6.1 基础课14 函数的图象与性质-（教师用书）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

【知识整合　体系构建】 学生用书⬇第106页 基础课14　函数的图象与性质 一、函数的图象 1.(2024·全国甲卷理，T7)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为(　　) 答案：B 解析：由题知函数f(x)的定义域关于原点对称，f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，C；f＝－1＋sin 1＞－1＋sin ＝－1＋－＞0，排除 D.故选B. 二、函数的基本性质 2.(2023·新课标Ⅱ卷，T4)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝(　　) A.－1 B.0 C. D.1 答案：B　 解析：因为f(x) 为偶函数，则 f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0，当a＝0时，f(x)＝xln ，由＞0，解得x＞或x＜－，则其定义域是，关于原点对称.f(－x)＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝(－x)ln＝xln ＝f(x)，故此时f(x)为偶函数.故选B. 3.(2024·新课标Ⅰ卷，T6)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞) 答案：B 解析：因为函数f(x)在R上单调递增，且当x＜0时，f＝－x2－2ax－a，所以f＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f＝ex＋ln(x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上，实数a的取值范围是[－1，0].故选B. 4.(2024·新课标Ⅱ卷，T8)设函数f(x)＝(x＋a)ln(x＋b).若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为(　　) A. B. C. D.1 答案：C 解析：由f(x)≥0及y＝x＋a，y＝ln(x＋b)单调递增，可得x＋a与ln(x＋b)同正、同负或至少有一个为零，f(x)的定义域为(－b，＋∞)，当x∈(－b，1－b)时，ln(x＋b)＜0，则x＋a≤0，即1－b＋a≤0；当x∈(1－b，＋∞)时，ln(x＋b)＞0，则x＋a≥0即1－b＋a≥0，所以1－b＋a＝0，所以b＝a＋1，则a2＋b2＝a2＋＝2＋≥.故选C. 三、函数的概念及其表示 5.(2024·新课标Ⅰ卷，T8)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)＞f(x－1)＋f(x－2)，且当x＜3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　) A.f(10)＞100 B.f(20)＞1 000 C.f(10)＜1 000 D.f(20)＜10 000 答案：B 解析：因为当x＜3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2.对于f(x)＞f(x－1)＋f(x－2)，令x＝3，得f(3)＞f(2)＋f(1)＝2＋1＝3；令x＝4，得f(4)＞f(3)＋f(2)＞3＋2＝5；依次类推，得f(5)＞f(4)＋f(3)＞5＋3＝8；f(6)＞f(5)＋f(4)＞8＋5＝13；f(7)＞f(6)＋f(5)＞13＋8＝21；f＞f＋f＞21＋13＝34；f＞f＋f＞34＋21＝55；f(10)＞f(9)＋f(8)＞55＋34＝89；f(11)＞f(10)＋f(9)＞89＋55＝144；f(12)＞f(11)＋f(10)＞144＋89＝233；f(13)＞f(12)＋f(11)＞233＋144＝377；f(14)＞f(13)＋f(12)＞377＋233＝610；f(15)＞f(14)＋f(13)＞610＋377＝987；….显然f(16)＞1 000，所以f(20)＞1 000.故选B. 6.(多选)(2023·新课标Ⅰ卷，T11)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(　　) A.f＝0 B.f＝0 C.f(x)是偶函数 D.x＝0为f(x)的极小值点 答案：ABC 解析：法一：因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；对于B，令x＝y＝1，f(1)＝1f(1)＋1f(1)，则f(1)＝0，故B正确；对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x).又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；对于D，不妨令f(x)＝0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误.故选ABC. 法二：对于A、B、C项同法一，对于D，当x2y2≠0时，对f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)两边同时除以x2y2，得到＝＋，故可以设＝ln ｜x｜(x≠0)，则f(x)＝当x＞0时，f(x)＝x2ln x，则f'(x)＝2xln x＋x2·＝x(2ln x＋1)，令f'(x)＜0，得0＜x＜；令f'(x)＞0，得x＞；故f(x)在上单调递减，在上单调递增，因为f(x)为偶函数，所以f(x)在上单调递增，在(－∞，－)上单调递减，如图， 显然，此时x＝0是f(x)的极大值点，故D错误.故选ABC. 考情分析 1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上. 2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题. 核心考点一　函数的概念及其表示　[基础性考法] 1.(2025·山东潍坊一模)已知函数f＝则f＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：B 解析：将x＝－1代入，得到f(－1)＝＋＝0，所以f(f(－1))＝f(0).将x＝0代入，得到f(0)＝e0＋ln 1＝1.因此f(f(－1))＝f(0)＝1.故选B. 2.德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为G＝，其中表示不超过x的最大整数，例如＝－2，＝1.定义符号函数sgn＝则sgn＋G＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案：D 解析：因为2＜e＜3，由题意可得G＝＝2，sgn＝1，故sgn＋G＝sgn＋G＝1＋＝2.故选D. 学生用书⬇第107页 3.(2025·江西南昌模拟)已知函数f＝若f＝5－a，则实数a的值为(　　) A.或2 B.或1 C.1 D. 答案：D 解析：当a＞1时，因为f＝5－a，得到2a＋2＝5－a⇒2a＋a＝3，解得a＝1.又因为y＝2x＋x在区间R上单调递增，只有这一个根.故将a＝1舍去.当a≤1时，由f＝5－a，得到4a＋3＝5－a，所以5a＝2，解得a＝.综上，实数a的值为.故选D. 4.(2025·黑龙江大庆模拟)已知定义在R上的函数f满足f＝ff，若f＝，则f＝(　　) A.1 B.16 C.128 D.256 答案：D 解析：由题设f(0)＝f(0＋0)＝[f(0)]2，则f(0)＝0或f(0)＝1，若f(0)＝0，令x1＝x，x2＝0，则对于任意x有f(x)＝f(x)f(0)＝0，而f＝，不符合；所以f(0)＝1，则f(0)＝f(1－1)＝f(1)f(－1)＝1，故f(1)＝＝4.则f＝f(2＋2)＝[f(2)]2＝[f(1)]4＝44＝256.故选D. 规律反思 1.形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则. 2.对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解. 核心考点二　函数的图象　[综合性考法] 考向1　函数图象的识别 (1)(2025·天津南开二模)函数f＝cos x的部分图象大致为(　　) (2)(2025·四川南充三模)函数f的图象如图所示，则f的解析式可能为(　　) A.f＝ B.f＝ C.f＝ D.f＝ 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)f＝cos x的定义域为，则f＝cos＝－cosx＝－f，所以f＝cosx为奇函数，故排除B、C；令f＝cosx＝0，则x－＝0或cosx＝0，则x2＝4或x＝＋kπ，k∈Z，解得x＝±2或x＝1＋2k，k∈Z，所以当x＞0时，f＝0的最小x为1， 则f＝cos＜0，故A错误，D正确.故选D. (2)由图象可知f的图象关于原点对称，则f为奇函数，对于A ，f＝定义域为R，定义域关于原点对称，f(－x)＝＝＝f，所以f＝为偶函数，不符合题意，故A错误；对于C，f＝定义域为R，定义域关于原点对称，f(－x)＝＝＝f，所以f＝为偶函数，不符合题意，故C错误；对于D，f＝定义域为R，定义域关于原点对称，f(－x)＝＝－＝－f，所以f＝为奇函数，当x＞0时，ex＞e－x＞0，x2＋2＞0，所以f＞0恒成立，不符合题意，故D错误；故利用排除法可知选项B符合题意.故选B. 考向2　函数图象的应用 (1)(2025·北京昌平模拟)已知函数f＝若对任意的x都有≥ax恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. (2)已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)(x1＜x2)，则x2－x1的取值范围是(　　) A.[e，＋∞) B.[4－2ln 2，＋∞) C.[4－2ln 2，e] D.[e－1，＋∞) 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)因为f＝令g(x)＝，作出g(x)图象，如图所示，令h(x)＝ax，由图象知，要使对任意的x都有≥ax恒成立，则必有a≤0，当x≤0时，y1＝x2－4x，由消y得到x2－(4＋a)x＝0，由Δ＝0，得到(4＋a)2＝0，即a＝－4，由图可知－4≤a≤0.故选B. (2)由题意可知x1＋1＝ln x2，即x1＝2ln x2－2，所以x2－x1＝x2－2ln x2＋2.由图象可得x2∈(0，e].设h(x)＝x－2ln x＋2，x∈(0，e]，则h'(x)＝1－＝，x∈(0，e].令h'(x)＝＝0，则x＝2，当h'(x)＞0时x∈(2，e]，当h'(x)＜0时x∈(0，2)，所以h(x)＝x－2ln x＋2在(0，2)单调递减，在(2，e]单调递增，所以h(x)在x＝2时取得最小值h(2)＝4－2ln 2，无最大值，可得x2－x1∈[4－2ln 2，＋∞).故选B. 规律反思 1.由函数解析式识别函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象. 2.由函数图象确定其解析式的主要方法是将图象的左右、上下分布情况与定义域、值域进行对照；从图象的变化趋势与单调性进行对照；从图象的对称性特征与奇偶性进行对照；从图象的循环往复特征与周期性进行对照. 3.函数图象的应用主要体现数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题. 预测练1.(2025·河南焦作三模)已知函数f(x)的部分图象如图，则f(x)的解析式可能为(　　) A.＋1 B.＋1 C. D. 答案：C 解析：因为f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，排除B；又f＝0，排除A；当＜x＜时，＜0，排除D.故选C. 预测练2.(2025·广西南宁二模)已知函数f(x)＝2ax，a≠0.若不等式a≤f(x)≤b的解集为，则b＝(　　) A. B.1 C. D.2 答案：A 解析：f(x)＝2ax＝根据选项可知：只需要考虑b＞0，要使不等式a≤f(x)≤b的解集为，当a＜0时，如图①所示，故解得b＝. 当a＞0时，如图②所示，无法满足a≤f(x)≤b的解集为，故舍去.故选A. 学生用书⬇第108页 核心考点三　函数的基本性质　[综合性考法] 考向1　函数的单调性与奇偶性 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(3)＝0，则不等式(2x－5)f(x－1)＜0的解集为(　　) A.(－∞，－2)∪(，4) B.(4，＋∞) C.(－2，)∪(4，＋∞) D.(－∞，－2) 答案：C 解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，且f(3)＝0，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(－3)＝0，函数的大致图象如图所示.则当x＜－3或x＞3时，f(x)＜0；当－3＜x＜3时，f(x)＞0，不等式(2x－5)f(x－1)＜0化为解得x＞4或－2＜x＜，即原不等式的解集为(－2，)∪(4，＋∞).故选C. 考向2　奇偶性、周期性与对称性 (多选)已知函数f(x)在R上可导，且f(x)的导函数为g(x).若f(x)＝4－f(x＋2)，g(2x－1)为奇函数，则下列说法一定正确的有(　　) A.g(1)＝0 B.f(2)＝0 C.f(2)＝f(8) D.f＝4 052 答案：AC 解析：对于D，由f(x)＋f(x＋2)＝4，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝4，即f(x)＝f(x＋4)，所以y＝f(x)的周期为4，且f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝[f(1)＋f(3)]＋[f(2)＋f(4)]＝8，所以f＝506f＋f(1)＋f(2)＝4 048＋f(1)＋f(2)，故D不一定正确；对于A，由g(2x－1)为奇函数知g(x)关于(－1，0)对称，所以g(－1)＝0.由f(x)＋f(x＋2)＝4得f'(x)＋f'(x＋2)＝0，即g(x)＋g(x＋2)＝0，故g(x)的周期为4且g(－1)＋g(1)＝0，可得g(1)＝0，故A正确；对于B、C，由上知g(x)的周期为4且g(x)关于(－1，0)对称，所以g(x)关于(3，0)对称，则有g(x)＋g(6－x)＝0，即f'(x)＋f'(6－x)＝0，所以可设f(x)－f(6－x)＝c.令x＝3，得c＝0，故f(x)－f(6－x)＝0，所以f(x)关于x＝3对称.又f(2)＋f(4)＝4，所以f(2)＝f(4)＝2，故B错误；又f(4)＝f(8)，所以f(2)＝f(8)，故C正确.故选AC. 规律反思 1.应用单调性与奇偶性解题的思路 (1)由奇偶性确定函数在关于原点对称区间上的单调性：若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致；若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反. (2)由奇偶性可求函数在对称区间上的最值：奇函数在对称区间上的最值相反，且互为相反数；偶函数在对称区间上的最值相等. 2.函数周期性、对称性及奇偶性的转化 (1)若函数f(x)在定义域R上满足f(x＋a)＋f(x)＝0(a≠0)，则可转化为f(x)是周期函数，T＝2｜a｜为f(x)的一个周期. (2)若函数f(x)在定义域R上满足f(a－x)为偶函数(a≠0)，则可转化为函数f(x)的图象关于直线x＝a对称. 预测练3.(2025·黑龙江齐齐哈尔二模)已知函数f(x)＝2x－sin 2x，则不等式f(x2)＋f(2x－3)＜0的解集为　　　　. 答案：(－3，1) 解析：f(x)＝2x－sin 2x的定义域为R，因为f'(x)＝2－2cos 2x＝2(1－cos 2x)≥0，所以函数f(x)是R上的增函数.因为f(－x)＝－2x－sin(－2x)＝－(2x－sin 2x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，所以由f(x2)＋f(2x－3)＜0得f(x2)＜－f(2x－3)＝f(3－2x)，所以x2＜3－2x⇒x2＋2x－3＜0⇒(x－1)(x＋3)＜0⇒－3＜x＜1，所以不等式f(x2)＋f(2x－3)＜0的解集为(－3，1). 预测练4.(多选)已知函数f(x)与其导函数g(x)的定义域均为R，且f(x－1)和g(2x＋1)都是奇函数，且g(0)＝，则下列说法正确的有(　　) A.g(x)关于x＝－1对称 B.f(x)关于(1，0)对称 C.g(x)是周期函数 D.ig(2i)＝4 答案：ACD 解析：因为f(x－1)为奇函数，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f'(x－1)＝f'(－x－1)，即g(x－1)＝g(－x－1)，所以g(x)的图象关于直线x＝－1对称.故A正确；因为f(x－1)为奇函数，则其图象关于(0，0)对称，向左平移一个单位后得到f(x)的图象，则f(x)的图象关于(－1，0)对称，故B错误；因为g(2x＋1)为奇函数，则g(2x＋1)＝－g(－2x＋1)，则有g(x＋1)＝－g(－x＋1)，所以g(x)＝－g(－x＋2)①，又g(x－1)＝g(－x－1)，则g(x)＝g(－x－2)②，由①②得g(－x－2)＝－g(－x＋2)，则g(x－2)＝－g(x＋2)，则g(x)＝－g(x＋4)，g(x＋4)＝－g(x＋8)，则g(x)＝g(x＋8)，所以8是函数g(x)的一个周期，g(x)是周期函数，故C正确；因为g(0)＝，g(x)＝－g(－x＋2)，g(x)＝－g(x＋4)，所以g(2)＝－g(2－2)＝－g(0)＝－，g(4)＝－g(0)＝－，g(6)＝－g(2)＝，所以ig(2i)＝(－1－2＋3＋4－5－6＋7＋8－9－10＋11＋12)×＝4，故D正确.故选ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $