1.2 基础课2 三角函数的图象与性质-（教师用书）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

基础课2　三角函数的图象与性质 一、三角函数的性质 1.(2025·全国一卷，T4)已知点(a，0)(a＞0)是函数y＝2tan(x－)的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：令x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故y＝2tan(x－)的图象的对称中心为(＋，0)，k∈Z，由题意知a＝＋，k∈N，其最小值为.故选B. 2.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷，T9)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin(2x－)，下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 答案：BC 解析：对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，又g≠0，故A错误；对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误.故选BC. 3.(2025·全国二卷，T15)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)(0≤φ＜π)，f(0)＝. (1)求φ； (2)设函数g(x)＝f(x)＋f(x－)，求g(x)的值域和单调区间. 解：(1)因为f(0)＝cos φ＝，且0≤φ＜π，所以φ＝. (2)由(1)可得f(x)＝cos(2x＋)， 所以g(x)＝f(x)＋f(x－) ＝cos(2x＋)＋cos 2x ＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋cos 2x ＝cos 2x－sin 2x ＝cos 2x－sin 2x) ＝cos(2x＋). 因为余弦函数y＝cos θ的值域是[－1，1]，令θ＝2x＋，那么函数y＝cos θ的值域为[－，]，所以g(x)的值域为[－，]. 易知余弦函数y＝cos θ在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增，令2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)，所以g(x)的单调递增区间为［kπ－，kπ－］(k∈Z). 易知余弦函数y＝cos θ在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以g(x)的单调递减区间为［kπ－，kπ＋］(k∈Z). 学生用书⬇第11页 二、三角函数的图象 4.(2024·新课标Ⅰ卷，T7)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin(3x－)的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 答案：C 解析：因为函数y＝2sin的最小正周期T＝，所以函数y＝2sin在[0，2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数y＝2sin(3x－)与y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示， 由图可知，这两个图象共有6个交点.故选C. 5.(2023·新课标Ⅰ卷，T15)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω＞0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　. 答案：[2，3) 解析：因为 0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ.令f(x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1有3个根， 令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]， 结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得 4π≤2ωπ＜6π，故2≤ω＜3. 6.(2023·新课标Ⅱ卷，T16)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若｜AB｜＝，则f(π)＝　　　　. 答案：－ 解析：设A，B，由｜AB｜＝可得x2－x1＝，由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝π－＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4.因为f＝sin＝0，所以＋φ＝kπ，即φ＝－＋kπ，k∈Z.所以f(x)＝sin＝sin，所以f(x)＝sin或f(x)＝－sin.又因为f(0)＜0，所以f(x)＝sin，所以f(π)＝sin＝－. 考情分析 　　三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查： 1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查. 2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或解答题其中一问的形式考查. 核心考点一　三角函数图象　[基础性考法] 考向1　三角函数图象的识别 (1)(2025·北京海淀一模)已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示.若A，B，C，D四点在同一个圆上，则ω＝(　　) A.1 B. C.π D. (2)(2025·山西临汾二模)已知函数f＝2sin，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f的两个交点，若＝，f＝2，则f＝(　　) A.0 B.－2 C.1 D.2 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)连接BC交x轴于E，由于A，B，C，D四点在同一个圆上，且A，D和B，C均关于点E对称，故E为圆心，故＝，＝T＝＝，＝＝，故＝，解得ω＝.故选D. (2)根据f＝2可得sin φ＝1，故φ＝＋2kπ，k∈Z，故f＝2sin＝2cos ωx.令f＝2cos ωx＝，故ωx1＝＋2kπ或ωx2＝－＋2kπ，k∈Z.结合图象可知ωxA＝－＋2π，ωxB＝＋2π，因此＝xB－xA＝＝，故ω＝2.因此f＝2cos 2x，故f＝2cos π＝－2.故选B. 规律反思 　　已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求解析式，A比较容易求，可由图得出，困难的是求ω和φ，常用如下两种方法： 1.五点法：由ω＝即可求出ω，确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，即可求出φ. 2. 代入法：将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)的坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ.若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 考向2　三角函数图象变换及应用 (1)(2025·四川德阳三模)已知函数f＝sin的图象向右平移个单位长度后，得到g的图象，若g是奇函数，则φ＝(　　) A. B.－ C. D.－ 学生用书⬇第12页 (2)(2025·江苏南通二模)将函数f＝sin(ωx＋的图象向左平移个单位后与函数g＝cos的图象重合，则ω的最小值为(　　) A.2 B.3 C.6 D.9 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)由题意知g＝sin＝sin.因为g是奇函数，则φ－＝kπ，所以φ＝＋kπ.因为＜，所以φ＝.故选C. (2)将f＝sin个单位，得到y＝sin＝sin(ωx＋＋)＝cos，则＝＋2kπ，k∈Z，所以ω＝3＋12k，k∈Z.又ω＞0，所以ω的最小值为3.故选B. 规律反思 1.对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移，还是先伸缩，只要平移｜φ｜个单位长度，都是相应的解析式中的x变为x±｜φ｜，而不是ωx变为ωx±｜φ｜. 2.注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. 预测练1.(2025·甘肃兰州一模)一个铅垂做单摆运动时，离开平衡位置的位移y关于时间x的函数图象如图所示，函数关系满足y＝Asin(ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，ω＞0，0＜φ＜)，当y＝1时，x不可能是(　　) A. B.π C. D.2π 答案：A 解析：由图可知A＝2，最小正周期T＝2×＝π，则ω＝＝2.由＝，则函数图象过，即2sin＝－2，解得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)，可得φ＝，故y＝2sin.由y＝1，则sin＝，解得2x＋＝＋2k1π(k1∈Z)或2x＋＝＋2k2π(k2∈Z)，可得x＝k1π(k1∈Z)或x＝＋k2π(k2∈Z)，当k1＝1时，x＝π，当k2＝1时，x＝，当k1＝2时，x＝2π.故选A. 预测练2.(2025·河北秦皇岛二模)已知函数f(x)＝sin(3x＋)，将f(x)的图象向右平移φ(｜φ｜＜)个单位后，得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，则φ的值为(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：B 解析：依题意，g(x)＝f(x－φ)＝sin(3x－3φ＋).由g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，得g(x)＝f(－x)对任意x∈R恒成立，即sin(3x－3φ＋)＝sin(－3x＋)＝sin(3x＋)对任意x∈R恒成立.因此－3φ＋＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－－，k∈Z.而｜φ｜＜，则k＝0，φ＝－.故选B. 核心考点二　三角函数的性质　[综合性考法] (1)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象关于点中心对称，则(　　) A.f(x)在区间单调递减 B.f(x)在区间有两个极值点 C.直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴 D.直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 (2)(多选)(2025·福建泉州一模)已知函数f(x)＝sin 2x－2sin x，则(　　 ) A.f(x)的最小正周期为2π B.曲线y＝f(x)关于直线x＝对称 C.f(x)在区间[－2π，2π]上有4个零点 D.f(x)在区间(，)内单调递减 答案：(1)AD　(2)AD 解析：(1)由题意得f＝sin＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，又0＜φ＜π，所以k＝2时，φ＝，故f(x)＝sin.对于A，当x∈时，2x＋∈，由正弦函数y＝sin u图象知y＝f(x)在单调递减，故A正确；对于B，当x∈时，2x＋∈，由正弦函数y＝sin u图象知y＝f(x)只有1个极值点，由2x＋＝，解得x＝，即x＝为函数的唯一极值点，故B错误；对于C，当x＝时，2x＋＝3π，f＝0，直线x＝不是对称轴，故C错误；对于D，由f'(x)＝2cos＝－1得cos＝－，解得2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，从而得x＝kπ或x＝＋kπ，k∈Z，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)＝，则由＝－kπ(k∈Z)，解得k＝0；当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝－，方程－＝－kπ－(k∈Z)无解，所以函数y＝f(x)在点处的切线斜率为k＝－1，切线方程为y－＝－(x－0)，即y＝－x.故D正确.故选AD. (2)对于A，y＝sin 2x的最小正周期为π，y＝sin x的最小正周期为2π，两者的最小公倍数为2π，故f的最小正周期为2π，故A正确；对于B，f＝sin－2sin＝－sin 2x－2sin x≠f，故曲线y＝f不关于直线x＝对称，故B错误；对于C，f＝sin 2x－2sin x＝2sin xcos x－2sin x＝2sin x，令f＝0得2sin x＝0，故sin x＝0或cos x＝1.因为x∈，所以sin x＝0的解为x1＝－2π，x2＝－π，x3＝0，x4＝π，x5＝2π，cos x＝1的解为x1＝－2π，x3＝0，x5＝2π，综上，f上有5个零点，故C错误；对于D，f'＝2cos 2x－2cos x＝4cos2x－2－2cos x＝－，当x∈时，cos x∈，4－∈，即f'＝4－＜0，所以f内单调递减，故D正确.故选AD. 规律反思 　　研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sin t 的性质判断各选项. 预测练3.(2025·山东泰安模拟)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)cos x－，若f(x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：依题意，函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋cos 2x＝sin.当x∈时，2x＋∈，显然sin＝sin＝－，sin ＝1，且正弦函数y＝sin x在上单调递减. 由f(x)在区间，得≤2m＋≤，解得≤m≤，所以实数m的取值范围是.故选D. 学生用书⬇第13页 预测练4.(多选)已知函数f＝2tan(ωx＋φ)的最小正周期为，则下列说法正确的是(　　) A.ω＝2 B.若直线x＝是f图象的一条渐近线，则φ＝ C.不存在φ∈，使为f图象的一个对称中心 D.若f在区间内单调，则φ的取值范围是∪ 答案：ABD 解析：对于A，因为函数f，故ω＝＝2，故A正确；对于B，由A选项可得f＝2tan，令2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝－＋kπ，k∈Z.因为＜，所以φ＝，故B正确；对于C，若点为f图象的对称中心，则2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝－，k∈Z，当k＝1时，φ＝∈，故C错误；对于D，若f＝2tan在区间(，)内单调，由＜x＜＋φ＜2x＋φ＜＋φ，所以⊆，k∈Z，则k∈Z，即kπ－≤φ≤kπ－，k∈Z，记A＝，B＝，则A∩B＝∪.所以φ的取值范围是∪，故D正确.故选ABD. 核心考点三　绝对值与三角函数的综合问题　[综合性、创新性考法] 已知函数f＝＋，则下列说法正确的是(　　) A.f的最小正周期为π B.f的最小值为 C.f＝f D.f＝在上有解 答案：D 解析： 因为f(x＋)＝＋＝＋＝f，所以f为周期的函数. 当x∈时，f(x)＝＋＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，则x＋∈，所以1≤sin≤，所以函数f，函数f的最小值为1，故A、B错误；由f＝＋＝≠f＝1，故C错误；由f(－)＝＋＝，所以f＝上有解，故D正确.故选D. 规律反思 关于y＝和y＝sin图象问题的解题策略 如图，y＝将y＝sin x图象中x轴上方部分保留，x轴下方部分沿着x轴翻上去后得到，故y＝是最小正周期为π的函数，同理y＝A｜sin(ωx＋φ)｜是最小正周期为的函数；y＝sin是将y＝sin x图象中y轴右边的部分留下，左边的删除，再将y轴右边图象作对称至左边，故y＝sin不是周期函数.我们可以这样来表示： y＝＝ y＝sin＝ 预测练5.(多选)关于函数f(x)＝｜2sin x｜＋cos x的性质，有下述四个结论，则结论正确的是(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)在区间上单调 C.函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则M－m＝2 D.若1＜a＜2，则函数y＝f(x)－a在[－π，π]上有4个零点 答案：AD 解析： 对于A，由f(－x)＝｜2sin(－x)｜＋cos(－x)＝｜2sin x｜＋cos x＝f(x)，可知f(x)为偶函数，故A正确；对于B，由f(2π－x)＝｜2sin(2π－x)｜＋cos(2π－x)＝｜2sin x｜＋cos x＝f(x)，得f(x)关于x＝π对称；由f(x＋2π)＝f(x)，得f(x)的周期为2π；当x∈[0，π]时，f(x)＝2sin x＋cos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝且φ∈；作出f(x)在[0，π]上的图象，并根据f(x)的对称性及周期性作出f(x)的大致图象. 由图可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)在上不单调，故B错误；对于C，f(x)的最大值M＝，最小值m＝－1，故M－m＝＋1，故C错误；对于D，若1＜a＜2，则y＝f(x)－a在[－π，π]上有4个零点，故D正确.故选AD. 学科网（北京）股份有限公司 $