专题06 平面向量数量积及最值与范围问题题型训练-2026届高考数学三轮冲刺

专题06　平面向量数量积及最值与范围问题 题型01 平面向量模、夹角及最值(范围) 1．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·云南文山·月考）（多选）已知向量，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 3．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知向量，，则（    ） A． B．3 C． D．4 4．（25-26高一下·福建南平·月考）已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 5．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为______． 6．（25-26高一下·陕西榆林·月考）已知，与的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 7．（2025·北京东城·二模）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·江西南昌·一模）已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________. 9．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）设单位向量，满足．若，则________；若与的夹角为，且，则实数________． 10．（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知为单位向量，且，则的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D．6 11．（25-26高一下·北京平谷·月考）如图，在正方形中，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则___________，___________． 题型02 平面向量数量积及最值(范围) 12．（24-25高一下·北京通州·期末）在中，，，点在线段上，若，则__________；若，当取得最小值时，___________. 13．（2026·北京房山·一模）已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一下·山东济南·月考）如图，在四边形中，为等边三角形，，则______． 15．（25-26高一下·安徽六安·月考）已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 16．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）如图，在中，P为线段AB上一点（包含端点），且． (1)若，求x，y的值； (2)若，，，且与的夹角为60°，求的值， (3)若，，，且与的夹角为90°，求的取值范围． 17．（25-26高一下·江苏扬州·月考）如图，分别是菱形的边和上的动点，且. (1)若分别是的中点，求； (2)若分别是的中点，是线段上的任意一点，求的最大值； (3)若分别为线段和上的动点，且，求的取值范围. 18．（25-26高一下·陕西宝鸡·月考）已知菱形的边长为，E为直线上的一点，，则的值为__________. 题型03 平面向量与几何的最值 19．（25-26高一下·山东济南·月考）（多选）如图，是边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最大值为4 D．若，则的最大值为 20．（25-26高一下·北京·月考）如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（    ） A．8 B．16 C． D． 21．（25-26高一下·江苏镇江·月考）在菱形中，，点在线段上，则的最小值为 ________. 22．（2026·天津红桥·一模）四边形中，，则实数___________；若是线段上的动点，且，则的最小值为___________． 23．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）（多选）如图，是边长为的等边三角形，是的外接圆圆心，延长与交于点是外接圆上一点，则（    ） A．的最大值为4 B． C． D．当取最大值时，三点共线 24．（25-26高一下·江苏南京·月考）已知点在以为圆心，3为半径的圆上，且，则的取值范围__________. 25．（2026·湖北·二模）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 26．（25-26高三上·河南·月考）已知下图是一个边长为2的田字格（由4个边长为1的小正方形构成），田字格中有9个节点（如图加黑的9个点），，，为这9个点中均不相同的三个点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 题型04 平面向量中参数值及最值(范围) 27．（安徽铜陵市2026届普通高中高三下学期4月模拟考试数学试题）在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高一下·山东济南·月考）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A．7 B．4 C．9 D．11 29．（25-26高一下·河北保定·月考）已知平面内A，B，C三点共线，O是平面内任一点，且，，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 30．（25-26高一下·山东枣庄·月考）在中，点为边上的中点，点满足，点是直线的交点.过点作一条直线交线段于点，交线段于点（其中点均不与端点重合）设，则的最小值为______. 31．（25-26高一下·广东梅州·月考）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则的最小值（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高一下·重庆·月考）如图，设，线段DE与BC交于点，且，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 33．（25-26高三下·宁夏中卫·开学考试）如图，设，线段与交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ） A．5 B．9 C． D． 34．（25-26高一下·广东茂名·月考）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为________ 35．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）在中，内角的对边分别为，已知，的面积为6，P为线段BC上的一点，且 (1)求的值； (2)求的最小值. 强化训练 1．（2026·广东广州·二模）在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三下·重庆·专题练习）已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点A，B，C，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 3．（25-26高一下·湖北武汉·月考）已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 4．（25-26高三下·安徽·月考）已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 5.（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知向量的夹角为，，则（    ） A． B． C．48 D．75 6．（2026·湖南邵阳·二模）已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（   ） A． B．9 C．15 D．20 7．（25-26高一下·江苏淮安·月考）已知线段AB是的一条直径，的半径为R（），点P是上的一点且，则（    ） A．2 B． C．4 D．无法确定 8．（25-26高一下·云南曲靖·月考）（多选）如图，在直角梯形中，，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点，设，则下列说法正确的是（       ） A．和表示 B． C．向量在方向上的投影向量为 D．的取值范围为 9．（25-26高一下·广东梅州·月考）（多选）如图，圆内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则下列正确的是（    ） A．，则的最大值为2 B．的最大值为 C．的最大值为1 D．点为正方形ABCD内一点，则最小值为 10．（24-25高二下·江苏苏州·月考）（多选）若双曲线的左，右焦点分别为，过的右支上一点作圆的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的面积为 B．若为圆上的一动点，则的最小值为 C．四边形面积的最小值为 D．的最小值为 11．（25-26高一下·河南·月考）（多选）如图，已知直线，点是之间的一个定点，点到的距离分别为1和2．点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，则（   ） A． B．面积的最小值是 C． D．不存在最小值 12．（25-26高三上·河南·期末）（多选）某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，则（    ）    A． B． C．设为内一点（含边界），的最小值为6 D．设为等腰梯形内一点（含边界），若，则的取值范围为 13．（25-26高一下·江苏无锡·月考）如图，在中，已知，，，边上的中线为，为边上靠近的四等分点，连接交于点．则 的余弦值为________． 14．（25-26高三下·江西·月考）在三角形中，边上的中线，外心为，重心为，则的取值范围是__________. 15．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）若正方形的边长为2，分别为的中点，为线段上的动点（含端点），则的最小值为__________. 16．（25-26高一下·河北石家庄·月考）已知向量，满足对任意的，都有，若，则的最大值是_______. 17．（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，，设，则的取值范围为________. 18．（25-26高一下·江苏盐城·月考）在梯形ABCD中，，，，AC与BD交于点E，且，点F在线段AB上，且，平面内的动点P满足，则的最大值为_______． 19．（25-26高一下·天津·月考）梯形中平行于，，，，P为腰所在直线上任意一点，则的最小值是___________． 20．（25-26高一下·安徽滁州·月考）已知正八边形的边长为2，点为正八边形的中心，点是正八边形内一动点（含边界），则的最大值是______. 21．（2026·山东滨州·一模）已知点为所在平面内一点，，若，则的取值范围为__________． 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06　平面向量数量积及最值与范围问题 题型01 平面向量模、夹角及最值(范围) 1．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】借助模长与数量积的关系计算可得A、D；借助夹角公式计算可得B，即可得C. 【解析】对A、D：由，得，整理得， 由，得，整理得， 则，所以，，故A，D正确； 对B、C：，所以，所以，反向共线， 又，所以，，故B正确，C错误． 2．（25-26高一下·云南文山·月考）（多选）已知向量，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】AC 【解析】由，， 则，解得或． 3．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知向量，，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】因为向量，， 所以， 所以. 4．（25-26高一下·福建南平·月考）已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】C 【解题思路】根据向量垂直列方程，由此求得，进而确定正确答案. 【解析】因为，所以 ， 由于， 所以. 5．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为______． 【答案】 【解析】因为，，所以． 由于向量与的夹角为锐角，所以，并去掉两者同向共线的情况， 则，且，解得，则的取值范围为． 6．（25-26高一下·陕西榆林·月考）已知，与的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据平面向量的夹角坐标公式求解即可. 【解析】因为，,所以，， 因为与的夹角为，所以. 7．（2025·北京东城·二模）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合数量积定义计算即可得到，再由向量夹角取值范围即可得解. 【解析】由题可得， 又，所以. 故选：B 8．（2026·江西南昌·一模）已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________. 【答案】/ 【解题思路】由向量数量积可得夹角为60°，通过坐标化将条件转化为圆的标准方程，圆心为，半径为，从而的模表示圆上的点到原点的距离，进而求出的最大值. 【解析】由题可知，设夹角为， 则，， 设， ，代入坐标化简得： 故的最大值为原点到圆上的点最大距离，如下图所示， 又圆心，半径，， 故. 9．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）设单位向量，满足．若，则________；若与的夹角为，且，则实数________． 【答案】 【解析】， 因为，所以， 所以； 由于单位向量，满足，即， 因为与的夹角为，所以， 整理可得， 因为，所以. 10．（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知为单位向量，且，则的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D．6 【答案】B 【解题思路】由，得，可得，由，当等号成立时可得最小值. 【解析】由题意知， 则， 得，则， 故， 因为， 所以， 则， 当且仅当与方向相反时“”成立， 所以的最小值为. 11．（25-26高一下·北京平谷·月考）如图，在正方形中，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则___________，___________． 【答案】 / 【解析】以A为原点，建立平面直角坐标系，如图： 不妨设，则，，，. 所以，， 所以，， ，即. 因为直线对应的一次函数的解析式为，直线对应的一次函数的解析式为， 由，所以，， 所以. 题型02 平面向量数量积及最值(范围) 12．（24-25高一下·北京通州·期末）在中，，，点在线段上，若，则__________；若，当取得最小值时，___________. 【答案】 3 【解题思路】第一空，根据P为的中点，确定，利用数量积定义即可额求得答案；第二空，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求得取得最小值时P点坐标，结合即可求得答案. 【解析】由题意知为等腰三角形，，， 当时，P为的中点，则，则， 则； 若，则以的中点为坐标原点O，以为x轴建立平面直角坐标系，    则，设, 则， 当时，取最小值，符合题意， 又，即， 则， 故答案为：3； 13．（2026·北京房山·一模）已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取中点，由可得点轨迹为圆，结合极化恒等式可得，再结合点和圆的位置关系求解范围即可. 【解析】如图所示， 由得，是直角三角形，斜边，取中点， 根据直角三角形斜边中线性质，可得， 即在以原点为圆心、半径的圆上. 根据向量极化恒等式，对任意，为中点， 有 ，代入，得： 因为，在为圆心、半径1的圆上， 所以的范围是：， 即， 故. 14．（25-26高一下·山东济南·月考）如图，在四边形中，为等边三角形，，则______． 【答案】18 【解题思路】先通过勾股定理判断是直角三角形，再通过向量分解将拆分为，最后结合等边三角形的性质即可求得结果. 【解析】因为，即， 所以是直角三角形，且， 因为，所以， 因为是等边三角形，所以， 即. 15．（25-26高一下·安徽六安·月考）已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【解题思路】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可. 【解析】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 16．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）如图，在中，P为线段AB上一点（包含端点），且． (1)若，求x，y的值； (2)若，，，且与的夹角为60°，求的值， (3)若，，，且与的夹角为90°，求的取值范围． 【答案】(1) (2)9 (3) 【解题思路】（1）借助平面向量线性运算法则计算即可得； （2）借助平面向量线性运算法则与数量积公式计算即可得； （3）建立适当平面直角坐标系后，利用平面向量坐标运算及数量积公式计算即可得. 【解析】（1）若，则，即，故； （2）若，则，即， 所以 ； （3）以O为坐标原点可建立如图所示平面直角坐标系， 则，，∴； 设，则，又，∴，即， ∴，∴，， ∴， ∵P为线段AB上一点，∴， ∴，即， ∴的取值范围为. 17．（25-26高一下·江苏扬州·月考）如图，分别是菱形的边和上的动点，且. (1)若分别是的中点，求； (2)若分别是的中点，是线段上的任意一点，求的最大值； (3)若分别为线段和上的动点，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，求出向量的坐标，即可求； （2）设，求出，，表示出，利用二次函数的性质可得答案； （3）设，表示出，利用二次函数的性质可得答案. 【解析】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则， ，由分别是的中点， ， ； （2）由（1）知，设，则， .当时，取得最大值为-2. （3）设，由得，，当时， 取得最大值为，当时，取得最小值为的范围为 18．（25-26高一下·陕西宝鸡·月考）已知菱形的边长为，E为直线上的一点，，则的值为__________. 【答案】或 【解题思路】根据，分情况讨论和 时，根据向量的运算法则及数量积的运算即可求解. 【解析】因为菱形的边长为，，所以， 当时，，， . 当时，D为的中点，则，， . 所以的值为或. 题型03 平面向量与几何的最值 19．（25-26高一下·山东济南·月考）（多选）如图，是边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最大值为4 D．若，则的最大值为 【答案】AD 【解析】对A：因为为的中点，所以，故A正确； 对B：因为是边长为2的等边三角形，所以，，， 所以，故B错误； 对C：因为，所以的最大值为2，故C错误； 对D：因为，， 由， 所以. 又， 由，故D正确. 20．（25-26高一下·北京·月考）如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（    ） A．8 B．16 C． D． 【答案】B 【解题思路】取线段的中点，连接、、，可得出，结合向量模的三角不等式可求得的最小值. 【解析】取线段的中点，连接、、，如下图所示：    因为，所以， 因为四边形为矩形，则， 因为， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为. 21．（25-26高一下·江苏镇江·月考）在菱形中，，点在线段上，则的最小值为 ________. 【答案】8 【解题思路】通过建立平面直角坐标系，将向量坐标化，把数量积转化为二次函数，再结合自变量的取值范围即可求得最小值. 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则， 设，其中，所以， 所以， 因为二次函数的二次项系数， 所以其图象开口向上，对称轴为， 又因为，所以当时，取得最小值，， 即的最小值为8. 22．（2026·天津红桥·一模）四边形中，，则实数___________；若是线段上的动点，且，则的最小值为___________． 【答案】 / 【解题思路】（1）根据和向量的数量积定义式计算. （2）建立平面坐标系，设，用表示出，根据二次函数性质得出最小值． 【解析】 因为，所以， 又因为，所以， 所以， 所以； 过作，垂足为， 所以为直角三角形，， 所以，， 由勾股定理可得，， 以为原点，以，所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示： 由，可知，， 则，设， 由可得：，， 所以，， 所以， 当时，取得最小值. 23．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）（多选）如图，是边长为的等边三角形，是的外接圆圆心，延长与交于点是外接圆上一点，则（    ） A．的最大值为4 B． C． D．当取最大值时，三点共线 【答案】ABC 【解题思路】对于A，由外接圆直径为的最大值可判断；对于B，由向量投影与数量积的关系可判断； 对于C，由等边三角形重心的向量性质可判断；对于D，由的几何意义与点的位置可判断. 【解析】对于A，因为的边长为，外接圆的半径，所以的最大值为，故A正确； 对于B，由题意知，所以，故B正确； 对于C，等边三角形的外接圆圆心也是重心，所以，所以，故C正确； 对于D，当取最大值时，点是圆的最右边的点，即过点O的水平线与圆在右侧的交点， 此时在上的投影向量的模最大，显然不满足，三点共线，故D错误. 24．（25-26高一下·江苏南京·月考）已知点在以为圆心，3为半径的圆上，且，则的取值范围__________. 【答案】 【解题思路】根据题意可得是圆的直径，结合向量线性运算用表示，再结合向量不等式求解范围. 【解析】由，可得是圆的直径，因此是的中点，故. 因为 ，且， 所以. 因为，，则， 所以， 即，当且仅当共线时等号成立. 25．（2026·湖北·二模）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 【答案】D 【解题思路】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解. 【解析】根据题意可得，所以， 又因为，，所以，， 设，则，所以，， 所以 令，在上单调递增，在上单调递减， 故最大值为40， 故选：D． 26．（25-26高三上·河南·月考）已知下图是一个边长为2的田字格（由4个边长为1的小正方形构成），田字格中有9个节点（如图加黑的9个点），，，为这9个点中均不相同的三个点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解题思路】建立直角坐标系，点在原点，任取两点作为向量坐标，求解即可. 【解析】建立如图所示的直角坐标系， 9个点的坐标为，，，，，，，，， 若点在原点，任取两点作为向量坐标，发现或取得最大值， 故的最大值为6. 经检验可知，当，，取其他坐标时，的值均不会超过6. 故选：C. 题型04 平面向量中参数值及最值(范围) 27．（安徽铜陵市2026届普通高中高三下学期4月模拟考试数学试题）在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用三点共线的向量表示求得的等量关系式，再利用基本不等式求得的最小值. 【解析】因为是的中点，所以， 由于三点共线，所以，其中， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 28．（25-26高一下·山东济南·月考）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A．7 B．4 C．9 D．11 【答案】C 【解题思路】首先根据三点共线的充要条件得，然后运用均值定理求最值. 【解析】因为三点共线， 不共线且在线段上， 由可得且, 则， 当且仅当且，解得时，等号成立. 29．（25-26高一下·河北保定·月考）已知平面内A，B，C三点共线，O是平面内任一点，且，，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解题思路】由条件得到，然后巧妙地利用“1”的变形，将转化为，再利用基本不等式求出其最小值即可. 【解析】因为平面内A，B，C三点共线，所以， 所以，即. 又因为，所以，所以. 因为，所以 . 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为9. 30．（25-26高一下·山东枣庄·月考）在中，点为边上的中点，点满足，点是直线的交点.过点作一条直线交线段于点，交线段于点（其中点均不与端点重合）设，则的最小值为______. 【答案】 【解题思路】由题意作交于F，可推出，利用向量的线性运算推出，结合题意推出，根据三点共线可得，结合“1”的妙用，即得，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【解析】作交于F，连接 ，则∽，故， 由于点为边上的中点，故， ，故，又∽，故， 故， 则 ， 由于，，故， 因为三点共线，故， 所以， 当且仅当，结合，即时等号成立， 即的最小值为. 31．（25-26高一下·广东梅州·月考）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用向量的中线公式及“爪子”定理，得，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【解析】因为点是的中点，则，又，则， 又三点共线，则，所以，得到， 由，得到，所以， 又，则， 当且仅当，即时取等号， 所以. 32．（25-26高一下·重庆·月考）如图，设，线段DE与BC交于点，且，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量的线性运算，结合向量共线定理可得，即可利用基本不等式求解最值. 【解析】解：由，，又，故，所以. 因为，所以，又三点共线， 所以. 因此，当，时，， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为. 33．（25-26高三下·宁夏中卫·开学考试）如图，设，线段与交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ） A．5 B．9 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解析】由，三点共线，得，即， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故最小值为. 34．（25-26高一下·广东茂名·月考）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为________ 【答案】 【解题思路】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【解析】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则， 故，整理得， 结合同向和可得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 35．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）在中，内角的对边分别为，已知，的面积为6，P为线段BC上的一点，且 (1)求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）应用正余弦定理的边角关系及向量数量积的定义，结合已知可得，再由三角形的面积公式列方程求各边长； （2）根据是上的点，结合（1）得到，，进而得，最后应用基本不等式的“1”的代换求目标式的最小值. 【解析】（1）由，则， 所以，故，则，故， 由，则， 综上，； （2）由，且是上的点， 所以，且， 所以，则， 当且仅当，且，即时取等号， 所以的最小值. 强化训练 1．（2026·广东广州·二模）在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先根据数量积公式确定的形状，再代入投影向量的公式. 【解析】两边平方得，即， 又两边平方得， 即，即， 如图，，向量与的夹角为， 所以向量在上的投影向量为. 2．（2026高三下·重庆·专题练习）已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点A，B，C，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【解析】建立如图所示的直角坐标系， 则这16个点的坐标分别为,,,,,,,,,,,,,,,． 若A点在原点，任取以上两点作为点的坐标，则， 于是，则要使取得最大值，需使尽可能取到最大，且两点坐标不能相同， 考虑到或两情况时，取得最大， 经检验可知，当，取其他坐标时，的值均不会超过15， 故的最大值为15． 3．（25-26高一下·湖北武汉·月考）已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解题思路】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【解析】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 4．（25-26高三下·安徽·月考）已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，向量，满足，，， 所以， 则在上的投影向量为. 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知向量的夹角为，，则（    ） A． B． C．48 D．75 【答案】A 【解题思路】根据垂直关系，可得的值，根据数量积公式，可得，对所求平方，整理计算，即可得答案. 【解析】因为，所以，即，则， 所以，解得， 所以. 6．（2026·湖南邵阳·二模）已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（   ） A． B．9 C．15 D．20 【答案】C 【解题思路】根据向量数量积的定义，三角形的面积公式求得的面积，依题意求出的值，利用基本不等式“1”的妙用求解. 【解析】因，则， 则，于是， ，和的面积分别为1，，， ，，， ， 当且仅当时，即，等号成立， 的最小值是. 7．（25-26高一下·江苏淮安·月考）已知线段AB是的一条直径，的半径为R（），点P是上的一点且，则（    ） A．2 B． C．4 D．无法确定 【答案】C 【解题思路】根据向量数量积的几何意义，求出在上投影向量的长，再求出的值即可. 【解析】 如图所示，过作于，则，， 设，则， 在中，根据勾股定理可得, 代入得，解得， 所以，则. 8．（25-26高一下·云南曲靖·月考）（多选）如图，在直角梯形中，，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点，设，则下列说法正确的是（       ） A．和表示 B． C．向量在方向上的投影向量为 D．的取值范围为 【答案】AC 【解题思路】利用平面向量的线性运算和基本定理，结合投影向量定义、二次函数性质求解即可. 【解析】对于A， ，A正确； 对于B，因OM交AC于N，设， 则由选项A知， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则， 所以，所以，即，B错误； 对于C，设， ， 又有， 所以向量在方向上的投影向量为，C正确； 对于D，由已知， 因D是线段BC上动点，则令， ， 又不共线，则有，得， 因为，即， 因为在上单调递增， 所以当时，，当时， 所以的取值范围是，D错误． 9．（25-26高一下·广东梅州·月考）（多选）如图，圆内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则下列正确的是（    ） A．，则的最大值为2 B．的最大值为 C．的最大值为1 D．点为正方形ABCD内一点，则最小值为 【答案】ABD 【解题思路】建立平面直角坐标系，根据向量数量积以及三角函数的最值求解即可. 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则，. 圆的方程为，在弧上. 选项A.因为，所以. 设，则. 则. 因为最大值为，故最大值为，正确. 选项B.，在的最大值为​​， 故​，正确. 选项C.， 则. 因为，所以的最大值为，错误. 选项D.由三角不等式，对任意点：，​， 故 等号在为正方形中心时取到，最小值为，正确. 10．（24-25高二下·江苏苏州·月考）（多选）若双曲线的左，右焦点分别为，过的右支上一点作圆的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的面积为 B．若为圆上的一动点，则的最小值为 C．四边形面积的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】由双曲线方程可得：，，实半轴长，虚半轴长； 圆的圆心为，半径； 对于A，，， 由双曲线定义知，， 即，解得：， ，A错误； 对于B，由双曲线定义知， （当且仅当在线段上时取等号）， 的最小值为，B正确； 对于C，四边形的面积， 为双曲线右支上的一点，可设， ， ，，， 即四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，， 由C知：，， 由对勾函数单调性可知：（当且仅当时取等号）， 的最小值为，D正确. 11．（25-26高一下·河南·月考）（多选）如图，已知直线，点是之间的一个定点，点到的距离分别为1和2．点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，则（   ） A． B．面积的最小值是 C． D．不存在最小值 【答案】ACD 【解题思路】根据题意建立直角坐标系，根据及，即可找到，，三点的坐标关系，分别写出，，即可判断A；取中点为，连接，根据，可得，，三点共线，且为靠近的三等分点，即可找到面积与面积之间比例关系，结合基本不等式即可判断B；求出，再根据基本不等式可判断C；写出进行化简，根据的范围即可得到的最值情况判断D. 【解析】设中点为，连接，以为原点，，方向分别为，轴建立如图所示直角坐标系，    则，，设，，，，，，且， 所以，，因为，所以， 即，故，即， 所以，，， 因为，所以，即， 因为，故，所以A正确； 因为，所以，即， 所以，，三点共线，且为靠近的三等分点， 所以 ， 当且仅当，即时取等，所以B错误； 因为， 所以， 当且仅当，即时取等，故，所以C正确； 因为，； 所以， 因为且，所以， 记，由函数和在上递增， 可知在上单调递增，没有最值，即没有最小值，所以D正确. 12．（25-26高三上·河南·期末）（多选）某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，则（    ）    A． B． C．设为内一点（含边界），的最小值为6 D．设为等腰梯形内一点（含边界），若，则的取值范围为 【答案】ACD 【解题思路】延长交于点，则有，，利用向量的线性运算判断A；由平面数量积的运算判断B；利用在上投影向量的最小模长，求的最小值判断C；过点作直线的平行线，分别交，于点，由向量的运算可知点在线段上，可求的取值范围判断D. 【解析】A，延长交于点，易知是等边三角形，有， 四边形是平行四边形，， ，故正确； B，由A可知，是边长为4的等边三角形， ，故错误. C，在上的投影向量的模长的最小值为，，正确. D，过点作直线的平行线，分别交，于点，. 因为，点在线段上， 当点与点重合时，， 当点与点重合时，，所以的取值范围为，正确. 故选：ACD    13．（25-26高一下·江苏无锡·月考）如图，在中，已知，，，边上的中线为，为边上靠近的四等分点，连接交于点．则 的余弦值为________． 【答案】 【解题思路】建立直角坐标系，根据向量夹角的余弦值求解即可. 【解析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 则，，是中点，故； 由，，得； 是上靠近的四等分点， 由定比分点公式得 . 为向量与的夹角，所以. 因为，， 所以， ，. 进而． 14．（25-26高三下·江西·月考）在三角形中，边上的中线，外心为，重心为，则的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】以A为原点，AB所在直线为x轴，过点A，且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，求出重心坐标结合基本不等式求出的范围，再求出外心坐标即可利用两点间距离公式求解. 【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，过点A，且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，重心，即， 则由边上的中线得，即， 所以，故，当且仅当时等号成立， 所以即， 因为外心O在AB中垂线上，也在AC中垂线上，，AC中点为， 所以AC中垂线所在直线方程为， 将代入得， 所以外心， 则， 所以的取值范围是. 15．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）若正方形的边长为2，分别为的中点，为线段上的动点（含端点），则的最小值为__________. 【答案】/ 【解题思路】借助正方形的特点，建立合适的平面直角坐标系，求出的坐标，进而可得到的表达式，根据线段的方程及二次函数的性质可求其最值. 【解析】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为分别为的中点，所以. 又为线段上的动点（含端点），故可设. 所以， 所以. 由知之间的关系为，所以， 将代入可得 ， 又，所以当时，取得最小值. 16．（25-26高一下·河北石家庄·月考）已知向量，满足对任意的，都有，若，则的最大值是_______. 【答案】 【解题思路】数形结合推出即可由题意得到，再由基本不等式即可求解. 【解析】如图， 对任意，都有， 令，则， 则由t的任意性可得，即， 所以， 所以由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以. 17．（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，，设，则的取值范围为________. 【答案】 【解题思路】根据给定条件，确定线段中点的轨迹，再借助圆外的点与圆上点距离最值求法求解. 【解析】取线段的中点，由，得为等边三角形，， 因此点在以为圆心，以3为半径的圆上运动，则，而，于是， 所以， 所以的取值范围为. 18．（25-26高一下·江苏盐城·月考）在梯形ABCD中，，，，AC与BD交于点E，且，点F在线段AB上，且，平面内的动点P满足，则的最大值为_______． 【答案】 【解题思路】根据得到，再以A为原点建立直角坐标系，再根据向量数量积求解即可. 【解析】由得，. 以为原点，为轴建立直角坐标系，则，. 设，则. 由得：，即 ①； 由，相似比得​​， 故​，即 ②. ②-①得： ，代入①得​，因此，. 由得，动点满足， 故轨迹为以为圆心，半径1的圆. 设，为与x轴的夹角. 进而， ， 所以，其中. 故的最大值为. 19．（25-26高一下·天津·月考）梯形中平行于，，，，P为腰所在直线上任意一点，则的最小值是___________． 【答案】 【解题思路】利用建系的方法，假设，分别计算以及，然后令，最后根据二次函数的性质即可. 【解析】依据题意，建立如图所示平面直角坐标系， 设，由， ， 则， ， 令，则， ， 当时，有. 20．（25-26高一下·安徽滁州·月考）已知正八边形的边长为2，点为正八边形的中心，点是正八边形内一动点（含边界），则的最大值是______. 【答案】/ 【解题思路】先通过向量的分配律将表达式合并为，再结合正八边形的性质与向量数量积的几何意义，将最大值问题转化为求投影长度的最大值即可. 【解析】如图，取边的中点，连接和，设与交于点， 则由正八边形的性质易得为的中点， 则， 当点在边上时，在上的投影向量为，此时取得最大值， 因为正八边形的边长为2，，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 又， 所以， 所以的最大值为. 【点睛】利用正八边形的对称性，将转化为共线的，把数量积的最大值问题转化为在上的投影最大值，是解决本题的关键. 21．（2026·山东滨州·一模）已知点为所在平面内一点，，若，则的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】先由条件可得，再建立平面直角坐标系得，再进一步判断点A在优弧上，落在角的终边上，再用三角函数来解决取值范围问题. 【解析】由，所以点为的外心， 因为，所以. 设，再以点为原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 则， 所以， 又因为，所以，即. 又因为，所以点A在优弧上，所以落在角的终边上， 由三角函数的定义有，即， 所以，又因为，所以， ，，所以. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $