x<0且y>0时，y2-x2=1, 当x<0且y<0时，无意义， 如图： 4-3-2-1 1234 y=f(x) -3 -5 结合图象可知，y=f(x)在(-∞，十∞) 由函数图象可知当x>一3时，f(x)< 上是减函数.] 6且f(x)在（一∞，一3）上单调递减， 命题点2 所以f(x|-4)>f(-3)等价于|x [典例门[证明]法一（定义法）：第一 -4<-3,即|x<1,解得一1x<1, 步，取值、作差、变形：设一1<x1<x2 即x∈(-1,1).] <1, 第2节 f)-a(）(+) 复盘·必备知识必备知识掌握 则f(x1)-f(.x2) 1.(1)任意 x1<x2f(x1)<f(x2) 单调递增 任意1<x2f(x1）> -a(+与)a(+) f(x2)单调递减(2)单调性单调 a(r2-r1） 区间 (x1-1)(x2-1) 2.(1)存在f(x)≤M存在f(x0)= 第二步，判号、定论：由于一1<x1<x M(2)存在f(x)≥M存在f(xo) <1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2 =M最值 10,故当a>0时，f(x1)-f(x2)> 自主诊断查验 思考辨析 0,即f(x1)>f(x2), (1)×(2)× (3)×(4)×(5)/ 函数f(x)在（一1,1）上单调递减： (6)/ 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0, 小题查验 即f(x1)<f(x2), 1.BD[函数f(x)=一x是一次函数， 函数f(x)在（一1,1）上单调递增. 在R上是减函数；函数f(x)=x十2 法二（导数法）：第一步，求导、变形： 在R上是增函数：函敦f(x)=在 f(x)=a.x)'(x-1)-ax(x1) (x-1)2 (一∞，0)上是减函数，在(0，十∞)上 =a(x-1)-a.x (x-1)2 (x-1)2 是减函数；函数f(x)=丘=x是暴 第二步，判号、定论：当a>0时，f(x) 函数，指数号>0，所以函数f(x)在R 0,函数f(x)在（一1,1）上单调递减 当a0时，f'(x)>0,函数f(x)在 上是增函数.] (一1,1)上单调递增. 2.C[由题图可知，函数y=f(x)的单 互动探究 调递增区间为[一3,1].] 证明：法一（定义法）：设一1xx2<1, 3.A[由fa)-fb>0,知f(a) a-b 则f(1)-f(x2)=a-a9 x-1x-1 f(b)与a一b同号，即当a<b时，f(a) _ax1x号-a1-ax2x号十ax2 <f(b),或当a>b时，f(a)>f(b),所 (x号-1)(.x-1) 以f(x)在R上是增函数.] a(x2-x1)(x2+1) 4.C.[由x2-4>0,可得x<-2或x> (x号-1)(x-1) 2,,函数f(x)的定义域为（一∞，一2） :-1<x1<x2<1, U(2,+o∞).设t=x2-4,则t在(2， .x2-x1>0,x1x2+1>0, 十o∞)上单调递增，又函数y=log2t为 (x-1)(x-1)>0. 增函数，∴.函数f(x)-1og2(x2-4)在 因此当a>0时，f(x1)-f(x2)>0, (2,十∞)上单调递增，∴，函数f(x)的 即f(x1)>f(x2),此时函数f(x)在 单调递增区间为(2，十∞).] (一1,1)上为减函数. 5.解析：因为函数f(x)在[0,2]上单调 递减，所以f(xmax=f(0)=2, 法二（导数法）：f(x)=a(2-1)-2ax (x2-1)2 f(r)min=f(2)-3 -a(x2+1) = (x2-1)2 答案：2号 又a>0,所以f(x)<0,所以函数 f(x)在（一1,1）上为减函数. ·385·