专题01 三角形的证明及其应用（期中复习知识清单）八年级数学下学期新教材北师大版

专题01 三角形的证明及其应用 思维导图 串 考点清单 理 三角形内角和定理与外角和定理 1.三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于 180°. 2.证明思路（一种经典证法）：过三角形的一个顶点作对边的平行线，利用同位角、内错角相等的性质，将三个内角转化成一个平角（180°）. 3.三角形外角定义： 三角形每个顶点处，一个内角的两条边中的一条反向延长，与另一条边所夹的角称为该顶点的一个外角.每个顶点有两个外角（它们相等，因为是对顶角），通常我们讨论的是三个顶点各取一个外角（共三个）. 4.三角形外角和内定理：三角形的三个外角（每个顶点取一个）的和等于 360°. 多边形的概念及内外角 1．多边形定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 4.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 5.多边形的外角和：多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 等腰三角形 1．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 2．等腰三角形的判定 （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 等边三角形 1．等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 2．等边三角形的判定 （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 3．含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 线段的垂直平分线 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 角平分线 1．作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 2．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 3．角的平分线的判定 （1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 最短路径问题 （1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置． （2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置． 题型清单 解 利用三角形的内角和求角度（共4小题） 【例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在中，，，则的度数是___________． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形三个内角的和恒为． 根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 故答案为：． 【变式1-1】（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，中，分别为角平分线和高，，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的角平分线与高三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． 先求出，，得到，则，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵分别为的角平分线和高， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】（25-26七年级上·河南焦作·期末）如图所示，在中，，是的平分线，则________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的有关计算． 根据求出，进而求出，根据角平分线的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，将的两个角向内翻折，使得点和点都与点重合，折痕分别为和，若，则___________°． 【答案】105 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，掌握轴对称的性质和三角形的内角和定理是解题的关键． 设，根据三角形的内角和定理得到，再由折叠可得，根据即可列出方程，求解即可． 【详解】解：设， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 故答案为：105． 三角形的外角的性质求角（共4小题） 【例2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，点在的延长线上，，，则________． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，．若为延长线上一点，则的度数为_______． 【答案】/140度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 利用三角形外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，直接计算的度数． 【详解】解：∵是的外角， ∴ ∵，， ∴ 故答案为： 【变式2-2】（25-26八年级上·重庆巴南·期末）如图，在中，，是的一个外角，平分，若，则的度数为_______． 【答案】/60度 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．因为平分，，则，又因为，利用三角形外角性质即可求的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2-3】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 【答案】 【分析】延长交于点，如图所示，先由平行线性质得到，在中，由三角形内角和定理及外角性质列等式求解即可得到答案． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ， ， 在中，，，， ． 多边形内角和与外角和问题（共4小题） 【例3】（25-26八年级上·山东泰安·期末）若一个多边形的内角和是外角和的四倍，则这个多边形是_____边形． 【答案】十 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式和外角和．设多边形的边数为n，利用多边形内角和公式和外角和定理列方程求解． 【详解】解：设多边形的边数为n，则内角和为， ∵一个多边形的内角和是外角和的四倍， ∴， 解得：， 即这个多边形是十边形． 故答案为：十 【变式3-1】（24-25八年级下·重庆·期末）某正多边形的一个内角比每个外角的两倍少，则该正多边形的边数为_____ 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，设正多边形的边数为，根据“某正多边形的一个内角比每个外角的两倍少”计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设正对边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， ∴该正多边形的边数为， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·全国·期末）如果一个多边形的外角和是内角和的，那么这个多边形的边数是 ___． 【答案】11 【分析】本题考查了多边形内角和与外角的关系，掌握多边形的内角和与外角和是解题的关键；设这个多边形的边数为n，则其内角和为，而外角和为，由题中等量关系列出方程即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，则其内角和为，而外角和为， 由题意得：， 解得：； 故答案为：11． 【变式3-3】（25-26八年级上·山东泰安·期末）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查多边形内角和公式，多边形外角和定理，正多边形的性质，掌握多边形内角和公式是解题关键． 根据多边形内角和公式求出边数，再利用外角和定理求每个外角度数． 【详解】解：设正多边形的边数为，已知该多边形内角和为， 可得，解得，即该多边形为正边形， 由正多边形的外角和为， 可得每个外角的度数为． 故答案为：． 利用等腰（等边）三角形的性质求解（共4小题） 【例4】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明为等边三角形，可得，可得的度数，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵等腰，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式4-1】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 设，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，依次表示出、、，由计算出，进而计算出． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到对应线段．点恰好落在上，则的长是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的补角相等，三角形内角和定理等知识，由题意得，，从而可得，又是等边三角形，所以，，则有，然后证明，所以，最后由线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知是等边三角形，点在上，点在的延长线上，，交于点，，若，且，则的长为_____． 【答案】8 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角直角三角形的性质，过点D作交于点H．先证明，可得，求出，设，则，，然后利用含角直角三角形的性质得到，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交于点H． ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 含30°的直角三角形性质的应用（共4小题） 【例5】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，交延长线于点，则的长为___________． 【答案】 【分析】根据，得到，从而得到，结合，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式5-1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M和点N，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点D．若，则长为________． 【答案】6 【分析】本题考查基本作图—作角平分线，含30度角的直角三角形，等角对等边． 根据题意，得到平分，进而得到，利用含30度角的直角三角形的性质以及等角对等边得到，即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意得：平分， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：6． 【变式5-2】（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，上午8时，一条船从海岛出发，以30海里时的速度向正北航行，上午10时到达海岛处．分别从，望灯塔，测得，．若该船继续向正北航行，当该船与灯塔的距离最短时，则该船行驶了 ____小时． 【答案】 【分析】本题主要考查了方向角问题，等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短是解决本题的关键． 根据三角形的外角的性质，得，那么，得到，过点作于点，根据垂线段最短求得，根据三角形内角和定理，得，根据含角的直角三角形的性质，在中，，得海里，那么海里，即可求解时间． 【详解】由题意得∶(海里)， (海里)． 从海岛B到灯塔C的距离为海里． 如图，过点作于点． 根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，． 又 在中，， ， ， 航行的时间为(时)． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在中，，，，P是边上一动点（不与点A、B重合），将沿翻折，点B的对应点为点D，若与直线所夹的锐角为，则的长为________． 【答案】3或 【分析】本题考查了直角三角形的性质、翻折的性质、等边三角形的判定，根据题意准确画出示意图是解题的关键． 根据含30度角的直角三角形的性质可得，再分两种情况讨论：当或时，利用直角三角形和等边三角形的性质求出的长，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与直线所夹的锐角为， ∴或； 当时，如图， 由翻折的性质得，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 由翻折的性质得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 综上，的长为3或． 故答案为：3或． 利用垂直平分线与角平分线的性质求解（共4小题） 【例6】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长是___________． 【答案】 【分析】根据直角三角形两锐角互余得，根据垂直平分线的性质得，继而得到，，再根据含角的直角三角形的性质得，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵边的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即的长是． 故答案为：． 【变式6-1】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式，作角平分线（尺规作图），角平分线的性质定理等知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图法及角平分线的性质定理是解题的关键． 过点作于点，由三角形的面积公式可得，，于是可得，由作图步骤可知是的平分线，由可得，再结合，由角平分线的性质定理可得，由此即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 由作图步骤可知，是的平分线， ， ， 又， ， 的长为， 故答案为：． 【变式6-2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，，平分，交于点D，，垂足为C．若，则的长为______． 【答案】 【分析】过点E作于点F，根据角平分线的性质得出，根据平行线的性质和角平分线的定义推出，则，，最后根据含角的直角三角形的特征，即可求解． 【详解】解：过点E作于点F， ∵平分，，，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（25-26八年级上·广西钦州·期末）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则长为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系． 首先根据，，可证是等边三角形，连接交于点G，可证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，从而可得的长． 【详解】解：如图，连接交于点G， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：6． 三角形内角和与外角和综合问题（共4小题） 【例7】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点在边上，延长至点，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形外角的性质以及三角形内角和定理的应用，熟练掌握 “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和” 是解答本题的关键． （1）利用三角形外角的性质求出的度数，再结合三角形内角和定理计算的度数； （2）连续两次运用三角形外角的性质，进行等量代换，即可完成证明． 【详解】（1）解：，， ， ，且， ． （2）证明：，且， ． 【变式7-1】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，平分，． (1)若，求的度数； (2)点F在上，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）利用角平分线的定义和平行线的性质求得，进而利用三角形的外角性质求解即可； （2）先利用同角的补角相等得到，则，然后利用平行线的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式7-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，点是边上的一点，，沿折叠得到，延长交于点． (1)求的度数； (2)连接，若，，请说明平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查折叠的性质，三角形的外角与三角形的内角和定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据折叠的性质得出，然后根据三角形的外角即可得出答案； （2）根据三角形的内角和，可知，进而得到，证明平分． 【详解】（1）解：∵沿折叠得到，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． （2）证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【变式7-3】（24-25七年级下·山西长治·期末）综合与探究． 问题背景：已知如图1，凹四边形． 初探： (1)试探究与，，之间的数量关系，并说明理由； 应用 (2)请你直接利用以上结论，解决下面问题． 如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 拓展 (3)如图，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)． 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线，掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线的定义是正确解答的关键． （1）连接并延长至点，由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果； （2）由（1）得，结合，，计算即可得出结果； （3）根据角平分线的定义以及（1）、（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：连接并延长至点， 则，， ∵，， ∴ （2）解：由（1）得：， ∵，， ∴； （3）解：由（1）可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 全等的性质和HL综合问题（共4小题） 【例8】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在，．分别过，作过的直线l的垂线，垂足分别为、，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质． (1)利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形的两个锐角互余可证，从而可证结论成立； (2)根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，再次利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， 在中，， ， ， 为直角三角形； （2）解：， ， ， ， ， . 【变式8-1】（25-26八年级上·上海·期末）如图，已知，，垂足为，点在线段上，，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合，，，，运用证明，得，同理得，即可作答． （2）设，由（1）得，则，，结合，，得，解得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：设， 由（1）得， ∴ 则， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， ∵ ∴在中， ∴ 解得（负值已舍去）． 【变式8-2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）将与按如图所示的方式摆放，延长交于点F，连接，其中，，． (1)证明：； (2)若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）利用证明，然后利用全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）先利用勾股定理求得，证明得到 设， 在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，又，， ∴， ∴； （2）解：在中， ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 设，则， 在中， 则 解得 ∴的长为． 【变式8-3】（25-26八年级上·浙江舟山·期末）已知：如图，在中，于点为上一点，连接交于点，满足． (1)求证：． (2)若，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证． （2）由（1）可得，则有，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：因为， 所以． 在和中， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，即． （2）解：因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 所以． 垂直平分线与角平分线的综合问题（共4小题） 【例9】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查垂直平分线判定及性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握好相关知识是关键． （1）由垂直平分线的性质可得，则，结合三角形内角和定理求出的度数； （2）通过证明可得，利用垂直平分线的判定定理可证明． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵垂直平分， ∴， 由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 【变式9-1】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于点，于点根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，于点． 平分， ． ，， ， 平分， ， ， 平分． （2）解：，，，且， ， ， ， ， 故的面积为32． 【变式9-2】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，，为上一点，， (1)求证：； (2)延长交于，连接，且． ①求证：为边的垂直平分线； ②直接写出线段与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；② 【分析】（1）先证明是等边三角形，利用即可证明； （2）①利用线段垂直平分线的判定定理即可证明； ②利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，． 在和中， ， ∴； （2）①证明：∵，， ∴点B，F均在边的垂直平分线上， ∴为边的垂直平分线； ②解：． 由（2）①可知且平分， ∴为等边三角形中边上的高， ∴平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴． 【变式9-3】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图1，是的角平分线，，，垂足分别为，，连接，与相交于点． (1)与垂直吗？证明你的结论． (2)若的面积为21，，，求的长． (3)如图2，若的两边分别与、相交于、两点，且，请写出、、三条线段的数量关系并简要说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【分析】（1）由角平分线的性质得，由判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的性质，即可求证； （2）由三角形面积得，即可求解； （3）由可判定，进而能得出，由即可求解． 【详解】（1）解：； 证明如下： 是的角平分线，，， ，． 在和中 ， ， ， 又是的角平分线， ． （2）解：， ， ，， ， ． （3）解：， 理由：由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ． 等腰（等边）三角形性质和判定的综合问题（共4小题） 【例10】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与重合）．连接，以点为直角顶点，以为一边作，使，边交于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若点是的中点，试判断与是否垂直？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先证明，然后通过“”证明即可； （）通过全等三角形的性质即可求解； （）由点是的中点，，，则有，，再求出，则有，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（）得：， ∴； （3）解：，理由： 如图， ∵点是的中点，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式10-1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）已知是等边三角形，点D是的中点，点E在射线上，点F在线段上，． (1)如图1，若点F与点B重合， ①求证：； ②当的面积为S时，用含S的代数式表示的面积． (2)如图2，若点E在线段上，当时，求的值． 【答案】(1)①见解析；②的面积为 (2)4 【分析】（1）①利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出相关角的度数，即可得证； ②根据等边三角形的性质得出，，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，从而得出，即可得出答案； （2）过点D作，构造全等三角形，将和转化到同一直线上即可解答． 【详解】（1）①证明：是等边三角形，点D是的中点， ∴，， ∴， ，点F与点B重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：是等边三角形，点D是的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：过点D作交于点G， 是等边三角形， ， ， ，， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【变式10-2】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知是等边三角形，是边上一点(不与点重合)，是射线上一点(不与点重合)． (1)如图，若点在上，且，则的度数是________； (2)如图，若点在上，且，，相交于点，求的度数； (3)如图，若点在的延长线上，连接，，且满足．若，，求的面积． 【答案】(1) (2)的度数为 (3)的面积是 【分析】（1）利用等边三角形的内角为，结合等腰三角形“等边对等角”三角形内角和定理，直接求出的度数； （2）根据等边三角形的边相等、角相等的性质，结合已知条件，通过证明，再利用三角形外角的性质，将转化为等边三角形的内角，从而求出其度数； （3）通过构造辅助线，结合已知条件证明角相等，再通过证明得到线段相等关系；设未知数后利用勾股定理列方程求解边长，最后根据三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）解：， ， ∵在等边中，， ； （2）解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ． （3）解：延长到点，使得，连接，过点作于点． ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ∴， ， 令，则， ，，， ， 在中， ，， ，则， 由得，，则， 在中，， 由勾股定理得， 则，解得， ， ， ， 的面积是． 【变式10-3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，和都是等腰三角形，，且，连接、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，已知点在边上，，．若为上的一点，且，求的周长； (3)如图3，已知，点为的中点，过点作的垂线（点在上方），连接．当时，试求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)12 (3) 【分析】（1）先证明，证明即可得到结论； （2）由（1）可知，，得到，证明，得到垂直平分，证明，即可得到答案； （3）延长至点，使得，连接，，，，证明，求出，证明，证明垂直平分，即可求出的度数为． 【详解】（1）解：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：同（1）可得，， ． ， ， ， 即． 又是等腰三角形 垂直平分， ， 即的周长是12； （3）解：如图，延长至点，使得，连接，，，， 为中点， ． 在和中， ， ， ． ， ， ， ， ， 同（1）可得，， ， 又， ， ， ，即， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又， 垂直平分， ． 即的度数为． 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的证明及其应用 思维导图 串 考点清单 理 三角形内角和定理与外角和定理 1.三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于 . 2.证明思路（一种经典证法）：过三角形的一个顶点作对边的平行线，利用同位角、内错角相等的性质，将三个内角转化成一个平角（180°）. 3.三角形外角定义： 三角形每个顶点处，一个内角的两条边中的一条 ，与另一条边所夹的角称为该顶点的一个外角.每个顶点有两个外角（它们相等，因为是对顶角），通常我们讨论的是三个顶点各取一个外角（共三个）. 4.三角形外角和内定理：三角形的三个外角（每个顶点取一个）的和等于 . 多边形的概念及内外角 1．多边形定义：在平面内不在同一直线上的一些线段 所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 4.多边形内角和：n边形的内角和为 ． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 5.多边形的外角和：多边形的外角和为 ． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 等腰三角形 1．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角 （简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的 、 、 （简写成“ ”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别 ． （2）等腰三角形两底角的平分线 ． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的 之和等于一腰上的 ． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是 ． 2．等腰三角形的判定 （1）定义法：有两边 的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角 ，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 等边三角形 1．等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都 的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 . 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条 ； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 2．等边三角形的判定 （1）定义法：三边都 的三角形是等边三角形． （2）三个角都 的三角形是等边三角形． （3）有一个角是 的 是等边三角形． 3．含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 ． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 线段的垂直平分线 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 ．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3）判定：与线段两个端点距离 在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 角平分线 1．作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 2．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离 ． 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 3．角的平分线的判定 （1）内容：角的内部到角的两边的 在角的平分线上． （2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 最短路径问题 （1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置． （2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置． 题型清单 解 利用三角形的内角和求角度（共4小题） 【例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在中，，，则的度数是___________． 【变式1-1】（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，中，分别为角平分线和高，，，则___________． 【变式1-2】（25-26七年级上·河南焦作·期末）如图所示，在中，，是的平分线，则________． 【变式1-3】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，将的两个角向内翻折，使得点和点都与点重合，折痕分别为和，若，则___________°． 三角形的外角的性质求角（共4小题） 【例2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，点在的延长线上，，，则________． 【变式2-1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，．若为延长线上一点，则的度数为_______． 【变式2-2】（25-26八年级上·重庆巴南·期末）如图，在中，，是的一个外角，平分，若，则的度数为_______． 【变式2-3】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 多边形内角和与外角和问题（共4小题） 【例3】（25-26八年级上·山东泰安·期末）若一个多边形的内角和是外角和的四倍，则这个多边形是_____边形． 【变式3-1】（24-25八年级下·重庆·期末）某正多边形的一个内角比每个外角的两倍少，则该正多边形的边数为_____ 【变式3-2】（24-25七年级下·全国·期末）如果一个多边形的外角和是内角和的，那么这个多边形的边数是 ___． 【变式3-3】（25-26八年级上·山东泰安·期末）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为______． 利用等腰（等边）三角形的性质求解（共4小题） 【例4】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． 【变式4-1】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数是_____． 【变式4-2】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到对应线段．点恰好落在上，则的长是______． 【变式4-3】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知是等边三角形，点在上，点在的延长线上，，交于点，，若，且，则的长为_____． 含30°的直角三角形性质的应用（共4小题） 【例5】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，交延长线于点，则的长为___________． 【变式5-1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M和点N，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点D．若，则长为________． 【变式5-2】（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，上午8时，一条船从海岛出发，以30海里时的速度向正北航行，上午10时到达海岛处．分别从，望灯塔，测得，．若该船继续向正北航行，当该船与灯塔的距离最短时，则该船行驶了 ____小时． 【变式5-3】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在中，，，，P是边上一动点（不与点A、B重合），将沿翻折，点B的对应点为点D，若与直线所夹的锐角为，则的长为________． 利用垂直平分线与角平分线的性质求解（共4小题） 【例6】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长是___________． 【变式6-1】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的长为________． 【变式6-2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，，平分，交于点D，，垂足为C．若，则的长为______． 【变式6-3】（25-26八年级上·广西钦州·期末）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则长为______． 三角形内角和与外角和综合问题（共4小题） 【例7】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点在边上，延长至点，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【变式7-1】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，平分，． (1)若，求的度数； (2)点F在上，，求证：． 【变式7-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，点是边上的一点，，沿折叠得到，延长交于点． (1)求的度数； (2)连接，若，，请说明平分． 【变式7-3】（24-25七年级下·山西长治·期末）综合与探究． 问题背景：已知如图1，凹四边形． 初探： (1)试探究与，，之间的数量关系，并说明理由； 应用 (2)请你直接利用以上结论，解决下面问题． 如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 拓展 (3)如图，平分，平分，若，，求的度数． 全等的性质和HL综合问题（共4小题） 【例8】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在，．分别过，作过的直线l的垂线，垂足分别为、，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若，，求的长． 【变式8-1】（25-26八年级上·上海·期末）如图，已知，，垂足为，点在线段上，，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【变式8-2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）将与按如图所示的方式摆放，延长交于点F，连接，其中，，． (1)证明：； (2)若，，求长． 【变式8-3】（25-26八年级上·浙江舟山·期末）已知：如图，在中，于点为上一点，连接交于点，满足． (1)求证：． (2)若，且，求的值． 垂直平分线与角平分线的综合问题（共4小题） 【例9】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，求证：点在线段的垂直平分线上． 【变式9-1】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【变式9-2】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，，为上一点，， (1)求证：； (2)延长交于，连接，且． ①求证：为边的垂直平分线； ②直接写出线段与之间的数量关系． 【变式9-3】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图1，是的角平分线，，，垂足分别为，，连接，与相交于点． (1)与垂直吗？证明你的结论． (2)若的面积为21，，，求的长． (3)如图2，若的两边分别与、相交于、两点，且，请写出、、三条线段的数量关系并简要说明理由． 等腰（等边）三角形性质和判定的综合问题（共4小题） 【例10】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与重合）．连接，以点为直角顶点，以为一边作，使，边交于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若点是的中点，试判断与是否垂直？请说明理由． 【变式10-1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）已知是等边三角形，点D是的中点，点E在射线上，点F在线段上，． (1)如图1，若点F与点B重合， ①求证：； ②当的面积为S时，用含S的代数式表示的面积． (2)如图2，若点E在线段上，当时，求的值． 【变式10-2】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知是等边三角形，是边上一点(不与点重合)，是射线上一点(不与点重合)． (1)如图，若点在上，且，则的度数是________； (2)如图，若点在上，且，，相交于点，求的度数； (3)如图，若点在的延长线上，连接，，且满足．若，，求的面积． 【变式10-3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，和都是等腰三角形，，且，连接、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，已知点在边上，，．若为上的一点，且，求的周长； (3)如图3，已知，点为的中点，过点作的垂线（点在上方），连接．当时，试求的度数． 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $