第4章 数据分析（知识清单）数学新教材湘教版八年级下册

第四章 数据分析 知识点1 数据的集中趋势 1 平均数：； 2 平均数：（ 为 ）； 3 中位数：将数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为 ，取中间位置的数；若为 ，取中间两个数的平均数。 ④ 众数：一组数据中出现次数最多的数据（可以有多个或没有）。 知识点2 数据的波动程度 1 ：最大值与最小值的差（），反映数据的波动范围； 2 ：，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定； 3 ：方差的算术平方根（），与原数据单位一致，同样反映波动程度； 4 ： 。 知识点3 用样本估计整体 1 ：从总体中抽取部分个体（样本）进行调查，用样本特征估计总体特征。 2 ：总体中每个个体被抽到的机会均等。 ③ 样本的平均数、方差、中位数等可以用来估计总体的对应统计量。 知识点4 频数与频率 1 ：某个数据（或组）出现的次数； 2 ：频数与数据总数的比值（），所有组的频率之和为1； ③ 频数分布表、频数分布直方图：直观展示数据的分布情况。 知识点5 统计图标的应用 2 常见统计图表：条形图、折线图、扇形图、频数分布直方图等； ② 图表选择：条形图：比较不同类别数据的大小；折线图：展示数据的变化趋势；扇形图：表示各部分占总体的比例；直方图：展示连续数据的分布情况。 一．基本概念误区 ① 计算加权平均数时，混淆权重与数据本身，或忘记除以权重总和； ② 求中位数前未先排序，直接取中间位置的数； 3 误认为众数只能有1个，或忽略“无众数”的情况； ④ 极端值影响平均数时，误将平均数当作数据的代表值。 【典例1】某小区开展垃圾分类，一周内收集的可回收物重量（单位：)统计如下：25，28，30，32，28，26，31．这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．， B．， C．， D．无众数， 【典例2】昆明地铁运营方为优化运力调配需要，统计了某工作日晚高峰时段7个代表性站点的进出站总客流人次，统计数据如下表，则这7个数据的中位数是（    ） 站点 西山公园站 西部汽车站 东风广场站 白云路站 梁家河站 昆明火车站 市体育馆站 客流人次（单位：百人） 46 87 245 168 61 198 75 A．75 B．87 C．61 D．168 【典例3】在一次献爱心的捐款活动中，九（1）班50名同学捐款金额如图所示，则在这次捐款活动中，该班同学捐款金额的众数是_________． 二．与方差有关的应用 ① 计算方差时，忘记除以数据个数 ，或误将 直接相加； ② 混淆方差与标准差的意义，认为标准差越大数据越稳定； 4 忽略极差易受极端值影响的局限性； 5 比较两组数据波动时，未先确保平均数相近，直接比较方差。 【典例1】甲、乙、丙、丁四名同学进行立定跳远训练，每人跳6次，成绩的平均数都是2.30米，方差分别为，，，，则这四位同学立定跳远成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【典例2】科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，其开花时长的平均数和方差如图所示，若从甲、乙、丙、丁中选择一种开花时间最长，且最平稳的，则应该选（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【典例3】已知一组数据，的平均数为5，方差为2，则的方差________ 三．频数与频率的理解 ① 计算频率时，误将频数当作频率； ② 绘制直方图时，组距划分不当或漏算频数； ③ 忽略“频率之和为1”的性质，导致计算错误； ④ 误读直方图，将矩形高度当作频率而非频数/频率密度。 【典例1】某中学就周一早上学生到校的方式问题，对七年级所有学生进行了一次调查，结果如表所示，则步行到校的学生频率是______． 七年级学生人数 步行人数 骑车人数 乘公交车人数 其他方式人数 【典例2】某校为了了解八年级男生立定跳远的成绩，从该校随机抽取了50名男生的测试成绩，根据测试评分标准，将他们的得分按优秀、良好、及格、不及格（分别用A、B、C、D表示）四个等级进行统计，并绘制成下面的扇形统计图（如图）和统计表： 等级 成绩（分） 频数（人数） 频率 A 90~100 19 0.38 B 75~89 C 60~74 D 60以下 3 0.06 合计 50 1.00 请你根据以如上图表提供的信息，解答下列问题： (1)___________，___________，___________；___________； (2)在扇形统计图中，C等级所对应的圆心角是___________度． 四．统计图标的应用错误 ① 混淆不同图表的适用场景，用错图表类型； ② 读取扇形图时，误将角度当作百分比，或计算比例时出错； ③ 折线图中忽略横轴单位，错误判断变化幅度； ④ 从图表中提取信息时，遗漏关键数据或过度解读图表外的信息。 【典例1】某校为响应“传承屈原文化·弘扬屈原精神”主题阅读倡议，进一步深化全民阅读和书香隆德建设，随机抽取了八年级若干名学生，对“双减”后学生周末课外阅读时间进行了调查，根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 时间段/分钟 组中值 —— 75 105 135 频数/人 6 20 —— 4 数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数，叫做这个小组的组中值．请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题： (1)扇形统计图中，分钟时间段对应扇形的圆心角的度数是______；______； (2)请将表格补充完整； (3)请通过计算估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间． 【典例2】数学社团前往甲、乙两块柑橘园开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个，在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据，柑橘直径用x（单位：）表示．将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： (1)任务1：图①中的值为___________，若A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数： (2)任务2：下列结论一定正确的是___________（填正确结论的序号）； ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． (3)任务3：结合市场情况，将C、D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 重难点01 平均数与加权平均数 1．六位同学心理测试的成绩分别为：分、分、分、分、分、分，则这位同学的成绩众数和平均数分别是（　　）． A．分，分 B．分，分 C．分，分 D．分，分 2．我校拟招聘一名应届毕业数学教师，现有甲、乙两名毕业生入围，两名毕业生的笔试、面试的成绩如表所示，以算术平均分或者以笔试占，面试占计算综合成绩，学校将分别录取（      ）毕业生． 教师成绩 甲 乙 笔试 90分 84分 面试 85分 90分 A．甲、甲 B．甲、乙 C．乙、甲 D．乙、乙 3．在一次数学模拟考试中，小明所在的学习小组8名同学的成绩（单位：分）分别为129，136，145，136，148，136，150，140．则这次考试的平均数、众数、中位数分别为（      ） A．145分，136分，138分 B．140分，136分，138分 C．136分，148分，140分 D．136分，145分，136分 4．某校个小组在一次植树活动中植树株数的条形图如图所示，则平均每组植树（    ） A．株 B．株 C．株 D．株 5．小明期末考试语、数、英三科的平均分为92分，他只记得语文是88分，英语是95分，则小明数学考了（    ） A．93分 B．95分 C．92分 D．94分 6．有一组数据6，1，，x，8，2的中位数为2.5，则这组数据的平均数是__________． 7．年中央一号文件发布后，某直播间借此机会开展了三场公益助农直播，各场农产品销售额及直播时长如表所示，这三场直播总的平均每小时销售额为________万元． 直播场次 销售额/万元 直播时长/h 第一场 第二场 第三场 8．某班级拟开展主题班会活动，现通过投票从“与科技”“ 与生活”“ 与学习”“ 安全”“故事”中挑选一个最受欢迎的主题．投票结果的条形统计图与扇形统计图如图： 请根据以上信息，完成下列问题： (1)本次投票共______人参与，并补全条形统计图． (2)由于“与科技”“ 故事”两个主题得票并列最高，为确定活动主题，从该班随机选择8名学生代表为这两个主题评分，评分结果及汇总信息如下表： 主题 评分 平均数 中位数 众数 与科技 10 9 8 3 6 4 10 10 10 故事 9 10 7 8 5 5 8 8 7.5 8 求表中的数据：______，______，______． (3)结合上述信息，应该选择哪个活动主题，并说明理由． 重难点02 统计量的选择与决策应用 1．在一次数学测试中，小强成绩82分，超过班级半数同学的成绩．分析得出这个结论所用的统计量是（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 2．有7名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前4名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 3．如图，已知嘉嘉五次党史测试的成绩如条形统计图所示，现再测试一次，若六次测试成绩的众数为7分，则六次测试成绩的中位数是（    ） A．7分 B．7.5分 C．8分 D．10分 4．某班25名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如下表： 成绩 171及以下 172 173 174 175及以上 人数 1 4 8 □ ○ 因污损导致数据不完整，仍能分析出本次测试成绩的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 5．专卖店统计了一周中不同号码滑冰鞋的销售量，数据如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量（双） 2 4 5 5 12 6 3 2 1 你认为该专卖店最关注的销售数据是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 6．某中学举行的“宪法伴你我，守一生平安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，前八名获奖．他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否获奖，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的_____（填“平均数”“中位数”或“众数”）； 7．已知、、的平均数与、、、、的唯一众数相同，则这个数的中位数是___________ ． 8．已知七名学生投篮，每人投了10个，其中小陈同学投中了4个，统计他们每人投中的个数，并进行整理和分析，得出下表．现给出下列说法；①有学生可能投中了9个；②投中6个的学生只有1人；③这七个数据之和可能为42；④m可能等于5．其中正确的是______．（填序号） 最小值 中位数 众数 平均数 2 6 7 m 9．为了解用户对甲、乙两种型号新车的满意度，某新能源汽车公司针对汽车在动力性能、操控与舒适性、空间表现、安全性、智能化配置等方面进行问卷调查．现各随机选取20名用户的调查数据进行收集、整理、分析（得分共分为四组：A：，B：，C：，D：），部分信息如下： 甲型号得分：68，69，69，75，75，75，75，76，78，78，81，85，85，85，86，89，89，90，91，91． 甲、乙型号新车得分统计表： 型号 平均分 中位数 众数 甲型 b 乙型 a 78 根据以上信息、解答下列问题： (1)上述表格中的_____，_____； (2)若该公司计划从甲、乙两种型号的新车中优先推广一种，综合以上统计量，你认为应该优先推广哪种型号的新车？请说明理由． (3)如果你家准备购买新能源汽车，你还希望了解哪些方面的信息（列出一条即可）？ 重难点03 方差的应用 1．某校九年级二班45名同学在学校举行的“爱心涌动校园”募捐活动中捐款情况如表所示： 捐款数（元） 10 20 30 40 50 捐款人数（人） 8 17 16 2 2 则对全班捐款的45个数据，下列说法错误的是（    ） A．众数是20 B．平均数是24 C．中位数是30 D．方差是 2．如果一组数据，，，的方差是，那么数据，，，的方差是（     ） A． B． C． D． 3．小红同学对数据22，34，28，27，4■，43进行统计分析，发现“4■”的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　） A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 4．在观看奥运会的10米跳台跳水决赛时，小明根据比赛中7位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，若去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（   ） 中位数 众数 平均数 方差 9.5 10 9.571 0.173 A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 5．下列说法正确的个数是（　　）． ①一组数据的众数只有一个；②样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好；③一组数据的中位数一定是这组数据中的某一数据；④一组数据的众数一定比平均数大；⑤一组数据的方差一定是正数． A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 6．甲、乙、丙、丁四支女子花样游泳队的人数相同，且平均身高都是1.68m，身高的方差分别是，则身高比较整齐的游泳队是（   ） A．甲 B． C．丙 D．丁 7．已知一组数据7，x，3，3，5，1的众数是3和5，则这组数据的方差是______． 8．2025年第十五届全运会由广东、香港、澳门共同举办，为弘扬全运会体育精神，某校在七、八年级开展了“全运会知识竞赛”活动（满分100分），现从这两个年级中各随机抽取10名学生的成绩进行整理分析，部分信息如下： 信息一：数据收集（单位：分） 七年级抽取的10名学生的成绩：50，68，72，79，79，80，84，90，98，100； 八年级抽取的10名学生的成绩：60，60，65，74，84，84，85，96，96，96． 信息二：数据整理与分析 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 79 八年级 80 84 188.6 (1)填空： ， ， ； (2)根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更加优秀？请从两个不同的统计角度说明理由． 重难点04 离差平方和的应用 1．在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 2．下列适合使用“组内离差平方和最小”的原则的情况是（   ） A．比较动物兽药的疗效 B．将学生按期末成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气随海拔的变化 3．关于“组内离差平方和最小”原则，下列说法正确的是（    ） A．只需让某一组的离差平方和最小即可 B．是所有组的组内离差平方和之和最小 C．分组后每组数据必须完全相同 D．与数据的集中程度无关 4．如果组内离差平方和很大，说明（    ） A．组间差异大 B．组内差异大 C．总差异小 D．均值相等 5．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 6．某公司5名员工的季度绩效分数为75，80，85，90，95．人力资源部门想将员工分为“普通组”和“优秀组”，要求组内绩效同质性高（组内离差平方和最小），如何分组？计算最小离差平方和． 7．某年6个家庭的年用水量如下表所示： 家庭 年用水量/t 105 78 75 115 90 110 (1)若分为两组，使组内离差平方和最小，如何分组？ (2)说明分组的实际意义． 重难点05 四分位数与箱线图 1．祖冲之把圆周率精确到小数点后位，领先世界约年．数学活动课上，小红对圆周率的小数点后位数字进行了统计：则圆周率的小数点后位数字的第一四分位数、第三四分位数为（　　） 数字 频数 A．， B．， C．， D．， 2．某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（   ） A．102 B．98 C．114 D．106 3．某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（    ） A．29是这20人年龄的第一四分位数 B．29是这20人年龄的第三四分位数 C．31是这20人年龄的中位数 D．这20人年龄的众数是5 4．续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时间续航的重要路径之一．某大学科研团队利用自主研发的新型静电电机，成功研制出仅重的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行．为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，6名参赛学生的成绩（单位：分）依次为95，75，95，85，92，80，则这组数据的第一四分位数为（    ） A．88.5分 B．92分 C．95分 D．80分 5．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（   ） A．三个班级中，甲班分数的方差最大 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C．丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数 D．若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高 6．将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为_______ ． 7．2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功以一箭三星方式将实践三十号星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位；分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七八年级抽取的学生的成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 (1)上表中，___________，___________；___________； (2)请补全七年级学生成绩数据的箱线图，并通过对比两个箱线图，初步判断哪个年级12名学生的成绩更集中、稳定． 重难点06 数据的频数分布 1．下列说法错误的是（    ） A．频数分布直方图中，频数之和为数据总数 B．频率就是频数与数据总数之比 C．频数分布直方图中，小长方形的高等于相应各组的频数 D．绘制频数分布直方图时，组距和组数的确定有一个固定的标准 2．某校对八年级400名学生的身高进行了测量，结果身高（单位：）在这一小组的频率为，则该组的人数为________． 3．在一个样本中，将100个数据分成5组，其中第一组的频数是15，第三组、第四组与第五组的频率之和是0.65，那么第二组的频数是_______． 4．某单位300名员工参加植树活动，活动结束后随机抽查了部分员工每人的植树量，并对调查结果进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图表，请你根据图表中的信息解答下列问题： 植树数量（单位：棵） 4 5 6 7 人数（单位：名） 10 20 (1) ， ； (2)在扇形统计图中，“4棵”所对应扇形的圆心角的度数是 ； (3)被抽查的员工每人植树量的众数是 ，中位数是 ； (4)请你估计在该植树活动中300名员工共植树多少棵． 5．自正式上线以来，全社会不断加深对的了解与合作．某中学在七年级组织了一次“与对话”知识竞赛活动（成绩为百分制）．为了解知识竞赛的情况，老师随机抽取了部分学生的成绩，整理后绘制成如图所示的不完整的统计图表： 分组 频数 A． 4 B． C． 36 D． 16 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次一共随机抽取了___________名学生的成绩； (2)求出m，n的值； (3)将频数分布直方图补充完整； (4)扇形统计图中，“C．”组所对应的扇形圆心角的度数是___________． 6．某中学为了解学生每周课外阅读时间，现从该校八年级随机抽取50名学生进行调查，阅读时间用t表示（单位：小时），将全部结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 A B C D E 阅读时间                         人数 4 10 16 a 6 请根据以上信息，完成下列问题： (1)__________；这50名学生每周课外阅读时间的中位数落在__________组（填字母）； (2)若阅读时间的平均数不低于5小时，则认定学生课外阅读时间充足．分别用1，3，5，7，9作为A，B，C，D，E这五组阅读时间的平均数，估计该校八年级学生每周课外阅读时间是否充足，并说明理由． 7．年广东文旅资源开发大会计划招募“岭南文化推广志愿者”，共有名申请者参加选拔．每位申请者需参加讲解、策划、展示三项能力测试，每项测试均由八位评委打分（满分分），取平均分作为该项测试成绩，再将讲解、策划、展示三项测试成绩按的比例计算出每人的总成绩．名申请者中的洋洋和融融的测试成绩和总评成绩的部分数据如下表，这名申请者的总成绩频数分布直方图如下图：分及以上人，分（不含）人，分（不含）人，分（不含）人． 申请者 各项成绩 成绩 讲解 策划 展示 洋洋 融融 (1)在展示测试中，八位评委给融融打出的分数如下：，，，，，，，．这组数据的中位数是________，平均数是________，众数是________； (2)请你计算融融的总成绩； (3)根据总成绩择优选拔名志愿者，试分析洋洋和融融能否入选，并说明理由． 重难点07 总体的平均数与方差的估计 1．为宣传节约用水，某社区随机统计了8户居民的月用水量：2户用了9立方米，3户用了12立方米，2户用了15立方米，1户用了16立方米．若该社区有300户居民，估计该社区每月共需用水_________ 立方米． 2．某校在八年级450名学生中随机抽取了50名学生进行一分钟打字测试．将这50名学生一分钟打字的数量整理后，画出了频数分布直方图如图所示（不完整）．已知图中从左到右分为5个小组，则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约__________个． 3．某校七、八年级开展了一次实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数，为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制如下所示的统计表和如图所示的统计图． 七年级10名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 2 2 3 2 (1)样本中，七年级学生活动成绩的中位数为 分，八年级学生活动成绩的众数为 分； (2)估计七年级600名学生活动成绩的平均数； (3)嘉淇说：“根据样本数据，我认为八年级同学的成绩较好．”嘉淇做出此判断依据的量是 （填“平均数”“中位数”或“众数” ）． 4．在一次捐款活动中，学校团支书想了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数据进行了统计，并绘制成如图所示的统计图． (1)这50名学生捐款的众数为________元； (2)求这50名学生平均每人捐款多少元； (3)如果捐款的学生有300人，估计这次的捐款总数． 5．某校团委向全校300名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图： 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受随机调查的学生人数为__________________________； (2)图1中的值是____________，并补全条形统计图； (3)根据样本数据，估计该校本次活动一共捐款多少元？ 6．某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐书量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)求这30名职工捐书本数的平均数； (3)估计该单位750名职工共捐书多少本？ 7．2022年8月末，重庆缙云山发生特大山火，所谓“一方有难，八方支援”，社会各界人士纷纷站出来为灾区捐款捐物．某校学生会向全校1900名学生发起了捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图．请根据相关信息，解答下列问题： (1)图1中m的值是________； (2)本次调查获取的部分学生捐款金额的平均数是________元，众数是________元，中位数是________元； (3)根据上面调查得到的数据，估算该校本次活动捐款总额为多少元？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数据分析 知识点1 数据的集中趋势 ① 算术平均数：； ② 加权平均数：（ 为权重）； ③ 中位数：将数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为奇数，取中间位置的数；若为偶数，取中间两个数的平均数。 ④ 众数：一组数据中出现次数最多的数据（可以有多个或没有）。 知识点2 数据的波动程度 ① 极差：最大值与最小值的差（），反映数据的波动范围； ② 方差：，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定； ③ 标准差：方差的算术平方根（），与原数据单位一致，同样反映波动程度； ④ 离差平方和： 。 知识点3 用样本估计整体 ① 抽样调查：从总体中抽取部分个体（样本）进行调查，用样本特征估计总体特征。 ② 简单随机抽样：总体中每个个体被抽到的机会均等。 ③ 样本的平均数、方差、中位数等可以用来估计总体的对应统计量。 知识点4 频数与频率 ① 频数：某个数据（或组）出现的次数； ② 频率：频数与数据总数的比值（），所有组的频率之和为1； ③ 频数分布表、频数分布直方图：直观展示数据的分布情况。 知识点5 统计图标的应用 2 常见统计图表：条形图、折线图、扇形图、频数分布直方图等； ② 图表选择：条形图：比较不同类别数据的大小；折线图：展示数据的变化趋势；扇形图：表示各部分占总体的比例；直方图：展示连续数据的分布情况。 一．基本概念误区 ① 计算加权平均数时，混淆权重与数据本身，或忘记除以权重总和； ② 求中位数前未先排序，直接取中间位置的数； 3 误认为众数只能有1个，或忽略“无众数”的情况； ④ 极端值影响平均数时，误将平均数当作数据的代表值。 【典例1】某小区开展垃圾分类，一周内收集的可回收物重量（单位：)统计如下：25，28，30，32，28，26，31．这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．， B．， C．， D．无众数， 【答案】A 【分析】先根据定义确定众数，再将数据排序后找到中位数． 【详解】解：统计这组数据中各数的出现次数：25，26，30，31，32各出现1次，28出现2次， ∵28的出现次数最多， ∴众数为， 将数据从小到大排序得：， ∵这组数据共7个，个数为奇数，中位数为排序后第个数， ∴第4个数为28，即中位数为， 因此这组数据的众数和中位数分别是，． 【典例2】昆明地铁运营方为优化运力调配需要，统计了某工作日晚高峰时段7个代表性站点的进出站总客流人次，统计数据如下表，则这7个数据的中位数是（    ） 站点 西山公园站 西部汽车站 东风广场站 白云路站 梁家河站 昆明火车站 市体育馆站 客流人次（单位：百人） 46 87 245 168 61 198 75 A．75 B．87 C．61 D．168 【答案】B 【分析】根据数据个数为奇数，取最中间位置的数即为中位数． 【详解】解：将这7个数据按从小到大的顺序排列得：， ∵数据总个数为7，是奇数， ∴这组数据的中位数为． 【典例3】在一次献爱心的捐款活动中，九（1）班50名同学捐款金额如图所示，则在这次捐款活动中，该班同学捐款金额的众数是_________． 【答案】10 【详解】解：捐款金额为10元的出现了20人， ∴捐款金额的众数是10 ． 二．与方差有关的应用 ① 计算方差时，忘记除以数据个数 ，或误将 直接相加； ② 混淆方差与标准差的意义，认为标准差越大数据越稳定； 4 忽略极差易受极端值影响的局限性； 5 比较两组数据波动时，未先确保平均数相近，直接比较方差。 【典例1】甲、乙、丙、丁四名同学进行立定跳远训练，每人跳6次，成绩的平均数都是2.30米，方差分别为，，，，则这四位同学立定跳远成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】比较四人方差的大小即可得出结论； 【详解】解：，，，， ， 甲的方差最小，成绩最稳定． 【典例2】科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，其开花时长的平均数和方差如图所示，若从甲、乙、丙、丁中选择一种开花时间最长，且最平稳的，则应该选（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】先根据平均数说明开花时间，再根据方差的大小判断稳定性即可得出答案． 【详解】解：根据图示可知甲，乙的平均数是3，丙，丁的平均数是5，可知丙，丁的开花时间长，且丁的方差最小，所以丁开花时间最长，且最平稳，则D符合题意． 【典例3】已知一组数据，的平均数为5，方差为2，则的方差________ 【答案】/1.6 【分析】先根据原数据的平均数和方差，得到原数据总和与原数据与原平均数差的平方和，再计算新数据的平均数，最后根据方差的定义计算新的方差即可． 【详解】解：∵原数据的平均数为， ∴， ∴， ∵原方差为， ∴ ∴ ， ． 三．频数与频率的理解 ① 计算频率时，误将频数当作频率； ② 绘制直方图时，组距划分不当或漏算频数； ③ 忽略“频率之和为1”的性质，导致计算错误； ④ 误读直方图，将矩形高度当作频率而非频数/频率密度。 【典例1】某中学就周一早上学生到校的方式问题，对七年级所有学生进行了一次调查，结果如表所示，则步行到校的学生频率是______． 七年级学生人数 步行人数 骑车人数 乘公交车人数 其他方式人数 【答案】 【分析】根据频率等于频数除以总数，代入步行人数和七年级总人数即可计算出结果． 【详解】解：由题意可知，总人数为，步行到校的学生频数为， ∴步行到校的学生频率为． 【典例2】某校为了了解八年级男生立定跳远的成绩，从该校随机抽取了50名男生的测试成绩，根据测试评分标准，将他们的得分按优秀、良好、及格、不及格（分别用A、B、C、D表示）四个等级进行统计，并绘制成下面的扇形统计图（如图）和统计表： 等级 成绩（分） 频数（人数） 频率 A 90~100 19 0.38 B 75~89 C 60~74 D 60以下 3 0.06 合计 50 1.00 请你根据以如上图表提供的信息，解答下列问题： (1)___________，___________，___________；___________； (2)在扇形统计图中，C等级所对应的圆心角是___________度． 【答案】(1)20，8，0.4，0.16 (2)57.6 【分析】（1）利用总人数乘以B类对应的百分比，即可求得m的值，利用总数减去其他各组的人数即可求得n的值，利用百分比的定义求得x、y的值； （2）利用乘以对应的频率即可求得圆心角的度数． 【详解】（1）解：B类的人数是， 则， ， 则． （2）解：C等级所对应的圆心角是：． 四．统计图标的应用错误 ① 混淆不同图表的适用场景，用错图表类型； ② 读取扇形图时，误将角度当作百分比，或计算比例时出错； ③ 折线图中忽略横轴单位，错误判断变化幅度； ④ 从图表中提取信息时，遗漏关键数据或过度解读图表外的信息。 【典例1】某校为响应“传承屈原文化·弘扬屈原精神”主题阅读倡议，进一步深化全民阅读和书香隆德建设，随机抽取了八年级若干名学生，对“双减”后学生周末课外阅读时间进行了调查，根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 时间段/分钟 组中值 —— 75 105 135 频数/人 6 20 —— 4 数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数，叫做这个小组的组中值．请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题： (1)扇形统计图中，分钟时间段对应扇形的圆心角的度数是______；______； (2)请将表格补充完整； (3)请通过计算估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间． 【答案】(1)，25 (2)见解析 (3)84分钟 【分析】（1）根据分钟时间的占比和人数计算出调查的总人数为40，根据总人数和图表即可计算出相应的答案； （2）分钟时间段组中值为30和60的平均值，用总频数减去其余各组频数即可求解； （3）分别计算出各个统计时间段调查人数的比例，根据加权平均数计算方法求得答案． 【详解】（1）解：∵根据扇形统计图中，分钟时间段的占比为， ∴分钟时间段对应扇形的圆心角的度数为， ∵分钟时间段的人数为4人， ∴调查总人数为人， ∴分钟时间段的人数为人， ∴分钟时间段的人数与总人数的比为， ∴； （2）解：分钟时间段组中值为 分钟时间段的频数/人为 表格补充如下： 时间段/分钟 组中值 45 75 105 135 频数/人 6 20 10 4 （3）解：分钟时间段的调查人数占总人数的比例为； 分钟时间段的调查人数占总人数的比例为； 分钟时间段的调查人数占总人数的比例为； 分钟时间段的调查人数占总人数的比例为； ∴八年级学生周末课外平均阅读时间为：分钟， ∴该校八年级学生周末课外平均阅读时间为84分钟． 【典例2】数学社团前往甲、乙两块柑橘园开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个，在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据，柑橘直径用x（单位：）表示．将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： (1)任务1：图①中的值为___________，若A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数： (2)任务2：下列结论一定正确的是___________（填正确结论的序号）； ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． (3)任务3：结合市场情况，将C、D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 【答案】(1)40，6 (2)① (3)乙园的柑橘品质更优，理由见解析 【分析】（1）直接根据总数减去各部分的数据求出，根据加权平均数的计算方法求解平均数即可； （2）根据中位数、众数的定义及样本中的数据求解即可； （3）分别计算甲和乙的一级率，比较即可． 【详解】（1）解：； 乙园样本数据的平均数为； （2）解：①∵， ∴甲园样本数据的中位数在C组， ∵， ∴乙园样本数据的中位数在C组，故①正确； ②由样本数据频数直方图得，甲园样本数据的众数均在B组，乙园样本数据的众数均在C组，故②错误； ③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误； （3）解：乙园的柑橘品质更优，理由如下： 甲园样本数据的一级率为：， 乙园样本数据的一级率为：， ∵乙园样本数据的一级率高于甲园样本数据的一级率， ∴乙园的柑橘品质更优． 重难点01 平均数与加权平均数 1．六位同学心理测试的成绩分别为：分、分、分、分、分、分，则这位同学的成绩众数和平均数分别是（　　）． A．分，分 B．分，分 C．分，分 D．分，分 【答案】A 【详解】解：∵位同学的成绩中，分出现的次数最多，共出现次， ∴这组数据的众数为分； 平均数， ∴平均数为分． 2．我校拟招聘一名应届毕业数学教师，现有甲、乙两名毕业生入围，两名毕业生的笔试、面试的成绩如表所示，以算术平均分或者以笔试占，面试占计算综合成绩，学校将分别录取（      ）毕业生． 教师成绩 甲 乙 笔试 90分 84分 面试 85分 90分 A．甲、甲 B．甲、乙 C．乙、甲 D．乙、乙 【答案】B 【分析】分别求出两人的算术平均数和加权平均数，进行判断即可. 【详解】解：甲的算术平均数为（分）；加权平均数为（分）； 乙的算术平均数为（分）；加权平均数为（分）； ∵， ∴学校将分别录取甲、乙毕业生. 3．在一次数学模拟考试中，小明所在的学习小组8名同学的成绩（单位：分）分别为129，136，145，136，148，136，150，140．则这次考试的平均数、众数、中位数分别为（      ） A．145分，136分，138分 B．140分，136分，138分 C．136分，148分，140分 D．136分，145分，136分 【答案】B 【分析】根据平均数、众数、中位数的定义求解即可． 【详解】解：平均数：（分）； 可知出现的次数最多，故众数为分； 数据排列为：129，136，136，136，140，145，148，150， 则中位数为：（分）． 4．某校个小组在一次植树活动中植树株数的条形图如图所示，则平均每组植树（    ） A．株 B．株 C．株 D．株 【答案】C 【分析】本题主要考查了平均数，根据平均数公式计算即可． 【详解】解：平均每组植树的棵数为(株)． 故选：C． 5．小明期末考试语、数、英三科的平均分为92分，他只记得语文是88分，英语是95分，则小明数学考了（    ） A．93分 B．95分 C．92分 D．94分 【答案】A 【分析】本题考查平均数的应用，利用平均数公式求出三科总分，再减去已知的语文和英语分数即可得到数学成绩． 【详解】∵三科平均分为92分 ∴三科总分为（分）， ∵语文是88分，英语是95分 ∴数学成绩（分）． 6．有一组数据6，1，，x，8，2的中位数为2.5，则这组数据的平均数是__________． 【答案】 【分析】将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．根据中位数的定义求出的值，再依据平均数的定义计算即可得出答案． 【详解】解：数据6，1，，8，2按从小到大重新排列后为，1，2，6，8，此时中位数为， ∵数据6，1，，x，8，2的中位数为2.5， ∴数据6，1，，x，8，2按从小到大重新排列后为，1，2，x，6，8，且， 解得， ∴这组数据的平均数是． 7．年中央一号文件发布后，某直播间借此机会开展了三场公益助农直播，各场农产品销售额及直播时长如表所示，这三场直播总的平均每小时销售额为________万元． 直播场次 销售额/万元 直播时长/h 第一场 第二场 第三场 【答案】 【分析】本题考查了算术平均数的计算，掌握相关知识点是解题的关键． 先求出三场直播的总销售额与总直播时长，再根据平均数的定义计算平均每小时的销售额，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， 三场直播总销售额为（万元）， 三场直播总时长为：（h）， 则平均每小时的销售额为（万元）． 故答案为：． 8．某班级拟开展主题班会活动，现通过投票从“与科技”“ 与生活”“ 与学习”“ 安全”“故事”中挑选一个最受欢迎的主题．投票结果的条形统计图与扇形统计图如图： 请根据以上信息，完成下列问题： (1)本次投票共______人参与，并补全条形统计图． (2)由于“与科技”“ 故事”两个主题得票并列最高，为确定活动主题，从该班随机选择8名学生代表为这两个主题评分，评分结果及汇总信息如下表： 主题 评分 平均数 中位数 众数 与科技 10 9 8 3 6 4 10 10 10 故事 9 10 7 8 5 5 8 8 7.5 8 求表中的数据：______，______，______． (3)结合上述信息，应该选择哪个活动主题，并说明理由． 【答案】(1)48，见详解 (2) (3)与科技，理由见详解 【分析】（1）先运用“安全”人数除以占比，得出本次投票共48人参与，再列式计算得“与学习”的人数，再补齐条形统计图： （2）先理解题意，再分别求出“与科技”的平均数，中位数，以及“故事”的众数，即可作答． （3）利用平均数，以及中位数进行分析比较，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（人）， 即本次投票共48人参与， ∴（人）， 故补全条形统计图： （2）解：依题意，， 先把评分从小到大排序，得， ∴中位数位于第4位和第5位之间， 即（分）， 在故事的评分中，分出现的次数最多，即； （3）解：选择“与科技”， 理由：两个主题的平均分相同，“与科技”的中位数更高，整体评分水平更高， 因此选择“与科技”． 重难点02 统计量的选择与决策应用 1．在一次数学测试中，小强成绩82分，超过班级半数同学的成绩．分析得出这个结论所用的统计量是（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【分析】根据题干“超过班级半数同学的成绩”的描述，结合中位数的定义即可判断所用统计量． 【详解】解：∵中位数是将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数，代表一组数据的中间水平，成绩大于中位数即说明成绩超过半数同学， ∴得出题中结论所用的统计量是中位数． 2．有7名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前4名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】根据中位数的含义可得答案. 【详解】解：由于总共有7个人，且他们的最终成绩各不相同，排序后第4人的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的中位数． 3．如图，已知嘉嘉五次党史测试的成绩如条形统计图所示，现再测试一次，若六次测试成绩的众数为7分，则六次测试成绩的中位数是（    ） A．7分 B．7.5分 C．8分 D．10分 【答案】B 【分析】根据众数推出第六次的测试成绩，再求出中位数即可． 【详解】解：由条形统计图可知，前五次的测试成绩为7、7、8、8、10， 若六次测试成绩的众数为7分，则第六次的测试成绩为7分， 所以，六次测试成绩的中位数是分． 4．某班25名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如下表： 成绩 171及以下 172 173 174 175及以上 人数 1 4 8 □ ○ 因污损导致数据不完整，仍能分析出本次测试成绩的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查统计量的确定，需根据平均数、中位数、众数、方差的定义，结合已知数据判断哪个统计量不受缺失数据影响． 【详解】解：∵总共有25名学生，中位数是将数据从小到大排列后第13个数据． 又∵171及以下有1人，172有4人，173有8人，． ∴第13个数据是173，中位数为173，不受缺失数据影响． ∵平均数、方差需要所有数据的具体信息，缺失数据无法确定这两个统计量． 又∵成绩为174次及以上的人数未知，无法判断哪个成绩出现次数最多，所以众数无法确定． ∴能分析出的统计量是中位数． 故选：B． 5．专卖店统计了一周中不同号码滑冰鞋的销售量，数据如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量（双） 2 4 5 5 12 6 3 2 1 你认为该专卖店最关注的销售数据是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】专卖店关注销售数据通常是为了了解最畅销的鞋号，以便进货或营销. 众数表示出现次数最多的值，即销售量最大的鞋号，符合实际需求. 本题考查了中位数，众数，平均数，方差，熟练掌握意义是解题的关键. 【详解】解：∵ 销售量数据中，鞋号39的销售量12双为最高， ∴ 众数为39号，表示最受欢迎的鞋号， ∴ 专卖店最关注众数， 故选：C. 6．某中学举行的“宪法伴你我，守一生平安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，前八名获奖．他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否获奖，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的_____（填“平均数”“中位数”或“众数”）； 【答案】中位数 【分析】15个不同成绩排序后，第8名的成绩为中位数，可据此判断该学生能否获奖． 【详解】解：由题意可知，15名学生决赛成绩各不相同，将成绩从小到大排列后，第8个数据为这组数据的中位数． 本次比赛前八名获奖，因此该学生将自己的成绩与中位数比较，即可判断是否获奖． 因此这名学生还需要了解这15名学生成绩的中位数． 7．已知、、的平均数与、、、、的唯一众数相同，则这个数的中位数是___________ ． 【答案】 【分析】根据众数的定义确定、、、、这组数据的众数，进而根据平均数的定义求出n的值，再根据中位数的定义可得答案． 【详解】解：、、、、有唯一众数， 、、、、这组数中的众数为， 、、的平均数与、、、、的唯一众数相同， 、、的平均数为， ∴ ， 这个数这个数为， 从小到大排列依次是：、、、、、、、， 这个数的中位数是． 8．已知七名学生投篮，每人投了10个，其中小陈同学投中了4个，统计他们每人投中的个数，并进行整理和分析，得出下表．现给出下列说法；①有学生可能投中了9个；②投中6个的学生只有1人；③这七个数据之和可能为42；④m可能等于5．其中正确的是______．（填序号） 最小值 中位数 众数 平均数 2 6 7 m 【答案】①④ 【分析】本题考查了统计量（最小值、中位数、众数、平均数）的概念与应用，解题的关键是根据已知统计量推断数据的分布特征，再逐一验证各说法的合理性． 【详解】解：已知7名学生投篮，每人投个，小陈投中4个，统计数据的最小值为2，中位数为6，众数为7． 将7个数据按从小到大排列为：， ∵中位数为6， ∴ ∵众数为7， ∴7出现的次数最多，至少出现2次． ∵最小值为2， ∴ 又∵小陈投中4个， ∴数据中包含4． ①有学生可能投中9个数据排列可为2，4，x，6，7，7，y，其中y可为9，符合所有条件，故①正确． ②投中6个的学生只有1人：中位数为6，数据中可能有多个6（如2，4，6，6，7，7，7），无法确定只有1人，故②错误． ③这七个数据之和可能为，若数据之和为，其中一种可能的数据组合为， ， ， ， ， ， ，但此时众数为6和7，与已知众数为7矛盾，故③错误． ④可能等于5当数据为2，2，4，6，7，7，7时，， 符合众数为7的条件，故④正确． 故答案为：①④． 9．为了解用户对甲、乙两种型号新车的满意度，某新能源汽车公司针对汽车在动力性能、操控与舒适性、空间表现、安全性、智能化配置等方面进行问卷调查．现各随机选取20名用户的调查数据进行收集、整理、分析（得分共分为四组：A：，B：，C：，D：），部分信息如下： 甲型号得分：68，69，69，75，75，75，75，76，78，78，81，85，85，85，86，89，89，90，91，91． 甲、乙型号新车得分统计表： 型号 平均分 中位数 众数 甲型 b 乙型 a 78 根据以上信息、解答下列问题： (1)上述表格中的_____，_____； (2)若该公司计划从甲、乙两种型号的新车中优先推广一种，综合以上统计量，你认为应该优先推广哪种型号的新车？请说明理由． (3)如果你家准备购买新能源汽车，你还希望了解哪些方面的信息（列出一条即可）？ 【答案】(1)， (2)应优先推广乙型车，理由见解析 (3)答案不唯一，见解析 【详解】（1）解：由扇形统计图可知，乙型号的得分数据中，A组占， 所以C组占， 所以将乙型号的得分数据从小到大排列，A，B两组占，计9个数据，所以居中的两个数据落在C组中，且为C组中最小的两个数据80和82， 所以中位数； 因为甲型号的得分数据中，出现次数最多的是75，所以众数； （2）解：应优先推广乙型车．因为两种车型得分的平均数相同，乙车型得分的中位数、众数均高于甲车型． （3）解：充电速度，车辆价格，售后服务，电池寿命等． （列出一条即可，答案不唯一） 重难点03 方差的应用 1．某校九年级二班45名同学在学校举行的“爱心涌动校园”募捐活动中捐款情况如表所示： 捐款数（元） 10 20 30 40 50 捐款人数（人） 8 17 16 2 2 则对全班捐款的45个数据，下列说法错误的是（    ） A．众数是20 B．平均数是24 C．中位数是30 D．方差是 【答案】C 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，可判断A选项；平均数是这组数据的和除以数据的个数的值，可判断B选项；找中位数要把这组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，可判断C选项；方差就是这组数中每个数与平均数的差的平方和除以数据个数的值．可判断D选项． 【详解】解：A．众数是20， ∵在这一组数据中20是出现次数最多的， ∴众数是20， 故本选项正确； B．平均数是24， ∵ ， 故本选项正确； C．中位数是30， ∵将这组数据按从小到大的顺序排列：，，，，， ∴处于中间位置的那个数是20， ∴这组数据的中位数是20； 故本选项错误； D．方差是， ∵ ， 故本选项正确． 故选C． 2．如果一组数据，，，的方差是，那么数据，，，的方差是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设一组数据，，…，的平均数为，方差是，则另一组数据，，…，的平均数为，方差是，代入方差公式，计算即可． 【详解】解：设一组数据，，…，的平均数为，方差是，则另一组数据，，…，的平均数为，方差是， ∵， ∴， ， ， ∴． 3．小红同学对数据22，34，28，27，4■，43进行统计分析，发现“4■”的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　） A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 【答案】D 【分析】根据平均数、方差、众数、中位数的定义，判断各统计量是否与被涂污的个位数字有关即可得到结果． 【详解】解：∵这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关， 而这组数据从小到大排列后，最中间两个为， 故中位数为，与被涂污数字无关， ∴与被涂污数字无关的统计量是中位数． 4．在观看奥运会的10米跳台跳水决赛时，小明根据比赛中7位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，若去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（   ） 中位数 众数 平均数 方差 9.5 10 9.571 0.173 A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【分析】根据各统计量的概念，判断去掉一个最高分和一个最低分后统计量的变化即可． 【详解】解：从小到大排序后，原中位数为排序后第4个数据，去掉1个最高分和1个最低分后，剩余5个数据，新中位数为排序后第3个数据，对应原排序的第4个数据， 则中位数一定不变； 众数是出现次数最多的数，去掉的分数可能包含原众数，因此众数可能发生变化； 平均数受数据总和影响，去掉最高分和最低分后总和改变，因此平均数可能改变； 方差反映数据波动程度，数据改变后波动程度也会改变，因此方差可能改变； 综上，一定不发生变化的是中位数． 5．下列说法正确的个数是（　　）． ①一组数据的众数只有一个；②样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好；③一组数据的中位数一定是这组数据中的某一数据；④一组数据的众数一定比平均数大；⑤一组数据的方差一定是正数． A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查众数、中位数、方差的基础概念，逐一根据相关概念并结合举例判断每个说法的正误即可． 【详解】解：对于①：一组数据的众数可以不止一个，例如数据，，，的众数为和，故①错误； 对于②：根据方差的性质，样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好，故②正确； 对于③：当数据个数为偶数时，一组数据的中位数是排序后中间两个数的平均数，不一定是这组数据中的某一数据，例如，，，的中位数是，不属于原数据，故③错误； 对于④：一组数据的众数不一定比平均数大，例如数据，，中，众数是，平均数是，众数小于平均数，故④错误. 对于⑤：当一组数据中所有数都相等时，方差为，而不是正数，故⑤错误； 综上，只有1个说法正确． 6．甲、乙、丙、丁四支女子花样游泳队的人数相同，且平均身高都是1.68m，身高的方差分别是，则身高比较整齐的游泳队是（   ） A．甲 B． C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据方差越小，数据波动越小，身高越整齐，方差越大，数据波动越大，身高越不整齐，据此即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 方差越小，身高越整齐 ∴ 丙队身高最整齐，即选项C符合题意． 7．已知一组数据7，x，3，3，5，1的众数是3和5，则这组数据的方差是______． 【答案】 【分析】根据数据的众数确定出x的值，进而求出方差即可． 【详解】解：∵数据7，x，3，3，5，1的众数是3和5， ∴， ∴这组数据的平均数为， 则这组数据的方差为． 8．2025年第十五届全运会由广东、香港、澳门共同举办，为弘扬全运会体育精神，某校在七、八年级开展了“全运会知识竞赛”活动（满分100分），现从这两个年级中各随机抽取10名学生的成绩进行整理分析，部分信息如下： 信息一：数据收集（单位：分） 七年级抽取的10名学生的成绩：50，68，72，79，79，80，84，90，98，100； 八年级抽取的10名学生的成绩：60，60，65，74，84，84，85，96，96，96． 信息二：数据整理与分析 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 79 八年级 80 84 188.6 (1)填空： ， ， ； (2)根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更加优秀？请从两个不同的统计角度说明理由． 【答案】(1)，96，195 (2)我认为八年级的成绩更加优秀，从中位数看，八年级成绩的中位数大于七年级；从众数看，八年级成绩的众数高于七年级，所以八年级的成绩更加优秀 【分析】（1）根据中位数、众数和方差的计算方法求解即可； （2）从中位数、众数判断即可． 【详解】（1）解：七年级抽取的10名学生的成绩从小到大排列为：50，68，72，79，79，80，84，90，98，100； 中位数为； ， ， ∴， 八年级抽取的10名学生的成绩中，96出现次数最多， ∴； （2）解：我认为八年级的成绩更加优秀， 从中位数看，八年级成绩的中位数大于七年级； 从众数看，八年级成绩的众数高于七年级，所以八年级的成绩更加优秀． 重难点04 离差平方和的应用 1．在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 【答案】D 【分析】先根据“一般水平大体相当”筛选出平均成绩相近的选项，再结合样本容量相同时，离差平方和越小数据越稳定的性质，选出符合甲成绩更稳定的选项即可． 【详解】解：∵两人成绩的“一般水平”大体相当， ∴甲、乙的平均成绩应相近， ∴排除平均成绩差距较大的B、C选项， 又∵甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，且两人射击次数相同，离差平方和越小，成绩波动越小、越稳定， ∴甲的离差平方和应小于乙的离差平方和， ∴A选项中，不符合要求；D选项中，符合要求． 2．下列适合使用“组内离差平方和最小”的原则的情况是（   ） A．比较动物兽药的疗效 B．将学生按期末成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气随海拔的变化 【答案】B 【分析】“组内离差平方和最小”是聚类分析中的核心原则，用于将数据划分为组内相似度高的组，选项B中的学生成绩分组直接应用此原则进行分组优化． 【详解】解：∵“组内离差平方和最小”原则主要用于数据分组，如聚类分析，旨在使组内数据点尽可能相似； A、比较疗效，涉及假设检验而非分组，不符合题意； B、将学生按成绩分组，最适合使用该原则，符合题意； C、分析波动。涉及时间序列分析，不符合题意； D、预测变化，涉及回归分析，均不直接适用分组原则，不符合题意； 故选：B． 3．关于“组内离差平方和最小”原则，下列说法正确的是（    ） A．只需让某一组的离差平方和最小即可 B．是所有组的组内离差平方和之和最小 C．分组后每组数据必须完全相同 D．与数据的集中程度无关 【答案】B 【分析】本题考查了组内离差平方和最小的原则，掌握其是指所有组的组内离差平方和之和最小是解题的关键． 先明确组内离差平方和最小的定义，再逐一判断每个选项是否符合该定义． 【详解】解：A、组内离差平方和最小是指所有组的离差平方和之和最小，并非某一组的离差平方和最小，A 错误，不符合题意； B、组内离差平方和最小的定义就是所有组的组内离差平方和之和最小，B正确，符合题意； C、分组无需每组数据完全相同，只需组内离差平方和之和最小即可，C错误，不符合题意； D、离差平方和反映数据的集中程度，该原则与数据集中程度有关，D错误，不符合题意． 故选：B． 4．如果组内离差平方和很大，说明（    ） A．组间差异大 B．组内差异大 C．总差异小 D．均值相等 【答案】B 【分析】组内离差平方和是衡量组内数据与组均值偏离程度的指标，值越大表示组内数据越分散． 本题主要考查了离差平方和的实际应用，解题的关键是掌握离差平方和的意义． 【详解】解：∵组内离差平方和表示组内各数据与组均值的偏差平方和， ∴当组内离差平方和很大时，说明组内数据波动大，即组内差异大． 故选：B． 5．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 【答案】③ 【分析】本题要求得到使同组株高尽量接近的最优分组，根据组内离差平方和的意义，最优分组对应组内离差平方和最小，只需比较表格中三组的组内离差平方和大小即可求解. 【详解】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组. 比较表格中三组的组内离差平方和，得， 因此序号③的组内离差平方和最小，为最优分组. 6．某公司5名员工的季度绩效分数为75，80，85，90，95．人力资源部门想将员工分为“普通组”和“优秀组”，要求组内绩效同质性高（组内离差平方和最小），如何分组？计算最小离差平方和． 【答案】75，80一组，85，90，95一组或75，80，85一组，90，95一组 最小值为62.5 【分析】本题考查组内离差平方和，熟练掌握离差平方和公式是解题的关键． 根据题意将各数据从小到大排序，并分成两组，再分别计算每种情况的组内离差平方和，比较即可． 【详解】解：将数据75，80，85，90，95分成两组，共有4种情况， ①，； ②，； ③，； ④，； 分别计算组内离差平方和，如下表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 ① 0 125 125 ② 12.5 50 62.5 ③ 50 12.5 62.5 ④ 125 0 125 由表可知，当75，80一组，85，90，95一组或75，80，85一组，90，95一组时，组内离差平方和最小，最小值为62.5． 7．某年6个家庭的年用水量如下表所示： 家庭 年用水量/t 105 78 75 115 90 110 (1)若分为两组，使组内离差平方和最小，如何分组？ (2)说明分组的实际意义． 【答案】(1)和 (2)将年用水量较低的部分家庭和较高的部分家庭分开，组内数据波动变小，便于分析不同家庭年用水量的稳定性 【分析】将数据从小到大排序后，为使组内离差平方和最小，分组在排序后数据上必然是连续的。故只需考虑将排序后的数据分成两个连续组的5种情况，分别计算其组内离差平方和． 【详解】（1）解：将表中的数据按从小到大排列为75，78，90，105，110，115． 分成两组，共5种情况，分别计算组内离差平方和如表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 {75}和{78，90，105，110，115} 0 933.2 933.2 {75，78}和{90，105，110，115} 4.5 350 354.5 {75，78，90}和{105，110，115} 126 50 176 {75，78，90，105}和{110，115} 558 12.5 570.5 {75，78，90，105，110}和{115} 981.2 0 981.2 由表可知，当分组为和时，组内离差平方和最小． （2）解：将年用水量较低的部分家庭和较高的部分家庭分开，组内数据波动变小，便于分析不同家庭年用水量的稳定性． 重难点05 四分位数与箱线图 1．祖冲之把圆周率精确到小数点后位，领先世界约年．数学活动课上，小红对圆周率的小数点后位数字进行了统计：则圆周率的小数点后位数字的第一四分位数、第三四分位数为（　　） 数字 频数 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据四分位数的定义计算对应位置，再通过累计频数确定位置对应的数字即可求解． 【详解】解：将个数字按从小到大排列，总共有个数据， 计算四分位数位置：第一四分位数位置为，取第、个数的平均数，第三四分位数位置为，取第、个数的平均数， 计算累计频数： ∵数字累计频数为，数字累计频数为，数字累计频数为， ∴第个数都是，可得第一四分位数为， 继续计算累计频数到数字，可得累计频数为，数字累计频数为， ∴第个数都是，可得第三四分位数为， 因此第一四分位数、第三四分位数为，． 2．某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（   ） A．102 B．98 C．114 D．106 【答案】A 【分析】根据箱线图中间箱体的下底对应的数值即是这组数据的下四分位数（分位数）解答即可． 【详解】解：箱线图的箱体下底的对应值为102，所以这组数据的下四分位数是102． 【点睛】解题的关键是掌握箱线图相关的定义． 3．某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（    ） A．29是这20人年龄的第一四分位数 B．29是这20人年龄的第三四分位数 C．31是这20人年龄的中位数 D．这20人年龄的众数是5 【答案】A 【分析】本题考查了四分位数，众数，中位数．根据第一四分位数、第三四分位数、中位数、众数的定义及计算方法，逐一验证各选项即可． 【详解】解：依题意，第一四分位数即分位数， 需取年龄从小到大排列后第5个和第6个数据的平均数， 则年龄从小到大排列后，得 ∴第5个数据为28，第6个数据为30， ∴ 第一四分位数为，故A选项正确 依题意，第三四分位数即分位数，， ∴需取年龄从小到大排列后第15个和第16个数据的平均数， 则第15个数据为43，第16个数据为50，平均数为，故B选项错误， 依题意，中位数即分位数，， ∴ 需取年龄从小到大排列后第10个和第11个数据的平均数，第10个和第11个数据均为32，平均数为32，故C选项错误 ∵ 众数是出现次数最多的年龄，32出现的次数最多（5次）， ∴众数是32，故D选项错误， 故选：A． 4．续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时间续航的重要路径之一．某大学科研团队利用自主研发的新型静电电机，成功研制出仅重的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行．为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，6名参赛学生的成绩（单位：分）依次为95，75，95，85，92，80，则这组数据的第一四分位数为（    ） A．88.5分 B．92分 C．95分 D．80分 【答案】D 【分析】第一四分位数即下四分位数，是前一半数据的中位数，据此即可求解． 【详解】解：将6名参赛学生的成绩从小到大排序为：75，80，85，92，95，95 而前一半数据75，80，85的中位数为， ∴第一四分位数80分 5．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（   ） A．三个班级中，甲班分数的方差最大 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C．丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数 D．若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高 【答案】C 【分析】本题主要考查箱线图的相关知识．通过箱线图中数据的分布情况，对各选项逐一进行分析判断即可解答． 【详解】解：、箱线图中，数据的离散程度可通过箱线图的宽度来判断，宽度越窄，数据越集中，方差越小．甲班箱线图的宽度相对较窄，说明甲班分数更集中，所以甲班分数的方差最小，故本选项错误，不符合题意； 、由箱线图可知，乙班中最大值较另两个班更大，最小值较另两个班更小，故乙班分数的波动最大，故本选项错误，不符合题意； 、由箱线图可知，丙班的中位数大于80，故丙班得分高于80分的学生人数多于得分低于80分的学生人数，丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数，故本选项正确，符合题意； 、每班有42个学生，第11名的分数是按从高到低排序后的第11个数据，从箱线图看，丙班的分数最高，故本选项错误，不符合题意； 6．将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为_______ ． 【答案】52 【分析】本题主要考查箱线图，在箱线图中，上、下两条短横线分别表示数据的最大值和最小值，箱体的下边缘、中间横线和上边缘分别表示数据的较小四分位数、中位数和较大四分位数． 【详解】根据题意可知，上四分位数为52． 故答案为：52 7．2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功以一箭三星方式将实践三十号星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位；分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七八年级抽取的学生的成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 (1)上表中，___________，___________；___________； (2)请补全七年级学生成绩数据的箱线图，并通过对比两个箱线图，初步判断哪个年级12名学生的成绩更集中、稳定． 【答案】(1)，， (2)图见解析，八年级名学生的成绩更集中、稳定，详见解析 【分析】（1）将七、八年级成绩排序，进而根据中位数和众数的定义作答即可； （2）求出七年级成绩的下四分位数、上四分位数，求出中位数，作图比较即可得解； 【详解】（1）解：七年级成绩排序：，，，，，，，，，，，， 中位数， 八年级成绩排序：，，，，，，，，，，，． 中位数，众数． （2）解：七年级成绩排序：，，，，，，，，，，，． ∴上四分位数为，下四分位数为， 中位数， 作图如下， ∵八年级箱线图的范围（最小值到最大值）为到，下四分位数、上四分位数的范围为到，七年级为到，下四分位数、上四分位数的范围为到， ∴八年级的箱线图更短，中位数都为，说明八年级成绩的波动更小， ∴八年级名学生的成绩更集中、稳定． 重难点06 数据的频数分布 1．下列说法错误的是（    ） A．频数分布直方图中，频数之和为数据总数 B．频率就是频数与数据总数之比 C．频数分布直方图中，小长方形的高等于相应各组的频数 D．绘制频数分布直方图时，组距和组数的确定有一个固定的标准 【答案】D 【分析】本题考查频数分布直方图的基础概念，只需逐一判断各选项的正误即可找出错误说法． 【详解】解：选项A，频数分布直方图中，所有分组的频数之和等于数据总个数，说法正确，不符合题意． 选项B，根据频率的定义，频率等于频数除以数据总数，说法正确，不符合题意． 选项C，频数分布直方图中，纵轴表示频数，组距一致时，小长方形的高等于对应组的频数，说法正确，不符合题意． 选项D，绘制频数分布直方图时，组距和组数需要根据数据的范围和实际研究需求确定，没有固定的标准，因此该说法错误，符合题意． 2．某校对八年级400名学生的身高进行了测量，结果身高（单位：）在这一小组的频率为，则该组的人数为________． 【答案】240 【分析】根据频率，频数，总数的关系，变形得到频数总数频率，代入数据计算即可． 【详解】解：根据题意可得该组的人数为：． 3．在一个样本中，将100个数据分成5组，其中第一组的频数是15，第三组、第四组与第五组的频率之和是0.65，那么第二组的频数是_______． 【答案】20 【分析】先求出第三组，第四组和第五组的频数，再用总数减去这四组的频数可得答案． 【详解】解：∵样本的总数为100，且第三组、第四组和第五组的频率之和是0.65， ∴这三组的频数之和为， ∴第二组的频数为． 4．某单位300名员工参加植树活动，活动结束后随机抽查了部分员工每人的植树量，并对调查结果进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图表，请你根据图表中的信息解答下列问题： 植树数量（单位：棵） 4 5 6 7 人数（单位：名） 10 20 (1) ， ； (2)在扇形统计图中，“4棵”所对应扇形的圆心角的度数是 ； (3)被抽查的员工每人植树量的众数是 ，中位数是 ； (4)请你估计在该植树活动中300名员工共植树多少棵． 【答案】(1)15，5 (2) (3)5，5 (4)估计在该植树活动中300名员工共植树1590棵 【分析】（1）先求出抽查总人数，根据植树数量为6棵的占求出的值，进而用总数减去植树数量为4、5、6棵的人数即可求出的值； （2）用“4棵”的数量除以总数乘以即可； （3）根据众数和中位数的定义计算即可； （4）求出抽查员工每人植树量的平均数，进而乘以总数即可． 【详解】（1）解：抽查总人数为：（人）， （人），（人）； （2）解：在扇形统计图中，“4棵”所对应扇形的圆心角的度数是； （3）解：5出现20次，出现次数最多，即被抽查的员工每人植树量的众数是5， 第25、26个数据分别为5，5，即中位数是； （4）解：被抽查的员工每人植树量的平均数为：（棵）， 估计在该植树活动中300名员工共植树：（棵． 答：估计在该植树活动中300名员工共植树1590棵． 5．自正式上线以来，全社会不断加深对的了解与合作．某中学在七年级组织了一次“与对话”知识竞赛活动（成绩为百分制）．为了解知识竞赛的情况，老师随机抽取了部分学生的成绩，整理后绘制成如图所示的不完整的统计图表： 分组 频数 A． 4 B． C． 36 D． 16 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次一共随机抽取了___________名学生的成绩； (2)求出m，n的值； (3)将频数分布直方图补充完整； (4)扇形统计图中，“C．”组所对应的扇形圆心角的度数是___________． 【答案】(1)80 (2)， (3) 见详解 (4)162 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握样本百分比的计算，圆心角度数的计算是关键． （1）根据A组的频数与百分比计算即可； （2）由样本容量及A，C，D组的频数即可得到m的值，根据各项百分比的计算方法得到n的值； （3）根据B组的人数补全图形即可； （4）根据圆心角度数的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：A组的频数为4，百分比为， ∴， ∴本次一共随机抽取了80名学生的成绩； （2）解：，， ∴； （3）解：B组有24人，补全图形如下， （4）解：， ∴“C.”组所对应的扇形圆心角的度数是， 故答案为：162． 6．某中学为了解学生每周课外阅读时间，现从该校八年级随机抽取50名学生进行调查，阅读时间用t表示（单位：小时），将全部结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 A B C D E 阅读时间                         人数 4 10 16 a 6 请根据以上信息，完成下列问题： (1)__________；这50名学生每周课外阅读时间的中位数落在__________组（填字母）； (2)若阅读时间的平均数不低于5小时，则认定学生课外阅读时间充足．分别用1，3，5，7，9作为A，B，C，D，E这五组阅读时间的平均数，估计该校八年级学生每周课外阅读时间是否充足，并说明理由． 【答案】(1)14，C (2)该校八年级学生每周课外阅读时间充足，理由见解析 【分析】（1）先利用总人数分别减去其它四组的频数可得a的值，再根据中位数的定义解答即可； （2）先计算出每组的阅读时间再相加，进而利用算术平均数的定义进行计算，最后根据题意进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 将50名学生每周课外阅读时间从小到大排列，排在第25和第26个数据都在C组， ∴这50名学生每周课外阅读时间的中位数落在C组． （2）解：计算总阅读时间： A组：，B组：，C组：， D组：，E组：， 总阅读时间：（小时）， 平均阅读时间：， ∵， 因此估计该校八年级学生每周课外阅读时间充足． 7．年广东文旅资源开发大会计划招募“岭南文化推广志愿者”，共有名申请者参加选拔．每位申请者需参加讲解、策划、展示三项能力测试，每项测试均由八位评委打分（满分分），取平均分作为该项测试成绩，再将讲解、策划、展示三项测试成绩按的比例计算出每人的总成绩．名申请者中的洋洋和融融的测试成绩和总评成绩的部分数据如下表，这名申请者的总成绩频数分布直方图如下图：分及以上人，分（不含）人，分（不含）人，分（不含）人． 申请者 各项成绩 成绩 讲解 策划 展示 洋洋 融融 (1)在展示测试中，八位评委给融融打出的分数如下：，，，，，，，．这组数据的中位数是________，平均数是________，众数是________； (2)请你计算融融的总成绩； (3)根据总成绩择优选拔名志愿者，试分析洋洋和融融能否入选，并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)融融的总成绩为分； (3)洋洋不一定能入选，融融能入选，理由见解析． 【分析】此题考查了中位数、众数、加权平均数，频数分布直方图，解题的关键是熟悉相关概念． （）从小到大排序，找出中位数，再求出众数，算出平均数即可； （）将讲解、策划、展示三项的测试成绩按比例计算即可； （）根据总成绩频数分布直方图即可作答． 【详解】（1）解：，，，，，，，这组数据的中位数是； 平均数是：； 众数是：， 故答案为：，，； （2）解：融融的总成绩为（分）， 答：融融的总成绩为分； （3）解：洋洋不一定能入选，融融能入选，理由如下： 由频数分布直方图可知，总评成绩不低于分的学生有名，总评成绩不低于分且小于分的学生有名； 洋洋和融融的总评成绩分别是分、分，学校要选拔名志愿者，融融的总成绩在前名，因此融融一定能入选；洋洋的总成绩不一定在前名，因此洋洋不一定能入选． 重难点07 总体的平均数与方差的估计 1．为宣传节约用水，某社区随机统计了8户居民的月用水量：2户用了9立方米，3户用了12立方米，2户用了15立方米，1户用了16立方米．若该社区有300户居民，估计该社区每月共需用水_________ 立方米． 【答案】3750 【分析】先计算抽取样本的平均月用水量，再乘以社区总户数，即可得到该社区每月总用水量的估计值． 【详解】解：抽取的8户居民的总月用水量为 （立方米）， 样本平均每户月用水量为（立方米）， 估计该社区300户居民每月总用水量为（立方米）． 2．某校在八年级450名学生中随机抽取了50名学生进行一分钟打字测试．将这50名学生一分钟打字的数量整理后，画出了频数分布直方图如图所示（不完整）．已知图中从左到右分为5个小组，则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约__________个． 【答案】80775 【分析】此题考查的是加权平均数的求法，用样本平均数估计总体，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式． 先求出第二组的学生数，再根据加权平均数的计算公式代入计算，然后求出总数即可． 【详解】解：∵第二组的学生数是， ∴该名学生一分钟打字的平均成绩是 （个）， 则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约（个）， 故答案为：． 3．某校七、八年级开展了一次实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数，为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制如下所示的统计表和如图所示的统计图． 七年级10名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 2 2 3 2 (1)样本中，七年级学生活动成绩的中位数为 分，八年级学生活动成绩的众数为 分； (2)估计七年级600名学生活动成绩的平均数； (3)嘉淇说：“根据样本数据，我认为八年级同学的成绩较好．”嘉淇做出此判断依据的量是 （填“平均数”“中位数”或“众数” ）． 【答案】(1)8.5，8 (2)七年级600名学生活动成绩的平均数大约为8.3分 (3)平均数 【分析】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，平均数，用样本估计总体．从图表中获取正确的信息，熟练掌握中位数，众数，平均数，用样本估计总体是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）求出样本的平均数即可； （3）比较平均数、众数、中位数的大小即可求解． 【详解】（1）解：∵七年级10名同学排在第5和第6名的成绩为8分和9分， ∴七年级学生活动成绩的中位数为（分）， ∵八年级10名同学中出现最多的是8分， ∴八年级学生活动成绩的众数为8分． 故答案为：8.5，8． （2）解：由统计表可知， 样本中七年级10名学生成绩的平均分为（分）， ∴七年级600名学生活动成绩的平均数大约为8.3分． （3）解：∵七年级10名同学成绩出现次数最多的是9分， ∴七年级的众数为：9分； ∵在八年级的10名同学中：（人），（人），（人），（人）， ∴7分的同学有1人，8分的同学有5人，9分的同学有2人，10分的同学有2人， ∴八年级的10名同学成绩的中位数是（分）， 八年级的10名同学成绩的平均数是（分）， ∵八年级成绩的众数和中位数小于七年级成绩的众数，八年级成绩的平均数高于七年级的平均数， ∴嘉淇做出此判断依据的量是平均数． 故答案为：平均数． 4．在一次捐款活动中，学校团支书想了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数据进行了统计，并绘制成如图所示的统计图． (1)这50名学生捐款的众数为________元； (2)求这50名学生平均每人捐款多少元； (3)如果捐款的学生有300人，估计这次的捐款总数． 【答案】(1)15 (2) (3)估计这次捐款有元． 【分析】本题考查了众数，平均数，样本估计总体； （1）根据众数和定义求解； （2）根据平均数的定义结合统计图，进行计算即可求解． （3）利用样本估计总体，用样本平均数乘以即可． 【详解】（1）解：这50名同学捐款的众数为15元， 故答案为：． （2）解：这50名学生平均每人捐款 (元)， （3）解： 答：估计这次捐款有元． 5．某校团委向全校300名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图： 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受随机调查的学生人数为__________________________； (2)图1中的值是____________，并补全条形统计图； (3)根据样本数据，估计该校本次活动一共捐款多少元？ 【答案】(1)50； (2)32，见解析； (3)估计该校本次活动一共捐款元． 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合运用． （1）确定总人数：利用条形统计图中已知的“5元捐款4人”和扇形统计图中对应的“5元占”建立等式，求出总人数； （2）求并补全条形图：根据扇形图各部分百分比之和为100%计算；用总人数乘以各百分比得到对应人数，补全条形图中缺失的“10元”部分； （3）估计全校捐款总额：先计算样本数据的平均数（总捐款额 总人数），再用样本平均数乘以全校总人数300进行估算即可． 【详解】（1）解：由条形图知，捐款5元的有4人；由扇形图知，捐款5元的占， 设总人数为，则， 解得（人）， 故答案为：50； （2）解：由扇形统计图可得：， ∴， 捐款10元的人有：人， 补全条形统计图如图： 故答案为：32； （3）解：样本总捐款额为： 元， 样本平均捐款额为：元， 估计全校300名学生捐款总额为：元， 答：估计该校本次活动一共捐款元． 6．某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐书量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)求这30名职工捐书本数的平均数； (3)估计该单位750名职工共捐书多少本？ 【答案】(1)见解析 (2)6本 (3)4500本 【分析】本题主要考查了平均数，条形统计图，用样本估计总体；要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可． （1）根据题意列式计算得到D类书的人数，补全条形统计图即可． （2）根据加权平均数公式可求得平均数； （3）用捐款平均数乘以总人数即可． 【详解】（1）解：D组的频数为（人）， （2）解：（本）， 答：这30名职工捐书本数的平均数为6本． （3）解：（本）． ∴估计该校750名职工共捐书4500本． 7．2022年8月末，重庆缙云山发生特大山火，所谓“一方有难，八方支援”，社会各界人士纷纷站出来为灾区捐款捐物．某校学生会向全校1900名学生发起了捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图．请根据相关信息，解答下列问题： (1)图1中m的值是________； (2)本次调查获取的部分学生捐款金额的平均数是________元，众数是________元，中位数是________元； (3)根据上面调查得到的数据，估算该校本次活动捐款总额为多少元？ 【答案】(1)32 (2)16，10，15 (3)30400元 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图综合，用样本估计总体，平均数，中位数，众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）用1减去其他捐款金额的占比即可求出m的值； （2）根据的平均数、众数和中位数的定义求解即可； （3）用样本平均数乘以全校人数即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； 故答案为：32； （2）∵（元）， ∴本次调查获取的部分学生捐款金额的平均数是16元； ∵在这组样本数据中，10元出现次数最多，为16次， ∴这组数据的众数为10元； ∵， ∴将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于最中间的两个数都是15， ∴这组数据的中位数为：（元）． 故答案为：16，10，15； （3）解：（元）． ∴可估算该校本次活动捐款总额为30400元． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $