专题07一元二次函数的图像与性质（讲义）-2027年广东省《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 一元二次函数的图像与性质 【复习目标】 1.掌握一元二次函数的定义，能准确判断给定函数是否为一元二次函数； 2.熟练掌握一元二次函数的三种表达形式； 3.牢记一元二次函数的图像与性质； 4.理解一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的内在联系。 【考点1 一元二次函数的定义及性质】 1.一元二次函数的定义：形如 的函数叫做一元二次函数.它的定义域是R，图象是一条抛物线. 2.二次函数 的性质： 图象 定义域 R R 对称轴 顶点坐标 值域 单调区间 减区间 增区间 增区间 减区间 最值 时 时 奇偶性 当 时二次函数是偶函数 3.二次函数 图象与系数的关系： (1)a是二次项系数，决定抛物线的开口方向：时，开口向上；时，开口向下. (2)c是常数，表示抛物线在 y 轴上的截距. (3)b是一次项系数，a与b 影响对称轴 的位置：若，则对称轴在x轴左侧；若 0，则对称轴在x 轴右侧；若b=0时，对称轴是 y轴. 4.二次函数 图象的相关性质： (1)与x轴的交点个数，如上图： 图象与x轴有2个交点； 图象与x轴有1个交点； ，图象与x轴没有交点. (2)特殊点的坐标：知横求纵，知纵求横. 与y轴的交点坐标：(0，c)；与x 轴的交点坐标： 5.二次函数的对称轴 (1)若一元二次函数,则对称轴 (2)的对称轴为 【即时训练】 一、单选题 1．已知二次函数，则它的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可得解. 【详解】二次函数， 则对称轴为， 故选：. 2．二次函数，则顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的方程求出顶点坐标. 【详解】二次函数，对称轴为. 当时，. 所以顶点坐标为. 故选：. 3．下列点在函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把选项四个点的坐标分别代入到函数解析式判断即可. 【详解】对于选项A：当时，，所以点不在函数图像上，故A错误； 对于选项B：当时，，所以点不在函数图像上，故B错误； 对于选项C：当时，，所以点不在函数图像上，故C错误； 对于选项D：当时，，所以点在函数图像上，故D正确， 故选：D. 4．若，则函数与的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数和二次函数的性质分析即可. 【详解】因为，所以指数函数在R上单调递增，故A，D错误， 因为，所以， 所以二次函数的图像开口向上，故B正确，C错误. 故选：B. 5．若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，利用二次函数的单调性和对称性即可求解. 【详解】因为函数，故抛物线开口向上， 故函数在时有最小值， 所以离越近的其函数值越小， 故. 故选：B 6．下列关于一元二次函数图像和性质说法正确的是（   ） A．对称轴是 B．当时，函数有最小值为 C．增区间为 D．与轴的交点坐标为 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】一元二次函数， 对称轴为，故错误； 图像为开口向上的抛物线，当时，函数有最小值为，故正确； 减区间为，故错误； 当时，，所以函数与轴交点坐标为，故错误， 故选：. 7．若函数在区间上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的图像是开口向上的抛物线，要使函数图像在上单调递减，即抛物线的对称轴恒成立. 【详解】二次函数对称轴， 当时，函数图像在上递减， 解得． 故选：B. 8．对于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，函数值有最小值是1 【答案】C 【分析】根据题意，结合二次函数的图象和性质，即可判断求解. 【详解】因为， 因为，所以函数图象开口向上，故选项A正确，不符合题意； 令，则，所以函数图象的对称轴为，故选项B正确，不符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项C错误，符合题意； 当时，函数取得最小值1，故选项D正确，不符合题意； 故选：C. 9．已知函数，其对称轴是，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据二次函数的对称轴公式列方程求解即可. 【详解】已知函数， 对称轴是， 即，解得， 故选：D. 10．已知函数的图像关于直线对称，则（    ） A． B． C．7 D．25 【答案】D 【分析】先由二次函数的对称轴求解m的值，再求解的值即可. 【详解】因为函数的图像关于直线对称， 所以可知，解得， 所以函数为， 所以. 故选：D. 11．已知函数满足，对称轴为，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数的单调性和对称性，即可判断函数值的大小. 【详解】函数满足，对称轴为， 该函数为二次函数，图象开口向下，在对称轴右侧单调递减， 由对称轴为，可得， 因为，所以，即. 故选：A. 12．若二次函数在上是减函数，在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意知， 二次函数在上是减函数，在上是增函数， 即对称轴为直线，则， 所以. 故选：D. 13．已知二次函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合二次函数的图像及其单调性，即可求解. 【详解】因为二次函数， 所以抛物线开口向上，对称轴为， 又在上单调递增， 所以，解得. 即实数的取值范围是. 故选：C. 14．二次函数在内是减函数，在内是增函数，则（   ） A．3 B．11 C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性知道函数的对称轴求出，再求函数值易得答案. 【详解】因为二次函数在内是减函数，在内是增函数， 所以对称轴为直线，所以，解得， ， 所以. 故选：C. 15．已知二次函数有最小值，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的单调性求解. 【详解】二次函数有最小值，则，开口向上， 当时，有最小值， ∴ ∴， 故选：B. 16．若二次函数的最大值为-1，则m等于（    ） A．-2 B．2 C．-1或1 D．-2或2 【答案】D 【分析】运用二次函数在对称轴处取最值即可求解. 【详解】由题意得，即，，解得或. 故选：D. 二、填空题 17．已知函数，函数图像开口方向 _______． 【答案】向下 【分析】根据函数二次项系数的正负，即可判断函数图像的开口，即可解题． 【详解】∵函数的二次项系数为负， ∴函数图像开口方向向下， 故答案为:向下． 18．二次函数的最小值是_________． 【答案】6 【分析】将二次函数配方，根据二次函数的图像和性质可求解. 【详解】由二次函数可知， 对称轴为，开口向上， 所以，当时，. 故答案为：6 19．若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是____． 【答案】 【分析】先由二次函数的性质求出单调增区间，再利用对称轴与区间的位置关系即可求解. 【详解】二次函数，系数为，函数图像开口向上， 对称轴为， 函数在单调递减，在单调递增， 因为函数在区间 上单调递增，所以， 则的取值范围是， 故答案为： 【考点2 二次函数的三种形式】 1.一般式: 对称轴： 2.顶点式: 其中(m，n)为抛物线顶点；对称轴：. 3.交点式: 其中，为二次方程 的两根，或函数与x轴的交点的横坐标；对称轴为 求一元二次函数解析式时，常根据条件先假设函数解析式，然后求出相应的系数，这种方法是中学数学中常用的一种方法——待定系数法. 【即时训练】 一、选择题 1.二次函数 的顶点坐标是（ ） A.(1,2) B.(-2,19) C.(4, 3) D.(1,-3) 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式求顶点坐标公式.. 【详解】由顶点公式可知顶点坐标为(1, 2)。 故选：A 2.二次函数的开口方向和顶点坐标分别是（ ） A.向上(2,5) B.向下，(-2,5) C.向上，(-2,-5) D.向下，(2,-5) 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点式.. 【详解】由二次函数，可知所以开口向下，顶点坐标为(-2, 5)。 故选：B 3.已知二次函数与轴交于(1, 0)和(5,0)，且过点(0,5)，则其交点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的交点式.. 【详解】由二次函数，可设二次函数为，且函数图像经过(0,5)所以，解得故二次函数的交点式为。 故选：A 4.将 化为顶点式后，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点式.. 【详解】由二次函数。 故选：A 5.二次函数 的图像过点 (0, 0)、(1, 3)、(-1, -5)，则其解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的一般式.. 【详解】二次函数 的图像过点 (0, 0)、(1, 2)、(-1, -4)得到解得故二次函数的解析式为。 故选：C 6.二次函数 与 x 轴的交点坐标是（ ） A.(1,0)和(3,0) B.(-1,0)和(5,0) C.(2,0)和(6,0) D.(0,3)和(4,0) 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的交点式.. 【详解】二次函数，由交点式可知函数图像与x轴的交点为(-1,0)和(5,0)。 故选：B 7.若二次函数 的顶点在第二象限，且开口向上，则 h 和 k 的符号为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点式.. 【详解】由二次函数 可知函数的顶点为顶点在第二象限所以。 故选：B 8.二次函数的对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质对称轴.. 【详解】由对称轴为可知。 故选：A 9.已知二次函数的顶点为(2,-3)，且经过点 (3,-7)，则其顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点式.. 【详解】设二次函数 已知函数经过点 (3,-7)所以解得。 故选：B 1.（2025·广东·真题T15）已知表示与的最大值，，若，，当时，求函数的最小值（   ） A．4 B．1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，结合二次不等式的解法和分段函数的表示方法，先表示出函数，结合函数在每段区间上得值域，比较即可求得函数的最小值. 【详解】由题意，令，即， 所以，分解因式得，解得或， 令，即， 所以，分解因式得，解得， 所以当时，， 所以当或时，函数的值域为； 当时，函数的值域为； 综上所述，当时，函数取得最小值1. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 一元二次函数的图像与性质 【复习目标】 1.掌握一元二次函数的定义，能准确判断给定函数是否为一元二次函数； 2.熟练掌握一元二次函数的三种表达形式； 3.牢记一元二次函数的图像与性质； 4.理解一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的内在联系。 【考点1 一元二次函数的定义及性质】 1.一元二次函数的定义：形如 的函数叫做一元二次函数.它的定义域是 ，图象是一条 . 2.二次函数 的性质： 图象 定义域 R R 对称轴 顶点坐标 值域 单调区间 减区间 增区间 增区间 减区间 最值 时 时 奇偶性 当 时二次函数是偶函数 3.二次函数 图象与系数的关系： (1)a是二次项系数，决定抛物线的开口方向：时，开口 ；时，开口 . (2)c是常数，表示抛物线在 y 轴上的截距. (3)b是一次项系数，a与b 影响对称轴 的位置：若，则对称轴在x轴左侧；若 0，则对称轴在x 轴右侧；若b=0时，对称轴是 y轴. 4.二次函数 图象的相关性质： (1)与x轴的交点个数，如上图： 图象与x轴有 个交点； 图象与x轴有 个交点； ，图象与x轴 交点. (2)特殊点的坐标：知横求纵，知纵求横. 与y轴的交点坐标： ；与x 轴的交点坐标： ， 。 5.二次函数的对称轴 (1)若一元二次函数,则对称轴 (2)的对称轴为 【即时训练】 一、单选题 1．已知二次函数，则它的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 2．二次函数，则顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．下列点在函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则函数与的图象大致是（    ）． A．B． C． D． 5．若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 6．下列关于一元二次函数图像和性质说法正确的是（   ） A．对称轴是 B．当时，函数有最小值为 C．增区间为 D．与轴的交点坐标为 7．若函数在区间上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 8．对于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，函数值有最小值是1 9．已知函数，其对称轴是，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 10．已知函数的图像关于直线对称，则（    ） A． B． C．7 D．25 11．已知函数满足，对称轴为，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 12．若二次函数在上是减函数，在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 13．已知二次函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．二次函数在内是减函数，在内是增函数，则（   ） A．3 B．11 C． D． 15．已知二次函数有最小值，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 16．若二次函数的最大值为-1，则m等于（    ） A．-2 B．2 C．-1或1 D．-2或2 二、填空题 17．已知函数，函数图像开口方向 _______． 18．二次函数的最小值是_________． 19．若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是____． 【考点2 二次函数的三种形式】 1.一般式: 对称轴： 2.顶点式: 其中(m，n)为抛物线顶点；对称轴： . 3.交点式: ，其中，为二次方程 的两根，或函数与x轴的交点的横坐标；对称轴为 求一元二次函数解析式时，常根据条件先假设函数解析式，然后求出相应的系数，这种方法是中学数学中常用的一种方法——待定系数法. 【即时训练】 一、选择题 1.二次函数 的顶点坐标是（ ） A.(1,2) B.(-2,19) C.(4, 3) D.(1,-3) 2.二次函数的开口方向和顶点坐标分别是（ ） A.向上(2,5) B.向下，(-2,5) C.向上，(-2,-5) D.向下，(2,-5) 3.已知二次函数与轴交于(1, 0)和(5,0)，且过点(0,5)，则其交点式为（ ） A. B. C. D. 4.将 化为顶点式后，正确的是（ ） A. B. C. D. 5.二次函数 的图像过点 (0, 0)、(1, 3)、(-1, -5)，则其解析式为（ ） A. B. C. D. 6.二次函数 与 x 轴的交点坐标是（ ） A.(1,0)和(3,0) B.(-1,0)和(5,0) C.(2,0)和(6,0) D.(0,3)和(4,0) 7.若二次函数 的顶点在第二象限，且开口向上，则 h 和 k 的符号为（ ） A. B. C. D. 8.二次函数的对称轴是（ ） A. B. C. D. 9.已知二次函数的顶点为(2,-3)，且经过点 (3,-7)，则其顶点式为（ ） A. B. C. D. 1.（2025·广东·真题T15）已知表示与的最大值，，若，，当时，求函数的最小值（   ） A．4 B．1 C．0 D．2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $