专题6函数的性质（讲义）-2027年广东省《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题6 函数的性质 【复习目标】 1.理解函数的单调性； 2.理解函数的奇偶性。 【考点1 函数的单调性】 1、函数单调性的定义 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如果任意的 ，∈I，当＜时都有,则函数函数f（x）在区间I单调 ，函数图像自左向右看图象呈 的趋势；如果任意的 ，∈I，当＜时都有,则函数函数f（x）在区间I单调 ，函数图像自左向右看图象呈 的趋势。 2、函数单调性的判断方法 （1） ：取值—作差比较—判断正负—下结论 （1） ：在某个区间图象呈上升的趋势，则函数在该区间单调递增；在某个区间图象呈下降的趋势，则函数在该区间单调递减 3、利用函数单调性比较函数值的大小的核心思路 若函数在某区间单调递增，则自变量越大，函数值 ；若单调递减，则自变量越大，函数值 【即时训练】 1．对于函数在给定区间上有两个数，，且使成立，则（   ） A．一定是增函数 B．一定是减函数 C．可能是常数函数 D．单调性不能确定 2．一次函数在上是（    ）. A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 3．下列函数在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 4．在上为减函数的是（      ） A． B． C． D． 5．下列函数，在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 6．函数的单调增区间的是（    ） A． B． C． D． 7．若函数（为实数）是上的减函数，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上的减函数，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知函数在上的增函数，则m的取值集合为______. 10．若函数是定义在上的减函数，则不等式的解集是________. 11．函数在R上是减函数，则不等式的解集是________ 12．已知函数是定义在上的增函数，若，则实数的取值范围是_____． 【考点2 函数的奇偶性】 1、函数奇函数的定义 一般地，设函数的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且，那么函数就叫做 2、函数偶函数的定义 一般地，设函数的定义域为D，如果，都有-x∈D，且，那么函数就叫做 3、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）先求定义域，看是否关于原点对称 （2）再判断与的关系 （3）若，则是 （4）若则是 4、利用函数奇偶性求函数值 方法：找到已知点与未知点的对称关系，代入奇偶性公式 5、利用函数奇偶性求解析式 （1）已知一侧解析式，求另一侧 方法：设x在未知区间，利用-x在已知区间，结合奇偶性推导 （2）含参数的解析式，利用奇偶性求参数 方法：代入奇偶性定义，整理等式后对比系数求参数 【即时训练】 一、单选题 1．函数是奇函数，的图象经过点，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．设点为偶函数图象上的点，则下列各点在函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 5．下列函数是偶函数的是 （      ） A． B． C． D． 6．下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 7．函数是（     ） A．奇函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 8．已知函数，若函数为奇函数，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 9．下列函数在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 10．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 （    ） A． B． C． D． 11．下列函数在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 12．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 1.（2026·广东·真题T04）下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 2.（2026·广东·真题T15）已知偶函数在上是增函数，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3.（2024·广东·真题T03）下列函数为奇函数的是（     ） A． B． C． D． 4.（2023·广东·真题T04）下列函数为偶函数的是（     ） A． B． C． D． 5.（2023·广东·真题T14） 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6.（2022·广东·真题T15）已知定义在R上的函数是奇函数，满足：，则=（    ） A． B． C． D．5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题6 函数的性质 【复习目标】 1.理解函数的单调性； 2.理解函数的奇偶性。 【考点1 函数的单调性】 1、函数单调性的定义 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如果任意的 ，∈I，当＜时都有,则函数函数f（x）在区间I单调递增，函数图像自左向右看图象呈上升的趋势；如果任意的 ，∈I，当＜时都有,则函数函数f（x）在区间I单调递减，函数图像自左向右看图象呈下降的趋势。 2、函数单调性的判断方法 （1）定义法：取值—作差比较—判断正负—下结论 （1）图像法：在某个区间图象呈上升的趋势，则函数在该区间单调递增；在某个区间图象呈下降的趋势，则函数在该区间单调递减 3、利用函数单调性比较函数值的大小的核心思路 若函数在某区间单调递增，则自变量越大，函数值越大；若单调递减，则自变量越大，函数值越小 【即时训练】 1．对于函数在给定区间上有两个数，，且使成立，则（   ） A．一定是增函数 B．一定是减函数 C．可能是常数函数 D．单调性不能确定 【答案】D 【分析】根据函数单调性的定义即可得解. 【详解】由单调性的定义可知，不能用特殊值代替一般值，所以不能判断其单调性， 故选：. 2．一次函数在上是（    ）. A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】B 【分析】由函数单调性、奇偶性的定义即可判断. 【详解】解：令，且. 则. 因为，所以，. 所以在上是减函数. 因为，. 又因为且. 所以是非奇非偶函数. 综上一次函数在上是减函数. 故选：B 3．下列函数在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见函数函数的单调性逐项判断求解即可. 【详解】A：的二次项系数为负，对称轴为， 即在上为减函数，故A错误； B：，即在上为减函数，故B错误； C：，即在上为增函数，故C正确； D：在上为减函数， 即在上为减函数，故D错误. 故选：C. 4．在上为减函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性的定义逐个判断即可. 【详解】A. 开口向上，对称轴为，在上为增函数，不符合题意； B. ，，在上为增函数，不符合题意； C. ，，在上为减函数，符合题意； D. 开口向上，对称轴为，在上先减再增，不符合题意. 故选：C. 5．下列函数，在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数、二次函数、指数函数的单调性判断. 【详解】在中，一次项的系数为正，故该函数在上为增函数，故A错误； 在中，不妨设， 而 ，故在上是减函数，故B正确； 在中，由二次函数的单调性可知，函数在上是增函数，故C错误； 由指数函数的单调性可知，在上为增函数，故D错误. 故选：B 6．函数的单调增区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意结合函数图像易得单调增区间. 【详解】由题意得函数在的区间内都是单调递增. 故选:C. 7．若函数（为实数）是上的减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数（为实数）是上的减函数， 所以，解得． 故选：D. 8．已知函数是定义在上的减函数，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据减函数的性质建立不等式组即可得解. 【详解】函数是定义在上的减函数，， 则，解得， 所以x的取值范围是， 故选：. 二、填空题 9．已知函数在上的增函数，则m的取值集合为______. 【答案】 【分析】将原函数化为，由一次函数的单调性可得，据此可求解. 【详解】函数可化为， 因为函数在上的增函数， 所以，解得， 故m的取值集合为. 故答案为： 10．若函数是定义在上的减函数，则不等式的解集是________. 【答案】/ 【分析】利用减函数的性质易得解集. 【详解】因为函数是定义在上的减函数,, 所以,解得,所以, 所以解集为. 故答案为:. 11．函数在R上是减函数，则不等式的解集是________ 【答案】 【分析】根据减函数的性质分析即可. 【详解】因为在R上是减函数， 所以， 可得，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为:. 12．已知函数是定义在上的增函数，若，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】利用单调函数的基本性质即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的增函数，且， 所以，解得, 即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【考点2 函数的奇偶性】 1、函数奇函数的定义 一般地，设函数的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且，那么函数就叫做奇函数 2、函数偶函数的定义 一般地，设函数的定义域为D，如果，都有-x∈D，且，那么函数就叫做偶函数 3、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）先求定义域，看是否关于原点对称 （2）再判断与的关系 （3）若，则是偶函数 （4）若则是奇函数 4、利用函数奇偶性求函数值 方法：找到已知点与未知点的对称关系，代入奇偶性公式 5、利用函数奇偶性求解析式 （1）已知一侧解析式，求另一侧 方法：设x在未知区间，利用-x在已知区间，结合奇偶性推导 （2）含参数的解析式，利用奇偶性求参数 方法：代入奇偶性定义，整理等式后对比系数求参数 【即时训练】 一、单选题 1．函数是奇函数，的图象经过点，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的概念求解. 【详解】函数是奇函数，故，且函数关于原点对称. 而的图象经过点，故. 故，. 综上，A选项正确. 故选：A. 2．设点为偶函数图象上的点，则下列各点在函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由偶函数的图象关于轴对称，即可判断. 【详解】对于A，因为为偶函数，所以图象关于轴对称， 点为偶函数图象上的点，则点也为偶函数图象上的点，故A正确； 对于B、C，因为点，在函数图象上， 由函数的定义可知，点，不在函数图象上，故B、C错误； 对于D，而点则不一定在函数图象上，故D错误. 故选：A. 3．下列函数为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的概念和指数函数、三角函数的性质可判断结果. 【详解】对A选项，的定义域为，且， 故是奇函数； 对B选项，的定义域为，且， 故是偶函数； 对C选项，为正弦函数，是奇函数； 对D选项，为指数函数，是非奇非偶函数. 故选：B 4．下列函数是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式判断奇偶性即可； 【详解】选项A，是奇函数，故错误； 选项B，是非奇非偶函数，故错误； 选项C，是偶函数，故正确； 选项D，是奇函数，故错误； 故选：C 5．下列函数是偶函数的是 （      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义求解即可. 【详解】选项A，的定义域为，且， 函数不是偶函数，选项A不符合题意. 选项B，的定义域为，且， 函数是偶函数，选项B符合题意. 选项C，的定义域为，且， 函数不是偶函数，选项C不符合题意. 选项D，的定义域为，定义域不关于原点对称， 函数不是偶函数，选项D不符合题意. 故选：B. 6．下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性定义求解即可. 【详解】易知每个选项中的函数定义域为， 选项A.，所以为偶函数. 选项B.，所以为偶函数. 选项C.，所以函数为奇函数. 选项D.，所以函数不是奇函数. 故选：C. 7．函数是（     ） A．奇函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】D 【分析】由函数的奇偶性即可判断. 【详解】函数的定义域为R， ，且， 所以函数既不是奇函数又不是偶函数. 故选：D. 8．已知函数，若函数为奇函数，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用奇函数的定义可得函数也是奇函数，利用奇函数的性质求解的值. 【详解】因为为奇函数，所以， 则， 所以函数也是奇函数，则． 故选：B． 9．下列函数在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的性质即可求解. 【详解】是二次函数，对称轴为y轴，是偶函数，故A错误； ，是一次函数，x系数，在R上单调递减，图像是直线，过点，所以函数图像关于原点对称，是奇函数，故B正确； 是一次函数，系数，在R上单调递增，故C错误； 为指数函数，既不是奇函数也不是偶函数，故D错误. 故选：B 10．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二次函数、对数函数、指数函数的图像和性质，可判断A、B、C错误；根据函数单调性的性质及函数奇偶性的概念，可判断D正确. 【详解】对A选项，由二次函数的性质可知，该函数在上递减，在上递增，故A错误； 对B选项，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，B错误； 对C选项，由指数函数的图像可知，为非奇非偶函数，故C错误； 对D选项，的定义域为，由于和在为增函数，所以在定义域内为增函数， 令 由于， 所以为奇函数，故D正确. 故选：D 11．下列函数在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性的定义和单调性逐个分析即可. 【详解】对于A，已知定义域为，则， 所以为偶函数不为奇函数，故A错误， 对于B，定义域为，则， 所以是奇函数，并且在定义域内单调递减，故B正确， 对于C，已知定义域为，则， 所以为偶函数不为奇函数，故C错误， 对于D，已知定义域为，则， 所以是非奇非偶数，故D错误， 故选：B. 12．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知函数是定义域为的奇函数，由奇函数的性质可得结果. 【详解】由题知函数是定义域为的奇函数，由奇函数的性质知， 且当时，，故当时，，即， 故，即. 故选：A. 1.（2026·广东·真题T04）下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的定义判断即可. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 因为，所以不是奇函数，故A错误； 函数定义域为，关于原点对称， 因为，满足奇函数的定义，所以是奇函数，故B正确； 函数的定义域为，关于原点对称, 因为，所以不是奇函数，故C错误； 函数的定义域为，关于原点不对称，所以不是奇函数，故D错误， 故选：B. 2.（2026·广东·真题T15）已知偶函数在上是增函数，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性和单调性，即可求解. 【详解】因为偶函数在上是增函数，且， 所以函数在上是减函数，且， 又， 所以，解得. 即实数的取值范围为. 故选：A. 3.（2024·广东·真题T03）下列函数为奇函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的定义逐项判断即可. 【详解】A选项定义域为，，为偶函数； B选项定义域为，，为奇函数； C选项定义域为，，为偶函数； D选项定义域为，且，为非奇非偶函数. 故选：B. 4.（2023·广东·真题T04）下列函数为偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义及正弦函数、指数函数、对数函数、二次函数的性质判断即可. 【详解】对于选项A：，定义域为，定义域关于原点对称，，所以该函数不是偶函数，故A错误； 对于选项B：，定义域为，定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，所以该函数不是偶函数，故B错误； 对于选项C：，定义域为，定义域关于原点对称，，所以该函数不是偶函数，故C错误； 对于选项D：，，定义域为，定义域关于原点对称，，所以该函数为偶函数，故D正确. 故选：D. 5.（2023·广东·真题T14） 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知函数是定义域为的奇函数，由奇函数的性质可得结果. 【详解】由题知函数是定义域为的奇函数，由奇函数的性质知， 且当时，，故当时，，即， 故，即. 故选：A. 6.（2022·广东·真题T15）已知定义在R上的函数是奇函数，满足：，则=（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质，得到，求得，再根据，求得，即可求解. 【详解】因为在R上是奇函数， 故，得到. 且，，. 得到，而， 则，所以. 即. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $