第3章 数据分析初步（知识清单）数学新教材浙教版八年级下册

第3章 数据分析初步 1.平均数的定义(公式)：一般地，有n个数据x1，x2，x3，⋯，xn，我们把 叫作这n个数的算术平均数，简称平均数，记作。 2.加权平均数的定义(公式)：一组数据中，一个数的频数可以看作这个数的权重，简称“权”，一般地，对于一组数据x1，x2，x3，⋯，xn，其权重分别为w1，w2，w3，⋯，wn， 则称 为这组数据的加权平均数。 3.分布式计算：当样本量较大时，我们可以把样本分成若干个子样本，分别计算出平均数，然后运用计算加权平均数的方法，求出整个样本组的平均数，将一个大的计算任务分解成若干个小的计算任务分别计算，再将结果汇总处理得到最终结果。这样的计算方式称为分布式计算。 4.将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于 的数值是中位数。计算方法：当数据个数为奇数时，中位数是位于 的一个数据；当数据个数是偶数时，中位数是位于最中间两个数据的 。 5.一组数据中出现次数最多的数值叫作众数，众数可能不止 。 6.样本中，各数据与平均数的差(又称离差)的平方和称为离差平方和，记作D²。公式： 。离差平方和可以衡量数据的 。 7.离差平方和= +组间离差平方和，即： 8.组内离差平方和即 。组内离差平方和 ，分组后每组组内数据越相近。组间离差平方和即。 9.一般地，一组数据各个离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作S²。公式： 。方差越大，说明数据波动 ，数据越 。 10.标准差：标准差是方差的 ，也能反映数据的稳定性，其单位与数据相同。 11.下四分位数：记作m25，表示数据中至少有 这个数；中位数：记作m50，表示数据中至少有50%小于或等于这个数；上四分位数：记作m75，表示数据中至少有 这个数。这三个数叫做四分位数。 12.箱线图结构：上边缘、须、 、下边缘、异常值。 13.箱线图反映数据的要素： 、上四分位数、中位数、下四分位数、 。 14.箱线图常用于多组数据的比较，箱体越扁，中间的须 ，数据越 。在分析比较时，必要时可以将箱线图结构解读为四分位数和最值，再进行比较。 1.根据图表信息求平均数 易错点：在解读统计表或者统计图时，注意：①各项及频数要一一对应；②注意项的名称和频数不要搞反，比如每天阅读2小时的人有7人，阅读3小时的人有4人，在计算总频数时为7+4而不是2+3. 例1 为了响应社区“节约用水”的号召，小明统计了去年的家庭用水情况，并绘成统计图，则小明家去年月平均用水量为___________吨． 2.求数据变化后的平均数 易错点：在已知一组数的平均数时，可以求出这组数的总和，然后再根据数据产生的变化求出新的总和，结果用新的平均数=新的总和÷新的数量计算出来即可。 例2 （24-25七年级下·重庆·自主招生）五个数的平均数是，如果把其中一个数改为，则这五个数的平均数变为，改动前这个数是___________． 3.求加权平均数 易错点：（1）两个注意，一是注意利用公式求解，二是注意每组数的权重不要对应错。 （2）若已知每一项数据在所有权重中的百分比，也可以用公式求解。 例3 （2025·山西·模拟预测）截至2025年底，国内某外卖平台已开通53条无人机航线，累计配送订单超45万单，为优化无人机配送系统，工作人员对A，B两种型号的无人机受不同因素影响的程度进行评分，数据如下（评分越高，影响程度越小，满分10分）： 型号 影响因素 城市环境 山地地形 天气 障碍物识别 A型 8 B型 9 9 平台计划再购进一批无人机，将城市环境、山地地形、天气、障碍物识别四项得分按的比例确定无人机的综合得分，则平台应选择的无人机型号是______型（填“A”或“B”）． 4.根据分组的平均数求所有数据的平均数 易错点：分布式计算是一个计算量比较大，数字比较复杂的计算，要仔细，要按部就班得计算。 例4 下表所示是八年级4个班上交的“科技百问”小测的最终成绩统计表。 班级 一班 二班 三班 四班 人数 48 50 45 57 平均分 86 83.5 85 84 优秀率（不低于85分） 60.42% 54% 57.78% 47.37% （1）求出四个班成绩的平均分。 （2）求出四个班成绩的优秀率。 5.根据图表信息求中位数 易错点：与计算平均数类似，具体易错案例如下： 下表统计了某种植物平均每株开花数 开花数 3 4 5 6 7 数量 6 4 8 12 6 这组数的中位数不是5，也不是6，而是5.5，因为中位数为开花数从小到大排列后的第18和第19个数的平均数。而不是只看表中的数字就行。 例5 为了了解我校2020年初三学生体育测试成绩，从中随机抽取了50名学生的体育测试成绩如下表： 成绩（分） 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 人数 1 1 2 4 5 6 4 2 3 8 5 5 4 则这50名学生的体育测试成绩的中位数为_________． 6.已知中位数、众数或平均数的信息求数据中的字母参数 易错点：若已知平均数，可以列方程求字母参数；已知众数，可以通过频数最多推测出字母参数的值；但如果是已知中位数，需要注意可能要分类讨论，中位数还需注意并不一定出现在数据组中。 例6 （2024·湖北·一模）下列数据5，8，15，m，10，7，的中位数和平均数都相同，则m的值为________． 7.选择正确的数据分析一组数 易错点：在实际问题中，需要用平均数，中位数或众数来描述一组数据，这三个数据的作用都不相同。具体区别为： （1）平均数表示数据的平均水平，对数据非常有代表性，在比较数据平均水平时，平均数是最直观的数，但如果一组数据中出现明显很大或者很小的数时，平均数将出现严重偏差，比如打分时出现9.5、7、6.5、6、7这样的成绩时，9.5分严重影响了实际水平，我们在生活中一般看到将其去掉； （2）中位数表示数据的中间水平，但没办法反映一组数据头尾数据的情况。 （3）众数表示一组数据中出现频数最高的一个数，一定程度上代表大部分数据，但偏差很大，而且其他数据会变得没有意义，只有在作为众数的数的频率非常高时，具有很重要的意义，比如工厂员工的工资水平。 例7 （24-25九年级上·河北沧州·期中）某公司全体职工的月工资统计如下表： 月工资（元） 人数（人） 对于表格数据，公司的普通职工最关注的统计量是（   ） A．中位数和众数 B．平均数和众数 C．平均数和中位数 D．平均数和方差 例8 （山西省2026学年中考数学一模试卷（2））某市为推动赋能教育，在全市范围内从八、九年级各随机抽取了名教师，对其使用教学水平进行打分．组织人员将八、九年级各名教师使用教学的成绩（成绩用表示，满分为分，所有成绩均不低于分且均为整数，单位：分）进行整理、描述和分析，过程如下： 数据收集与整理：八年级名教师使用教学的成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名教师使用教学的成绩在这一组的数据为，，，，，，． 九年级名教师使用教学的成绩，扇形统计图如下： 分组 成绩/分 A B C D 数据分析：八、九年级各20名教师使用AI教学的成绩数据分析如下表： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 八年级 九年级 请认真阅读以上信息，回答下列问题： (1)在这次调查活动中，采取的调查方式是_________（填“全面调查”和“抽样调查”） (2)填空：_______，_______，________，________． (3)根据上述信息，请你对两个年级的教师使用AI教学的成绩进行评价（任选两个统计量进行说明）． 8.根据公式求离差平方和、方差和标准差 易错点：离差平方和、方差和标准差这些数据的公式比较复杂，在计算时不能出错。一般是先求平均数，然后根据公式求出离差平方和，再求方差和标准差。同样的，在熟悉了公式以后，我们还能从公式中读出一组数据的数量、平均数等。比如方差计算过程中可以知道，这组数有10个数，其平均数为6，第10个数（其中一个数）是2...... 例9 某女子合唱组合的身高分别是164cm、166cm、159cm、160cm和166cm，那么这个合唱组合身高的离差平方和是 ；如果新加入一名成员的身高为163cm，新的组合身高的方差为 。 9.用方差分析数据 易错点：“方差越大，说明数据波动越大，数据越不稳定”，在一般情况下，只要求出方差，并进行比较，就能确定哪组数据更加稳定。在实际问题中，要先确定是否数量一致，是否平均数相等，以此为前提的方差的比较更有实际意义。 例10 （2026·湖南长沙·一模）甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人射击次，成绩的平均数（单位：环）和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 /环 根据表中数据，你认为应该推荐运动员________去参赛，更有把握赢得比赛． 例11 周末小明一家游览黔灵山公园，在通往弘福寺的石阶小路上，小明关注到甲、乙两段台阶的高度如图所示，（图中的数字表示每一级台阶的高度，单位：cm）． 请根据上述信息填写下表： 平均数（cm） 方差（cm²） 中位数（cm） 众数（cm） 极差（cm） 甲 15 8 乙 15 2 在哪段台阶上行走会比较舒服?为什么？ 10.计算组内离差平方和 易错点：组内离差平方和即求分组中每组离差平方和的总和，计算量比较大，在求平均数时，运用公式时都要谨慎计算，避免出错。 例12 （25-26八年级上·山西运城·期末）把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为__________． 11.比较组内离差平方和确定如何分组 易错点：如果题设已经将数据分组分好，只要将每种分组方案中的组内离差平方和计算后，比较大小，最小的即为分组最合理的情况；如果题设没有将数据进行分组，就要先从小到大排列，然后考虑所有可能的分组情况，再计算组内离差平方和，比较大小并得出最优解的结论。 例13 （25-26八年级上·江苏南通·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 例14 在一分钟跳绳测试中，6名同学完成的次数分别为120，135，110，105，140，125．根据组内离差平方和最小的原则，把这6名同学跳绳次数分为两组． 12.求数据的四分位数 易错点：不要搞混上四分位数和下四分位数。在计算时，要从小到大排列。 例15 求下列各组数据的四分位数： (1)6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36； (2)25，12，18，20，15，8，31，28，22，35； (3)36，28，15，11，3，20，26，23，32，18，7，9． 13.用四分位数分析数据 易错点：我们一般用小于或等于来描述结果，比如上四分位数m75，表示有75%的数小于或等于m75。我们主要通过四分位数来描述一组数据的四个平均分段的区间。 例16 （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）为调查八年级某班学生每天完成家庭作业所需的时间，在该班随机抽查了8名学生，他们每天完成作业所需时间（单位：）分别为：60，55，75，55，55，43，65，． (1)这组数据的众数为______（直接填空）； (2)求这组数据的中位数和下四分位数； (3)如果要求学生平均每天完成家庭作业时间不能超过，请估计该班学生是否符合这一要求？ 14.学会画箱线图 易错点：先计算四分位数，然后按比例画好纵轴，按照画最值、四分位数表示的横线，再补充 成箱体，最后画须的顺序作图。在作画过程中，纵轴单位长度、四分位数表示的线是最重要的两个要素。 例17 （25-26八年级上·安徽宿州·期末）某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动，在最近的10次选拔赛中，他们的测试成绩（单位：分）如下： 甲：89，70，96，100，68，78，96，60，91，92； 乙：88，65，90，80，93，65，93，90，96，80． (1)小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：（分）， ；方差：，，可以看出， （填甲或乙）的测试更稳定； (2)写出甲数据的四分位数： ； ； ； (3)观察图中乙的箱线图，绘制甲的箱线图． 15.能根据箱线图比较多组数据并进行分析 易错点：会看箱线图，会比较箱线图中不同数据组的图象和表示的意义，能比较不同要素，比如四分位数、最值，数据的集中程度等等。 需要额外注意的是，只是箱体较扁无法完全体现数据更集中，而数据更集中也并不表示数据越大越优。 例18 （25-26八年级下·全国·课后作业）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断，下列说法错误的是（    ） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化严重 C．丙班得分低于80分的学生人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42个学生，则三个班级的成绩按从高到低排列的第11名中，丙班的分数最高 例19 （2026·广西南宁·二模）某校为了评估八年级和九年级学生对人工智能（AI）基础知识的了解程度，进行了问卷调查，并将结果转化为0到100之间的分数．以下是随机抽取的八年级和九年级各10名学生的得分． 【收集数据】 八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100. 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100. 【整理数据】 平均数 中位数 众数 八年级 a 87.5 c 九年级 85 b 80 (1)直接写出_____；_____；_____． (2)该校八年级和九年级分别有400名和300名学生参加了此次问卷调查．根据样本数据，估算两个年级学生的平均得分．（结果保留一位小数） (3)【描述数据】定义：把一组数据从小到大排序，用表示中位数，则把这组数据分为两部分，依次记为和．用和分别表示和的中位数，则所有数据中小于或等于的占，小于或等于的占．这样m，k，n把所有数据分成四部分，称为四分位数．箱线图是使用数据的五个统计量——最大值，最小值，m，k，n来描述比较数据的方法．表示方法如图1所示． 根据以上材料，可绘制八年级抽查数据的箱线图（如图2），请你绘制九年级数据的箱线图． (4)【分析数据】根据箱线图，请你比较两组数据．（写出一条即可） 16.根据求得的数据来比较、分析多组数，进行开放式的问答 易错点：注意尽可能多的用平均数、中位数、众数、四分位数等来描述数据特征和表现出来的实际问题。用方差标准差来比较数据的稳定性，用组内离差平方和来合理分组...而箱线图作为同时体现稳定性、四分位数、最值和集中程度的综合图，要全面得分析出所有比较出来的结论。 例20 八年级（1）班共50人平均分为两组进行比拼，解一道满分为5分的数学题。得分结果绘制成两张统计图如图①。 姜老师要对两组比拼的得分结果进行点评，因此需要计算两组得分相关的统计数据，请你帮他完成： （1）分别求出A组和B组得分的平均数，指出两组的众数和中位数。 （2）求出这两组数据的方差，并指出哪一组的数据更加稳定。 （3）绘制两组数据的四分位数表，并制作箱线图。通过箱线图总结本次比拼两组的得分情况。 ①四分位数表（单位：分）和箱线图 ②总结： 。 1．（25-26九年级下·四川成都·期中）在进行了一段时间的身体素质训练后，体育老师随机抽取班上10名男生进行立定跳远测试，其成绩（单位：cm）如下：235，205，237，235，240，239，216，245，235，257．这组数据的中位数和众数分别是（   ） A．236，235 B．236，239 C．235，236 D．235，235 2．（河北省石家庄市2026年初中学业水平摸底练习（九年级）数学）“这么近，那么美，周末到河北”．某校组织了“古韵今传·最美河北”演讲比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分分．已知嘉嘉的“演讲内容”、“语言表达”、“演讲技巧”三项得分分别是分，分，分，则嘉嘉的最终得分为（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（    ） A．29是这20人年龄的第一四分位数 B．29是这20人年龄的第三四分位数 C．31是这20人年龄的中位数 D．这20人年龄的众数是5 4．（23-24九年级下·湖北十堰·自主招生）高一某班有53人，老师对一次数学测试进行了统计分析．由于小王没有参加本次集体测试，因此计算其他52人的平均分为121分，方差．后来小王进行了补考，成绩为121分，关于该班成绩分析，下列说法正确的是（   ） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 5．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（   ） A．102 B．98 C．114 D．106 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 7．（2022·浙江温州·模拟预测）某班10名男生在一次引体向上测试中，成绩如下（单位：个）：9，5，7，10，13，12，9，10，8，15，这组数据的中位数是________个． 8．（2026·山西·一模）年中央一号文件发布后，某直播间借此机会开展了三场公益助农直播，各场农产品销售额及直播时长如表所示，这三场直播总的平均每小时销售额为________万元． 直播场次 销售额/万元 直播时长/h 第一场 第二场 第三场 9．（2026·湖南邵阳·一模）某团队对A，B，C，D四类新型气象卫星的信号回传速率（单位：）进行了5次测试，测试数据的统计结果如下表： 卫星型号 A B C D 平均回传速率 60 63 58 63 回传速率方差 9.5 17.2 8.1 4.2 已知气象卫星对信号回传速率要求快且稳定，则性能最优的卫星是_________．（填“A”，“B”，“C”或“D”） 10．（25-26八年级下·全国·周测）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式为，则该样本的离差平方和是____________． 11．（25-26九年级下·辽宁鞍山·月考）一组数据1，2，的平均数为3，另一组数据，，1，2，的唯一众数为，则数据，，，1，2，4的中位数为________． 12．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图是根据甲、乙组跳绳成绩（单位：次／分）在同一幅图中画出两组数据的箱线图．下面有四个结论：①甲组的中位数比乙组的大；②甲组最小数据和乙组相差不多；③乙组最大数据比甲组的明显大；④乙组数据的波动明显比甲组的大．其中正确的是______．（填四个结论的序号） 13．（2026·河北石家庄·模拟预测）某校开展以“持续弘扬长征精神”为主题的演讲比赛，选手的成绩由演讲内容、语言表达、临场表现三项组成，每项成绩均由7位评委打分，取平均分作为该项的实际成绩，再将演讲内容、语言表达、临场表现三项成绩按的比例计算出每人的总评成绩．其中，甲、乙两位选手的三项实际成绩和总评成绩（单位：分）如下表． 演讲内容 语言表达 临场表现 总评成绩 甲 86 76 82 81.4 乙 84 82 已知7位评委给乙的临场表现打出的分数（单位：分）为78、82、79、82、76、83、80． (1)将7位评委给乙的临场表现打出的分数看作一组数据，则该组数据的中位数是__________分，众数是__________分； (2)求乙临场表现的实际成绩； (3)若根据总评成绩从高到低确定最终名次，则两位选手谁的最终名次比较靠前？ 14.有6个水蜜桃测出了他们的Brix 值（糖度值，值越大越甜）如下：16、17、18、18、18、19；以下是计算各种情况的组内离差平方和表（精确到0.01）： 组序 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 1 16 17、18、18、18、19 2.00 2 16、17 18、18、18、19 3 16、17、18 18、18、19 4 16、17、18、18 18、19 3.25 5 16、17、18、18、18 19 3.20 （1）将表格补充完整 （2）如果要将这组水蜜桃分为“优品”和“精品”，应该如何分，为什么？ 15.游泳培训中心特训班进行毕业考试，100米蛙泳24名成员的成绩如下（单位：秒）： 158 149 145 128 140 135 142 150 155 132 136 150 142 152 130 136 140 144 166 142 144 150 132 138 据此回答： （1）填写四分位数表 四分位数 m25 m50 m75 数值 说说本次成绩所反映的总体情况 （2）如下图所示，将这一年的成绩绘制成箱线图，并与去年的成绩进行比较，说说你对这一年成绩的评价。 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 数据分析初步 1.平均数的定义(公式)：一般地，有n个数据x1，x2，x3，⋯，xn，我们把 叫作这n个数的算术平均数，简称平均数，记作。 2.加权平均数的定义(公式)：一组数据中，一个数的频数可以看作这个数的权重，简称“权”，一般地，对于一组数据x1，x2，x3，⋯，xn，其权重分别为w1，w2，w3，⋯，wn， 则称 为这组数据的加权平均数。 3.分布式计算：当样本量较大时，我们可以把样本分成若干个子样本，分别计算出平均数，然后运用计算加权平均数的方法，求出整个样本组的平均数，将一个大的计算任务分解成若干个小的计算任务分别计算，再将结果汇总处理得到最终结果。这样的计算方式称为分布式计算。 4.将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于中间位置的数值是中位数。计算方法：当数据个数为奇数时，中位数是位于最中间的一个数据；当数据个数是偶数时，中位数是位于最中间两个数据的平均数。 5.一组数据中出现次数最多的数值叫作众数，众数可能不止一个。 6.样本中，各数据与平均数的差(又称离差)的平方和称为离差平方和，记作D²。公式： 。离差平方和可以衡量数据的稳定性。 7.离差平方和=组内离差平方和+组间离差平方和，即： 8.组内离差平方和即。组内离差平方和越小，分组后每组组内数据越相近。组间离差平方和即。 9.一般地，一组数据各个离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作S²。公式： 。方差越大，说明数据波动越大，数据越不稳定。 10.标准差：标准差是方差的算术平方根，也能反映数据的稳定性，其单位与数据相同。 11.下四分位数：记作m25，表示数据中至少有25%小于或等于这个数；中位数：记作m50，表示数据中至少有50%小于或等于这个数；上四分位数：记作m75，表示数据中至少有75%小于或等于这个数。这三个数叫做四分位数。 12.箱线图结构：上边缘、须、箱体、下边缘、异常值。 13.箱线图反映数据的要素：最大值、上四分位数、中位数、下四分位数、最小值。 14.箱线图常用于多组数据的比较，箱体越扁，中间的须越短，数据越集中。在分析比较时，必要时可以将箱线图结构解读为四分位数和最值，再进行比较。 1.根据图表信息求平均数 易错点：在解读统计表或者统计图时，注意：①各项及频数要一一对应；②注意项的名称和频数不要搞反，比如每天阅读2小时的人有7人，阅读3小时的人有4人，在计算总频数时为7+4而不是2+3. 例1 为了响应社区“节约用水”的号召，小明统计了去年的家庭用水情况，并绘成统计图，则小明家去年月平均用水量为___________吨． 【答案】 【分析】根据用水总量除以总月数即可求解． 【详解】解：由表格可得，（吨） ∴小明家去年月平均用水量为吨． 2.求数据变化后的平均数 易错点：在已知一组数的平均数时，可以求出这组数的总和，然后再根据数据产生的变化求出新的总和，结果用新的平均数=新的总和÷新的数量计算出来即可。 例2 （24-25七年级下·重庆·自主招生）五个数的平均数是，如果把其中一个数改为，则这五个数的平均数变为，改动前这个数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了平均数的计算，五个数的前后平均数相差，这说明改后的这个数比改前大了，则改前这个数是． 【详解】解：改前后平均数的差：， 改的数前、后之差：， ． 答：改动前这个数是． 故答案为：． 3.求加权平均数 易错点：（1）两个注意，一是注意利用公式求解，二是注意每组数的权重不要对应错。 （2）若已知每一项数据在所有权重中的百分比，也可以用公式求解。 例3 （2025·山西·模拟预测）截至2025年底，国内某外卖平台已开通53条无人机航线，累计配送订单超45万单，为优化无人机配送系统，工作人员对A，B两种型号的无人机受不同因素影响的程度进行评分，数据如下（评分越高，影响程度越小，满分10分）： 型号 影响因素 城市环境 山地地形 天气 障碍物识别 A型 8 B型 9 9 平台计划再购进一批无人机，将城市环境、山地地形、天气、障碍物识别四项得分按的比例确定无人机的综合得分，则平台应选择的无人机型号是______型（填“A”或“B”）． 【答案】B 【分析】本题考查加权平均数的应用．根据加权平均数的计算公式分别计算A、B两种型号无人机的综合得分，再通过比较得分大小确定应选择的型号． 【详解】解：根据加权平均数的计算公式： A型无人机的综合得分：（分） B型无人机的综合得分：（分） ∵，且评分越高影响程度越小， ∴平台应选择B型无人机． 故答案为：B． 4.根据分组的平均数求所有数据的平均数 易错点：分布式计算是一个计算量比较大，数字比较复杂的计算，要仔细，要按部就班得计算。 例4 下表所示是八年级4个班上交的“科技百问”小测的最终成绩统计表。 班级 一班 二班 三班 四班 人数 48 50 45 57 平均分 86 83.5 85 84 优秀率（不低于85分） 60.42% 54% 57.78% 47.37% （1）求出四个班成绩的平均分。 （2）求出四个班成绩的优秀率。 【答案】（1）84.58 （2）54.5% 【分析】本题考查的关于平均数的分布式计算的知识。第（1）小题主要先算出四个班级分数的总和，再求出人数总和，相除得到总体的平均分；第（2）小题可以先通过每个班级的优秀率求出每个班优秀的人数，再求出成绩优秀人数总和，除以总人数即可得到结果。 【详解】（1）解：4个班总分=48×86+50×83.5+45×85+57×84=16916分，48+50+45+57=200人。平均分为16916÷200=84.58分 （2）一班优秀人数=48×60.42%=29（人）；二班优秀人数=50×54%=27（人）；三班优秀人数=45×57.78%=26（人）；四班优秀人数=57×47.37%=27（人），总优秀率=（29+27+26+27）÷200=54.5%。 5.根据图表信息求中位数 易错点：与计算平均数类似，具体易错案例如下： 下表统计了某种植物平均每株开花数 开花数 3 4 5 6 7 数量 6 4 8 12 6 这组数的中位数不是5，也不是6，而是5.5，因为中位数为开花数从小到大排列后的第18和第19个数的平均数。而不是只看表中的数字就行。 例5 为了了解我校2020年初三学生体育测试成绩，从中随机抽取了50名学生的体育测试成绩如下表： 成绩（分） 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 人数 1 1 2 4 5 6 4 2 3 8 5 5 4 则这50名学生的体育测试成绩的中位数为_________． 【答案】45.5 【详解】解：根据题意，样本容量为，是偶数，因此这组数据的中位数是从小到大排列后第个和第个数据的平均数， 成绩为45分时，累计人数为：， 因此第个数据为，第个数据为， 所以中位数为． 6.已知中位数、众数或平均数的信息求数据中的字母参数 易错点：若已知平均数，可以列方程求字母参数；已知众数，可以通过频数最多推测出字母参数的值；但如果是已知中位数，需要注意可能要分类讨论，中位数还需注意并不一定出现在数据组中。 例6 （2024·湖北·一模）下列数据5，8，15，m，10，7，的中位数和平均数都相同，则m的值为________． 【答案】0 【分析】本题考查了平均数及中位数，熟练掌握中位数的意义是解题的关键． 这一组数据的平均数为，因该组数据只有6个，故中位数应为将该组数据按从小到大顺序排列，处于最中间两个数的平均数，分情况讨论m的位置，分别求出m的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得这组数据的平均数为：， 由题意可知分为三种情况， 将原数据除去m后从小到大排序为5， 7， 8， 10， 15； ①当时，排序后数据的中间两数为7， 8，则中位数为中位数为， 由题意得，解得，满足，故此情况成立； ②当时，排序后数据的中间两数为8， m，则中位数为， 由题意得：，解得，不满足，故此情况不成立； ③当时，排序后数据的中间两数为8， 10，则中位数为， 由题意得：，解得．不满足，故此情况不成立． 综上所述，m的值为0． 故答案为：0． 7.选择正确的数据分析一组数 易错点：在实际问题中，需要用平均数，中位数或众数来描述一组数据，这三个数据的作用都不相同。具体区别为： （1）平均数表示数据的平均水平，对数据非常有代表性，在比较数据平均水平时，平均数是最直观的数，但如果一组数据中出现明显很大或者很小的数时，平均数将出现严重偏差，比如打分时出现9.5、7、6.5、6、7这样的成绩时，9.5分严重影响了实际水平，我们在生活中一般看到将其去掉； （2）中位数表示数据的中间水平，但没办法反映一组数据头尾数据的情况。 （3）众数表示一组数据中出现频数最高的一个数，一定程度上代表大部分数据，但偏差很大，而且其他数据会变得没有意义，只有在作为众数的数的频率非常高时，具有很重要的意义，比如工厂员工的工资水平。 例7 （24-25九年级上·河北沧州·期中）某公司全体职工的月工资统计如下表： 月工资（元） 人数（人） 对于表格数据，公司的普通职工最关注的统计量是（   ） A．中位数和众数 B．平均数和众数 C．平均数和中位数 D．平均数和方差 【答案】A 【分析】本题考查了统计量的选择的知识，根据中位数、众数、平均数及极差的意义分别判断后即可得到正确的选项，解题的关键是了解有关统计量的意义． 【详解】解：∵数据的极差较大， ∴平均数不能反映数据的集中趋势， ∴普通员工最关注的数据是中位数和众数， 故选：． 例8 （山西省2026学年中考数学一模试卷（2））某市为推动赋能教育，在全市范围内从八、九年级各随机抽取了名教师，对其使用教学水平进行打分．组织人员将八、九年级各名教师使用教学的成绩（成绩用表示，满分为分，所有成绩均不低于分且均为整数，单位：分）进行整理、描述和分析，过程如下： 数据收集与整理：八年级名教师使用教学的成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名教师使用教学的成绩在这一组的数据为，，，，，，． 九年级名教师使用教学的成绩，扇形统计图如下： 分组 成绩/分 A B C D 数据分析：八、九年级各20名教师使用AI教学的成绩数据分析如下表： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 八年级 九年级 请认真阅读以上信息，回答下列问题： (1)在这次调查活动中，采取的调查方式是_________（填“全面调查”和“抽样调查”） (2)填空：_______，_______，________，________． (3)根据上述信息，请你对两个年级的教师使用AI教学的成绩进行评价（任选两个统计量进行说明）． 【答案】(1)抽样调查 (2)，，， (3)见解析 【分析】（1）根据题意可得采取的调查方式是抽样调查； （2）根据平均数、众数和中位数的定义求得的值，根据扇形统计图求得的值； （3）比较两个年级的平均数和中位数，即可求解． 【详解】（1）解：在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查 （2）解：由八年级20名教师的成绩可得八年级成绩的众数为95，故； 九年级名教师测试成绩按从小到大排列 则中位数是第10个数和第个数，中位数出现在这一组中，故， 根据扇形统计图：，故； （3）解：答案不唯一，例如，八年级教师使用AI教学的成绩的平均数与九年级教师使用AI教学的成绩的平均数相同，但八年级教师使用AI教学的成绩的中位数为91分，高于九年级教师使用AI教学的成绩的中位数89分，所以八年级教师使用AI教学的成绩更好． 8.根据公式求离差平方和、方差和标准差 易错点：离差平方和、方差和标准差这些数据的公式比较复杂，在计算时不能出错。一般是先求平均数，然后根据公式求出离差平方和，再求方差和标准差。同样的，在熟悉了公式以后，我们还能从公式中读出一组数据的数量、平均数等。比如方差计算过程中可以知道，这组数有10个数，其平均数为6，第10个数（其中一个数）是2...... 例9 某女子合唱组合的身高分别是164cm、166cm、159cm、160cm和166cm，那么这个合唱组合身高的离差平方和是 ；如果新加入一名成员的身高为163cm，新的组合身高的方差为 。 【答案】44cm² cm² 【分析】要计算离差平方和，先求出平均数，再运用公式求出结果，注意带单位。要计算方差，注意现在人数从5个变成了6个，要除以6才行。 【详解】(164+166+159+160+166)÷5=163(cm)，离差平方和D²=（164－163）²+（166－163）²+（159－163）²+（160－163）²+（166－163）²=44cm²；当新增一人的身高为163cm时，与平均数相等，因此离差平方和不变还是44cm²。方差为44÷（5+1）=cm². 9.用方差分析数据 易错点：“方差越大，说明数据波动越大，数据越不稳定”，在一般情况下，只要求出方差，并进行比较，就能确定哪组数据更加稳定。在实际问题中，要先确定是否数量一致，是否平均数相等，以此为前提的方差的比较更有实际意义。 例10 （2026·湖南长沙·一模）甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人射击次，成绩的平均数（单位：环）和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 /环 根据表中数据，你认为应该推荐运动员________去参赛，更有把握赢得比赛． 【答案】甲 【分析】本题考查平均数与方差的意义，先比较四名运动员的平均数，选择平均数较大的，再在平均数相同的运动员中比较方差，方差越小成绩越稳定，据此选出参赛人选． 【详解】解：由表格数据可知，甲和乙的平均数均为环，大于丙和丁的平均数，说明甲和乙的平均成绩更高， 甲的方差为，小于乙的方差，说明甲的成绩比乙更稳定， 综合平均成绩和发挥稳定性，应该推荐运动员甲去参赛． 例11 周末小明一家游览黔灵山公园，在通往弘福寺的石阶小路上，小明关注到甲、乙两段台阶的高度如图所示，（图中的数字表示每一级台阶的高度，单位：cm）． 请根据上述信息填写下表： 平均数（cm） 方差（cm²） 中位数（cm） 众数（cm） 极差（cm） 甲 15 8 乙 15 2 在哪段台阶上行走会比较舒服?为什么？ 【答案】填表见解析；在乙台阶上行走会比较舒服，理由见解析 【分析】根据平均数、中位数、方差、众数的概念以及计算方法，进行解答即可；通过计算甲、乙两段台阶高度数据的方差，且根据方差的大小即可判断． 【详解】解：将甲、乙两段台阶的高度值从小到大排列如下： 甲：10,12,15,17,18,18； 乙：14,14,15,15,16,16； 甲的中位数为， 甲的众数为， 乙的平均数为， 乙的方差为， 乙的众数为14，15，16， 故填表如下： 平均数（cm） 方差（cm²） 中位数（cm） 众数（cm） 极差（cm） 甲 15 16 18 8 乙 15 15 14，15，16 2 ， 乙的方差远小于甲的方差，台阶高度变化更平缓，行走时更平稳， 在乙台阶上行走会比较舒服． 10.计算组内离差平方和 易错点：组内离差平方和即求分组中每组离差平方和的总和，计算量比较大，在求平均数时，运用公式时都要谨慎计算，避免出错。 例12 （25-26八年级上·山西运城·期末）把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为__________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了求一组数据的离差平方和，分别计算两组数据的均值，再求每组数据与其均值之差的平方和，则可得到两组数据的离差平方和，再求和即可得到答案． 【详解】解：组的平均数为， 则组的离差平方和为， 组的平均数为， 则组的离差平方和为， ∴这种分组情况的组内离差平方和为， 故答案为：4． 11.比较组内离差平方和确定如何分组 易错点：如果题设已经将数据分组分好，只要将每种分组方案中的组内离差平方和计算后，比较大小，最小的即为分组最合理的情况；如果题设没有将数据进行分组，就要先从小到大排列，然后考虑所有可能的分组情况，再计算组内离差平方和，比较大小并得出最优解的结论。 例13 （25-26八年级上·江苏南通·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用离差平方和进行分组，解题的关键是掌握离差平方和的定义． 根据组内离差平方和最小原则，选取间隔，然后根据离差平方和逐项进行验证即可． 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为，的平均数为， 离差平方和为，组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为，的平均数为， 离差平方和为，组内离差平方和为； C. 的平均数为，离差平方和为，的平均数为， 离差平方和为，组内离差平方和为； D. 的平均数为，离差平方和为，的平均数是15，离差平方和为， 组内离差平方和为；根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意， 故选：B． 例14 在一分钟跳绳测试中，6名同学完成的次数分别为120，135，110，105，140，125．根据组内离差平方和最小的原则，把这6名同学跳绳次数分为两组． 【答案】与 【分析】求出组内离差平方和最小值． 【详解】解：数据排序为105，110，120，125，135，140．分组列表如下： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 570 570 第2个间隔 250 第3个间隔 第4个间隔 250 第5个间隔 570 0 570 对比所有分组的总离差平方和发现，当按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小，因此，按组内离差平方和最小的分法为与． 12.求数据的四分位数 易错点：不要搞混上四分位数和下四分位数。在计算时，要从小到大排列。 例15 求下列各组数据的四分位数： (1)6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36； (2)25，12，18，20，15，8，31，28，22，35； (3)36，28，15，11，3，20，26，23，32，18，7，9． 【答案】(1)第一四分位数是15，第二四分位数是40，第三四分位数是43 (2)第一四分位数是15，第二四分位数是21，第三四分位数是28 (3)第一四分位数是10，第二四分位数是19，第三四分位数是27 【分析】本题考查了四分位数的计算，解题关键是先对数据排序，再根据位置公式确定四分位数的位置，注意整数位置时需取相邻两项的平均值． 先将数据从小到大排序，再根据四分位数的定义，使用位置公式（为百分位，为数据个数）确定四分位数的位置，若位置为整数则取该位置与下一个位置的平均值，若为小数则向上取整后对应的数据即为四分位数． 【详解】（1）解：把这组数据从小到大排列：6，7，15，36，39，40，41，42，43，47，49． 共个数据（奇数）， 求中位数Q₂，中位数位置：，第6个数，， 求（下四分位数），下四分位数是前半部分数据的中位数（不包括中位数本身，因为n为奇数）， 前半部分（中位数前的数据）：6，7，15，36，39（共5个数），中位数位置，第3个数，， 求（上四分位数），后半部分（中位数后的数据）：41，42，43，47，49（共5个数），中位数位置３，第3个数，． ． 这组数据的第一四分位数是15，第二四分位数是40，第三四分位数是43． （2）解：把这组数据从小到大排列：8，12，15，18，20，22，25，28，31，35． 共个数据（偶数）， 求中位数，中位数为第5和第6个数的平均值，第5个数为20，第6个数为22，， 求，下四分位数：前半部分为前个数：8，12，15，18，20，这5个数的中位数（第3个）为15， ， 求，后半部分为后5个数：22，25，28，31，35，中位数（第3个）为28，． ． 这组数据的第一四分位数是15，第二四分位数是21，第三四分位数是28． （3）解：把这组数据从小到大排列：3，7，9，11，15，18，20，23，26，28，32，36． 共个数据（偶数）， 求中位数，中位数为第6和第7个数的平均值，第6个数为18，第7个数为20，， 求，前半部分：前6个数：3，7，9，11，15，18，为这6个数的中位数，第3和第4个数的平均值， 求，后半部分：后6个数：20，23，26，28，32，36，为第3和第4个数的平均值， ∴． 这组数据的第一四分位数是10，第二四分位数是19，第三四分位数是27． 13.用四分位数分析数据 易错点：我们一般用小于或等于来描述结果，比如上四分位数m75，表示有75%的数小于或等于m75。我们主要通过四分位数来描述一组数据的四个平均分段的区间。 例16 （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）为调查八年级某班学生每天完成家庭作业所需的时间，在该班随机抽查了8名学生，他们每天完成作业所需时间（单位：）分别为：60，55，75，55，55，43，65，． (1)这组数据的众数为______（直接填空）； (2)求这组数据的中位数和下四分位数； (3)如果要求学生平均每天完成家庭作业时间不能超过，请估计该班学生是否符合这一要求？ 【答案】(1)55； (2)这组数据的中位数为55；下四分位数为49 (3)符合 【分析】本题主要考查了众数、中位数的概念，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，根据众数的概念可以判断得解； （2）依据题意，由中位数、下四分位数的概念计算可以得解； （3）依据题意，先求出样本中8名学生，他们每天完成作业平均所需时间，从而用样本估计总体，即可得解； 【详解】（1）解：数据中出现次数最多， 这组数据的众数为55， 故答案为：55； （2）解：由题意，将题目中的数据按照从小到大排列是：40，43，55，55，55，60，65，75， 这组数据的中位数为，下四分位数为； （3）由题意，样本中8名学生，他们每天完成作业平均所需时间， ， 估计该班学生符合每天完成家庭作业时间不超过的要求． 14.学会画箱线图 易错点：先计算四分位数，然后按比例画好纵轴，按照画最值、四分位数表示的横线，再补充 成箱体，最后画须的顺序作图。在作画过程中，纵轴单位长度、四分位数表示的线是最重要的两个要素。 例17 （25-26八年级上·安徽宿州·期末）某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动，在最近的10次选拔赛中，他们的测试成绩（单位：分）如下： 甲：89，70，96，100，68，78，96，60，91，92； 乙：88，65，90，80，93，65，93，90，96，80． (1)小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：（分）， ；方差：，，可以看出， （填甲或乙）的测试更稳定； (2)写出甲数据的四分位数： ； ； ； (3)观察图中乙的箱线图，绘制甲的箱线图． 【答案】(1)84，乙 (2)70，90，96 (3)见解析 【分析】本题主要考查了数据的分析，包括平均数、利用方差判定稳定性、四分位数以及箱线图，解题关键是掌握以上定义． （1）根据平均数公式求出平均数，根据方差的意义判断稳定性即可； （2）根据四分位数定义求解即可； （3）根据四分位数画出甲的箱线图即可． 【详解】（1）解：（分）， ∵，，且， ∴乙的测试更稳定； 故答案为：84，乙； （2）解：将甲的成绩从小到大排列为60，68，70，78，89，91，92，96，96，100， 所以，， 故答案为：70，90，96； （3）解：绘制甲的箱线图如下： 15.能根据箱线图比较多组数据并进行分析 易错点：会看箱线图，会比较箱线图中不同数据组的图象和表示的意义，能比较不同要素，比如四分位数、最值，数据的集中程度等等。 需要额外注意的是，只是箱体较扁无法完全体现数据更集中，而数据更集中也并不表示数据越大越优。 例18 （25-26八年级下·全国·课后作业）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断，下列说法错误的是（    ） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化严重 C．丙班得分低于80分的学生人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42个学生，则三个班级的成绩按从高到低排列的第11名中，丙班的分数最高 【答案】C 【分析】本题主要考查箱线图的相关知识．通过箱线图中数据的分布情况，对各选项逐一进行分析判断即可解答． 【详解】解：、箱线图中，数据的离散程度可通过箱线图的宽度来判断，宽度越窄，数据越集中，方差越小．甲班箱线图的宽度相对较窄，说明甲班分数更集中，所以甲班分数的方差最小，该选项正确； 、由箱线图可知，乙班中最大值较另两个班更大，最小值较另两个班更小，故乙班分数的波动最大，该选项正确； 、由箱线图可知，丙班的中位数大于80，故丙班得分高于80分的学生人数多于得分低于80分的学生人数，说法错误； 、每班有42个学生，第11名的分数是按从高到低排序后的第11个数据，从箱线图看，丙班的分数最高，该选项正确； 故选：． 例19 （2026·广西南宁·二模）某校为了评估八年级和九年级学生对人工智能（AI）基础知识的了解程度，进行了问卷调查，并将结果转化为0到100之间的分数．以下是随机抽取的八年级和九年级各10名学生的得分． 【收集数据】 八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100. 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100. 【整理数据】 平均数 中位数 众数 八年级 a 87.5 c 九年级 85 b 80 (1)直接写出_____；_____；_____． (2)该校八年级和九年级分别有400名和300名学生参加了此次问卷调查．根据样本数据，估算两个年级学生的平均得分．（结果保留一位小数） (3)【描述数据】定义：把一组数据从小到大排序，用表示中位数，则把这组数据分为两部分，依次记为和．用和分别表示和的中位数，则所有数据中小于或等于的占，小于或等于的占．这样m，k，n把所有数据分成四部分，称为四分位数．箱线图是使用数据的五个统计量——最大值，最小值，m，k，n来描述比较数据的方法．表示方法如图1所示． 根据以上材料，可绘制八年级抽查数据的箱线图（如图2），请你绘制九年级数据的箱线图． (4)【分析数据】根据箱线图，请你比较两组数据．（写出一条即可） 【答案】(1)86，85，90 (2)85.6 (3)作图见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的定义解答； （2）先求出两个年级的总分，再除以总人数即可； （3）先确定，再确定最大值和最小值为100和65，画出箱线图即可； （4）根据箱线图的特点解答即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：， 所以这两个年级学生的平均得分是85.6分； （3）解：如图所示； （4）解：观察箱线图中箱子的中间一条线，八年级位于九年级上方，可知八年级的平均水平高； 八年级的箱子宽度小，且最大值和最小值比九年级的距离小，所以其数据波动小． （选择任意一条即可，答案不唯一）． 16.根据求得的数据来比较、分析多组数，进行开放式的问答 易错点：注意尽可能多的用平均数、中位数、众数、四分位数等来描述数据特征和表现出来的实际问题。用方差标准差来比较数据的稳定性，用组内离差平方和来合理分组...而箱线图作为同时体现稳定性、四分位数、最值和集中程度的综合图，要全面得分析出所有比较出来的结论。 例20 八年级（1）班共50人平均分为两组进行比拼，解一道满分为5分的数学题。得分结果绘制成两张统计图如图①。 姜老师要对两组比拼的得分结果进行点评，因此需要计算两组得分相关的统计数据，请你帮他完成： （1）分别求出A组和B组得分的平均数，指出两组的众数和中位数。 （2）求出这两组数据的方差，并指出哪一组的数据更加稳定。 （3）绘制两组数据的四分位数表，并制作箱线图。通过箱线图总结本次比拼两组的得分情况。 ①四分位数表（单位：分）和箱线图 ②总结： 。 【答案】（1）A组平均数为3分，众数为3分，中位数为3分；B组平均数为3分，众数为4分，中位数为3分。 （2）B组成绩更稳定 （3）①图表见详解 ②两组的中位数相同，但A组出现了满分，说明从绝对成绩出发，A组发挥出色。但B组箱体比A组更加扁，说明25%~50%的分数更加集中，在上四分位数相同的情况下，B组中间成绩更稳定。 【分析】本题作为数据分析初步章节的综合性题目，主要考查和平均数、众数和中位数，方差，以及四分位数和箱线图等知识。第（1）小题根据计算方式求出A和B组的平均数、众数与中位数即可；第（2）小题利用方差公式求出两组的方差，方差越小，数据越稳定；第（3）小题先求出两组数据的四分位数，填写表格，再根据表格画箱线图，注意画图要标准，在第②小题总结时，主要比较最值、中位数和数据的集中程度。 【详解】(1)A组平均数为3分，众数为3分，中位数为3分；B组平均数为3分，众数为4分，中位数为3分。 （2）A组方差 B组方差 因为＜，B组成绩更稳定。 （3）四分位数表如下： 组别 下四分位数 中位数 上四分位数 A组 2 3 4 B组 2.5 3 4 箱线图如下： 总结：两组的中位数相同，但A组出现了满分，说明从绝对成绩出发，A组发挥出色。但B组箱体比A组更加扁，说明25%~50%的分数更加集中，在上四分位数相同的情况下，B组中间成绩更稳定。 1．（25-26九年级下·四川成都·期中）在进行了一段时间的身体素质训练后，体育老师随机抽取班上10名男生进行立定跳远测试，其成绩（单位：cm）如下：235，205，237，235，240，239，216，245，235，257．这组数据的中位数和众数分别是（   ） A．236，235 B．236，239 C．235，236 D．235，235 【答案】A 【分析】本题考查中位数和众数的定义，按照定义先对数据排序，再分别计算中位数和众数即可得到结果． 【详解】解：将这组数据从小到大排序，得：， ∵数据总个数为，是偶数， ∴中位数为排序后第个和第个数据的平均数，即中位数， ∵在这组数据中出现次数最多，共次， ∴众数为， 因此这组数据的中位数和众数分别是，故选A． 2．（河北省石家庄市2026年初中学业水平摸底练习（九年级）数学）“这么近，那么美，周末到河北”．某校组织了“古韵今传·最美河北”演讲比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分分．已知嘉嘉的“演讲内容”、“语言表达”、“演讲技巧”三项得分分别是分，分，分，则嘉嘉的最终得分为（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【分析】根据加权平均数的计算公式，列出算式，计算即可求解． 【详解】解：嘉嘉的最终得分（分）． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（    ） A．29是这20人年龄的第一四分位数 B．29是这20人年龄的第三四分位数 C．31是这20人年龄的中位数 D．这20人年龄的众数是5 【答案】A 【分析】本题考查了四分位数，众数，中位数．根据第一四分位数、第三四分位数、中位数、众数的定义及计算方法，逐一验证各选项即可． 【详解】解：依题意，第一四分位数即分位数， 需取年龄从小到大排列后第5个和第6个数据的平均数， 则年龄从小到大排列后，得 ∴第5个数据为28，第6个数据为30， ∴ 第一四分位数为，故A选项正确 依题意，第三四分位数即分位数，， ∴需取年龄从小到大排列后第15个和第16个数据的平均数， 则第15个数据为43，第16个数据为50，平均数为，故B选项错误， 依题意，中位数即分位数，， ∴ 需取年龄从小到大排列后第10个和第11个数据的平均数，第10个和第11个数据均为32，平均数为32，故C选项错误 ∵ 众数是出现次数最多的年龄，32出现的次数最多（5次）， ∴众数是32，故D选项错误， 故选：A． 4．（23-24九年级下·湖北十堰·自主招生）高一某班有53人，老师对一次数学测试进行了统计分析．由于小王没有参加本次集体测试，因此计算其他52人的平均分为121分，方差．后来小王进行了补考，成绩为121分，关于该班成绩分析，下列说法正确的是（   ） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 【答案】B 【分析】根据平均数，方差的定义计算即可判断结果． 【详解】解：∵小王的成绩和其他52人的平均分相同，都是121分， ∴该班53人的平均分为分，平均分不变； 该班53人的方差为 ， ∴方差变小． 5．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（   ） A．102 B．98 C．114 D．106 【答案】A 【分析】根据箱线图中间箱体的下底对应的数值即是这组数据的下四分位数（分位数）解答即可． 【详解】解：箱线图的箱体下底的对应值为102，所以这组数据的下四分位数是102． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 【答案】A 【分析】根据离差平方和的定义，分别计算各选项中两组离差平方和的总和，总和最小的分组即为符合要求的分组 【详解】解：选项A、∵组{7，9}的平均数为，∴其离差平方和为， ∵组{11，13，15}的平均数为，∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项B、∵ 组{7，11}的平均数为，∴其离差平方和为， ∵组{9，13，15}的平均数为，∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项C、∵组{7，15}的平均数为，∴其离差平方和为， ∵组{9，11，13}的平均数为11，∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项D、∵ 组{11，15}的平均数为，∴其离差平方和为， ∵组{7，9，13}的平均数为，∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小，符合组内离差平方和最小原则 7．（2022·浙江温州·模拟预测）某班10名男生在一次引体向上测试中，成绩如下（单位：个）：9，5，7，10，13，12，9，10，8，15，这组数据的中位数是________个． 【答案】 【分析】将数据按从小到大排序后，由于数据个数为偶数，中位数为中间两个数的平均值． 【详解】解：首先将数据从小到大排序：5，7，8，9，9，10，10，12，13， 15， ∵数据个数为，是偶数， ∴中位数为第5个数据和第6个数据的平均值， 即． 8．（2026·山西·一模）年中央一号文件发布后，某直播间借此机会开展了三场公益助农直播，各场农产品销售额及直播时长如表所示，这三场直播总的平均每小时销售额为________万元． 直播场次 销售额/万元 直播时长/h 第一场 第二场 第三场 【答案】 【分析】本题考查了算术平均数的计算，掌握相关知识点是解题的关键． 先求出三场直播的总销售额与总直播时长，再根据平均数的定义计算平均每小时的销售额，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， 三场直播总销售额为（万元）， 三场直播总时长为：（h）， 则平均每小时的销售额为（万元）． 故答案为：． 9．（2026·湖南邵阳·一模）某团队对A，B，C，D四类新型气象卫星的信号回传速率（单位：）进行了5次测试，测试数据的统计结果如下表： 卫星型号 A B C D 平均回传速率 60 63 58 63 回传速率方差 9.5 17.2 8.1 4.2 已知气象卫星对信号回传速率要求快且稳定，则性能最优的卫星是_________．（填“A”，“B”，“C”或“D”） 【答案】D 【分析】根据平均回传速率可知B，D最大，根据方差越小越稳定可知D最稳定，综合可知性能最优的卫星是D． 【详解】解：根据平均回传速率可知：， 根据回传速率方差可知：， 则性能最优的卫星是D． 10．（25-26八年级下·全国·周测）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式为，则该样本的离差平方和是____________． 【答案】14 【分析】由方差计算公式可知，离差平方和即为公式中方括号内的部分，需先计算样本均值，再求各数据与均值之差的平方和． 【详解】解：样本数据为1，2，3，3，6，共5个数据，样本均值， 离差平方和为， 故答案为：14． 11．（25-26九年级下·辽宁鞍山·月考）一组数据1，2，的平均数为3，另一组数据，，1，2，的唯一众数为，则数据，，，1，2，4的中位数为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了平均数、众数及中位数的定义，解题的关键是正确的利用其定义求得未知数的值． 根据平均数求得的值，然后根据众数求得的值后再确定新数据的中位数． 【详解】解：∵1，2，的平均数为3， ∴，解得， ∴数据，，1，2，应为，，1，2，， ∵唯一众数为，故， 则数据，，，1，2，4应为数据，，，1，2，4，按从小到大排列为，，1，2，4，6， ∴中位数为． 12．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图是根据甲、乙组跳绳成绩（单位：次／分）在同一幅图中画出两组数据的箱线图．下面有四个结论：①甲组的中位数比乙组的大；②甲组最小数据和乙组相差不多；③乙组最大数据比甲组的明显大；④乙组数据的波动明显比甲组的大．其中正确的是______．（填四个结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了箱线图，根据甲、乙组的箱线图，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①甲组的中位数比乙组的大，故①正确； ②甲组最小数据和乙组相差不多，故②正确； ③乙组最大数据比甲组的明显大，故③正确； ④乙组数据的波动范围比甲组大，故④正确． 故答案为：①②③④． 13．（2026·河北石家庄·模拟预测）某校开展以“持续弘扬长征精神”为主题的演讲比赛，选手的成绩由演讲内容、语言表达、临场表现三项组成，每项成绩均由7位评委打分，取平均分作为该项的实际成绩，再将演讲内容、语言表达、临场表现三项成绩按的比例计算出每人的总评成绩．其中，甲、乙两位选手的三项实际成绩和总评成绩（单位：分）如下表． 演讲内容 语言表达 临场表现 总评成绩 甲 86 76 82 81.4 乙 84 82 已知7位评委给乙的临场表现打出的分数（单位：分）为78、82、79、82、76、83、80． (1)将7位评委给乙的临场表现打出的分数看作一组数据，则该组数据的中位数是__________分，众数是__________分； (2)求乙临场表现的实际成绩； (3)若根据总评成绩从高到低确定最终名次，则两位选手谁的最终名次比较靠前？ 【答案】(1)80，82 (2)80 (3)乙排在甲的前面 【分析】（1）把78，82，79，82，76，83，80，按从小到大的顺序排列找出中位数，众数； （2）实际成绩是7位评委打分的平均分； （3）利用加权平均数的计算方法计算乙的总评成绩，与甲的总成绩比较做出判断即可． 【详解】（1）解：把78，82，79，82，76，83，80，按从小到大的顺序排列：76，78，79，80，82，82，83， ∴中位数为80（分）， 众数为82（分）； （2）解：实际成绩是7位评委打分的平均分：（分）； （3）解：乙的总评成绩为（分）． ∵， ∴乙排在甲的前面． 14.有6个水蜜桃测出了他们的Brix 值（糖度值，值越大越甜）如下：16、17、18、18、18、19；以下是计算各种情况的组内离差平方和表（精确到0.01）： 组序 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 1 16 17、18、18、18、19 2.00 2 16、17 18、18、18、19 3 16、17、18 18、18、19 4 16、17、18、18 18、19 3.25 5 16、17、18、18、18 19 3.20 （1）将表格补充完整 （2）如果要将这组水蜜桃分为“优品”和“精品”，应该如何分，为什么？ 【答案】（1）1.25 2.67 （2）优品：16、17 精品：18、18、18、19 【分析】本题第（1）小题考查的是组内离差平方和的计算，注意分组的方式，并根据公式计算和值即可。第（2）小题核心是比较表格中5种分组方案的组内离差平方和的大小，要想将水蜜桃分为优品和精品两种，需要两个分组中Brix值尽可能接近，使得分组合理。所以选出组内离差平方和最小即可。 【详解】 （1）解：1.25 2.67 （2）解：因为前2个一组，后4个一组时的组内离差平方和为1.25最小，所以分组如下： 优品：16、17 精品：18、18、18、19 15.游泳培训中心特训班进行毕业考试，100米蛙泳24名成员的成绩如下（单位：秒）： 158 149 145 128 140 135 142 150 155 132 136 150 142 152 130 136 140 144 166 142 144 150 132 138 据此回答： （1）填写四分位数表 四分位数 m25 m50 m75 数值 说说本次成绩所反映的总体情况 （2）如下图所示，将这一年的成绩绘制成箱线图，并与去年的成绩进行比较，说说你对这一年成绩的评价。 【答案】（1）填表如下： 四分位数 m25 m50 m75 数值 136 142 150 四分位数反映了本次考试成绩中，有不少于25%的学员的成绩在136秒及以内；有至少一半的学员的成绩在142秒及以内；但是还有不少于25%的学员的成绩至少有150秒，仍需努力。 （2）箱线图见详解，通过箱线图可知，今年总体成绩超过去年，不但最少用时和最多用时均比去年要短，而且中位数也提高了8秒。除此之外，25%~75%这一成绩段的学员成绩更加集中，表示了总体上成绩的集中体现。 【详解】解：（1）填表如下： 四分位数 m25 m50 m75 数值 136 142 150 四分位数反映了本次考试成绩中，有不少于25%的学员的成绩在136秒及以内；有至少一半的学员的成绩在142秒及以内；但是还有不少于25%的学员的成绩至少有150秒，仍需努力。 （2）箱线图如图所示： 通过箱线图可知，今年总体成绩超过去年，不但最少用时和最多用时均比去年要短，而且中位数也提高了8秒。除此之外，25%~75%这一成绩段的学员成绩更加集中，表示了总体上成绩的集中体现。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $