第六章 圆周运动 期中复习素养提升讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

高一物理下学期期中综合复习 第六章 圆周运动 高中物理必修二素养提升 【知识解读】 1. 描述圆周运动的物理量及关系 定义、意义 公式、单位 线速度 (v) 1.描述圆周运动的物体运动快慢的物理量 2.是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切 1.v＝(定义式)＝(与周期的关系) 2.单位:m/s 角速度 (ω) 1.描述物体绕圆心转动快慢的物理量 2.是矢量，但不研究其方向 1.ω＝(定义式)＝(与周期的关系) 2.单位:rad/s 3.ω与v的关系:v＝ωr 周期(T) 转速(n) 频率(f) 1.周期是做匀速圆周运动的物体沿圆周运动一周所用的时间，周期的倒数为频率 2.转速是单位时间内物体转过的圈数 1.T＝(与频率的关系) 2.T的单位:s n的单位:r/s、r/min f的单位:Hz 向心 加速度 (an) 1.描述线速度方向变化快慢的物理量 2.方向指向圆心 1.an＝＝ω2r＝r＝ωv 2.单位:m/s2 2. 匀速圆周运动及向心力 . . 3. 离心运动 4.常见的三类传动方式及特点 （1）皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，与皮带接触的轮子边缘上各点的线速度大小相等，图甲中vA＝vC≠vB，图乙中vA＝vB≠vP＝vQ。 （2）摩擦传动和齿轮传动：如图丙、丁所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。 （3）同轴转动：如图戊、己、庚所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，即ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。 5.竖直面内圆周运动的两类模型 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 小球最高点 没有支撑 小球最高点有支撑 最高点受 力特征 除受重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零 除受重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上 轻绳模型 轻杆模型 最高点受 力示意图 轻绳模型 轻杆模型 动力学 方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ （1）恰好过最高点，v＝0，F弹＝mg （2）恰好无弹力，F弹＝0，v＝ 过最高点 的条件 在最高点的速度v≥ v≥0 2.解题技巧 （1）物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程； （2）物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两位置间的速度关系； （3）注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。 2、 核心考点 考点一　圆周运动的运动学问题 (1)对公式v＝ωr的理解 当r一定时，v与ω成正比。 当ω一定时，v与r成正比。 当v一定时，ω与r成反比。 (2)对an＝＝ω2r的理解 在v一定时，an与r成反比;在ω一定时，an与r成正比。 例1 (2025·黑龙江齐齐哈尔一模)机动车检测站进行车辆尾气检测的原理如下:车的主动轮压在两个相同粗细的有固定转动轴的滚筒上，可使车轮在原地转动，然后把检测传感器放入尾气出口，操作员将车轮加速一段时间，在与传感器相连的电脑上显示出一系列相关参数。如图所示，车内轮A的半径为rA，车外轮B的半径为rB，滚筒C的半径为rC，车轮与滚筒间不打滑，当车轮以恒定速度运行时，下列说法正确的是(　　) A.A、B轮的角速度大小之比为rA:rB B.A、B轮边缘的线速度大小之比为rA:rB C.B、C的角速度之比为rB:rC D.B、C轮边缘的向心加速度大小之比为rB:rC 例2 如图所示，一个半径为5 m的圆盘正绕其圆心匀速转动，当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置的时候，在其圆心正上方20 m的高度有一个小球(视为质点)正在向边缘的A点以一定的速度水平抛出，g＝10 m/s2，不计空气阻力，要使得小球正好落在A点，则(　　) A.小球平抛的初速度一定是2.5 m/s B.小球平抛的初速度可能是2 m/s C.圆盘转动的角速度一定是π rad/s D.圆盘转动的加速度大小可能是π2 m/s2 考点二　圆周运动的动力学问题 1.匀速圆周运动的实例分析 运动 模型 向心力的 来源图示 运动 模型 向心力的 来源图示 飞机水 平转弯 火车 转弯 圆锥摆 飞车 走壁 汽车在 水平路 面转弯 水平 转台 (光滑) 2.变速圆周运动的向心力 如图所示，当小球在竖直面内摆动时，沿半径方向的合力提供向心力，即 FT－mgcos θ＝m。 圆周运动的动力学问题的分析思路 例3.（2025·山东济宁期末）如图所示，长度为4L的轻杆两端分别固定小球A、B（均可视为质点），小球A、B的质量分别为m、3m，杆上距A球L处的O点套在光滑的水平转轴上，杆可绕水平转轴在竖直面内转动。当A、B两球静止在图示位置时，转轴受杆的作用力大小为F1；当A、B两球转动至图示位置时，杆OA部分恰好不受力，转轴受杆的作用力大小为F2。忽略空气阻力，则F1与F2的比值为（　　） A.1∶12 B.1∶4 C.1∶3 D.4∶9 例4.（2025·江西宜春期中）有一竖直转轴，转轴上不同高度处的两点分别系有一长为2l和l的细绳，细绳另一端分别系有质量均为m的小球A和B，与A球相连的绳子系得更高，将小球放置在光滑的水平桌面上，使小球随转轴一起转动，现逐渐增大转轴的转速，直到两小球均离开桌面，则下列说法正确的是（　　） A.B球比A球先离开桌面 B.两球同时离开桌面 C.将与A球连接的绳子更换为3l长，则A球将后离开桌面 D.将与A球连接的绳子更换为3l长，A球两次离开桌面时的转速相同 考点三 圆锥摆和圆锥筒 圆锥摆和圆锥筒的分析思路 圆锥摆 (1)向心力Fn＝mgtan θ＝m＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝，ω＝。 (2)稳定状态下，θ越大，角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力FT＝和运动所需向心力也越大，即对于等长摆，越高、越快、越大 圆锥筒 (1)筒内壁光滑，向心力由重力mg和支持力FN的合力提供，即＝m＝mω2r，解得v＝，ω＝。 (2)稳定状态下小球所处的位置越高，半径r越大，角速度ω越小，线速度v越大，支持力FN＝和向心力Fn＝并不随位置的变化而变化 例5.（2025·四川乐山期末）如图，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且物块与O点的连线与OO'之间的夹角为60°，重力加速度为g，则转台转动的角速度为（　　） A. B. C. D. 考点四 水平面内圆周运动的临界问题 1.与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 2.与弹力有关的临界极值问题 （1）两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 （2）绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 例6 （2025·安徽淮北模拟）港珠澳大桥总长约55 km，是世界上总体跨度最长、钢结构桥体最长、海底沉管隧道最长的路海大桥，设计时速100 km/h。如图所示，该路段是港珠澳大桥的一段半径r＝150 m的圆弧形弯道，总质量m＝1 800 kg的汽车通过该圆弧形弯道时以速度v＝90 km/h做匀速圆周运动（汽车可视为质点，路面视为水平且不考虑车道的宽度）。已知路面与汽车轮胎间的径向最大静摩擦力为汽车所受重力的，重力加速度g取10 m/s2，则（　　） A.汽车过该弯道时受到重力、支持力、摩擦力、牵引力和向心力 B.汽车过该弯道时所受径向静摩擦力大小为4 000 N C.汽车过该弯道时的向心加速度大小为4 m/s2 D.汽车能安全通过该弯道的最大速度为15 m/s 例7 如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO'的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A.b一定比a先开始滑动 B.a、b所受的摩擦力始终相等 C.ω＝是b开始滑动的临界角速度 D.当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg 例8 如图所示，三角形为一光滑圆锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°。一根长为l＝1 m的细线一端系在圆锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕圆锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则（　　） A.小球受重力、支持力、拉力和向心力 B.小球可能只受拉力和重力 C.当ω0＝ rad/s时，小球对圆锥体的压力刚好为零 D.当ω＝2 rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用 例9 如图所示，AC、BC两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球，AC绳长L＝2 m，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，两绳拉直时与竖直轴的夹角分别为30°和45°。小球在水平面内做匀速圆周运动时，若两绳中始终有张力，小球的角速度可能是（取g＝10 m/s2）（　　） A.2 rad/s B.2.5 rad/s C.3.5 rad/s D.4 rad/s 例10 （2025·黑龙江哈尔滨市第二中学期中）质量为m的小球（视为质点）由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，当轻杆绕轴以角速度ω匀速转动时，a绳与水平方向成θ角，b绳在水平方向上且长为l。重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A.a绳的弹力随角速度的增大而增大 B.当角速度ω＞时，b绳中产生弹力 C.当b绳中产生弹力后，角速度再增大时a绳的弹力不变 D.当b绳突然被剪断时，a绳的弹力一定发生变化 例11.（2025·辽宁朝阳模拟）如图所示，在一固定、中空的圆锥零件内部顶端用轻绳系有一小球（视为质点），悬点到小球的距离为L。现给小球一初速度，使小球恰好能在圆锥内侧面做匀速圆周运动。已知圆锥体母线与水平面的夹角为θ，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则该初速度大小为（　　） A. B.cos θ C.sin θ D. 考点5　竖直面内圆周运动的临界问题 分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路 例12（2025·陕西汉中模拟）如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球（可视为质点），用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，取g＝10 m/s2，下列说法正确的是（　　） A.小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s B.当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力大小为15 N C.若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s D.若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s 例13 如图所示，质量为1.6 kg、半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B（均可视为质点）的直径略小于细圆管的内径（内径远小于细圆管半径）。小球A、B的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A球的速度大小为vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为零，则B球的速度大小vB为（取g＝10 m/s2）（　　） A.2 m/s　　B.4 m/s　　C.6 m/s　　D.8 m/s 考点6　斜面上圆周运动的临界问题 　　在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制（图甲）、轻绳控制（图乙）、轻杆控制（图丙），物体的受力情况和临界条件也不相同。 在斜面内做圆周运动的物体的速率不断变化，运动情况与竖直面内的圆周运动类似，所以通常分析物体在最高点和最低点的受力情况。 例14 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则ω的最大值是（　　） A. rad/s B. rad/s C.1.0 rad/s D.0.5 rad/s 例15 如图所示，在倾角为θ的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻绳一端固定在O点，另一端连着一质量为m的小球（视为质点），可绕斜面上的O点自由转动。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻绳与斜面平行，不计一切摩擦。下列说法正确的是（　　） A.小球通过B点时的最小速度可以小于 B.小球通过A点时的加速度为gsin θ＋ C.若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻绳，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L D.小球通过A点时的速度越大，此时斜面对小球的支持力越大 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一物理下学期期中综合复习 第六章 圆周运动 高中物理必修二素养提升 【知识解读】 1. 描述圆周运动的物理量及关系 定义、意义 公式、单位 线速度 (v) 1.描述圆周运动的物体运动快慢的物理量 2.是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切 1.v＝(定义式)＝(与周期的关系) 2.单位:m/s 角速度 (ω) 1.描述物体绕圆心转动快慢的物理量 2.是矢量，但不研究其方向 1.ω＝(定义式)＝(与周期的关系) 2.单位:rad/s 3.ω与v的关系:v＝ωr 周期(T) 转速(n) 频率(f) 1.周期是做匀速圆周运动的物体沿圆周运动一周所用的时间，周期的倒数为频率 2.转速是单位时间内物体转过的圈数 1.T＝(与频率的关系) 2.T的单位:s n的单位:r/s、r/min f的单位:Hz 向心 加速度 (an) 1.描述线速度方向变化快慢的物理量 2.方向指向圆心 1.an＝＝ω2r＝r＝ωv 2.单位:m/s2 2. 匀速圆周运动及向心力 . . 3. 离心运动 4.常见的三类传动方式及特点 （1）皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，与皮带接触的轮子边缘上各点的线速度大小相等，图甲中vA＝vC≠vB，图乙中vA＝vB≠vP＝vQ。 （2）摩擦传动和齿轮传动：如图丙、丁所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。 （3）同轴转动：如图戊、己、庚所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，即ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。 5.竖直面内圆周运动的两类模型 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 小球最高点 没有支撑 小球最高点有支撑 最高点受 力特征 除受重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零 除受重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上 轻绳模型 轻杆模型 最高点受 力示意图 轻绳模型 轻杆模型 动力学 方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ （1）恰好过最高点，v＝0，F弹＝mg （2）恰好无弹力，F弹＝0，v＝ 过最高点 的条件 在最高点的速度v≥ v≥0 2.解题技巧 （1）物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程； （2）物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两位置间的速度关系； （3）注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。 2、 核心考点 考点一　圆周运动的运动学问题 (1)对公式v＝ωr的理解 当r一定时，v与ω成正比。 当ω一定时，v与r成正比。 当v一定时，ω与r成反比。 (2)对an＝＝ω2r的理解 在v一定时，an与r成反比;在ω一定时，an与r成正比。 例1 (2025·黑龙江齐齐哈尔一模)机动车检测站进行车辆尾气检测的原理如下:车的主动轮压在两个相同粗细的有固定转动轴的滚筒上，可使车轮在原地转动，然后把检测传感器放入尾气出口，操作员将车轮加速一段时间，在与传感器相连的电脑上显示出一系列相关参数。如图所示，车内轮A的半径为rA，车外轮B的半径为rB，滚筒C的半径为rC，车轮与滚筒间不打滑，当车轮以恒定速度运行时，下列说法正确的是(　　) A.A、B轮的角速度大小之比为rA:rB B.A、B轮边缘的线速度大小之比为rA:rB C.B、C的角速度之比为rB:rC D.B、C轮边缘的向心加速度大小之比为rB:rC 答案　B 解析　A、B为同轴转动，角速度大小相等，故A错误;根据v＝ωr可知，A、B轮边缘的线速度大小之比为，故B正确;B、C的线速度大小相同，根据v＝ωr可知，B、C的角速度之比为，故C错误;根据a＝可得B、C轮边缘的向心加速度大小之比为，故D错误。 例2 如图所示，一个半径为5 m的圆盘正绕其圆心匀速转动，当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置的时候，在其圆心正上方20 m的高度有一个小球(视为质点)正在向边缘的A点以一定的速度水平抛出，g＝10 m/s2，不计空气阻力，要使得小球正好落在A点，则(　　) A.小球平抛的初速度一定是2.5 m/s B.小球平抛的初速度可能是2 m/s C.圆盘转动的角速度一定是π rad/s D.圆盘转动的加速度大小可能是π2 m/s2 答案　A 解析　根据h＝gt2，可得t＝＝2 s，则小球平抛的初速度v0＝＝2.5 m/s，故A正确，B错误;根据ωt＝2nπ(n＝1，2，3，…)，解得圆盘转动的角速度ω＝＝nπ rad/s(n＝1，2，3，…)，圆盘转动的加速度大小为a＝ω2r＝n2π2r＝5n2π2 m/s2(n＝1，2，3，…)，故C、D错误。 考点二　圆周运动的动力学问题 1.匀速圆周运动的实例分析 运动 模型 向心力的 来源图示 运动 模型 向心力的 来源图示 飞机水 平转弯 火车 转弯 圆锥摆 飞车 走壁 汽车在 水平路 面转弯 水平 转台 (光滑) 2.变速圆周运动的向心力 如图所示，当小球在竖直面内摆动时，沿半径方向的合力提供向心力，即 FT－mgcos θ＝m。 圆周运动的动力学问题的分析思路 例3.（2025·山东济宁期末）如图所示，长度为4L的轻杆两端分别固定小球A、B（均可视为质点），小球A、B的质量分别为m、3m，杆上距A球L处的O点套在光滑的水平转轴上，杆可绕水平转轴在竖直面内转动。当A、B两球静止在图示位置时，转轴受杆的作用力大小为F1；当A、B两球转动至图示位置时，杆OA部分恰好不受力，转轴受杆的作用力大小为F2。忽略空气阻力，则F1与F2的比值为（　　） A.1∶12 B.1∶4 C.1∶3 D.4∶9 答案 C 解析：C　当A、B两球静止在图示位置时，对整体由平衡条件得F1'＝mg＋3mg＝4mg，由牛顿第三定律可知，转轴受杆的作用力大小为F1＝F1'＝4mg，当A、B两球转动至图示位置时，杆OA部分恰好不受力，对A球mg＝mω2L，对B球F2'－3mg＝3mω2·3L，联立解得F2'＝12mg，由牛顿第三定律可知F2＝F2'＝12mg，则＝，故选C。 例4.（2025·江西宜春期中）有一竖直转轴，转轴上不同高度处的两点分别系有一长为2l和l的细绳，细绳另一端分别系有质量均为m的小球A和B，与A球相连的绳子系得更高，将小球放置在光滑的水平桌面上，使小球随转轴一起转动，现逐渐增大转轴的转速，直到两小球均离开桌面，则下列说法正确的是（　　） A.B球比A球先离开桌面 B.两球同时离开桌面 C.将与A球连接的绳子更换为3l长，则A球将后离开桌面 D.将与A球连接的绳子更换为3l长，A球两次离开桌面时的转速相同 答案 D 解析：　小球离开桌面时，设绳子与竖直方向夹角为θ，则mgtan θ＝mω2R，又tan θ＝，联立可得ω2＝，A球绳子悬点更高，故A球先离开桌面，离开桌面时的角速度与绳长无关，则离开桌面时的转速与绳长无关，故A、B、C错误，D正确。 考点三 圆锥摆和圆锥筒 圆锥摆和圆锥筒的分析思路 圆锥摆 (1)向心力Fn＝mgtan θ＝m＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝，ω＝。 (2)稳定状态下，θ越大，角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力FT＝和运动所需向心力也越大，即对于等长摆，越高、越快、越大 圆锥筒 (1)筒内壁光滑，向心力由重力mg和支持力FN的合力提供，即＝m＝mω2r，解得v＝，ω＝。 (2)稳定状态下小球所处的位置越高，半径r越大，角速度ω越小，线速度v越大，支持力FN＝和向心力Fn＝并不随位置的变化而变化 例5.（2025·四川乐山期末）如图，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且物块与O点的连线与OO'之间的夹角为60°，重力加速度为g，则转台转动的角速度为（　　） A. B. C. D. 答案 A 解析：　对小物块受力分析，小物块受重力和罐壁的支持力，由牛顿第二定律可得mgtan 60°＝mRsin 60°，解得ω0＝，故选A。 考点四 水平面内圆周运动的临界问题 1.与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 2.与弹力有关的临界极值问题 （1）两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 （2）绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 例6 （2025·安徽淮北模拟）港珠澳大桥总长约55 km，是世界上总体跨度最长、钢结构桥体最长、海底沉管隧道最长的路海大桥，设计时速100 km/h。如图所示，该路段是港珠澳大桥的一段半径r＝150 m的圆弧形弯道，总质量m＝1 800 kg的汽车通过该圆弧形弯道时以速度v＝90 km/h做匀速圆周运动（汽车可视为质点，路面视为水平且不考虑车道的宽度）。已知路面与汽车轮胎间的径向最大静摩擦力为汽车所受重力的，重力加速度g取10 m/s2，则（　　） A.汽车过该弯道时受到重力、支持力、摩擦力、牵引力和向心力 B.汽车过该弯道时所受径向静摩擦力大小为4 000 N C.汽车过该弯道时的向心加速度大小为4 m/s2 D.汽车能安全通过该弯道的最大速度为15 m/s 答案：D 解析：汽车过该弯道时受到重力、牵引力、支持力和摩擦力作用，摩擦力提供其做圆周运动所需的向心力，故A错误；汽车过该弯道时所受径向静摩擦力大小为Ff＝m＝7 500 N，故B错误；汽车过该弯道时的向心加速度大小为a＝＝ m/s2，故C错误；汽车能安全通过该弯道，速度最大时满足mg＝m，解得vm＝15 m/s，故D正确。 例7 如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO'的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A.b一定比a先开始滑动 B.a、b所受的摩擦力始终相等 C.ω＝是b开始滑动的临界角速度 D.当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg 答案：AC 解析：小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即F＝mω2R。当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a有Fa＝ml，当Fa＝kmg时，kmg＝ml，ωa＝，对木块b有Fb＝m·2l，当Fb＝kmg时，kmg＝m·2l，ωb＝，则ω＝是b开始滑动的临界角速度，即b一定比a先开始滑动，选项A、C正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则Fa＝mω2l，Fb＝mω2·2l，Fa＜Fb，选项B错误；ω＝＜ωa＝，a没有滑动，则Fa'＝mω2l＝kmg，选项D错误。 例8 如图所示，三角形为一光滑圆锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°。一根长为l＝1 m的细线一端系在圆锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕圆锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则（　　） A.小球受重力、支持力、拉力和向心力 B.小球可能只受拉力和重力 C.当ω0＝ rad/s时，小球对圆锥体的压力刚好为零 D.当ω＝2 rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用 答案：BC 解析：向心力是效果力，不是小球实际受到的力。对小球受力分析，小球受重力、细线的拉力，小球可能受圆锥体的支持力，也可能不受圆锥体的支持力；转速较小时，小球紧贴圆锥面，则FTcos θ＋FNsin θ＝mg，FTsin θ－FNcos θ＝mω2lsin θ，随着转速的增加，FT增大，FN减小，当转速达到ω0时支持力为零，支持力恰好为零时有mgtan θ＝mlsin θ，解得ω0＝ rad/s，A错误，B、C正确；因为2 rad/s＞ rad/s，所以，当ω＝2 rad/s时，小球已经离开斜面，小球只受重力、拉力的作用，D错误。 例9 如图所示，AC、BC两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球，AC绳长L＝2 m，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，两绳拉直时与竖直轴的夹角分别为30°和45°。小球在水平面内做匀速圆周运动时，若两绳中始终有张力，小球的角速度可能是（取g＝10 m/s2）（　　） A.2 rad/s B.2.5 rad/s C.3.5 rad/s D.4 rad/s 答案：B 解析：当上绳绷紧、下绳恰好伸直但无张力时，小球受力如图甲所示，由牛顿第二定律得mgtan 30°＝mr，又有r＝Lsin 30°，解得ω1＝ rad/s≈2.4 rad/s，当下绳绷紧、上绳恰好伸直无张力时，小球受力如图乙所示，由牛顿第二定律得mgtan 45°＝mr，解得ω2＝ rad/s≈3.2 rad/s，故当角速度2.4 rad/s＜ω＜3.2 rad/s 时，两绳始终有张力，故B正确，A、C、D错误。 例10 （2025·黑龙江哈尔滨市第二中学期中）质量为m的小球（视为质点）由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，当轻杆绕轴以角速度ω匀速转动时，a绳与水平方向成θ角，b绳在水平方向上且长为l。重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A.a绳的弹力随角速度的增大而增大 B.当角速度ω＞时，b绳中产生弹力 C.当b绳中产生弹力后，角速度再增大时a绳的弹力不变 D.当b绳突然被剪断时，a绳的弹力一定发生变化 答案 BC 解析：　当b绳的弹力为零时，小球受重力和a绳的弹力，合力提供向心力，有＝mlω2，解得ω＝，可知当角速度ω＞时，b绳出现弹力，故B正确；根据竖直方向上受力平衡得Fasin θ＝mg，解得Fa＝，可知a绳的弹力不随角速度的增大而增大，故A错误，C正确；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断时，a绳的弹力可能不变，故D错误。 例11.（2025·辽宁朝阳模拟）如图所示，在一固定、中空的圆锥零件内部顶端用轻绳系有一小球（视为质点），悬点到小球的距离为L。现给小球一初速度，使小球恰好能在圆锥内侧面做匀速圆周运动。已知圆锥体母线与水平面的夹角为θ，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则该初速度大小为（　　） A. B.cos θ C.sin θ D. 答案 B 解析：　当小球恰好能在圆锥内侧面做匀速圆周运动时，小球对圆锥内表面的压力为零，此时绳子的拉力与重力的合力提供向心力，即＝＝，解得v＝cos θ，故选B。 考点5　竖直面内圆周运动的临界问题 分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路 例12（2025·陕西汉中模拟）如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球（可视为质点），用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，取g＝10 m/s2，下列说法正确的是（　　） A.小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s B.当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力大小为15 N C.若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s D.若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s 答案：ABC 解析：设小球通过最高点时的最小速度为v0，则根据牛顿第二定律有mg＝m，解得v0＝2 m/s，故A正确；当小球在最高点的速度为v1＝4 m/s时，设轻绳拉力大小为FT，根据牛顿第二定律有FT＋mg＝m，解得FT＝15 N，故B正确；小球在轨迹最低点处速度最大，此时轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定律有FTm－mg＝m，解得vm＝4 m/s，故C正确，D错误。 例13 如图所示，质量为1.6 kg、半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B（均可视为质点）的直径略小于细圆管的内径（内径远小于细圆管半径）。小球A、B的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A球的速度大小为vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为零，则B球的速度大小vB为（取g＝10 m/s2）（　　） A.2 m/s　　B.4 m/s　　C.6 m/s　　D.8 m/s 答案 B 解析：　对A球，合外力提供向心力，设管对A的支持力为FA，由牛顿第二定律有FA－mAg＝mA，代入数据解得FA＝28 N，由牛顿第三定律可得，A球对管的力竖直向下，为28 N，设B球对管的力为FB'，由管的受力平衡可得FB'＋28 N＋m管g＝0，解得FB'＝－44 N，负号表示和重力方向相反，由牛顿第三定律可得，管对B球的力FB为44 N，方向竖直向下，对B球，由牛顿第二定律有FB＋mBg＝mB，解得vB＝4 m/s，故选B。 考点6　斜面上圆周运动的临界问题 　　在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制（图甲）、轻绳控制（图乙）、轻杆控制（图丙），物体的受力情况和临界条件也不相同。 在斜面内做圆周运动的物体的速率不断变化，运动情况与竖直面内的圆周运动类似，所以通常分析物体在最高点和最低点的受力情况。 例14 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则ω的最大值是（　　） A. rad/s B. rad/s C.1.0 rad/s D.0.5 rad/s 答案：C 解析：小物体与圆盘始终相对静止，当物体转到圆盘的最低点恰好要滑动时，转盘的角速度最大，对物体受力分析如图所示（其中O为对称轴位置）。由沿斜面的合力提供向心力，有μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2R，得ω＝＝1.0 rad/s，C正确。 例15 如图所示，在倾角为θ的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻绳一端固定在O点，另一端连着一质量为m的小球（视为质点），可绕斜面上的O点自由转动。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻绳与斜面平行，不计一切摩擦。下列说法正确的是（　　） A.小球通过B点时的最小速度可以小于 B.小球通过A点时的加速度为gsin θ＋ C.若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻绳，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L D.小球通过A点时的速度越大，此时斜面对小球的支持力越大 答案 C 解析：　小球通过最高点B时，当绳的拉力为零时速度最小，即mgsin θ＝，可得最小速度vmin＝，故A错误；小球在A点受重力、斜面的支持力以及绳的拉力，沿斜面方向有F－mgsin θ＝＝maA，可得aA＝，故B错误；若小球以的速率通过B点时轻绳突然断裂，则小球在斜面上做类平抛运动，在平行于斜面底边方向做匀速直线运动，在垂直于斜面底边方向做初速度为零的匀加速直线运动，故s水平＝vBt＝·t，2L＝at2，其中a＝gsin θ，联立解得s水平＝2L，即小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L，故C正确；斜面对小球的支持力始终等于重力沿垂直于斜面方向的分力，与小球的速度大小无关，故D错误。 1 学科网（北京）股份有限公司 $