开篇 高考引领-（教师用书）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

一　2025年高考数学全国一、二卷双向细目表 题号 分值 题型 全国一卷 全国二卷 考查内容 核心命题点 考查内容 核心命题点 1 5 单选题 复数 复数的乘法运算、复数的概念 概率统计 样本平均数 2 5 单选题 集合 集合的补集运算 复数 复数的除法运算 3 5 单选题 解析几何 双曲线的离心率 集合 集合的交集运算 4 5 单选题 三角函数 正切函数图象的对称性 不等式 分式不等式的解法 5 5 单选题 函数 函数性质的运用 解三角形 余弦定理 6 5 单选题 平面向量 向量的加法与向量的模 解析几何 抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系 7 5 单选题 解析几何 直线与圆的位置关系 数列 等差数列基本量的运算 8 5 单选题 函数 对数运算、指对互化 三角函数 三角恒等变换 9 6 多选题 立体几何 直线与平面的位置关系 数列 等比数列基本量的运算 10 6 多选题 解析几何 抛物线的定义与几何性质 函数与导数 函数的性质与极值 11 6 多选题 三角函数、 解三角形 三角恒等变换与正、余弦定理 解析几何 双曲线的几何性质、圆的几何性质 12 5 填空题 导数 导数的几何意义 平面向量 平面向量的坐标运算、向量的垂直与模 13 5 填空题 数列 等比数列基本量的运算 导数 利用导数研究函数的极值 14 5 填空题 概率统计 随机变量的均值 立体几何 球与圆柱的位置关系 15 13 解答题 概率统计 古典概型、独立性检验 三角函数 三角恒等变换、三角函数的性质 16 15 解答题 数列 等差数列的判定、错位相减法求和 解析几何 椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系 17 15 解答题 立体几何 线面位置关系、直线与直线所成的角 立体几何 线面位置关系、二面角 18 17 解答题 解析几何 椭圆的标准方程、直线与椭圆的综合 导数 利用导数研究函数的单调性、极值、零点与比较大小 19 17 解答题 导数 利用导数研究函数的最值、证明不等式 概率统计、 数列 二项分布 学生用书⬇第2页 二　2025年高考数学试题评析 　　2025年高考数学命题贯彻落实《教育强国建设规划纲要(2024—2035年)》，遵循高校人才选拔要求和高中数学课程标准，依据高考评价体系，持续推进考试内容改革.更新设计理念，深化基础性考查；创新试题设计，强化思维能力考查，拓展思维的深度和广度，增强探索性和创新性，突出思维过程和思维品质，服务拔尖创新人才选拔；精细把握学情教情，科学调控试题难度，精确区分考生，提升人才选拔质量，助力教育强国建设. (一)深化高考内容改革，加强基础性考查 基本概念和基本原理是构成数学学科知识体系的基石和框架，2025年高考数学命题突出基础性考查，全面检验学生的学科基础，引导教学回归课标，夯实学生知识根基，培育学生发展潜能. 1.全面考查基础知识，检验学生的知识掌握程度，引导中学注重概念教学，夯实学习基础. 2.对高中数学的核心概念进行了重点考查，保持一定的考查比例，同时达到一定的考查深度. 3.强调融会贯通，增强同一主题必修模块与选择性必修模块间的联系、增强不同主题之间的联系，在知识网络的交汇点设计题目，促进各分支知识本身的纵向延伸，同时增强知识分支间的横向拓展. (二)创新试题设计，突出思维能力考查 《教育强国建设规划纲要(2024—2035年)》指明了高考改革的方向，“深化高考综合改革，构建引导学生德智体美劳全面发展的考试或考核内容体系，重点强化学生关键能力、学科素养和思维品质考查”.2025年高考命题创新试题设计，发挥数学学科的思维价值、教育价值，突出思维能力考查，在助力拔尖创新人才选拔方面进行了新探索、取得了新突破. 1.构建新颖情境，考查创新思维.2025年高考数学命题创新情境设计、内容设计和设问设计，破除套路，深入考查学科素养，发挥选拔功能，引导中学教学从总结解题技巧转变到培养学生数学思维.试卷还设置了现实生活情境的试题，考查考生应用数学知识和方法解决问题的能力. 2.优化试卷结构，考查灵活思维.“改变相对固化的试题形式，增强试题开放性”是《深化新时代教育评价改革总体方案》对高考命题提出的明确要求. 3.增强探究开放，考查思维品质.数学试卷创新设问方式，进一步增强试题的探索性和综合性，增强解法的开放性，为考生提供多种解题途径，着力考查学生的学科关键能力和思维品质，鼓励学生运用创造性、发散性思维多角度分析解决问题，激发学生创新意识，同时引导中学摒弃细分试题类型、总结解题套路等固化的复习备考模式，将教学重点放到提高学生的素养和能力上来. (三)加强教考衔接，发挥导向作用 1.依据课标命题，引导依标教学.《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》是高考命题的依据，2025年高考数学命题严格遵循课程标准，考查知识内容的范围、深度、广度以及对学科核心素养水平的要求均与课程标准保持一致.试卷规避高等数学内容的直接应用，引导学校严格按照课程标准实施教学，上足课时、不赶进度，不超标、不超量，做到应教尽教，把精力放在讲透教材内容上，提升课堂教学效果. 2.依据质量水平，确定考核层次.学业质量是学生在完成本学科课程学习后的学业成就表现.课程标准中依据不同学业水平成就表现的特征，将学业质量划分为不同水平.数学学业质量水平是高考的要求，2025年高考数学命题依据水平二确定考查要求，调控考查层次，科学评价学生数学学科核心素养的达成水平. 3.科学调控难度，契合考生水平.2025年高考数学命题基于教情学情调研和往年考试数据分析，更精细地把握学情、教情因素，面向全体考生，科学制定考试要求.命题综合考量人才选拔、试卷导向、考生感受，将三者有机结合，使试卷与考生水平相契合，提高考生的获得感和成就感，同时对不同水平的考生都进行良好的区分，实现高考的选拔功能. 学生用书⬇第3页 三　教考衔接探究高考题源 　　试题命制贯彻落实《教育强国建设规划纲要(2024—2035年)》，依据高考评价体系，遵循高中数学课程标准.加强教考衔接，强调回归数学本源，突出数学本质；关联教材例题、习题；关注高考题、适应性测试题；引导中学依标教学，充分发挥高考育人功能和积极导向作用. (2025·全国一卷，T2)已知集合U＝{x｜x是小于9的正整数}，集合A＝{1，3，5}，则綂UA中元素的个数为(　　) A.0 B.3 C.5 D.8 答案：C 解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}，故綂UA＝{2，4，6，7，8}，故綂UA中有5个元素.故选C. [回归教材](人教A必修一P13例5)设U＝{x｜x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求綂UA，綂UB. (2025·全国一卷，T5)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f(－)＝(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：A 解析：当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以当x∈[－1，0]时，f(x)＝f(－x)＝f(－x＋2)＝5－2(－x＋2)＝1＋2x，所以f(－)＝1－＝－.故选A. [回归教材]　(人教A必修一P214T15)已知函数y＝f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，若f(0.5)＝1，求f(1)，f(3.5)的值. (2025·全国一卷，T7)已知圆x2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是(　　) A. B. C.(3，＋∞) D.(0，＋∞) 答案：B 解析：易得圆心(0，－2)到直线y＝x＋2的距离d＝2.当r＝d－1＝1时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有一个，当r＝d＋1＝3时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有三个，故当1＜r＜3时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个.故选B. [回归教材]　(人教A选择性必修一P99 T13)已知圆x2＋y2＝4，直线l：y＝x＋b.b为何值时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1？ (2025·全国一卷，T12)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝　　　　　. 答案：4 解析：设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a的切点坐标为(x0，＋x0＋a)，由y＝ex＋x＋a得y'＝ex＋1，所以y'＝＋1＝2，解得x0＝0，所以切点坐标为(0，1＋a)，又切点(0，1＋a)在切线y＝2x＋5上，所以1＋a＝5，解得a＝4. [回归教材]　(人教B选择性必修三P113 T8)已知x轴为函数f(x)＝x3＋ax＋的图象的一条切线，求实数a的值. (2025·全国一卷，T13)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于　　　　　. 答案：2 解析：法一：(基本量法)设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q＞0，又S4＝4，S8＝68，所以q≠1.由S4＝4得＝4　①，由S8＝68得＝68　②，＝，即＝1＋q4＝17，所以q4＝16，又q＞0，所以q＝2. 法二：(等比数列前n项和性质法)设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q＞0，因为S4＝4，S8＝68，所以S8－S4＝64，因为S4，S8－S4，S12－S8，…成等比数列，且公比为q4，所以q4＝＝＝16，又q＞0，所以q＝2. [回归教材]　(人教A选择性必修二P36 例8)已知等比数列{an}的首项为－1，前n项和为Sn.若＝，求公比q. (2025·全国二卷，T13)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝　　　　　　　. 答案：－4 解析：f'(x)＝(x－2)'[(x－1)(x－a)]＋(x－2)[(x－1)(x－a)]'＝(x－1)(x－a)＋(x－2)[(x－1)(x－a)]'，因为x＝2是函数f(x)的极值点，所以f'(2)＝0，即(2－1)(2－a)＝0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f(x)＝(x－1)(x－2)2，所以f(0)＝－4. [回归教材]　(人教A选择性必修二P104T9)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，求c的值. (1)(2025·全国一卷，T18(1))已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，｜AB｜＝.求C的方程. (2)(2025·全国二卷，T16(1))已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为4.求C的方程. 解：(1)由题意知＝，所以＝， 设a2＝9t，t＞0，则c2＝8t，所以b2＝t. 又｜AB｜2＝a2＋b2＝10t＝10， 所以t＝1，所以C的方程为＋y2＝1. (2)第1步：根据长轴长求a的值 由2a＝4，得a＝2. 第2步：根据离心率及a，b，c之间的关系求b的值 由题意得e＝＝，则c＝a＝， 又b2＝a2－c2，所以b＝. 第3步：得C的方程 所以C的方程为＋＝1. 学生用书⬇第4页 [回归适应性测试]　(2025·八省联考，T18(1))已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2.求椭圆C的方程. 解：因为椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，所以c＝1. 又因为椭圆C的离心率为， 所以a＝2，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1. (2025·全国一卷，T15)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表： 组别 超声波检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附：χ2＝ P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解：(1)由题表可知，检查结果不正常者有200人，检查结果不正常者中患有该疾病的有180人， 所以由样本估计总体得p＝＝0.9. (2)零假设H0：超声波检查结果与是否患该疾病无关. χ2＝＝765.625＞10.828， 所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关. [回归适应性测试]　(2025·八省联考，T15)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 s 服用 150 70 220 合计 250 t 400 (1)求s，t； (2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为P，给出P的估计值； (3)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？ 附：χ2＝， α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解：(1)由列联表知s＝100＋80＝180，t＝80＋70＝150. (2)由列联表知，未服用药物A的动物有s＝180只， 未服用药物A且患疾病B的动物有80只， 所以未服用药物A的动物患疾病B的频率为＝， 所以未服用药物A的动物患疾病B的概率的估计值为P＝. (3)零假设为H0：药物A对预防疾病B无效. 根据列联表的数据，经计算得到χ2＝＝≈6.734＞6.635＝x0.01. 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.01， 所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能认为药物A对预防疾病B有效. (2025·全国一卷，T17)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD； 学生用书⬇第5页 (2)设PA＝AB＝，BC＝2，AD＝＋1，且点P，B，C，D均在球O的球面上. (ⅰ)证明：点O在平面ABCD内； (ⅱ)求直线AC与PO所成角的余弦值. 解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD， 又AD⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB， 又AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PAB. (2)(ⅰ)证明：以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示， 则B(，0，0)，C(，2，0)，D(0，1＋，0)，P(0，0，)，设O(a，b，c)， 因为点P，B，C，D均在球O的球面上，所以｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜｜， 则(a－)2＋b2＋c2＝(a－)2＋(b－2)2＋c2＝a2＋(b－1－)2＋c2＝a2＋b2＋(c－)2， 得a＝0，b＝1，c＝0，即O(0，1，0)， 所以点O在AD上，即点O在平面ABCD内. (ⅱ) ＝(，2，0)，＝(0，1，－)， 则cos＜，＞＝＝＝， 所以直线AC与PO所成角的余弦值为. [回归适应性测试]　(2025·八省联考，T19)在平面四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ADC＝30°，∠DAB＝120°，将△ACD沿AC翻折至△ACP，其中P为动点. (1)设PC⊥AB，三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上. (ⅰ)证明：平面PAC⊥平面ABC； (ⅱ)求球O的半径； (2)求二面角A-CP-B的余弦值的最小值. 解：(1)在△ACD中，由AC＝CD＝1，∠ADC＝30°得∠CAD＝∠ADC＝30°， 所以AD＝2ACcos∠CAD＝2×1×cos30°＝，且∠BAC＝∠DAB－∠CAD＝120°－30°＝90°，即AB⊥AC. (ⅰ)证明：因为AB⊥AC，PC⊥AB，PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC， 所以AB⊥平面PAC，又AB⊂平面ABC， 所以平面PAC⊥平面ABC. (ⅱ)以A为原点，AB，AC分别为x轴和y轴建立如图所示空间直角坐标系A-xyz. 则A，B，C，P，设球心O，半径为R， 则AO＝BO＝CO＝PO＝R， 所以a2＋b2＋c2＝＋b2＋c2＝a2＋＋c2＝a2＋＋＝R2， 解得a＝，b＝，c＝，R＝，所以球O的半径为. (2)在平面PAC中，过P作PG⊥AC于G，在平面ABC中，过G作GM⊥AC，则由(1)可知AG＝cos 30°＝，PG＝sin30°＝. 设∠PGM＝θ，θ∈，以G为原点，GM，CG分别为x轴和y轴建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz. 则G，A，B，C(0，－，0)，P， 所以＝，＝，＝. 设平面PAC和平面PBC的一个法向量分别为m＝，n＝， 则 所以 取x1＝sin θ，x2＝1，则m＝，n＝， 所以cos＜m，n＞＝＝＝. 令t＝cos θ＋，则cos θ＝t－，由θ∈得t∈，则∈. 则cos＜m，n＞＝＝＝≥＝， 当且仅当＝即t＝，cos θ＝－时等号成立， 所以二面角A-CP-B的余弦值的最小值为. 四　高效复习科学备考指南 1.回归基础：注重基础，不仅要重视基础知识和基本技能，而且要注重数学的基本思想和基本活动经验.现在的高考数学试卷，尤其是新高考卷不断加强对于基本概念和基本原理的考查力度，延伸基础性考查的内涵，强调在深刻理解基础上的融会贯通、灵活运用. 2.回归教材和真题：(1)回归课标、重视教材是备考根源.教材是高考命题的发源地，是高考题的源和流，教材是高考命题取之不尽用之不竭的源泉与财富，所以在二轮复习中让教材成为备考的“扶手”.要认真研究教材中的定义与概念、例题与习题，充分利用教材资源，通过回归教材落实必备知识、通过整合教材，由教材发掘命题导向，由教材构建基本知能，从而提升能力与素养.所以在二轮复习中要回归教材、重视教材、研究教材、用好教材.(2)关注知识交汇.注意不同模块知识点的联系和综合应用，特别是函数与导数、几何、概率与统计、数列等主干知识之间的融合.(3)研究真题，把握方向.认真分析近五年新高考全国卷真题和每年1月份的适应性测试试题，理清弄透高考题的内涵与外延，体会其命题思路、题型特点和难度要求，充分发挥高考题的导向作用.(4)吃透教材，注意高考真题与教材的关联.在二轮复习中一定要尝试用熟悉的知识解决新问题，注重培养思维灵活性与深度. 3.注重通性通法：通性通法是从数学的概念和原理出发，使用比较常规的通识性的基本数学方法，不追求特殊技巧，例如配方法、待定系数法、消元法(代入消元、加减消元等)、换元法、数列求和法(公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等)，还有三角法、割补法、坐标法、数形结合法、反证法、数学归纳法、构造法等.强调通性通法，淡化特殊技巧，注重数学问题本质，注重方法的普适性，强调对学科基本方法的深刻理解，引导中学把教学重点从总结解题技巧转变到培养学生数学思维，转向到培养学生学科核心素养. 学生用书⬇第6页 学科网（北京）股份有限公司 $