专题03 图形的平移和旋转（期中复习知识清单）八年级数学下学期新教材北师大版

专题03 图形的平移和旋转 思维导图 串 考点清单 理 平移的概念和性质 1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。注：平移=移动方向+移动距离 2.平移的性质：（1）图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置 （2）对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行 （3）对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离 平移作图 平移作图步骤：①找出能代表图形的关键点;②将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来; ③过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置;④连接关键点，还原图形. 点在平面直角坐标系中平移 1.左右平移（横坐标变，纵坐标不变）：向右平移a个单位：(x,y) (x+a, y);向左平移a个单位：(x,y) (x-a, y); 2.上下平移（纵坐标变，横坐标不变）：向上平移b个单位：(x,y) (x, y+b);向下平移b个单位：(x,y) (x, y-b). 口诀：右加左减，上加下减。平移前后图形形状、大小不变。 旋转的概念和性质 （1）旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换. 点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角； 图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点. （2）旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心；③旋转角度 注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上. （3）旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 旋转作图 旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形. 作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心； （2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； （3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； （4）连接所得到的各对应点. 中心对称 （1）中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． （2）中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A’B’C’关于点O对称. （3）中心对称与轴对称的区别与联系： 区别 中心对称 轴对称 有一个对称中心 有一条对称轴 图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴翻折 旋转后与另一个图形重合 翻折后与另一个图形重合 联系 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 （4）中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形. （5）确定对称中心的方法： 1.连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心； 2.连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心. （6）中心对称作图 1.连接原图形的关键点与对称中心； 2.延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等； 3.将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形. 中心对称图形 （1）中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． （2）中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 针对两个图形 针对一个图形 两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形 对称点在两个图形上 对称点在一个图形上 对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 题型清单 解 中心对称图形的识别（共4小题） 【例1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）自年中国第一条地铁“北京地铁号线”建成通车以来，地铁成为市民们出行的一种便利方式，下列城市的地铁标志中是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的概念和各图的特点进行判断求解，中心对称图形是绕某点旋转后与原图形重合． 【详解】A项：该图形能绕着某点旋转后与原图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； B项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； C项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； D项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意． 综上所述，是中心对称图形的是A． 【变式1-1】（24-25九年级上·云南迪庆·期末）“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产下面“瓦当”图案中是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一个图形绕一点旋转度，能与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，进行判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的概念，选项中，B选项图形绕某点旋转，旋转后的图形与原来的图形完全重合， A、C、D、这三个选项图形绕某点旋转，旋转后的图形不与原来的图形完全重合， 故B选项是中心对称图形． 【变式1-2】（25-26八年级上·四川泸州·期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．以下剪纸中，是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、找不到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； B、找不到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； C、可以找到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故是中心对称图形，符合题意； D、找不到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； 【变式1-3】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故选项不符合题意； D、是中心对称图形，故选项符合题意． 利用平移的性质求解（共4小题） 【例2】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查的是图形的平移，根据平移的性质逐一判断即可． 【详解】解：经过平移后得到， ∴，故①正确； ，故②不正确； ，故③正确； 和的面积相等，故④正确； 四边形和四边形都是平行四边形，且，即两个平行四边形的底相等，但高不一定相等， ∴四边形和四边形的面积不一定相等，故⑤不正确； 综上：正确的有3个 故选：B． 【变式2-1】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质，熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， 故选：C． 【变式2-2】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质． 由，可得，由平移的性质可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：，即，， ， 由平移可得， ． 故选：C． 【变式2-3】（25-26七年级上·山东济南·期末）如图1，将长方形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，，直线沿轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被长方形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．有下列说法：①点的坐标为；②长方形的面积为；③；④．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可知，平移秒时，直线经过点，此时直线的解析式为，利用解析式求出此时点的坐标；当直线运动秒时，解析式为，此时直线经过点，利用解析式求出点的坐标，可得的长度，利用长方形的面积公式求出长方形的面积；运动秒时经过点，此时直线的解析式为，利用解析式求出直线与的交点坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出的长度；直线运动秒时经过点，此时直线的解析式是，把点的坐标代入解析式求出的值． 【详解】解：由图可知，平移秒时，直线经过点， 直线平移秒时的解析式为， 即， ， 点的纵坐标是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 故①正确； 由图可知当时，直线经过点， 当时，直线的解析式为， 即， 点的纵坐标为， 可得：， 解得：， 点的坐标为， ， ， 长方形的面积为， 故②错误； 由图可知，当时，直线经过点， 当时，直线的解析式是， 即， 当时，可得：， 解得：， 即直线与的交点坐标为， 点的坐标是， 点的坐标是， ， ， 故③正确； 由图可知，当运动秒时，直线经过点， 当运动秒时，直线的解析式为， 点的坐标为， 点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 故④错误． 综上所述，正确的有个. 故选：B． 点在平面直角坐标系中的平移（共4小题） 【例3】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）在平面直角坐标系内，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标平移的规律，根据平移时，横坐标左移减，右移加；纵坐标下移减，上移加，计算求解即可，掌握坐标平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵点先向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的点坐标为，即， 故选：． 【变式3-1】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）将点向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了坐标系中点的平移， 根据点的平移规律，向上平移改变y坐标，向左平移改变x坐标，依次计算即可． 【详解】点向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的点的坐标是． 故选：A． 【变式3-2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知，规定“先作点关于轴对称，再将对称点向左平移个单位”为一次变换．那么连续经过次变换后，点的坐标变为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标系中点的对称变换和平移变换，由，根据题意得第一次变换后点的坐标变为；第二次变换后点的坐标变为；第三次变换后点的坐标变为；第四次变换后点的坐标变为；；则有奇数次变换点在轴下方纵坐标为，横坐标为“减去次数”，偶数次变换点在轴上方，纵坐标为，横坐标为“减去次数”，然后通过规律即可求出连续经过次变换后点的坐标，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴第一次变换后点的坐标变为； 第二次变换后点的坐标变为； 第三次变换后点的坐标变为； 第四次变换后点的坐标变为； ； ∴奇数次变换点在轴下方纵坐标为，横坐标为“减去次数”，偶数次变换点在轴上方，纵坐标为，横坐标为“减去次数”， ∴第次变换后的点在轴下方，点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标变为， 故选：． 【变式3-3】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度．再竖直向下平移2个单位长度，得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点…，按此做法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，观察可知下标为偶数的点在第一象限的角平分线上，进而得到，即可得出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：观察题图可知，下标为偶数的点在第一象限， ，，，， ∴， 当时，， ∴， 故选：A． 求关于原点的对称点的坐标（共4小题） 【例4】（25-26九年级上·陕西延安·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据关于原点对称为求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为． 【变式4-1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点坐标，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标规律． 关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数． 【详解】解：点关于原点对称，横坐标变为，纵坐标变为， 故对称点为． 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）点与其关于原点的对称点间的距离为_____________． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点坐标关系求出m和n的值，再应用两点间距离公式计算． 本题考查了原点对称，两点间距离公式，熟练掌握对称的意义，公式是解题的关键． 【详解】解：点关于原点的对称点坐标应为， 由点关于原点的对称点为， 故， 解得， 故点与其关于原点的对称点间的距离为， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点成中心对称的点的坐标特点，代数式求值，解题的关键在于根据对称求出的值． 根据关于原点对称的点的纵、横坐标互为相反数，求出的值，再将的值代入中计算，即可解题． 【详解】解：点与点关于原点成中心对称， ， 则的值为， 故答案为：． 找旋转中心、旋转角（共4小题） 【例5】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 【答案】或 【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时， 连接， 分别作线段的垂直平分线交于点E， 点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时， 连接，分别作线段的垂直平分线交于点M， 点M即为旋转中心． 【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点E，如图1所示， 点的坐标为，B点的坐标为， E点的坐标为； ②当点A的对应点为点D时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点M，如图2所示， 点的坐标为，B点的坐标为， M点的坐标为． 综上所述：这个旋转中心的坐标为或． 【变式5-1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的顶点都在方格纸的格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到，使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是______． 【答案】/90度 【分析】本题考查了旋转的性质，对应点B，与旋转中心O连线的夹角是旋转角，据此解答． 【详解】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知是旋转角，且， 故答案为：． 【变式5-2】（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，是等腰直角三角形，，经过逆时针旋转后到达的位置，且点E在边上．     (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)经过上述旋转后，点C转到了什么位置？ 【答案】(1)点A (2) (3)点C转到了点E的位置 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角． （1）直接根据旋转的性质求解即可； （2）由等腰三角形的性质得，然后由旋转的性质可得旋转角的度数； （3）直接根据旋转的性质求解即可． 【详解】（1）由旋转的性质可知，旋转中心是点A； （2）∵是等腰直角三角形，， ∴， 由旋转的性质可知，旋转了； （3）由旋转的性质可知，点C转到了点E的位置． 【变式5-3】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图，和都是等边三角形，点在上（不与、重合），连接．    (1)由等边三角形的性质易证（不需证明），将旋转可与重合，指出旋转中心，旋转方向和旋转角： 旋转中心：________________； 旋转方向：________________；（填“顺时针”或“逆时针”） 旋转角：________________；（填角度大小） (2)在（1）的基础上，当时，求的度数． 【答案】(1)点A；逆时针； (2) 【分析】本题考查了旋转图形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握旋转图形的性质，等边三角形的性质是解题的关键， （1）根据旋转图形的特征作答即可； （2）由，得，再证，从而得，即可得解。 【详解】（1）解：将旋转可与重合，指出旋转中心，旋转方向和旋转角： 旋转中心：点； 旋转方向：逆时针； 旋转角：； 故答案为：点A；逆时针； （2）解： 又 是等边三角形， ∴ 求某点旋转后的坐标（共4小题） 【例6】（25-26九年级上·北京朝阳·期末）如图，点M的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，则点N的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，余角的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，是解题的关键．过点M作轴于点A，过点N作轴于点B，根据，得出，，证明，得出，，即可得出答案． 【详解】解：过点M作轴于点A，过点N作轴于点B，如图所示： 则， ∵， ∴，， 根据旋转可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【变式6-1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，将线段AB绕点B顺时针旋转，得到线段，则点A的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、旋转的性质，根据旋转的性质作图即可． 【详解】解：将线段AB绕点B顺时针旋转得到线段如图所示， 点A的对应点的坐标是 故答案为： 【变式6-2】（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，正比例函数的图象经过，两点，其中m，n为整数，且.现将线段绕点B顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为________．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点B作轴，且，，证明，推出，，再分别求出点C的横坐标和纵坐标即可． 【详解】解：如图，过点B作轴，且，，   ，， ，； 线段绕点B顺时针旋转得到线段， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 点C的坐标为， 故答案为：． 【变式6-3】（25-26九年级上·全国·期末）如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第一象限．若再将等边三角形绕点顺时针旋转得到，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形变化—旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．过点B作轴于点G，根据点A的坐标得出，进而得出，则点B的坐标为，再根据将等边三角形绕点顺时针旋转得到，则两点关于原点对称，即可解答． 【详解】解：过点B作轴于点G， ∵为等边三角形，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵将等边三角形绕点顺时针旋转得到， ∴两点关于原点对称， ∴． 故答案为：． 坐标与旋转规律问题（共4小题） 【例7】（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动个单位长度的速度，在线段上，按照…的路线循环运动，则第秒时点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标规律探究，灵活运用周期性循环规律是解题的关键．根据线段的旋转方向和速度，以及点的运动路线，可确定点的坐标每秒为一个循环周期，进而通过计算秒在周期中的位置，求出此时点的坐标． 【详解】解：第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第秒时，，此时在x轴的正半轴上，， 第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在x轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第秒时，，此时在x轴的正半轴上，， 即点的坐标每秒一个循环，， 第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 故选：． 【变式7-1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，且坐标原点O为的中点，点A的坐标为．将正方形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、旋转的性质等知识点，第2026次旋转结束时点D的坐标与第二次旋转得到的D的坐标相同是解题的关键． 通过观察发现第2026次旋转结束时点D的坐标与第二次旋转得到的D的坐标相同，根据正方形的性质，再根据旋转2次（将正方形绕点O顺时针旋转），根据旋转的性质可得，然后根据坐标系即可解答． 【详解】解：如图：将正方形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴每8次一个循环， ∵， ∴第2026次旋转结束时点D的坐标与第二次旋转得到的D的坐标相同，即将正方形绕点O顺时针旋转的D坐标相同， ∵正方形的边在x轴上，且坐标原点O为的中点，点A的坐标为， ∴， 如图：将正方形绕点O顺时针旋转，此时，即， ∴第2026次旋转结束时，点D的坐标为． 故选B． 【变式7-2】（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第秒时叶片尖点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，探索规律，掌握相关知识是解决问题的关键．根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， 第1、2、3、秒的坐标为：，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第秒时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：D． 【变式7-3】（25-26九年级上·广西来宾·期末）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到每旋转6次是一个循环，点落在x轴负半轴，且，即可得到答案． 【详解】解：第一次旋转后，在第一象限，， 第二次旋转后，在第二象限，， 第三次旋转后，在x轴负半轴，， 第四次旋转后，在第三象限，, 第五次旋转后，在第四象限，， 第六次旋转后，在x轴正半轴，， ……， 每旋转6次，A的对应点回到x轴正半轴， 而， 在x轴负半轴上，且， ∴点的坐标为． 平面直角坐标系中平移和旋转作图（共4小题） 【例8】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，O为直角坐标系的原点，三个顶点坐标分别为． (1)以O为旋转中心，将逆时针旋转，请在网格中画出旋转后的； (2)画出与关于原点对称的； (3)直接写出点和点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）根据已作图形求解即可． 【详解】（1）解：作图如下； （2）解：作图如下： （3）解：由图可得，点和点的坐标分别为． 【变式8-1】（25-26九年级上·河南洛阳·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)请画出关于坐标原点成中心对称的； (2)若绕点顺时针旋转后得到，写出点的坐标_____； (3)若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为_____． 【答案】(1)画图见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查中心对称图形的绘制、旋转的坐标变换及旋转中心的确定，涉及的知识点有中心对称点的坐标特征、旋转的性质、垂直平分线的求法． （1）先确定各顶点坐标，再根据关于原点中心对称点的坐标规律找到对应点，最后依次连线得到对称图形； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的，从图中直接读出的坐标； （3）根据旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，依次作出两组对应点连线的垂直平分线，从而得到交点即旋转中心的坐标． 【详解】（1）解：画出关于坐标原点成中心对称的如图所示： （2）解：画出绕点顺时针旋转后得到的如图所示： 得到的坐标为； 故答案为：； （3）解：根据旋转的性质，旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，作图如图所示： 旋转中心的坐标为． 故答案为： 【变式8-2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度，的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为对称中心，画出与成中心对称的； (2)将点绕坐标原点逆时针方向旋转至点，直接写出点的坐标； (3)将向右平移个单位长度得，在坐标系中画出并求出这个变化过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)见解析，这个变化过程中扫过的面积为 【分析】本题主要考查了中心对称的性质、图形的旋转变换、图形的平移变换以及平移过程中扫过面积的计算，熟练掌握中心对称、旋转、平移的坐标变化规律和平行四边形的面积计算方法是解题的关键。 （1）根据中心对称的性质，分别找出点、、关于原点的对称点、、，再顺次连接即可得到。 （2）根据点绕原点逆时针旋转的坐标变换规律，直接求出点的坐标。 （3）根据平移的性质画出，再通过计算线段平移形成的平行四边形面积，求出扫过的面积。 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点即为所求，； （3）解：如图，，这个变化过程中扫过的面积． 【变式8-3】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，、． (1)画出将向下平移6个单位长度得到； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，旋转的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别将点A、B、C向下平移6个单位长度，得到对应点，然后顺次连接即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可确定的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）根据旋转的性质可知，连接，交点即为旋转中心点M，可知坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）如图，旋转中心为点M，可知旋转中心的坐标为， 故答案为：． 几何图形中的平移综合问题（共4小题） 【例9】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，是等边三角形，，垂足为C，E是的中点，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平移的性质及线段垂直平分线的判定与性质． （1）由等边三角形性质得出，再由E是的中点，根据等边三角形三线合一得出平分，从而求得结果； （2）由，结合得出的度数，再利用平移性质得到平行关系，紧接着证明，结合得垂直平分，从而求出的度数，最后证明的三个角均为，从而得证结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴平分， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， 由平移性质可得：， ∴，， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【变式9-1】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）图1中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （2）图2中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （3）图3中，将路线的横向部分平移后总长度等于长方形的长，纵向部分平移后总长度为2(宽)米，相加得到路线总长． 【详解】（1）解：将图1中小路往左平移，直到E、F分别与A、B重合， 则平移后可得到草地是长为米，宽为米的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （2）解：将图2中将小路往、边平移，直到小路与草地的边重合，则平移后可得到草地是长为(米)，宽为(米)的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （3）解：将路线的横向部分平移，总长度为米； 将路线的纵向部分平移，总长度为(米)； ∴所走路线的长度为(米)． 【变式9-2】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图1，在长方形中，，． (1)则的长为______； (2)如图2，，垂足是E，作点关于的对称点F，连接，． ①若连接，试求的长； ②若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段、上时，请求出相应的m的值． 【答案】(1) (2)①；②当点落在上时，；当点落在上时， 【分析】本题考查了轴对称与平移变换、勾股定理等知识点．在计算过程中，注意识别平移过程中的不变量． （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）①利用长方形的性质、勾股定理及三角形面积公式求解；②依题意画出图形，利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值即可； 【详解】（1）解：∵长方形， ∴； 在中，， 由勾股定理得：； （2）解：①∵，， ， ， 在中，， 由勾股定理得：； ∵对称， ∴垂直平分， 设与交于点，则， ∵，即：， ∴， ∴； ②设平移中的三角形为，如图： 由对称点性质可知，．， 由平移性质可知，． ①当点落在上时， ， ， ， ，即； ②当点落在上时， ， ， ， ， ∵， ∴， 为等腰三角形， ， ，即． 【变式9-3】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 在平面直角坐标系中，为坐标原点，为等腰直角三角形，，，、两点的坐标分别为、、点在轴左侧，将点沿平行于轴方向向下平移个单位长度至点，连接，． (1)_________，_________； (2)如图1，当点在轴正半轴时，连接，若，请求出的值； (3)如图2，当点在轴负半轴时，连接交轴于点，若，则点的坐标为_________； (4)若，点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)3，1 (2) (3) (4)或或 【分析】（1）根据得出，再根据非负数的性质即可求解． （2）先根据题意得出，，证明，得出，结合点在轴正半轴，即可得． （3）根据题意得，，轴，则，，过点C作轴交轴于点H，证明，则，求出，再根据待定系数法求出直线解析式，令，求出，即可解答． （4）分为：当时，当时，结合题意根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3，1． （2）解：∵，、将点沿平行于轴方向向下平移个单位长度至点， ∴，， ∵为等腰直角三角形，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在轴正半轴， ∴． （3）解：根据题意得，，轴， ∴，， 过点C作轴交轴于点H， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴直线解析式为， 令，则， 解得：， ∴． （4）解：当时， ∵点在轴上， ∴或； 当时， 根据图1和图2可得， 则， ∴， 综上，点的坐标为或或． 几何图形中的旋转综合问题（共4小题） 【例10】（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查旋转的性质、三角形的内角和等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质推出，再根据平角的性质，最后等量代换即可证明； （2）根据旋转的性质推出，再根据三角形的内角和求出，最后通过等量代换即可求解． 【详解】（1）解：证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴． （2）∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵的内角和为，， ∴， ∴． 【变式10-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知在中，，连接． (1)求的度数； (2)如图2，点E在内部，满足，求证：； (3)在（2）的条件下，连接CE，若，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)9 【分析】（1）设，则，利用等边对等角和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）证明得到，根据三角形内角和定理得到，再证明，即可证明结论； （3）将绕点C逆时针旋转90度得到，连接，证明是等腰直角三角形，推出，再证明是等腰直角三角形，得到，则，由勾股定理求出的长，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，将绕点C逆时针旋转90度得到，连接， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）， ∴． 【变式10-2】（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)110 (2)30° (3)最大值：；最小值： 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹． （1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可； （2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解； （3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角， 则， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得，，即， 解得， ∴； （3）解：连接，如图： 由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． 【变式10-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知中，，，点D为直线上一点． (1)如图1，若点D与点C重合，点E为上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，直接写出与的关系：_________； (2)如图2，点D在的延长线上，E为的角平分线上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，若，求证：； (3)如图3，点D在边上，点E在直线左侧，连接，，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接若，，则线段的长为_________（直接写出结果）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理和旋转的性质，通过旋转的性质构造全等三角形（手拉手旋转模型），从而建立线段之间的联系是解题关键． （1）利用旋转的性质，通过证明全等即可找到线段关系； （2）作垂线构造全等三角形，再利用角平分线和等腰直角三角形的性质建立线段关系即可； （3）作垂线构造全等三角形，找到线段关系，再通过角度运算，得到特殊角，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质，得，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）证明：如图，过点D作，过点E作， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由旋转的性质，得，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， 如图，延长，与交于点H，过点E作于点G， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，过点D作于点M，过点M作于点N，连接，过点A作于点G， 同（2）理可知，和是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由旋转的性质，可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的平移和旋转 思维导图 串 考点清单 理 平移的概念和性质 1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个 移动一定的 。注：平移= + 2.平移的性质：（1）图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置 （2）对应点间连线，这些线段长度 ，且对应直线 （3）对应点的连线即为平移的路径（直线），包括 和 平移作图 平移作图步骤：①找出能代表图形的 ;②将原图中某一关键点按要求 ，与原来点连接起来; ③过其他点分别作 ，使它们与确定直线段 ，即确定其他关键点平移后的位置;④ 关键点，还原图形. 点在平面直角坐标系中平移 1.左右平移（ ，纵坐标不变）：向右平移a个单位：(x,y) (x+a, y);向左平移a个单位：(x,y) (x-a, y); 2.上下平移（ ，横坐标不变）：向上平移b个单位：(x,y) (x, y+b);向下平移b个单位：(x,y) (x, y-b). 口诀：右加左减，上加下减。平移前后图形形状、大小不变。 旋转的概念和性质 （1）旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定 的变换. 点O叫作 ；转动的角度叫作 ； 图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点. （2）旋转三要素：① ；② ；③ 注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上. （3）旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离 ；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角 . 旋转作图 旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形. 作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心； （2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； （3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； （4）连接所得到的各对应点. 中心对称 （1）中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做 ． （2）中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A’B’C’关于点O对称. （3）中心对称与轴对称的区别与联系： 区别 中心对称 轴对称 有一个对称中心 有一条对称轴 图形绕对称中心 图形沿对称轴 后与另一个图形 后与另一个图形 联系 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 （4）中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形. （5）确定对称中心的方法： 1.连接任意一组对称点，连线的中点就是 ； 2.连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是 . （6）中心对称作图 1.连接原图形的关键点与对称中心； 2.延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等； 3.将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形. 中心对称图形 （1）中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． （2）中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 针对两个图形 针对一个图形 两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形 对称点在两个图形上 对称点在一个图形上 对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 题型清单 解 中心对称图形的识别（共4小题） 【例1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）自年中国第一条地铁“北京地铁号线”建成通车以来，地铁成为市民们出行的一种便利方式，下列城市的地铁标志中是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·云南迪庆·期末）“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产下面“瓦当”图案中是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·四川泸州·期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．以下剪纸中，是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 利用平移的性质求解（共4小题） 【例2】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-1】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26七年级上·山东济南·期末）如图1，将长方形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，，直线沿轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被长方形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．有下列说法：①点的坐标为；②长方形的面积为；③；④．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 点在平面直角坐标系中的平移（共4小题） 【例3】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）在平面直角坐标系内，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）将点向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知，规定“先作点关于轴对称，再将对称点向左平移个单位”为一次变换．那么连续经过次变换后，点的坐标变为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度．再竖直向下平移2个单位长度，得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点…，按此做法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 求关于原点的对称点的坐标（共4小题） 【例4】（25-26九年级上·陕西延安·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为___________． 【变式4-1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_____． 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）点与其关于原点的对称点间的距离为_____________． 【变式4-3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为______． 找旋转中心、旋转角（共4小题） 【例5】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 【变式5-1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的顶点都在方格纸的格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到，使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是______． 【变式5-2】（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，是等腰直角三角形，，经过逆时针旋转后到达的位置，且点E在边上．     (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)经过上述旋转后，点C转到了什么位置？ 【变式5-3】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图，和都是等边三角形，点在上（不与、重合），连接．    (1)由等边三角形的性质易证（不需证明），将旋转可与重合，指出旋转中心，旋转方向和旋转角： 旋转中心：________________； 旋转方向：________________；（填“顺时针”或“逆时针”） 旋转角：________________；（填角度大小） (2)在（1）的基础上，当时，求的度数． 求某点旋转后的坐标（共4小题） 【例6】（25-26九年级上·北京朝阳·期末）如图，点M的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，则点N的坐标为________． 【变式6-1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，将线段AB绕点B顺时针旋转，得到线段，则点A的对应点的坐标是______． 【变式6-2】（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，正比例函数的图象经过，两点，其中m，n为整数，且.现将线段绕点B顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为________．    【变式6-3】（25-26九年级上·全国·期末）如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第一象限．若再将等边三角形绕点顺时针旋转得到，则点的坐标为________． 坐标与旋转规律问题（共4小题） 【例7】（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动个单位长度的速度，在线段上，按照…的路线循环运动，则第秒时点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，且坐标原点O为的中点，点A的坐标为．将正方形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第秒时叶片尖点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26九年级上·广西来宾·期末）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 平面直角坐标系中平移和旋转作图（共4小题） 【例8】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，O为直角坐标系的原点，三个顶点坐标分别为． (1)以O为旋转中心，将逆时针旋转，请在网格中画出旋转后的； (2)画出与关于原点对称的； (3)直接写出点和点的坐标． 【变式8-1】（25-26九年级上·河南洛阳·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)请画出关于坐标原点成中心对称的； (2)若绕点顺时针旋转后得到，写出点的坐标_____； (3)若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为_____． 【变式8-2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度，的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为对称中心，画出与成中心对称的； (2)将点绕坐标原点逆时针方向旋转至点，直接写出点的坐标； (3)将向右平移个单位长度得，在坐标系中画出并求出这个变化过程中扫过的面积． 【变式8-3】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，、． (1)画出将向下平移6个单位长度得到； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心的坐标是 ． 几何图形中的平移综合问题（共4小题） 【例9】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，是等边三角形，，垂足为C，E是的中点，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【变式9-1】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 【变式9-2】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图1，在长方形中，，． (1)则的长为______； (2)如图2，，垂足是E，作点关于的对称点F，连接，． ①若连接，试求的长； ②若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段、上时，请求出相应的m的值． 【变式9-3】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 在平面直角坐标系中，为坐标原点，为等腰直角三角形，，，、两点的坐标分别为、、点在轴左侧，将点沿平行于轴方向向下平移个单位长度至点，连接，． (1)_________，_________； (2)如图1，当点在轴正半轴时，连接，若，请求出的值； (3)如图2，当点在轴负半轴时，连接交轴于点，若，则点的坐标为_________； (4)若，点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 几何图形中的旋转综合问题（共4小题） 【例10】（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【变式10-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知在中，，连接． (1)求的度数； (2)如图2，点E在内部，满足，求证：； (3)在（2）的条件下，连接CE，若，求的面积． 【变式10-2】（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【变式10-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知中，，，点D为直线上一点． (1)如图1，若点D与点C重合，点E为上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，直接写出与的关系：_________； (2)如图2，点D在的延长线上，E为的角平分线上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，若，求证：； (3)如图3，点D在边上，点E在直线左侧，连接，，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接若，，则线段的长为_________（直接写出结果）． 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $