1.4 培优课1 三角函数中与ω，φ相关的问题-（教师用书）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

培优课1　三角函数中与ω，φ相关的问题 　　三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上. 题型一　三角函数的单调性与ω，φ的取值范围 (2025·内蒙古包头二模)已知f＝sin(ωx＋在上单调递增，则实数ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题意可知－≤，则0＜ω≤.因为－≤x≤，则－ω＋≤ωx＋≤ω＋，则－≤－ω＋＜，＜ω＋≤.因为f上单调递增，结合正弦函数图象性质可得＜ω＋≤，解得0＜ω≤，故实数ω的取值范围是.故选B. 规律反思 　　已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在给定区间上的单调性，求ω的取值范围的步骤： 第一步：根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤T，求得0＜ω≤； 第二步：以单调递增为例，利用[ωx1＋φ，ωx2＋φ]⊆(k∈Z)，解得ω的范围； 第三步：结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值，从而求出ω(不含参数)的取值范围. 预测练1.(2025·辽宁大连模拟)已知函数f＝2cos在区间内单调递增，则ω的最大值为(　　) A. B.2 C. D. 答案：A 解析：由已知整理得f＝－2cos.因为f内单调递增，所以y＝2cos内单调递减，所以k∈Z，解得3k－≤ω≤k＋，k∈Z.又ω＞0，所以只有当k＝0时，不等式有解，解集为，所以ω的最大值为.故选A. 题型二　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围 (1)已知函数f＝sin在区间上存在最大值和最小值，则实数ω的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ (2)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋)(ω＞0)，若f(x)在区间(π，2π)内无最值，则实数ω的取值范围是　　　　. 答案：(1)C　(2)(0，］∪［，］ 解析：(1)因为ω＞0，x∈，所以ωx－∈.画出y＝sin x的图象，如图所示. 由图象得＜－≤－＞，解得＜ω≤或ω＞.故选C. (2)因为ω＞0，所以当x∈(π，2π)时，ωx＋∈(ωπ＋，2ωπ＋). 法一：由f(x)在(π，2π)内无最值，可得T≥2π，从而ω≤1，则ωπ＋≤，2ωπ＋≤.如图所示，根据y＝sin x的图象可得2ωπ＋≤解得0＜ω≤≤ω≤. 法二：因为f(x)在(π，2π)内无最值，所以2π－π≤＝，从而ω≤1，且kπ－≤ωπ＋＜2ωπ＋≤kπ＋，k∈Z，解得k－≤ω≤＋，k∈Z.当k＝0时，0＜ω≤；当k＝1时，≤ω≤；当k≥2，k∈Z时，无解.综上，0＜ω≤≤ω≤. 学生用书⬇第18页 规律反思 极值、最值与ω结合的问题，可以画出简图，利用三角函数的最值或周期，列出关于ω的不等式，通过解不等式求参数的最值或范围. 预测练2.若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间［－，］上单调递增，且在区间(0，2π)上恰有两个极值点，则实数ω的取值范围是　　　　. 答案：(，］ 解析：由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间［－，］上单调递增，可得－ω≥－＋2kπ，ω≤＋2kπ，k∈Z，即ω≤3－12k，ω≤＋6k，k∈Z.又ω＞0，所以0＜ω≤.又f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间(0，2π)上恰有两个极值点，所以＜2ωπ≤，即＜ω≤.综上，实数ω的取值范围是(，］. 题型三　三角函数的对称性与ω，φ的取值范围 已知ω≠0，函数f(x)＝sin在上有三条对称轴和两个极小值，则(　　) A.＜ω≤ B.＜ω≤ C.－≤ω＜－ D.－≤ω＜－ 答案：C 解析：因为x∈，①当ω＞0时，ωx＋∈，若f(x)在上有两个极小值，则f(x)至少有4条对称轴，不满足题意；②当ω＜0时，ωx＋∈.又函数f(x)＝sin(ωx＋)在上有三条对称轴和两个极小值，所以－≤＋＜－，解得－≤ω＜－.综上，－≤ω＜－.故选C. 规律反思 　　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围. 预测练3.已知直线x＝是函数f(x)＝sin(3πx＋φ)的一条对称轴，f(x)在区间(－t，t)(t＞0)内恰好存在3个对称中心，则实数t的取值范围为　　　　　　　. 答案： 解析：由题意知直线x＝是函数f(x)＝sin(3πx＋φ)的一条对称轴，故＋φ＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝＋kπ(k∈Z). 因为0＜φ＜，故φ＝，故f(x)＝sin. 令3πx＋＝k'π(k'∈Z)，解得x＝－＋，原点附近的6个对称中心分别为点，，，，，，若3个对称中心恰好是点(－，0)，，，则则t不存在，不符合题意；若3个对称中心恰好是点(－，0)，，，则＜t≤，故当＜t≤时，符合题意.故实数t的取值范围为. 题型四　三角函数的零点与ω，φ的取值范围 (2025·山东济宁二模)已知函数f＝sin ωx－cos ωx＋在区间上有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：对f(x)＝sin ωx－cos ωx＋进行化简，得f＝sin ωx－cos ωx＋＝2sin＋.令f(x)＝0，即2sin(ωx－)＋＝0，则sin(ωx－)＝－.根据正弦函数的性质，所以ωx－＝2kπ＋或ωx－＝2kπ＋，k∈Z，解得x＝或x＝，k∈Z. 因为x∈且ω＞0，当k＝0时，x1＝＝，x2＝；当k＝1时，x3＝＝＝，x4＝＝. 如图为函数y＝sin(ωx－)和y＝－的大致图象， 由于函数f(x)在区间［0，］上有且仅有3个零点，则需满足解不等式组得4≤ω＜.所以实数ω的取值范围是［4，).故选D. 规律反思 已知零点个数求ω的取值范围的方法 1.对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关. 2.若在区间上至多含有k个零点，需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值. 预测练4.(2025·山东德州开学考试)函数f＝sin在上单调递增，且在上恰有三个零点，则实数ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由2kπ－≤2ωx－≤2kπ＋，k∈Z，ω＞0，可得－≤x≤＋，所以函数f＝sin(2ωx－的单调递增区间为［－，＋］，k∈Z.因为函数f＝sin上单调递增，所以⊆，所以≤，所以ω≤.由2ωx－＝kπ，k∈Z，ω＞0，可得x＝＋，k∈Z，所以函数f＝sin(2ωx－的零点的集合为{x＝＋，k∈Z}.因为函数f＝sin上恰有三个零点，所以＋≤π，＋＞π，所以≤ω＜.综上，≤ω≤，所以实数ω的取值范围是.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $