专题8函数的应用（讲义）-2027年广东省《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 函数的应用 【复习目标】 1.掌握函数应用的核心思路：明确“实际问题→数学建模→求解模型→回归实际”的完整流程 2.牢记常见的函数应用场景，包括但不限于：利润最大化、产量最优、用料最省、成本最低、路程与时间、产量与产值等，明确不同场景下对应的函数类型（重点是一元二次函数的应用）。 【考点1 函数的应用】 1、函数应用的内涵 把实际问题转化为数学问题 （1）最值问题，最值问题常可利用基本初等函数的性质求函数值来解决，因此，解题的关键是构造恰当的函数。在现实生活中涉及最大、最低、最省等问题的实际背景广泛存在，一般先构造函数，然后利用单调性、值域、二次函数等方法求出最值，再还原为实际问题的解，期中利用二次函数求最值的应用最为广泛，要学生灵活应用。 （2）销售问题，要认真读题，理解销售术语的含义及关系，如“单价”“销售量”“成本”“销售收入”“利润”等,通过构造二次函数求出最值. 2、处理函数应用的步骤 （1）读题:即读题目,弄清题目中的相关量的关系及其数学含义 （2）建模:常见数学模型有一次函数、反比例函数、分段函数、二次函数等 （3）求解：用相应的数学知识和方法去求解函数 （4）检验：把解出的数学结论放回到实际问题中去检验，得出符合条件的结论。 【即时训练】 一、单选题 1．已知一个扇形的周长为8，则该扇形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形的面积公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，周长为，面积为, 由题意得，则， 因为且，所以， 所以该扇形面积， 所以，当，. 故选：C. 2．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶米时，水面宽米，若水面下降米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】由二次函数的实际应用即可得解. 【详解】    根据题意以水面为轴,以水面离桥顶米时的水面中点为原点,建立平面直角坐标系.画出图像,则抛物线的顶点为,与轴的两个交点为. 令抛物线的解析式为过点. 所以解得. 所以抛物线的解析式为即. 当水面下降米即时. . 解得. 此时水面宽为:米. 故选:. 3．某公司销售一种节能灯，其成本为每个10元，销售量（个）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数，不考虑其他因素，要获得最大利润，该公司应把节能灯的销售单价定为（   ） A．30元 B．35元 C．40元 D．45元 【答案】A 【分析】根据题意列出函数，结合一元二次函数的性质分析求解. 【详解】销售单价（元），成本为每个10元， 若该公司销售节能灯每月的利润为元， 则， 所以当销售单价为30时，有最大利润，为4000元， 故选：A. 4．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与与两面墙的距离分别为4和2．不考虑树的粗细，现在想用16长的栅栏，借助墙角围成一个矩形的花坛，并要求将这棵树围在花坛内或在花坛的边界上，则花坛的最小面积为（    ）.    A．24 B．28 C．32 D．36 【答案】B 【分析】根据树与墙的距离以及栅栏长度建立矩形花坛面积的表达式，再利用二次函数的性质求出面积的最小值. 【详解】设，, 因为树在花坛内或边上，所以，， 栅栏长为，则，可得， 由，得，又，所以， 矩形花坛的面积， 其图象开口向下，对称轴为， 函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，， 故选：B. 二、填空题 5．用10长的铝合金材料制作一个“日”字形的窗框，当窗框的长和宽分别为________ ，________ 时，窗户的透光面积最大. 【答案】 /2.5 【分析】先根据已知条件建立窗户透光面积关于窗框长或宽的函数表达式，再根据二次函数的性质求出面积的最大值以及此时对应的长和宽. 【详解】设窗框的宽为米， 因为铝合金材料总长为米，所以长为， 由且，得， 所以窗户的透光面积关于的函数表达式为： ， 所以当时，有最大值，此时长为（）. 故答案为：，. 三、解答题 6．2025年国庆假期即将来临，某海边景区的酒店有80间海景房，若每间房每天的住宿费为500元时，房间恰好住满；若将每间房一天的收费标准提升元，则人住的房间数会相应减少间． (1)该酒店每间海景房每天住宿费为多少元时每天的收入不少于60000元？ (2)若该海景酒店每天的固定消耗成本为30000元，每间入住的房间消耗成本为200元，问每间海景房每天住宿费为多少元时利润最大？最大为多少元？ 【答案】(1)每天住宿费在元之间时每天的收入不少于60000元 (2)每天住宿费为1350元时利润最大，最大为22900元 【分析】（1）由题意列出不等式求解； （2）设海景酒店每天的利润为元，得出的表达式，利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）由题意得， 化简得，即，，解得， 当时，；当时，， 所以该酒店每间海景房每天住宿费在元之间时每天的收入不少于60000元． （2）设海景酒店每天的利润为元， 则， 化简得，， 所以当时，， 即每间海景房每天住宿费为1350元时利润最大，最大为22900元． 7．计划用长的钢材构建一个如下图所示的窗框（不考虑钢材的宽度）， 求： (1)窗框面积y与窗框长度x之间的函数关系式． (2)窗框长取多少时，能使窗框的采光面积最大． (3)窗框的最大采光面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，先表示出窗框的宽，求出x的范围，结合“窗框面积=长×宽”的等量关系，即可表示函数解析式； （2）根据题意，结合二次函数的图像和性质，利用配方法，即可求解； （3）根据题意，结合二次函数的图像和性质，利用配方法，即可求得最大值. 【详解】（1）由题知，窗框的长为时，宽为， ，， ，； （2）由（1）知，， 所以当时，， 即当窗框的长为时，窗框的采光面积最大； （3）由（2）知，当时，， 即窗框的最大采光面积为. 8．如图所示，某学校旁边有一块等腰直角三角形荒地，米，计划在这个荒地上建一个矩形的操场，要求顶点分别在直角边上，在斜边上，设的长度为米. (1)求矩形的面积S关于的函数解析式，并求S的最大值； (2)要使操场占地的面积不少于7500平方米，则的长度应在什么范围？ 【答案】(1)函数关系式为，；面积S的最大值为10000平方米 (2) 【分析】（1）根据题意，可判断也是等腰直角三角形，继而表示出米，结合矩形的面积，即可求出函数关系式，结合二次函数的图像和性质，利用配方法，即可求得最值. （2）根据题意，令，结合二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）由题意，若的长度为米，则米，且， 因为是等腰直角三角形，所以， 又，所以也是等腰直角三角形，即米， 所以矩形的面积，； 所以， 所以时，面积S取得最大值，即， 即函数关系式为，，面积S的最大值为10000平方米. （2）由题意，得，即， 所以，解得， 即要使操场占地的面积不少于7500平方米，则的长度应在范围内. 9．矩形的边上有一点，现将其按图示方式裁去一个以为半径的扇形和三角形，得到阴影部分图形，已知，，记阴影部分的面积为，. (1)写出关于的函数表达式； (2)当为何值时有最大值？求的最大值. 【答案】(1) (2)时，有最大值 【分析】（1）根据阴影面积矩形面积扇形面积三角形面积即可列函数表达式. （2）根据二次函数的最值公式求最值即可. 【详解】（1），，所以矩形的面积为， ，则，则扇形的面积为， ，，则三角形的面积为， 所以， 即. （2）由（1）可知， 当时，， . 所以当时，有最大值. 10．有40米长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一个矩形菜地，如图，设矩形菜地的宽为x米． (1)当矩形菜地宽x为5米时，矩形菜地面积是多少平方米？ (2)当矩形菜地宽为多少时，矩形菜地面积取得最大值？菜地的最大面积为多少？ 【答案】(1)150平方米 (2)当矩形菜地宽为10米时，矩形菜地面积取得最大值，最大面积为200平方米 【分析】（1）根据题意，当矩形菜地宽x为5米时，求出矩形菜地的长，结合矩形的面积，即可求解； （2）根据题意，当矩形菜地的宽为x米，表示出长，结合矩形的面积，求出面积S与宽x之间的函数解析式，结合二次函数的图像和性质，利用配方法，即可求解. 【详解】（1）由题意，当矩形菜地宽x为5米时，长为米， 所以矩形菜地面积是平方米； （2）由题意，当矩形菜地的宽为x米，则长为米， 所以，解得， 所以矩形菜地的面积， 所以当米时，面积S取得最大值，即平方米， 此时长为米， 即当矩形菜地宽为10米时，矩形菜地面积取得最大值，最大面积为200平方米. 11．某校靠墙L，用一条长120米的木栏圈起一块矩形ABCD的空地，设米，矩形ABCD的面积为y平方米， (1)y与x的函数关系式； (2)x取何值时y有最大值，最大值是多少? (3)当y取最大值时，计划在矩形ABCD空地内修两相切圆型花坛，花坛四周（阴影部分）为等宽且宽度不小于0.5米的观赏通道，计划是否可行，若可行求出圆半径，若不可行，说明理由. 【答案】(1) (2)当时，y有最大值，最大值是1800 (3)计划不可行，理由见解析 【分析】（1）根据矩形的周长和面积公式即可求y与x的函数关系式； （2）利用二次函数的性质即求的最大值； （3）根据题意求得圆型花坛的半径与观赏通道的宽度，从而得以判断. 【详解】（1）因为靠墙的一边不需要木栏，所以所需木栏长为， 则，， 矩形的面积，. （2）由（1）知， 即， 因为，所以当时，有最大值，最大值为1800. （3）假设计划可行，设圆型花坛的半径为米，观赏通道的宽度为米， 当取最大值时，， 由题意得，解得， 又观赏通道宽度不小于0.5米，则不合题意， 所以该计划不可行. 12．如图，某防洪水渠的横断面是等腰梯形，底宽为，渠深为，斜坡与底边的夹角是，水面与渠底平行且距离为（无水状态不考虑）． (1)试将横断面中水的面积表示成水深的函数； (2)确定函数的定义域和值域． 【答案】(1)（） (2)定义域为，值域为 【分析】（1）利用等腰梯形面积公式，计算得到答案； （2）利用二次函数的性质，确定对称轴和定义域，进而求得值域. 【详解】（1）因为防洪水渠的横断面是等腰梯形，其下底为，斜坡与底边的夹角是45°， 所以其上底为， 又因为高为，水的面积， 所以函数（）． （2）由（1）知，函数的定义域是，对称轴为， 显然在上随的增大而增大， ，， 所以函数的定义域为，值域为． 13．如图所示，某生态农场计划建造一个由矩形ABCD和矩形AEFG组成的“L”形种植区，，其中需要把拐角处边长为的正方形用作灌溉操作区（阴影部分），设实际种植面积为.    (1)写出种植面积关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当取何值时，实际种植面积最大？并求出最大面积. 【答案】(1) (2)时，实际种植面积最大，最大面积是 【分析】（1）先根据题意表示出边长，再根据长方形的面积公式列式求解即可； （2）由二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）∵， ，， 则种植面积. （2）由（1）知， 当时，有最大值， , 即当时，实际种植面积最大，最大面积是. 14．如下图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中米，米.为了合理利用这块钢板，将在五边形内截取一个矩形块，使点在边上.求： (1)设米，米，将表示成的函数，求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形面积的最大值. 【答案】(1)，定义域为. (2)48平方米. 【分析】（1）作于点，用，表示与，利用相似三角形比值相等即可求； （2）由面积公式得出二次函数，利用二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）如图，作于点， 则米，米   ， ∵平行，， ∴，即， 化简得， ，     所求函数的解析式为，定义域为. （2）设矩形面积为， 则，     由二次函数性质可知开口向下，对称轴为， ， 当（米）时，的面积最大（平方米） 所求矩形面积的最大值为48平方米. 1.（2026·广东·真题T22）已知函数的图像经过点. （1）求的值； （2）设函数，求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入函数中即可求解； （2）根据指数函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 ∵函数的图像经过点， ∴，解得； 【小问2详解】 由（1）知，，且， 若，则，即， ∵函数在R上为单调递增函数， ∴，解得， ∴不等式的解集为. 2.（2025·广东·真题T23）如图，校区内有一个矩形场地，矩形长10米，宽8米，中间做一个矩形草坪，四周小正方形的长与宽均为，设中间草坪面积为平方米 .    (1)求中间草坪面积与的函数关系式； (2)中间草坪面积大于矩形面积时，求的取值范围. 【答案】(1). (2), 【分析】（1）根据题意，可求出函数得定义域，结合矩形的面积公式，即可求得函数解析式. （2）根据题意，结合二次不等式的解法，即可列式求解. 【详解】（1）由题意，，即， 中间草坪面积， 所以函数关系式为. （2）因为中间草坪面积大于矩形面积， 即， 所以， 分解因式得， 解得或， 又， 所以， 即的取值范围是. 3.（2024·广东·真题T23）如图1，用长为18m的篱笆围成一个一边靠墙的五边形，苗圃，已知，，，设，苗圃面积为. (1)求S关于函数关系式，并写出该函数定义域； (2)当x为何值时，苗围的面积最大?并求出最大面积. 【答案】(1)，定义域为. (2)时，面积取得最大值为 【分析】（1）在三角形中由余弦定理求出，再由周长得到，计算三角形和矩形面积之和即可，再由边长大于零列式求函数定义域. （2）配方法求二次函数最值及对应值即可. 【详解】（1） 连接EC，由于用长为18m的篱笆成五边形，已知，， 则由余弦定理得：， 所以，由于，则， 所以五边形ABCDE面积等于和矩形ABCE之和： ， ， 所以五边形ABCDE面积：， 由可得，则其定义域为. 所以. （2）， 当时，面积取得最大值为. 4.（2022·广东·真题T21）在平面直角坐标系中，为坐标原点，是函数图像上一点，点、分别在轴和轴上，四边形为矩形． (1)求矩形的面积； (2)若矩形的周长为，求点的坐标． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）设，再由矩形的性质可得，再由矩形的面积公式列式即可求值. （2）联立方程组，求解即可. 【详解】（1）如图，设，因为四边形为矩形， 所以， 因为，是函数图像上一点， 所以，即， 所以矩形面积为， （2）由（1）可知， 由矩形的周长为，得， 联立方程组，整理得， 解得或， 所以点的坐标为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 函数的应用 【复习目标】 1.掌握函数应用的核心思路：明确“实际问题→数学建模→求解模型→回归实际”的完整流程 2.牢记常见的函数应用场景，包括但不限于：利润最大化、产量最优、用料最省、成本最低、路程与时间、产量与产值等，明确不同场景下对应的函数类型（重点是一元二次函数的应用）。 【考点1 函数的应用】 1、函数应用的内涵 把实际问题转化为数学问题 （1）最值问题，最值问题常可利用基本初等函数的性质求函数值来解决，因此，解题的关键是构造恰当的函数。在现实生活中涉及最大、最低、最省等问题的实际背景广泛存在，一般先构造函数，然后利用单调性、值域、二次函数等方法求出最值，再还原为实际问题的解，期中利用二次函数求最值的应用最为广泛，要学生灵活应用。 （2）销售问题，要认真读题，理解销售术语的含义及关系，如“单价”“销售量”“成本”“销售收入”“利润”等,通过构造二次函数求出最值. 2、处理函数应用的步骤 （1）读题:即读题目,弄清题目中的相关量的关系及其数学含义 （2）建模:常见数学模型有一次函数、反比例函数、分段函数、二次函数等 （3）求解：用相应的数学知识和方法去求解函数 （4）检验：把解出的数学结论放回到实际问题中去检验，得出符合条件的结论。 【即时训练】 一、单选题 1．已知一个扇形的周长为8，则该扇形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶米时，水面宽米，若水面下降米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．某公司销售一种节能灯，其成本为每个10元，销售量（个）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数，不考虑其他因素，要获得最大利润，该公司应把节能灯的销售单价定为（   ） A．30元 B．35元 C．40元 D．45元 4．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与与两面墙的距离分别为4和2．不考虑树的粗细，现在想用16长的栅栏，借助墙角围成一个矩形的花坛，并要求将这棵树围在花坛内或在花坛的边界上，则花坛的最小面积为（    ）.    A．24 B．28 C．32 D．36 二、填空题 5．用10长的铝合金材料制作一个“日”字形的窗框，当窗框的长和宽分别为________ ，________ 时，窗户的透光面积最大. 三、解答题 6．2025年国庆假期即将来临，某海边景区的酒店有80间海景房，若每间房每天的住宿费为500元时，房间恰好住满；若将每间房一天的收费标准提升元，则人住的房间数会相应减少间． (1)该酒店每间海景房每天住宿费为多少元时每天的收入不少于60000元？ (2)若该海景酒店每天的固定消耗成本为30000元，每间入住的房间消耗成本为200元，问每间海景房每天住宿费为多少元时利润最大？最大为多少元？ 7．计划用长的钢材构建一个如下图所示的窗框（不考虑钢材的宽度）， 求： (1)窗框面积y与窗框长度x之间的函数关系式． (2)窗框长取多少时，能使窗框的采光面积最大． (3)窗框的最大采光面积． 8．如图所示，某学校旁边有一块等腰直角三角形荒地，米，计划在这个荒地上建一个矩形的操场，要求顶点分别在直角边上，在斜边上，设的长度为米. (1)求矩形的面积S关于的函数解析式，并求S的最大值； (2)要使操场占地的面积不少于7500平方米，则的长度应在什么范围？ 9．矩形的边上有一点，现将其按图示方式裁去一个以为半径的扇形和三角形，得到阴影部分图形，已知，，记阴影部分的面积为，. (1)写出关于的函数表达式； (2)当为何值时有最大值？求的最大值. 10．有40米长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一个矩形菜地，如图，设矩形菜地的宽为x米． (1)当矩形菜地宽x为5米时，矩形菜地面积是多少平方米？ (2)当矩形菜地宽为多少时，矩形菜地面积取得最大值？菜地的最大面积为多少？ 11．某校靠墙L，用一条长120米的木栏圈起一块矩形ABCD的空地，设米，矩形ABCD的面积为y平方米， (1)y与x的函数关系式； (2)x取何值时y有最大值，最大值是多少? (3)当y取最大值时，计划在矩形ABCD空地内修两相切圆型花坛，花坛四周（阴影部分）为等宽且宽度不小于0.5米的观赏通道，计划是否可行，若可行求出圆半径，若不可行，说明理由. 12．如图，某防洪水渠的横断面是等腰梯形，底宽为，渠深为，斜坡与底边的夹角是，水面与渠底平行且距离为（无水状态不考虑）． (1)试将横断面中水的面积表示成水深的函数； (2)确定函数的定义域和值域． 13．如图所示，某生态农场计划建造一个由矩形ABCD和矩形AEFG组成的“L”形种植区，，其中需要把拐角处边长为的正方形用作灌溉操作区（阴影部分），设实际种植面积为. (1)写出种植面积关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当取何值时，实际种植面积最大？并求出最大面积. 14．如下图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中米，米.为了合理利用这块钢板，将在五边形内截取一个矩形块，使点在边上.求： (1)设米，米，将表示成的函数，求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形面积的最大值. 1.（2026·广东·真题T22）已知函数的图像经过点. （1）求的值； （2）设函数，求不等式的解集. 2.（2025·广东·真题T23）如图，校区内有一个矩形场地，矩形长10米，宽8米，中间做一个矩形草坪，四周小正方形的长与宽均为，设中间草坪面积为平方米 . (1)求中间草坪面积与的函数关系式； (2)中间草坪面积大于矩形面积时，求的取值范围. 3.（2024·广东·真题T23）如图1，用长为18m的篱笆围成一个一边靠墙的五边形，苗圃，已知，，，设，苗圃面积为. (1)求S关于函数关系式，并写出该函数定义域； (2)当x为何值时，苗围的面积最大?并求出最大面积. 4.（2022·广东·真题T21）在平面直角坐标系中，为坐标原点，是函数图像上一点，点、分别在轴和轴上，四边形为矩形． (1)求矩形的面积； (2)若矩形的周长为，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $