专题8函数的应用（练习）-2027年广东省《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》练习 专题8 函数应用 一、解答题 1．某住宅小区为改善绿化环境，决定利用一边靠墙（墙的长度为25米）的空地修建一块矩形草地，该矩形草地一边靠墙，另外三边用总长度为40米的材料围住，设矩形草地的其中一边的长为米，草地的面积为平方米.    (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当为何值时，能使满足条件的矩形草地面积最大？ 【答案】(1) (2)当米时，能使矩形草地面积最大，且最大值为200平方米 【分析】（1）根据题意先表示出矩形另一边的边长，再由矩形面积公式列出与之间的函数关系式，并根据墙长和边长大于0的原则写出自变量的取值范围； （2）由（1）得出函数解析式，利用配方法求出函数最大值. 【详解】（1）根据题意，因为边的长为米，则边长为米， 所以矩形草地的面积， 又因为墙的长度为25米，且矩形边长大于0， 所以自变量应满足， 即与之间的函数关系式为. （2）由（1）可知，矩形面积， 又，所以当时，， 所以当米时，能使矩形草地面积最大，且最大值为200平方米. 2．如图，某景点计划用篱笆围成一个周长为米的六边形花圃，要求连接后，四边形为矩形，四边形为梯形，且．设米，矩形的面积为S平方米，花圃总面积为T平方米．    (1)写出S关于x的函数解析式； (2)求当S取得最大值时T的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立函数模型即可. （2）根据二次函数的顶点式确定取得最值时的取值，再过C点作于点H，根据等腰梯形的性质即可得出的长，再由梯形面积公式求值即可. 【详解】（1）设米，由， 得矩形的一边长米， 另一边长米， 矩形面积， 关于x的函数解析式为. （2）由， 可知当时，（平方米）， 过C点作于点H， 因为，所以四边形为等腰梯形，    当时，， 所以. 等腰梯形的面积 ∴当S取得最大时，花圃总面积平方米. 3．春节前期，某超市出售某种进价为110元/千克的开心果，调查发现，若以130元/千克的价格出售，平均每天可销售这种开心果30千克，销售价格每降低1元，平均每天可多销售20千克（售价不得低于115元/千克）.设每千克降低售价x元（x为正整数），每天的销售利润为y元. (1)求y与x的函数关系式； (2)开心果的单价定为多少时，每天可获得最大利润？每天获得的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)121元/千克，最大利润为2310元. 【分析】（1）每天的销售利润=降价后每千克的销售利润多销售的千克数），根据售价的范围可得 自变量的取值； （2）由解析式易得二次函数的对称轴，进而得到离对称轴最近的整数，算出相应的利润即可. 【详解】（1）， 因为售价不得低于115元/千克， 所以， 则， 故与的函数关系式为. （2）因为， 因为， 所以函数的图象的开口向下，在处有最大值. 又因为为正整数， 所以当时，， 时，， 所以开心果的单价为元/千克时，每天可获得最大利润，最大利润为2310元. 4．某公司分别在A、B两城生产同种产品，共300件，A城生产产品的成本y（元）与产品数量x（件）之间具有函数关系，B城生产产品每件的成本为50元. (1)若A城的成本为3080元，则B城的成本为多少元？ (2)当A城生产多少件产品时，A、B两城生产这批产品的总成本最少，最少为多少元？ 【答案】(1)元. (2)当A城生产20件时，A、B两城生产这批产品的总成本最少，最少为14680元. 【分析】（）将代入中求出A城生产产品的数量为，所以B城生成的数量为，即可得解. （）根据题意列出函数解析式，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）A城生产产品的成本y（元）与产品数量x（件）之间具有函数关系， 令，则， 且，所以， A城成本3080元生产了50件产品， 即B城的成本为元. （2）设A、B两城生产这批产品的总成本为W元， ，， 当时，W有最小值， ， 当A城生产20件时，A、B两城生产这批产品的总成本最少，最少为14680元. 5．有一块边长为8 cm的等边三角形木板，现要从中截取一块矩形材料，如图所示，求所截得的矩形的最大面积. 【答案】 【分析】由图表示出，表示出矩形面积，再根据二次函数的性质求出矩形面积的最大值. 【详解】设，则. 在Rt中， ， 所以当时面积取得最在值. 6．某城市拟在小公园的空地上用篱笆围一个花圃，每条线段都用篱笆.如图所示，其中四边形是矩形，三角形是等边三角形.已知现有篱笆总长度为. (1)建立花圃面积为与的函数关系式； (2)当为何值时，矩形花圃面积最大. 【答案】(1)， (2)当时，矩形花圃面积最大，最大面积为8平方米 【分析】（1）根据篱笆的总长度得到，再根据矩形面积公式，建立函数关系. （2）根据二次函数的性质，求解. 【详解】（1）因为四边形是矩形，所以，， 又因为三角形是等边三角形，所以， 篱笆的总长度为16m，则， 即，故， 所以矩形的面积， 又，得，则，所以的取值范围为. （2）花圃面积， 即时，， 所以当时，矩形花圃面积最大，最大面积为8平方米. 7．一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中，点D、E、F分别在BC，AB，AC上，要使剪出的矩形CDEF的面积最大，点D应在何处？ 【答案】点D为BC的中点 【分析】设，在中，，则有，矩形的面积，由二次函数的性质，可求矩形的面积最大时的值，据此可得解. 【详解】在△ABC中，，，， ∴△ABC为等腰直角三角形，， ∴． 设， 在△EDB中，，， ∴，则， ∴矩形CDEF的面积， ∴当时，S有最大值， ． 故点D为BC的中点时，矩形CDEF的面积最大. 8．有根木料长为42米，要做成一个如图所示“日”字型的矩形窗框.已知上框架与下框架的高的比为，设上窗框木料的高为米，窗框的面积为.（注：中间木档的面积可忽略不计，此矩形窗框的上中下有三条横边.）    (1)求关于的函数解析式； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，先表示出矩形窗框的长和宽及取值范围，结合矩形面积公式即可求解. （2）根据二次函数求最值，利用配方法结合题意即可求解. 【详解】（1）因为上框架与下框架的高的比为，上窗框木料的高为米， 所以下框架的高为米，矩形窗框的高为米，故窗框的横边长为米， 由题意得，解得， 所以窗框的面积为. （2）由（1）知， 又， 所以当米时，窗框的面积最大为平方米. 9．某市在开展的创建文明城市的活动中，某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成（如图所示），若设花园的BC边长为xm，花园的面积为．求： (1)y与x之间的函数关系式； (2)当x取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1) (2)，最大面积是． 【分析】（1）根据长方形面积公式列函数关系式. （2）根据二次函数性质求最值. 【详解】（1）由题意可知，， ， 则y与x之间的函数关系式为． （2）由（1）可知，， ∵， ∴当时，y有最大值， ， 故，即时，花园的面积最大，最大面积是． 10．如图，用一根长为的铁丝围成一个底角为的等腰梯形．设梯形的腰长为，面积为（铁丝的粗细不计）． (1)写出关于的函数解析式，并求当时的值； (2)求当为何值时，取最大值？并求出最大值． 【答案】(1)；当时， (2)当时，取最大值 【分析】（1）先通过等腰梯形的性质求出上底、下底和高与腰长的关系，进而求出函数解析式，再代入求值； （2）根据二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）如图，设梯形的上底为，下底为，高为．因为腰长为，底角为， 由题意可知，，， 又梯形的周长为， ， 梯形的面积关于的函数解析式为． 其中需满足的条件是即， 关于的函数解析式为． 当时，． （2）由（1）知的定义域为， 对称轴为， 又，显然，在上随的增大而增大， 在上，随的增大而减小． 当时，面积有最大值，． 11．如图，在中，，，，D、E、F分别在、、上，且，，设． (1)用x表示四边形的边的长度； (2)若四边形的面积为y，写出y与x的函数关系式； (3)当x为何值时y最大？最大值为多少？ 【答案】(1) (2)y (3)， 【分析】（1）根据平行线分线段成比例可求解； （2）过D作，垂足为H，根据直角三角的边角关系，将表示出来，据此可求解； （3）根据二次函数的性质可求解. 【详解】（1）∵， ∴，即， 所以； （2）在Rt中，， 过D作，垂足为H， 则， 由题意知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （3）由（2）可知， ∴ ∴当，. 12．如图，在一面靠墙的空地上用长24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花雨，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃的面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)当x取3时所围成的花圃的面积最大，最大值是 (3) 【分析】（1）根据题意结合长方形面积公式得出函数解析式. （2）根据二次函数求最值即可. （3）根据二次函数的单调性，求二次函数的最值即可. 【详解】（1）设为x米，米， 所以， 这里且， 解得. 所以S与x的函数关系式为，自变量的取值范围. （2）由（1）可知， 因为， 所以当时，有最大值为. 即当x取3时所围成的花圃的面积最大，最大值是. （3）若墙的最大可用长度为米， 则且， 解得， 由， 且可知， 当，函数单调递减， 所以当，有最大值为. 即若墙的最大可用长度为8米，则最大面积是平方米. 一、解答题 13．某商场将进货单价为 20 元的围巾， 当按 24 元的单价出售时， 每天能卖出 200 条， 若单价每提高 1 元， 其每天的销量减少 10 条， 问: 围巾的售价定为多少时， 利润最大? 最大利润是多少? 【答案】围巾售价为元时利润最大，最大利润为 1440 元 【分析】根据题意列出二次函数解析式，再结合二次函数的性质求出最值即可. 【详解】设每条围巾价格提高 元，则围巾的售价为 元，围巾销量比原销量下降 条，现在销量为 条， 即， 因为，所以二次函数图像开口向下，有最大值， 当 时， 最大利润 （元）， 即围巾售价提高 8 元，售价为 (元) 时利润最大，最大利润为 1440 元. 14．某工厂生产一种机器的固定成本为10000元，且每生产1部，需要加大投入20元．对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入函数为，其中x是年产量，且． (1)若x为年产量，y表示利润，求的解析式； (2)在（1）的条件下，当年产量为何值时，工厂的年利润不少于17000元？ 【答案】(1) (2)当年产量在之间，且x为正整数时，利润不少于17000元 【分析】（1）根据题意，结合等量关系“利润=销售收入-总成本”，即可求解． （2）根据函数的解析式，利用二次函数的图像和性质，即可求解． 【详解】（1）因为销售收入函数为， 所以利润函数 ； （2）由题意可得，即， 所以，即， 解得，又， 所以， 即当年产量在之间，且x为正整数时，利润不少于17000元． 15．某文化传媒企业响应国家号召，积极参与持续推进企业出海经营，为了解每月的利润（单位：万元）与每月广告投入费用（单位：万元）之间的函数关系，统计了前四个月每月的广告投入费用与每月的利润的相关数据（见下表）．当每月广告投入费用不超过10万元时，企业初步计划用函数模型和，研究变量与之间的函数关系． 月份 第1个月 第2个月 第3个月 第4个月 每月的广告投入费用（单位：万元） 2 4 8 10 月利润（单位：万元） 4 8 31 64 (1)利用第1、2个月数据，求与之间的函数解析式（定义域不作要求）； (2)利用第3、4个月数据，判断应该选择哪个模型才更合理； (3)每月广告投入费用超过10万元时，与满足函数关系．结合（2）中的结果，请问：当在什么范围内时，每月的利润不少于64万元？每月的最大利润为多少？ 【答案】(1)；． (2)选择指数型函数模型. (3)，100万元. 【分析】（）根据题意结合待定系数法即可得解. （）分别算出对应的值，判断哪个模型更贴近表格数据即可得解. （）根据题意解一元二次不等式，再利用二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）①代入函数模型得，解得， ∴与之间的函数解析式为． ②代入函数模型得，解得， ∴与之间的函数解析式为． （2）选择二次函数模型得； 选择数型数型函数模型得，； ∴指数型函数模型更贴近表格数据，故选择指数型函数模型． （3）由（2）可知：当时，利润； 而当时，令，解得，∴． 综上所述，的范围是． ∵，∴当时，， ∴每月的最大利润为100万元． 16．上海迪士尼乐园投资156万元引进一项大型游乐设施，预计开放后每月可创收33万元.而该游乐设施开放后，从第1个月起到第个月的累计维修保养费用为万元，且，若维修保养费用第1个月为2万元，第1个月到第2个月的累计维修保养费用为6万元．求： (1)关于的解析式； (2)纯收益关于的解析式；（纯收益创收一投资一维修保养费用） (3)设施开放几个月后，纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？ 【答案】(1). (2) (3)设施开放16个月后，纯收益最大，6个月后，能收回投资. 【分析】（）根据题意列出方程组求出的值即可得解. （）根据题意列出函数关系式即可得解. （）根据二次函数的性质及解一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得,解得 ∴. （2）由题意 ，纯收益创收一投资一维修保养费用， 所以， 所以. （3）由（2）得， ∴当时，，即设施开放16个月后，纯收益最大，为100万元； 令，解得，即6个月后，能收回投资． 17．2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：．已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的 (1)求常数c和k的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【答案】(1)，. (2)训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高. 【分析】（）根据得出，根据图像是连续的，得出即可得解. （）根据题意得出的解析式，利用基本不等式公式及二次函数的性质求出分段函数的最大值即可得解. 【详解】（1），即， 函数图象是连续不断的， ， 解得． （2）由（1）知， 则， 当时，， 当且仅当，即时取等号． 当，即时，， 由二次函数的性质可知，当，即时，函数取最大值， ， ，即， 时，函数取最大值4． 则训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高． 18．学校超市以每个元的进价采购了一批保温杯，经调查发现，当售价为每个元时，每周能卖出个保温杯；售价每降低1元，每周能多卖出个保温杯．设每个保温杯的售价定为元，且每周最多可以卖出个保温杯． (1)当每个保温杯的售价元时，每周可以卖出多少个保温杯？ (2)当每个保温杯的售价定为多少元时，能获得最大周利润？最大周利润是多少？ 【答案】(1) (2)当每个保温杯的售价定为52元时，能获得最大周利润，最大周利润是1440元 【分析】（1）根据题意，令列式求值即可. （2）根据“利润=单件利润销售量”的等量关系，及二次函数求最值的方法，即可求解. 【详解】（1）每个保温杯的售价元， 即售价降低了元， 则每周能多卖出个保温杯． 因此当每个保温杯的售价元时， 每周可以卖出个保温杯． （2）每个保温杯的售价元， 即售价降低了元， 则每周能多卖出个保温杯， 于是， 即每周能卖出个保温杯． 根据题意得，即，于是有． 根据题意得周利润． 整理得． 配方得． 因为，所以当时，有最大值． 因此当每个保温杯的售价定为元时， 能获得最大周利润，最大周利润是元． 19．一间宾馆有70间客房，每间客房的房费为120元/天，该宾馆在旺季每天都客满，现商家想在合理范围内涨价，若每间客房涨30元/天，则每天会空5间客房，这种情况下，商家该如何定价，能使其每天的收益最大. 【答案】商家将客房的租金定为270（元）时，能使客房每天的收益最大 【分析】根据题意求出函数解析式后，取二次函数的最值即可. 【详解】设每间客房的租金提高x元每天，每天客房的租金总收入为y元. 根据题意可列函数解析式： 所以当，每天的收益最大，收益最大为元， 所以商家将客房的租金定为元时，能使客房每天的收益最大. 20．有一条长24米的篱笆，要靠着一面12米长的围墙围成一个矩形花园，若花园垂直墙面的一边长为米，花园的面积为平方米．    (1)将表示为的函数，写出函数解析式，并写出的取值范围； (2)当取何值时，取得最大值？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，最大值为72平方米 【分析】（1）设定垂直墙面的边长为，得到矩形平行于墙面的一边为，即可得到面积的函数. （2）由（1）得到的关于的函数，结合二次函数的性质，即可解得. 【详解】（1）设垂直墙面的一边长为米，则矩形平行于墙面的一边为米． 矩形面积，其中 ∴的取值范围是． （2）函数是二次函数，二次项系数，图像开口向下， 对称轴为，且对称轴在的取值范围内， ∴当时，取得最大值，（平方米）． 21．如图，用长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的五边形，苗圃，已知，，设，苗圃的面积为    (1)求S的函数关系式并写出定义域； (2)当x为何值时，矩形ABCE的面积最大?并求出最大面积. 【答案】(1) (2)当时，最大面积为 【分析】（1）根据三角形面积公式和矩形你面积公式列函数解析式即可. （2）根据二次函数的最值公式求值即可. 【详解】（1）连接，因为， 所以， 由题意可知， 所以， ， 所以.    （2）由(1)知 当时有 ， ∴当时矩形ABCE有最大面积. 22．如图所示，假设篱笆（虚线部分）的长度是18m，如何围篱笆才能使其所围矩形的面积最大？矩形的最大面积是多少？    【答案】当时，面积最大为. 【分析】根据题意设出，得出面积表达式，利用二次函数的性质即可得解. 【详解】根据图像，设，，则， 矩形面积， 图像为开口向下的抛物线，对称轴为， ，所以当时，面积最大为， 所以当时，面积最大为. 23．如图所示，矩形的两边长，，点、分别从、同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动.设运动时间为秒，的面积为.    (1)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当取何值时，的面积取最大值？并求出最大面积. 【答案】(1)，. (2)当秒时，的面积取最大值，最大面积为. 【分析】（）根据题意列出不等式组即可得解. （）根据题意结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）依题意，运动秒后，， 则， 因为点在上运动，点在上运动， 所以，解得， 即的取值范围是. （2）由（1）得， 当时，有最大值， 即当秒时，的面积取最大值，最大面积为. 24．如图，在中，，点D是线段AC上的一个动点（不含端点A，B），．设，矩形的面积为．    (1)当时，求的值； (2)写出关于的函数解析式，并求的最大值． 【答案】(1) (2)，最大值为3 【分析】（1）解法一：利用写出比例关系求出即可；解法二：利用求出，从而求出，进而得到答案； （2）解法一：与（1）中解法一类似，利用相似三角形的性质用x表示出，从而可表示出面积，利用二次函数的性质即可求出其最大值；解法二：与（1）中解法二类似，用x表示出，进而表示出，从而可得，利用二次函数性质即可求解． 【详解】（1）解法一：∵四边形是矩形． ∴，， ∴， ∴，即，解得． ∴． 解法二：∵， ∴，即，解得． ∴． ∴． （2）解法一：由，知． 由（1）知，即，解得． ∴． 函数图象开口向下，对称轴， ∴当时，． ∴当时，矩形面积最大，最大值为3． （或：∴． ∴当时，． ∴当时，矩形面积最大，最大值为3． 解法二：由（1）知，即，解得． ∴． ∴． 函数图象开口向下，对称轴． ∴当时，． ∴当时，矩形面积最大，最大值为3． （或：∴． ∴当时，． ∴当时，矩形面积最大，最大值为3． 二、填空题 25．市场调查所得产品月销售量（件）与销售价格（元）的数据如下表，经分析发现销售量是关于销售价格的一次函数，若此产品的成本价为24元/件，则当产品售价为__________元时可获得最大利润. 售价（元） 30 35 40 45 销售量（件） 400 300 200 100 【答案】37 【分析】先根据给定数据求出销售量关于销售价格的一次函数表达式，再建立利润关于售价的函数，最后根据二次函数性质求出最大利润时的售价. 【详解】由题意，可设（）， 将和代入中， 可得方程组，解得，， 所以. 设利润为元，已知成本价为元/件， 则， 函数图象开口向下，对称轴为， 所以当产品售价为元时可获得最大利润. 故答案为：37. 1.（2026·广东·真题T22）已知函数的图像经过点. （1）求的值； （2）设函数，求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入函数中即可求解； （2）根据指数函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 ∵函数的图像经过点， ∴，解得； 【小问2详解】 由（1）知，，且， 若，则，即， ∵函数在R上为单调递增函数， ∴，解得， ∴不等式的解集为. 2.（2025·广东·真题T23）如图，校区内有一个矩形场地，矩形长10米，宽8米，中间做一个矩形草坪，四周小正方形的长与宽均为，设中间草坪面积为平方米 .    (1)求中间草坪面积与的函数关系式； (2)中间草坪面积大于矩形面积时，求的取值范围. 【答案】(1). (2), 【分析】（1）根据题意，可求出函数得定义域，结合矩形的面积公式，即可求得函数解析式. （2）根据题意，结合二次不等式的解法，即可列式求解. 【详解】（1）由题意，，即， 中间草坪面积， 所以函数关系式为. （2）因为中间草坪面积大于矩形面积， 即， 所以， 分解因式得， 解得或， 又， 所以， 即的取值范围是. 3.（2024·广东·真题T23）如图1，用长为18m的篱笆围成一个一边靠墙的五边形，苗圃，已知，，，设，苗圃面积为. (1)求S关于函数关系式，并写出该函数定义域； (2)当x为何值时，苗围的面积最大?并求出最大面积. 【答案】(1)，定义域为. (2)时，面积取得最大值为 【分析】（1）在三角形中由余弦定理求出，再由周长得到，计算三角形和矩形面积之和即可，再由边长大于零列式求函数定义域. （2）配方法求二次函数最值及对应值即可. 【详解】（1） 连接EC，由于用长为18m的篱笆成五边形，已知，， 则由余弦定理得：， 所以，由于，则， 所以五边形ABCDE面积等于和矩形ABCE之和： ， ， 所以五边形ABCDE面积：， 由可得，则其定义域为. 所以. （2）， 当时，面积取得最大值为. 4.（2022·广东·真题T21）在平面直角坐标系中，为坐标原点，是函数图像上一点，点、分别在轴和轴上，四边形为矩形． (1)求矩形的面积； (2)若矩形的周长为，求点的坐标． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）设，再由矩形的性质可得，再由矩形的面积公式列式即可求值. （2）联立方程组，求解即可. 【详解】（1）如图，设，因为四边形为矩形， 所以， 因为，是函数图像上一点， 所以，即， 所以矩形面积为， （2）由（1）可知， 由矩形的周长为，得， 联立方程组，整理得， 解得或， 所以点的坐标为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》练习 专题8 函数应用 一、解答题 1．某住宅小区为改善绿化环境，决定利用一边靠墙（墙的长度为25米）的空地修建一块矩形草地，该矩形草地一边靠墙，另外三边用总长度为40米的材料围住，设矩形草地的其中一边的长为米，草地的面积为平方米. (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当为何值时，能使满足条件的矩形草地面积最大？ 2．如图，某景点计划用篱笆围成一个周长为米的六边形花圃，要求连接后，四边形为矩形，四边形为梯形，且．设米，矩形的面积为S平方米，花圃总面积为T平方米． (1)写出S关于x的函数解析式； (2)求当S取得最大值时T的值． 3．春节前期，某超市出售某种进价为110元/千克的开心果，调查发现，若以130元/千克的价格出售，平均每天可销售这种开心果30千克，销售价格每降低1元，平均每天可多销售20千克（售价不得低于115元/千克）.设每千克降低售价x元（x为正整数），每天的销售利润为y元. (1)求y与x的函数关系式； (2)开心果的单价定为多少时，每天可获得最大利润？每天获得的最大利润是多少？ 4．某公司分别在A、B两城生产同种产品，共300件，A城生产产品的成本y（元）与产品数量x（件）之间具有函数关系，B城生产产品每件的成本为50元. (1)若A城的成本为3080元，则B城的成本为多少元？ (2)当A城生产多少件产品时，A、B两城生产这批产品的总成本最少，最少为多少元？ 5．有一块边长为8 cm的等边三角形木板，现要从中截取一块矩形材料，如图所示，求所截得的矩形的最大面积. 6．某城市拟在小公园的空地上用篱笆围一个花圃，每条线段都用篱笆.如图所示，其中四边形是矩形，三角形是等边三角形.已知现有篱笆总长度为. (1)建立花圃面积为与的函数关系式； (2)当为何值时，矩形花圃面积最大. 7．一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中，点D、E、F分别在BC，AB，AC上，要使剪出的矩形CDEF的面积最大，点D应在何处？ 8．有根木料长为42米，要做成一个如图所示“日”字型的矩形窗框.已知上框架与下框架的高的比为，设上窗框木料的高为米，窗框的面积为.（注：中间木档的面积可忽略不计，此矩形窗框的上中下有三条横边.） (1)求关于的函数解析式； (2)求面积的最大值. 9．某市在开展的创建文明城市的活动中，某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成（如图所示），若设花园的BC边长为xm，花园的面积为．求： (1)y与x之间的函数关系式； (2)当x取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？ 10．如图，用一根长为的铁丝围成一个底角为的等腰梯形．设梯形的腰长为，面积为（铁丝的粗细不计）． (1)写出关于的函数解析式，并求当时的值； (2)求当为何值时，取最大值？并求出最大值． 11．如图，在中，，，，D、E、F分别在、、上，且，，设． (1)用x表示四边形的边的长度； (2)若四边形的面积为y，写出y与x的函数关系式； (3)当x为何值时y最大？最大值为多少？ 12．如图，在一面靠墙的空地上用长24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花雨，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃的面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则最大面积是多少？ 一、解答题 13．某商场将进货单价为 20 元的围巾， 当按 24 元的单价出售时， 每天能卖出 200 条， 若单价每提高 1 元， 其每天的销量减少 10 条， 问: 围巾的售价定为多少时， 利润最大? 最大利润是多少? 14．某工厂生产一种机器的固定成本为10000元，且每生产1部，需要加大投入20元．对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入函数为，其中x是年产量，且． (1)若x为年产量，y表示利润，求的解析式； (2)在（1）的条件下，当年产量为何值时，工厂的年利润不少于17000元？ 15．某文化传媒企业响应国家号召，积极参与持续推进企业出海经营，为了解每月的利润（单位：万元）与每月广告投入费用（单位：万元）之间的函数关系，统计了前四个月每月的广告投入费用与每月的利润的相关数据（见下表）．当每月广告投入费用不超过10万元时，企业初步计划用函数模型和，研究变量与之间的函数关系． 月份 第1个月 第2个月 第3个月 第4个月 每月的广告投入费用（单位：万元） 2 4 8 10 月利润（单位：万元） 4 8 31 64 (1)利用第1、2个月数据，求与之间的函数解析式（定义域不作要求）； (2)利用第3、4个月数据，判断应该选择哪个模型才更合理； (3)每月广告投入费用超过10万元时，与满足函数关系．结合（2）中的结果，请问：当在什么范围内时，每月的利润不少于64万元？每月的最大利润为多少？ 16．上海迪士尼乐园投资156万元引进一项大型游乐设施，预计开放后每月可创收33万元.而该游乐设施开放后，从第1个月起到第个月的累计维修保养费用为万元，且，若维修保养费用第1个月为2万元，第1个月到第2个月的累计维修保养费用为6万元．求： (1)关于的解析式； (2)纯收益关于的解析式；（纯收益创收一投资一维修保养费用） (3)设施开放几个月后，纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？ 17．2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：．已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的 (1)求常数c和k的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 18．学校超市以每个元的进价采购了一批保温杯，经调查发现，当售价为每个元时，每周能卖出个保温杯；售价每降低1元，每周能多卖出个保温杯．设每个保温杯的售价定为元，且每周最多可以卖出个保温杯． (1)当每个保温杯的售价元时，每周可以卖出多少个保温杯？ (2)当每个保温杯的售价定为多少元时，能获得最大周利润？最大周利润是多少？ 19．一间宾馆有70间客房，每间客房的房费为120元/天，该宾馆在旺季每天都客满，现商家想在合理范围内涨价，若每间客房涨30元/天，则每天会空5间客房，这种情况下，商家该如何定价，能使其每天的收益最大. 20．有一条长24米的篱笆，要靠着一面12米长的围墙围成一个矩形花园，若花园垂直墙面的一边长为米，花园的面积为平方米． (1)将表示为的函数，写出函数解析式，并写出的取值范围； (2)当取何值时，取得最大值？最大值是多少？ 21．如图，用长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的五边形，苗圃，已知，，设，苗圃的面积为 (1)求S的函数关系式并写出定义域； (2)当x为何值时，矩形ABCE的面积最大?并求出最大面积. 22．如图所示，假设篱笆（虚线部分）的长度是18m，如何围篱笆才能使其所围矩形的面积最大？矩形的最大面积是多少？    23．如图所示，矩形的两边长，，点、分别从、同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动.设运动时间为秒，的面积为. (1)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当取何值时，的面积取最大值？并求出最大面积. 24．如图，在中，，点D是线段AC上的一个动点（不含端点A，B），．设，矩形的面积为． (1)当时，求的值； (2)写出关于的函数解析式，并求的最大值． 二、填空题 25．市场调查所得产品月销售量（件）与销售价格（元）的数据如下表，经分析发现销售量是关于销售价格的一次函数，若此产品的成本价为24元/件，则当产品售价为__________元时可获得最大利润. 售价（元） 30 35 40 45 销售量（件） 400 300 200 100 1.（2026·广东·真题T22）已知函数的图像经过点. （1）求的值； （2）设函数，求不等式的解集. 2.（2025·广东·真题T23）如图，校区内有一个矩形场地，矩形长10米，宽8米，中间做一个矩形草坪，四周小正方形的长与宽均为，设中间草坪面积为平方米 .    (1)求中间草坪面积与的函数关系式； (2)中间草坪面积大于矩形面积时，求的取值范围. 3.（2024·广东·真题T23）如图1，用长为18m的篱笆围成一个一边靠墙的五边形，苗圃，已知，，，设，苗圃面积为. (1)求S关于函数关系式，并写出该函数定义域； (2)当x为何值时，苗围的面积最大?并求出最大面积. 4.（2022·广东·真题T21）在平面直角坐标系中，为坐标原点，是函数图像上一点，点、分别在轴和轴上，四边形为矩形． (1)求矩形的面积； (2)若矩形的周长为，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $