第八章 机械能守恒定律 期中复习素养提升讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

高一物理下学期期中综合复习 第八章 机械能守恒定律 高中物理必修二素养提升 【知识解读】 1. 功和功率 2. 动能和动能定理 . 3. 机械能和机械能守恒定律 4.几种常见的功能关系及其表达式 力做功 能的变化 定量关系 合力的功 动能变化 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力的功 重力势能 变化 (1)重力做正功，重力势能减少 (2)重力做负功，重力势能增加 (3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹力的功 弹性势能 变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少 (2)弹力做负功，弹性势能增加 (3)W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 只有重力、弹簧弹力做功 机械能 不变化 机械能守恒，ΔE＝0 除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功 机械能变化 (1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少 (2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少 (3)W其他＝ΔE 一对相互作用的滑动摩擦力的总功 机械能减少，内能增加 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加 (2)摩擦生热Q＝Ffx相对 5 .能量守恒定律 【核心考点】 考点一　恒力做功的分析和计算 1.判断力是否做功及做正、负功的方法 判断根据 适用情况 根据力和位移方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断 根据力和瞬时速度方向的夹角判断 常用于质点做曲线运动 根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力做功的判断 2.恒力做功的计算方法 (1)恒力做的功 直接用W＝Flcos α计算或用动能定理计算。 (2)合力做的功 方法一:先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求功，尤其适用于已知质量m和加速度a的情况。 方法二:先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。 方法三:利用动能定理，合力做的功等于物体动能的变化量。 考点二　变力做功的分析和计算 变力做功常见的五种计算方法 方法 情境说明 方法总结 微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做的功为Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR 等效 转换 法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做的功为 W＝F· 平均 力法 弹簧由伸长量为x1被继续拉至伸长量为x2的过程中，克服弹簧弹力做的功为W＝Δx＝·(x2－x1) 图像法 在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功 动能定 理法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做的功为WF，则有WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ) 考点三　功率的分析与计算 1.平均功率的计算方法 (1)利用。 (2)利用＝F cos α，其中为物体运动的平均速度。 2.瞬时功率的计算方法 (1)直接代公式P＝Fvcos α计算，其中v为物体的瞬时速度。 (2)先分解再计算，P＝FvF，其中vF为物体的瞬时速度v在力F方向上的分速度;或者P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在瞬时速度v方向上的分力。 例1 (2024·浙江6月选考，5)一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为2×10 －4 m2，喷水速度约为10 m/s，水的密度为1×103 kg/m3，则该喷头喷水的功率约为(　　) A.10 W B.20 W C.100 W D.200 W 答案　C 解析　 P＝ρSv3P≈100 W，C正确。 考点四　机车启动问题 模型1:以恒定功率启动 模型2:以恒定加速度启动 例2 (2025·广东佛山模拟)国际联运列车从开通至今已经完成2万多次运输。列车采用内燃加锂电池的混合动力电传动方式进行驱动，整车最大功率为750 kW，行驶过程中受到的阻力恒定，速度最高为108 km/h，已知列车的总质量为5×104 kg，列车以最大功率启动，下列说法正确的是(　　) A.行驶过程中列车受到的阻力为2.5×104 N B.以最大速度行驶时，列车1小时内通过的位移一定是108 km C.列车以15 m/s的速度行驶时加速度是1 m/s2 D.列车加速过程中的平均速率是15 m/s 答案　A 解析　当列车匀速行驶时，所受的牵引力等于阻力，即P＝fvmax，解得行驶过程中列车受到的阻力为f＝ N＝2.5×104 N，故A正确;以最大速度行驶时，列车1小时内通过的路程是108 km，但位移不一定是108 km，故B错误;当列车以v1＝15 m/s行驶时，对列车由牛顿第二定律有F1－f＝ma，其中P＝F1v1，联立解得a＝0.5 m/s2，故C错误;作出列车运动的v－t图像如图所示，列车加速过程中的平均速率>＝15 m/s，故D错误。 例3 (2025·湖南长沙模拟)一辆质量为m的小汽车在水平地面上由静止开始运动，其功率随速度的变化关系如图所示，其中AB段平行于v轴，汽车匀速运动阶段的速度为vB。根据图像，下列说法正确的是(　　) A.速度增大到vA的过程中，汽车的加速度逐渐减小，当v＝vA时，a＝0 B.汽车与地面间的摩擦力大小为Ff＝ C.在OA段汽车的位移为x1＝ D.若AB段汽车的位移为x，则AB段汽车运动的时间t＝ 答案　C 解析　P－v图像斜率表示牵引力，速度增大到vA的过程中，汽车的牵引力不变，加速度不变，故A错误;汽车匀速运动阶段的速度为vB，此时牵引力等于摩擦力，汽车与地面间的摩擦力大小为Ff＝，故B错误;在OA段汽车为匀加速启动，在A点功率为额定功率，牵引力为匀加速运动的牵引力，故匀加速阶段的牵引力为F1＝，a＝＝2ax1，联立得x1＝，故C正确;根据动能定理有P0t－Ffx＝mm，得t＝，故D错误。 考点五　动能定理的理解与基本应用 1.两个关系 (1)数量关系:合力做的功与物体动能的变化具有等量代换关系，但并不是说动能的变化就是合力做的功。 (2)因果关系:合力做功是引起物体动能变化的原因。 2.标量性 动能是标量，功也是标量，所以动能定理是一个标量式，不存在方向的选取问题，当然动能定理也就不存在分量的表达式。 例4 (2025·河北邯郸模拟)使用如图所示的卸货装置从高处卸下货物时，先将质量为m的货物放置在倾角为α、长为L的粗糙木板上端，货物开始加速下滑的同时，自动液压杆启动并逐渐缩短，液压杆装置最终完全缩回到地面以下，货物以较小的速度v水平向右滑出木板，完成卸货。已知重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　) A.木板对货物做功为mv2－mgLsin α B.木板对货物做功为mv2 C.摩擦力对货物做功为mv2－mgLsin α D.支持力对货物不做功 答案　A 解析　设在整个过程中木板对货物做功为W，根据动能定理有W＋mgLsin α＝mv2，木板对货物做功为W＝mv2－mgLsin α，故A正确，B错误;木板转动，支持力与货物运动方向成钝角，支持力对货物做负功WN，故D错误;木板对货物做功为W＝Wf＋WN，摩擦力对货物做功为Wf＝mv2－mgLsin α－WN，故C错误。 考点六　应用动能定理求变力做功 在有变力做功的过程中，变力做功无法直接通过功的公式求解，可用动能定理W变＋W恒＝m－m求解。物体初、末速度已知，恒力做功W恒可由公式求出，得到W变＝mm－W恒，就可以求出变力做的功了。 考点七　动能定理与图像问题的结合 常与动能定理结合的五类图像 考点八　机械能守恒的理解与判断 判断机械能守恒的三种方法 考点九　单物体的机械能守恒问题 1.表达式 2.一般步骤 例5 (2024·全国甲卷，17)如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小(　　) A.在Q点最大 B.在Q点最小 C.先减小后增大 D.先增大后减小 答案　C 解析　设小环运动轨迹所对的圆心角为θ(0≤θ≤π)，大圆环的半径为R，大圆环对小环的作用力为F，由机械能守恒定律有mgR(1－cos θ)＝mv2，又小环做圆周运动，则有F＋mgcos θ＝m，联立得小环下滑过程中受到大圆环的作用力F＝mg(2－3cos θ)，小环开始下滑时受到大圆环的作用力背离圆心，当cos θ＝时F＝0，以后受到大圆环的作用力指向圆心，则F的大小先减小后增大，当cos θ＝－1，即小环在大圆环最低点时F最大，结合牛顿第三定律可知，C正确。 考点十　多物体的机械能守恒问题 解决多物体系统机械能守恒的注意点 (1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。 (2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。 模型1　轻绳连接的物体系统机械能守恒 常见 情景 三点 提醒 ①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。 ②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 ③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒;但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。 例6 (2024·辽宁大连模拟)如图所示，质量为m的物体P套在固定的光滑水平杆上。轻绳跨过光滑的滑轮O和O'，一端与物体P相连，另一端与质量为2m的物体Q相连。用手托住物体Q使整个系统处于静止状态，此时轻绳刚好拉直，且AO＝L，OB＝h，AB<BO'，重力加速度为g。现释放物体Q，让二者开始运动，下列说法正确的是(　　) A.开始运动后，当物体P速度最大时，物体Q速度最小 B.在物体P从A滑到B的过程中，P的速度增加，Q的速度减小 C.在物体P从A滑到B的过程中，P的机械能减少，Q的机械能增加 D.物体P运动的最大速度为2 答案　AD 解析　P从A点到B点的过程中，绳的拉力做正功，速度增加，P做加速运动;Q从静止开始先做加速运动，当P运动到B点时Q的速度等于零，说明Q后来又做减速运动，所以Q先加速后减速，B错误;由上述分析可知，当物体P运动到B点时速度最大，物体Q速度最小等于零，A正确;在物体P从A滑到B的过程中，绳的拉力对P做正功，P做加速运动，P的机械能增加、因为系统机械能守恒，则Q的机械能减少，C错误;当P运动到B点时Q的速度等于零，系统机械能守恒，由机械能守恒定律得2mgmv2，解得v＝2，D正确。 模型2　轻杆连接的物体系统机械能守恒 常见 情景 模型 特点 ①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。 ②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 ③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。 例7 (2025·河北廊坊高三期末)如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，在斜面体左侧的适当位置固定一光滑竖直硬杆，质量均为m的两小球(均视为质点)用长为L的轻质硬杆连接，甲套在竖直硬杆上，乙放置在斜面上，甲、乙由静止释放时，轻质硬杆与竖直硬杆的夹角为30°，当轻质硬杆与斜面刚好平行时，乙的动能为(　　) A.mgL B.mgL C.mgL D.mgL 答案　B 解析　甲下降的高度为h甲＝＝L，乙下降的高度为h乙＝sin 30°＝，当轻质硬杆与斜面刚好平行时，把甲的速度v甲分别沿着轻质硬杆和垂直轻质硬杆分解，沿着轻质硬杆方向的分速度v∥＝v甲sin 30°，小球乙的速度v乙沿着斜面，轻质硬杆与斜面平行，则v乙沿着轻质硬杆，有v乙＝v∥，甲、乙两球组成的系统由机械能守恒定律可得mgh甲＋mgh乙＝mm，乙的动能为Ek乙＝m，联立解得Ek乙＝mgL，故B正确。 模型3　轻弹簧连接的物体系统机械能守恒 模型 特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。 两点 提醒 ①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。 ②弹簧两端的物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。 例8 如图所示，轻弹簧一端固定于O点，另一端与质量为m的滑块连接，在外力作用下使滑块静止在固定光滑斜面上的A点，此时弹簧恰好水平。将滑块从A点由静止释放，沿斜面经B点运动到位于O点正下方的C点时，滑块的速度大小为v，且弹簧恰处于原长。已知弹簧原长为L，斜面倾角θ＝37°，OB⊥AC，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，不计空气阻力。sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。从A点运动到C点的过程中(　　) A.滑块在B点的加速度等于零 B.滑块在B点的速度最大 C.滑块在A点时弹簧的弹性势能为mv2－mgL D.滑块在A点时弹簧的弹性势能大于在B点时弹簧的弹性势能 答案　CD 解析　根据牛顿第二定律，可知滑块在B点的加速度为aB＝gsin θ，故A错误;滑块从B到C的过程中一直加速运动，B点速度不是最大，故B错误;由机械能守恒定律有mv2＝mgL＋Ep，解得Ep＝mv2－mgL，故C正确;滑块在A点时弹簧的形变量ΔxA＝LL，滑块在B点时弹簧的形变量ΔxB＝L(1－cos θ)＝L，则ΔxA>ΔxB，所以滑块在A点时弹簧的弹性势能大于在B点时弹簧的弹性势能，故D正确。 考点十一　功能关系的理解和应用 功的正负与能量增减的对应关系 (1)物体动能的增加与减少要看合外力对物体做正功还是做负功。 (2)势能的增加与减少要看对应的作用力(如重力、弹簧弹力、静电力等)做负功还是做正功。 (3)机械能的增加与减少要看重力和弹簧弹力之外的力对物体做正功还是做负功。　 例9(2024·山东卷，7)如图所示，质量均为m的甲、乙两同学，分别坐在水平放置的轻木板上，木板通过一根原长为l的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为d(d<l)。两木板与地面间动摩擦因数均为μ，弹性绳劲度系数为k，被拉伸时弹性势能E＝kx2(x为绳的伸长量)。现用水平力F缓慢拉动乙所坐木板，直至甲所坐木板刚要离开原位置，此过程中两人与所坐木板保持相对静止，k保持不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，则F所做的功等于(　　) A.＋μmg(l－d) B.＋μmg(l－d) C.＋2μmg(l－d) D.＋2μmg(l－d) 答案　B 解析　当甲所坐木板刚要离开原位置时，对甲及其所坐木板整体有μmg＝kx0，解得弹性绳的伸长量x0＝，则此时弹性绳的弹性势能为E0＝k;水平力F缓慢拉动乙所坐木板，可认为乙与其所坐木板的动能变化量为零，从开始拉动乙所坐木板到甲所坐木板刚要离开原位置的过程，乙所坐木板的位移为x1＝x0＋l－d，由功能关系可知该过程F所做的功W＝E0＋μmgx1＝＋μmg(l－d)，B正确。 考点十二　摩擦力做功与能量转化 两种摩擦力做功特点的比较 　　类型 比较　　 静摩擦力做功 滑动摩擦力做功 不 同 点 能量的 转化 只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能 (1)一部分机械能从一个物体转移到另一个物体 (2)一部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量 不 同 点 一对摩 擦力的 总功 一对静摩擦力所做功的代数和总等于零 一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，总功W＝－Ffs相对，即发生相对滑动时产生的热量 相同点 做功 情况 两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功 例10 (2025·北京高三月考)一木块静止放在光滑水平面上，一颗子弹沿水平方向射入木块，若子弹进入木块的最大深度为x1，与此同时木块沿水平面移动的距离为x2，设子弹在木块中受到的摩擦力大小不变，则在子弹进入木块的过程中(　　) ①子弹损失的动能与木块获得的动能之比为(x1＋x2)∶x2 ②子弹损失的动能与系统损失的动能之比为(x1＋x2)∶x1 ③木块获得的动能与因系统发热损失的动能之比为x2∶x1 ④木块获得的动能与因系统发热损失的动能之比为x1∶x2 A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 答案　A 解析　设摩擦力大小为Ff，对子弹运用动能定理可得－Ff(x1＋x2)＝ΔEk弹，对木块运用动能定理可得Ffx2＝ΔEk木，可知子弹损失的动能与木块获得的动能之比为∶ΔEk木＝(x1＋x2)∶x2，根据能量守恒定律可知，因系统发热损失的动能为－ΔEk木＝Ff(x1＋x2)－Ffx2＝Ffx1，则子弹损失的动能与系统损失的动能之比为:＝(x1＋x2)∶x1，木块获得的动能与因系统发热损失的动能之比为ΔEk木:＝x2∶x1，故A正确。 例11.如图所示，一个长为L，质量为M的木板，静止在光滑水平面上，一个质量为m的物块(可视为质点)，以水平初速度v0，从木板的左端滑向另一端，设物块与木板间的动摩擦因数为μ，当物块与木板相对静止时，物块仍在长木板上，物块相对木板的位移为d，木板相对地面的位移为s，重力加速度为g。则在此过程中(　　) A.摩擦力对物块做功为－μmg(s＋d) B.摩擦力对木板做功为μmgs C.木板动能的增加量为μmgd D.由于摩擦而产生的热量为μmgs 答案　AB 解析　根据功的定义W＝Flcos θ，其中l指物体的位移，而θ指力与位移之间的夹角，可知摩擦力对物块做的功W1＝－μmg(s＋d)，摩擦力对木板做的功W2＝μmgs，A、B正确;根据动能定理可知木板动能的增加量ΔEk＝W2＝μmgs，C错误;由于摩擦而产生的热量Q＝Ff·Δx＝μmgd，D错误。 考点十三　能量守恒定律的理解和应用 1.对能量守恒定律的两点理解 (1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 (2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 2.能量转化问题的解题思路 (1)当涉及摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能量守恒定律。 (2)解题时，首先确定初、末状态，然后分析变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减与增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。 3.涉及弹簧的能量问题 两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点: (1)能量转化方面，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒。 (2)如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同。 例12.(2024·安徽卷，7)在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水平距离约为l。假设抽水过程中H保持不变，水泵输出能量的η倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水的密度为ρ，水管内径的横截面积为S，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵的输出功率约为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设水从出水口喷出的初速度为v0，取t时间内的水为研究对象，该部分水的质量为m＝ρSv0t，根据平抛运动规律l＝v0t，h＝gt2，解得v0＝l，根据功能关系得ηPt＝m＋mg(H＋h)，联立解得水泵的输出功率为P＝·，故B正确。 例13.(2024·贵州遵义模拟)如图所示，某时刻物块以初速度v0沿粗糙斜面向下运动，此时加上沿斜面向上的恒力F，物块开始向下做匀减速直线运动直至静止。以该时刻物块所在位置为势能零点，若位移为x、速度为v、动能为Ek、重力势能为Ep、机械能为E，则下列图像可能正确的是(　　) 答案　D 解析　根据运动学公式得v2－＝－2ax，速度v与位移x不是线性关系，图像不是直线，A错误;根据动能定理得mgxsin θ－Fx－Ffx＝Ek－Ek0，解得Ek＝x＋Ek0，动能Ek与位移x是线性关系，图像是直线，B错误;根据功和能的关系得mgxsin θ＝Ep0－Ep，解得Ep＝Ep0－mgxsin θ，重力势能Ep与位移x是线性关系，图像是直线，C错误;根据功能关系得－Fx－Ffx＝E－E0，解得E＝E0－(F＋Ff)x，机械能E和位移x是线性关系，D正确。 例14 (2024·河北石家庄模拟)如图所示，倾角为θ＝37°的斜面与圆心为O、半径R＝0.9 m的光滑圆弧轨道在B点平滑连接，且固定于竖直平面内。斜面上固定一平行于斜面的轻质弹簧，现沿斜面缓慢推动质量为m1＝0.8 kg的滑块a使其压缩弹簧至A处，将滑块a由静止释放，通过D点时轨道对滑块a的弹力为零。已知A、B之间的距离为L＝1.35 m，滑块a与斜面间动摩擦因数μ＝0.25，C为圆弧轨道的最低点，CE为圆弧轨道的直径，OD水平，滑块a可视为质点，忽略空气阻力，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，≈1.73。 (1)求滑块a在C点时对轨道压力的大小; (2)求滑块a整个运动过程中系统因摩擦而产生的热量; (3)若仅将滑块a换为质量为m2＝0.05 kg的滑块b，滑块b由A点弹出后立即撤去弹簧，求滑块b第一次落在斜面上的位置到B点的距离(结果保留2位有效数字)。 答案　(1)24 N　(2)7.92 J　(3)1.8 m 解析　(1)由题可知，滑块a在D点处的速度为0，对滑块a由C点至D点过程，由动能定理有 －m1gR＝－m1 对滑块a在C点由牛顿第二定律有F1－m1g＝ 结合牛顿第三定律可知，滑块a在C点对轨道压力的大小FN＝F1＝24 N。 (2)设滑块a在A处时弹簧储存的弹性势能为Ep，由能量守恒定律可知 Ep＋m1gLsin 37°＝μm1gLcos 37°＋m1gRcos 37° 解得Ep＝1.44 J 最终滑块a在B与B关于C对称的点之间运动，由能量守恒定律可知Q＝Ep＋m1gLsin 37° 解得Q＝7.92 J。 (3)设滑块b能通过E点，对滑块b由A点至E点由能量守恒定律有 Ep＋m2gLsin 37°＝μm2gLcos 37°＋m2g(R＋Rcos 37°)＋m2 解得vE＝6 m/s 滑块b恰好能通过E点时，有m2g＝ 可知vE>v'，假设成立，设滑块b在空中运动的时间为t，滑块b落在斜面上的位置与B之间的水平距离为d，则有d＝vEt－Rsin 37° (R＋Rcos 37°)－gt2＝dtan 37° 解得t＝ s 又有x＝ 解得x≈1.8 m。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一物理下学期期中综合复习 第八章 机械能守恒定律 高中物理必修二素养提升 【知识解读】 1. 功和功率 2. 动能和动能定理 . 3. 机械能和机械能守恒定律 4.几种常见的功能关系及其表达式 力做功 能的变化 定量关系 合力的功 动能变化 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力的功 重力势能 变化 (1)重力做正功，重力势能减少 (2)重力做负功，重力势能增加 (3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹力的功 弹性势能 变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少 (2)弹力做负功，弹性势能增加 (3)W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 只有重力、弹簧弹力做功 机械能 不变化 机械能守恒，ΔE＝0 除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功 机械能变化 (1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少 (2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少 (3)W其他＝ΔE 一对相互作用的滑动摩擦力的总功 机械能减少，内能增加 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加 (2)摩擦生热Q＝Ffx相对 5 .能量守恒定律 【核心考点】 考点一　恒力做功的分析和计算 1.判断力是否做功及做正、负功的方法 判断根据 适用情况 根据力和位移方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断 根据力和瞬时速度方向的夹角判断 常用于质点做曲线运动 根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力做功的判断 2.恒力做功的计算方法 (1)恒力做的功 直接用W＝Flcos α计算或用动能定理计算。 (2)合力做的功 方法一:先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求功，尤其适用于已知质量m和加速度a的情况。 方法二:先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。 方法三:利用动能定理，合力做的功等于物体动能的变化量。 考点二　变力做功的分析和计算 变力做功常见的五种计算方法 方法 情境说明 方法总结 微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做的功为Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR 等效 转换 法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做的功为 W＝F· 平均 力法 弹簧由伸长量为x1被继续拉至伸长量为x2的过程中，克服弹簧弹力做的功为W＝Δx＝·(x2－x1) 图像法 在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功 动能定 理法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做的功为WF，则有WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ) 考点三　功率的分析与计算 1.平均功率的计算方法 (1)利用。 (2)利用＝F cos α，其中为物体运动的平均速度。 2.瞬时功率的计算方法 (1)直接代公式P＝Fvcos α计算，其中v为物体的瞬时速度。 (2)先分解再计算，P＝FvF，其中vF为物体的瞬时速度v在力F方向上的分速度;或者P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在瞬时速度v方向上的分力。 例1 (2024·浙江6月选考，5)一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为2×10 －4 m2，喷水速度约为10 m/s，水的密度为1×103 kg/m3，则该喷头喷水的功率约为(　　) A.10 W B.20 W C.100 W D.200 W 考点四　机车启动问题 模型1:以恒定功率启动 模型2:以恒定加速度启动 例2 (2025·广东佛山模拟)国际联运列车从开通至今已经完成2万多次运输。列车采用内燃加锂电池的混合动力电传动方式进行驱动，整车最大功率为750 kW，行驶过程中受到的阻力恒定，速度最高为108 km/h，已知列车的总质量为5×104 kg，列车以最大功率启动，下列说法正确的是(　　) A.行驶过程中列车受到的阻力为2.5×104 N B.以最大速度行驶时，列车1小时内通过的位移一定是108 km C.列车以15 m/s的速度行驶时加速度是1 m/s2 D.列车加速过程中的平均速率是15 m/s 例3 (2025·湖南长沙模拟)一辆质量为m的小汽车在水平地面上由静止开始运动，其功率随速度的变化关系如图所示，其中AB段平行于v轴，汽车匀速运动阶段的速度为vB。根据图像，下列说法正确的是(　　) A.速度增大到vA的过程中，汽车的加速度逐渐减小，当v＝vA时，a＝0 B.汽车与地面间的摩擦力大小为Ff＝ C.在OA段汽车的位移为x1＝ D.若AB段汽车的位移为x，则AB段汽车运动的时间t＝ 考点五　动能定理的理解与基本应用 1.两个关系 (1)数量关系:合力做的功与物体动能的变化具有等量代换关系，但并不是说动能的变化就是合力做的功。 (2)因果关系:合力做功是引起物体动能变化的原因。 2.标量性 动能是标量，功也是标量，所以动能定理是一个标量式，不存在方向的选取问题，当然动能定理也就不存在分量的表达式。 例4 (2025·河北邯郸模拟)使用如图所示的卸货装置从高处卸下货物时，先将质量为m的货物放置在倾角为α、长为L的粗糙木板上端，货物开始加速下滑的同时，自动液压杆启动并逐渐缩短，液压杆装置最终完全缩回到地面以下，货物以较小的速度v水平向右滑出木板，完成卸货。已知重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　) A.木板对货物做功为mv2－mgLsin α B.木板对货物做功为mv2 C.摩擦力对货物做功为mv2－mgLsin α D.支持力对货物不做功 考点六　应用动能定理求变力做功 在有变力做功的过程中，变力做功无法直接通过功的公式求解，可用动能定理W变＋W恒＝m－m求解。物体初、末速度已知，恒力做功W恒可由公式求出，得到W变＝mm－W恒，就可以求出变力做的功了。 考点七　动能定理与图像问题的结合 常与动能定理结合的五类图像 考点八　机械能守恒的理解与判断 判断机械能守恒的三种方法 考点九　单物体的机械能守恒问题 1.表达式 2.一般步骤 例5 (2024·全国甲卷，17)如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小(　　) A.在Q点最大 B.在Q点最小 C.先减小后增大 D.先增大后减小 考点十　多物体的机械能守恒问题 解决多物体系统机械能守恒的注意点 (1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。 (2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。 模型1　轻绳连接的物体系统机械能守恒 常见 情景 三点 提醒 ①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。 ②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 ③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒;但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。 例6 (2024·辽宁大连模拟)如图所示，质量为m的物体P套在固定的光滑水平杆上。轻绳跨过光滑的滑轮O和O'，一端与物体P相连，另一端与质量为2m的物体Q相连。用手托住物体Q使整个系统处于静止状态，此时轻绳刚好拉直，且AO＝L，OB＝h，AB<BO'，重力加速度为g。现释放物体Q，让二者开始运动，下列说法正确的是(　　) A.开始运动后，当物体P速度最大时，物体Q速度最小 B.在物体P从A滑到B的过程中，P的速度增加，Q的速度减小 C.在物体P从A滑到B的过程中，P的机械能减少，Q的机械能增加 D.物体P运动的最大速度为2 模型2　轻杆连接的物体系统机械能守恒 常见 情景 模型 特点 ①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。 ②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 ③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。 例7 (2025·河北廊坊高三期末)如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，在斜面体左侧的适当位置固定一光滑竖直硬杆，质量均为m的两小球(均视为质点)用长为L的轻质硬杆连接，甲套在竖直硬杆上，乙放置在斜面上，甲、乙由静止释放时，轻质硬杆与竖直硬杆的夹角为30°，当轻质硬杆与斜面刚好平行时，乙的动能为(　　) A.mgL B.mgL C.mgL D.mgL 模型3　轻弹簧连接的物体系统机械能守恒 模型 特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。 两点 提醒 ①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。 ②弹簧两端的物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。 例8 如图所示，轻弹簧一端固定于O点，另一端与质量为m的滑块连接，在外力作用下使滑块静止在固定光滑斜面上的A点，此时弹簧恰好水平。将滑块从A点由静止释放，沿斜面经B点运动到位于O点正下方的C点时，滑块的速度大小为v，且弹簧恰处于原长。已知弹簧原长为L，斜面倾角θ＝37°，OB⊥AC，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，不计空气阻力。sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。从A点运动到C点的过程中(　　) A.滑块在B点的加速度等于零 B.滑块在B点的速度最大 C.滑块在A点时弹簧的弹性势能为mv2－mgL D.滑块在A点时弹簧的弹性势能大于在B点时弹簧的弹性势能 考点十一　功能关系的理解和应用 功的正负与能量增减的对应关系 (1)物体动能的增加与减少要看合外力对物体做正功还是做负功。 (2)势能的增加与减少要看对应的作用力(如重力、弹簧弹力、静电力等)做负功还是做正功。 (3)机械能的增加与减少要看重力和弹簧弹力之外的力对物体做正功还是做负功。　 例9(2024·山东卷，7)如图所示，质量均为m的甲、乙两同学，分别坐在水平放置的轻木板上，木板通过一根原长为l的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为d(d<l)。两木板与地面间动摩擦因数均为μ，弹性绳劲度系数为k，被拉伸时弹性势能E＝kx2(x为绳的伸长量)。现用水平力F缓慢拉动乙所坐木板，直至甲所坐木板刚要离开原位置，此过程中两人与所坐木板保持相对静止，k保持不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，则F所做的功等于(　　) A.＋μmg(l－d) B.＋μmg(l－d) C.＋2μmg(l－d) D.＋2μmg(l－d) 考点十二　摩擦力做功与能量转化 两种摩擦力做功特点的比较 　　类型 比较　　 静摩擦力做功 滑动摩擦力做功 不 同 点 能量的 转化 只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能 (1)一部分机械能从一个物体转移到另一个物体 (2)一部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量 不 同 点 一对摩 擦力的 总功 一对静摩擦力所做功的代数和总等于零 一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，总功W＝－Ffs相对，即发生相对滑动时产生的热量 相同点 做功 情况 两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功 例10 (2025·北京高三月考)一木块静止放在光滑水平面上，一颗子弹沿水平方向射入木块，若子弹进入木块的最大深度为x1，与此同时木块沿水平面移动的距离为x2，设子弹在木块中受到的摩擦力大小不变，则在子弹进入木块的过程中(　　) ①子弹损失的动能与木块获得的动能之比为(x1＋x2)∶x2 ②子弹损失的动能与系统损失的动能之比为(x1＋x2)∶x1 ③木块获得的动能与因系统发热损失的动能之比为x2∶x1 ④木块获得的动能与因系统发热损失的动能之比为x1∶x2 A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 例11.如图所示，一个长为L，质量为M的木板，静止在光滑水平面上，一个质量为m的物块(可视为质点)，以水平初速度v0，从木板的左端滑向另一端，设物块与木板间的动摩擦因数为μ，当物块与木板相对静止时，物块仍在长木板上，物块相对木板的位移为d，木板相对地面的位移为s，重力加速度为g。则在此过程中(　　) A.摩擦力对物块做功为－μmg(s＋d) B.摩擦力对木板做功为μmgs C.木板动能的增加量为μmgd D.由于摩擦而产生的热量为μmgs 考点十三　能量守恒定律的理解和应用 1.对能量守恒定律的两点理解 (1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 (2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 2.能量转化问题的解题思路 (1)当涉及摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能量守恒定律。 (2)解题时，首先确定初、末状态，然后分析变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减与增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。 3.涉及弹簧的能量问题 两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点: (1)能量转化方面，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒。 (2)如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同。 例12.(2024·安徽卷，7)在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水平距离约为l。假设抽水过程中H保持不变，水泵输出能量的η倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水的密度为ρ，水管内径的横截面积为S，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵的输出功率约为(　　) A. B. C. D. 例13.(2024·贵州遵义模拟)如图所示，某时刻物块以初速度v0沿粗糙斜面向下运动，此时加上沿斜面向上的恒力F，物块开始向下做匀减速直线运动直至静止。以该时刻物块所在位置为势能零点，若位移为x、速度为v、动能为Ek、重力势能为Ep、机械能为E，则下列图像可能正确的是(　　) 例14 (2024·河北石家庄模拟)如图所示，倾角为θ＝37°的斜面与圆心为O、半径R＝0.9 m的光滑圆弧轨道在B点平滑连接，且固定于竖直平面内。斜面上固定一平行于斜面的轻质弹簧，现沿斜面缓慢推动质量为m1＝0.8 kg的滑块a使其压缩弹簧至A处，将滑块a由静止释放，通过D点时轨道对滑块a的弹力为零。已知A、B之间的距离为L＝1.35 m，滑块a与斜面间动摩擦因数μ＝0.25，C为圆弧轨道的最低点，CE为圆弧轨道的直径，OD水平，滑块a可视为质点，忽略空气阻力，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，≈1.73。 (1)求滑块a在C点时对轨道压力的大小; (2)求滑块a整个运动过程中系统因摩擦而产生的热量; (3)若仅将滑块a换为质量为m2＝0.05 kg的滑块b，滑块b由A点弹出后立即撤去弹簧，求滑块b第一次落在斜面上的位置到B点的距离(结果保留2位有效数字)。 1 学科网（北京）股份有限公司 $