专题15 火车过桥与错车问题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-小升初奥数培优精讲精练

专题15 火车过桥与错车问题 知识点梳理 一、基本概念 火车过桥与错车问题属于行程问题的特殊类型，核心是路程需包含火车自身长度，区别于常规行人、车辆行程问题。 关键要素 1.核心路程：过桥路程=桥长+火车长；错车路程=两列火车长度之和 2.基本量：速度（火车速度/两车速度）、时间（过桥时间/错车时间）、长度（桥长、火车长） 3.运动类型： 火车过桥：单一火车匀速通过固定桥梁/隧道 火车错车：两列火车相向而行（相遇错车） 或同向而行（追及错车） 二、核心解题公式 1. 火车过桥问题 过桥总路程 = 桥长 + 火车长 过桥时间 =（桥长 + 火车长）÷ 火车速度 火车速度 =（桥长 + 火车长）÷ 过桥时间 桥长 = 火车速度 × 过桥时间 - 火车长 火车长 = 火车速度 × 过桥时间 - 桥长 2. 火车错车问题 相向错车（相遇）：错车时间 = 两车长度之和 ÷ 速度和 同向错车（追及）：错车时间 = 两车长度之和 ÷ 速度差 三、核心解题方法 1.画图分析法：画线段图明确路程构成，避免遗漏火车长度 2.公式代入法：找准已知量，直接代入对应公式计算 3.逆向推理法：已知时间/速度，反求车长、桥长、速度等未知量 例题讲解 一、基础题（火车过桥：公式代入法） 例1 一列火车长200米，以每秒20米的速度通过一座长300米的大桥，需要多少秒？ 解题步骤 确定总路程：桥长+车长=300+200=500米 代入公式：时间=总路程÷速度=500÷20=25秒 答案：25秒 跟踪练习1 一列火车长150米，通过一座长450米的大桥用了30秒，火车的速度是多少？ 答案：20米/秒 解析：总路程=150+450=600米，速度=600÷30=20米/秒 例2 一列火车以每秒15米的速度通过一座长500米的大桥，用时40秒，火车长多少米？ 解题步骤 计算总路程：15×40=600米 求车长：总路程-桥长=600-500=100米 答案：100米 跟踪练习2 一列火车长180米，以每秒18米的速度通过隧道，用时25秒，隧道长多少米？ 答案：270米 解析：总路程=18×25=450米，隧道长=450-180=270米 二、进阶题（火车错车：相遇/追及） 例3 两列火车相向而行，甲车长200米，速度每秒25米；乙车长150米，速度每秒15米。两车错车需要多少秒？ 解题步骤 错车总路程：200+150=350米 速度和：25+15=40米/秒 错车时间：350÷40=8.75秒 答案：8.75秒 跟踪练习3 两列火车同向而行，甲车长240米，速度每秒30米；乙车长160米，速度每秒20米。甲车从追上到完全超过乙车需要多少秒？ 答案：40秒 解析：总路程=240+160=400米，速度差=30-20=10米/秒，时间=400÷10=40秒 三、挑战题（过桥+错车综合） 例4 一列火车长300米，以每秒20米的速度通过一座长700米的大桥后，又与一列长200米、速度每秒15米的火车相向错车，求过桥和错车一共用时多少秒？ 解题步骤 过桥时间：(300+700)÷20=50秒 错车时间：(300+200)÷(20+15)=500÷35=100/7秒 总时间：50+100/7=450/7≈64.29秒 答案：450/7秒（或约64.29秒） 跟踪练习4 一列火车长250米，通过长550米的隧道用30秒；该火车与长150米的火车同向错车用时20秒，求另一列火车的速度。 答案：10米/秒 解析：火车速度=(250+550)÷30=800÷30=80/3米/秒；速度差=(250+150)÷20=20米/秒；另一列速度=80/3-20=20/3≈6.67米/秒 提升练习 1．已知铁路桥长1500米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用150秒，整列火车完全在桥上的时间为100秒，求火车的速度和车长。 2．一个铁路隧道长8725米，一列火车通过隧道时每分钟行驶750米，这列火车从火车头开进隧道到车尾离开隧道共需12分钟。这列火车车身长多少米？ 3．复兴号动车组列车是目前世界上运营时速最高的高铁列车，一座大桥长3375米，一列225米长的复兴号动车经过这座大桥，从车头上桥到车尾离桥共用了0.9分钟，这列动车每分钟行多少米？ 4．一列长120米的火车完全通过一座长696米的隧道，从车头进入隧道开始，到车尾离开隧道，共用时24秒，这列火车的速度是多少？ 5．一列火车长200米，通过一座长800米的大桥，从车头上桥到车尾离桥共用了50秒。这列火车的速度是每秒多少米？ 6．一列“复兴号”列车全长414米，通过一条长234米的隧道，从车头进入隧道到车尾驶出一共需要9秒，列车平均每秒行驶多少米？ 7．“复兴号”列车自投入便用以来、深受人们的青睐。一列“复兴号”列车全长414米、如果以每秒55米的速度通过一条全长521米的隧道，从车头进入到车尾波出一共需要多少秒？ 8．客车通过250米的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。迎面开来一列长为320米的货车，速度为每秒18米。客车与货车从相遇到相离需要多少秒？ 9．一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离桥用了1分钟，求这座桥长多少米？ 10．一列火车全长265米，每秒行驶25米，全车要通过一座985米长的大桥，问需要多少秒钟？ 11．某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17秒，这列火车与另一列长88米，速度为每秒22米的列车错车而过，问需要几秒钟？ 12．一列客车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列客车长100米，火车每分钟行400米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？ 13．在上下行轨道上，两列火车相对开来，一列火车长182米，每秒行18米，另一列火车每秒行17米，两列火车错车而过用了10秒钟，求另一列火车长多少米？ 14．两列火车分别从A、B两站相向而来．快车车身长132米，车速为每秒钟27米；慢车车身长118米，车速为23米／秒．两车从车头相遇到车尾分开，共需要多长时间？ 15．一列火车通过108米的铁桥需用52秒，通过84米的铁桥需用46秒．如果这列火车与另一列长96米，每秒行24米的火车交叉而过，问需多少秒？ 16．田田坐在行驶的列车上，发现从迎面开来的货车用了6秒钟才通过他的窗口．后来田田乘坐的这列火车通过一座234米长的隧道用了13秒．已知货车车长180米，求货车的速度． 17．快车车速19米／秒，慢车车速15米／秒．现有慢车、快车同方向齐头行进，20秒后快车超过慢车，首尾分离．如两车车尾相齐行进，则15秒后快车超过慢车，求两列火车的车身长． 18．小美以每秒2米的速度沿着铁路晨跑．这时从后面开来一列客车．客车经过她的身边共用了10秒．已知这列客车车身长130米，求客车的速度是多少？ 19．铁路旁一条小路，一列长为110米的火车以每小时30千米的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名军人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民，问：军人与农民何时相遇？ 20．在双轨铁道上，速度为千米/小时的货车时到达铁桥，时分秒完全通过铁桥，后来一列速度为千米/小时的列车，时分到达铁桥，时分秒完全通过铁桥，时分秒列车完全超过在前面行驶的货车．求货车、列车和铁桥的长度各是多少米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 火车过桥与错车问题 知识点梳理 一、基本概念 火车过桥与错车问题属于行程问题的特殊类型，核心是路程需包含火车自身长度，区别于常规行人、车辆行程问题。 关键要素 1.核心路程：过桥路程=桥长+火车长；错车路程=两列火车长度之和 2.基本量：速度（火车速度/两车速度）、时间（过桥时间/错车时间）、长度（桥长、火车长） 3.运动类型： 火车过桥：单一火车匀速通过固定桥梁/隧道 火车错车：两列火车相向而行（相遇错车） 或同向而行（追及错车） 二、核心解题公式 1. 火车过桥问题 过桥总路程 = 桥长 + 火车长 过桥时间 =（桥长 + 火车长）÷ 火车速度 火车速度 =（桥长 + 火车长）÷ 过桥时间 桥长 = 火车速度 × 过桥时间 - 火车长 火车长 = 火车速度 × 过桥时间 - 桥长 2. 火车错车问题 相向错车（相遇）：错车时间 = 两车长度之和 ÷ 速度和 同向错车（追及）：错车时间 = 两车长度之和 ÷ 速度差 三、核心解题方法 1.画图分析法：画线段图明确路程构成，避免遗漏火车长度 2.公式代入法：找准已知量，直接代入对应公式计算 3.逆向推理法：已知时间/速度，反求车长、桥长、速度等未知量 例题讲解 一、基础题（火车过桥：公式代入法） 例1 一列火车长200米，以每秒20米的速度通过一座长300米的大桥，需要多少秒？ 解题步骤 确定总路程：桥长+车长=300+200=500米 代入公式：时间=总路程÷速度=500÷20=25秒 答案：25秒 跟踪练习1 一列火车长150米，通过一座长450米的大桥用了30秒，火车的速度是多少？ 答案：20米/秒 解析：总路程=150+450=600米，速度=600÷30=20米/秒 例2 一列火车以每秒15米的速度通过一座长500米的大桥，用时40秒，火车长多少米？ 解题步骤 计算总路程：15×40=600米 求车长：总路程-桥长=600-500=100米 答案：100米 跟踪练习2 一列火车长180米，以每秒18米的速度通过隧道，用时25秒，隧道长多少米？ 答案：270米 解析：总路程=18×25=450米，隧道长=450-180=270米 二、进阶题（火车错车：相遇/追及） 例3 两列火车相向而行，甲车长200米，速度每秒25米；乙车长150米，速度每秒15米。两车错车需要多少秒？ 解题步骤 错车总路程：200+150=350米 速度和：25+15=40米/秒 错车时间：350÷40=8.75秒 答案：8.75秒 跟踪练习3 两列火车同向而行，甲车长240米，速度每秒30米；乙车长160米，速度每秒20米。甲车从追上到完全超过乙车需要多少秒？ 答案：40秒 解析：总路程=240+160=400米，速度差=30-20=10米/秒，时间=400÷10=40秒 三、挑战题（过桥+错车综合） 例4 一列火车长300米，以每秒20米的速度通过一座长700米的大桥后，又与一列长200米、速度每秒15米的火车相向错车，求过桥和错车一共用时多少秒？ 解题步骤 过桥时间：(300+700)÷20=50秒 错车时间：(300+200)÷(20+15)=500÷35=100/7秒 总时间：50+100/7=450/7≈64.29秒 答案：450/7秒（或约64.29秒） 跟踪练习4 一列火车长250米，通过长550米的隧道用30秒；该火车与长150米的火车同向错车用时20秒，求另一列火车的速度。 答案：10米/秒 解析：火车速度=(250+550)÷30=800÷30=80/3米/秒；速度差=(250+150)÷20=20米/秒；另一列速度=80/3-20=20/3≈6.67米/秒 提升练习 1．已知铁路桥长1500米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用150秒，整列火车完全在桥上的时间为100秒，求火车的速度和车长。 【答案】 火车的速度是12米/秒，火车的长度是300米。 【分析】区分两种不同状态下火车行驶的路程： 从开始上桥到完全下桥：火车头从桥头到桥尾，再加上火车自身全部长度离开桥，行驶路程＝桥长＋车长。 整列火车完全在桥上：火车尾已上桥到火车头即将下桥，行驶路程＝桥长－车长。 题目给出了两种状态的时间，我们可以据此建立两个等量关系，联立求解速度和车长。 【详解】解：设火车的速度为v米/秒，火车的长度为l米。 根据第一种状态列方程：已知时间为150秒，行驶路程为桥长加车身长，即。 根据路程＝速度×时间，得：① 根据第二种状态列方程：已知时间为100秒，行驶路程为桥长减车身长，即。同理得：② 联立方程组求解：将方程①和方程②相加，即可消去车长l，直接求出速度v： 即火车速度为12米/秒。 将v＝12代入方程①中： 即火车长度为300米。 答：火车的速度是12米/秒，火车的长度是300米。 2．一个铁路隧道长8725米，一列火车通过隧道时每分钟行驶750米，这列火车从火车头开进隧道到车尾离开隧道共需12分钟。这列火车车身长多少米？ 【答案】275米 【分析】火车12分钟行的路程等于火车车身长度加上隧道的长度，先用750乘12求出火车12分钟行的路程，再减去隧道长度8725米，即等于火车车身长度。 【详解】750×12－8725 ＝9000－8725 ＝275（米） 答：这列火车车身长275米。 3．复兴号动车组列车是目前世界上运营时速最高的高铁列车，一座大桥长3375米，一列225米长的复兴号动车经过这座大桥，从车头上桥到车尾离桥共用了0.9分钟，这列动车每分钟行多少米？ 【答案】4000米 【分析】动车从车头上桥到车尾离桥，行驶的总路程等于大桥的长度加上动车自身的长度，根据“速度＝路程÷时间”的公式，用总路程除以所用时间，即可求出动车的速度。 【详解】（3375＋225）÷0.9 ＝3600÷0.9 ＝4000（米） 答：这列动车每分钟行4000米。 4．一列长120米的火车完全通过一座长696米的隧道，从车头进入隧道开始，到车尾离开隧道，共用时24秒，这列火车的速度是多少？ 【答案】34米/秒 【分析】根据题意，用隧道长加上火车长，就是火车行驶的总路程。再根据路程÷时间＝速度，用总路程÷时间＝这列火车的速度。 【详解】（120＋696）÷24 ＝816÷24 ＝34（米/秒） 答：这列火车的速度是34米/秒。 5．一列火车长200米，通过一座长800米的大桥，从车头上桥到车尾离桥共用了50秒。这列火车的速度是每秒多少米？ 【答案】20米/秒 【分析】火车“从车头上桥到车尾离桥”，行驶的总路程等于火车自身长度加上大桥长度。已知总路程和总时间，根据“速度 ＝ 路程 ÷ 时间”即可求出火车的速度。 【详解】（200＋800）÷50 ＝1000÷50 ＝20（米/秒） 答：这列火车的速度是每秒20米。 6．一列“复兴号”列车全长414米，通过一条长234米的隧道，从车头进入隧道到车尾驶出一共需要9秒，列车平均每秒行驶多少米？ 【答案】72米 【分析】列车从车头进入隧道到车尾驶出，行驶的总路程是列车自身长度与隧道长度的和，再根据“速度 ＝ 总路程 ÷ 时间”，就能算出列车的行驶速度。 【详解】总路程：列车完全通过隧道，行驶列车长加上隧道长的距离，即： 414 ＋ 234 ＝ 648（米） 总路程是648米，时间是9秒，代入公式为： 速度 ＝ 总路程 ÷ 时间 ＝648÷9 ＝72（米/秒） 答：列车平均每秒行驶72米。 7．“复兴号”列车自投入便用以来、深受人们的青睐。一列“复兴号”列车全长414米、如果以每秒55米的速度通过一条全长521米的隧道，从车头进入到车尾波出一共需要多少秒？ 【答案】17秒 【分析】用列车的长度加上隧道的长度求出一共行驶的路程，再根据总路程÷速度＝时间，列式解答即可。 【详解】414＋521＝935（米） 935÷55＝17（秒） 答：从车头进入到车尾波出一共需要17秒。 8．客车通过250米的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。迎面开来一列长为320米的货车，速度为每秒18米。客车与货车从相遇到相离需要多少秒？ 【答案】15秒 【分析】客车通过250米的隧道用25秒，即可知火车25秒的路程为：250米＋火车长；同理，通过210米长的隧道用23秒，即火车23秒的路程为：210米＋火车长。相减即可知道火车2秒的时间所走的路程为40米，据此即可求出火车的速度为：40÷2＝20（米/秒），然后再求出火车25秒的路程为：25×20＝500（米），减去250米的隧道长即可求出火车的长度。迎面开来一列长为320米的货车，客车与货车从相遇到相离总路程为：火车长＋列车长，因此再用路程和除以速度和，即可求出需要多长时间。 【详解】火车速度：（250－210）÷（25－23） ＝40÷2 ＝20（米/秒） 火车长度：25×20－250 ＝500－250 ＝250（米） 相遇时间：（320＋250）÷（18＋20） ＝570÷38 ＝15（秒） 答：客车与货车从相遇到相离需要15秒。 9．一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离桥用了1分钟，求这座桥长多少米？ 【答案】1560米 【详解】1分=60秒 30×60-240=1560（米） 答：这座桥长1560米． 10．一列火车全长265米，每秒行驶25米，全车要通过一座985米长的大桥，问需要多少秒钟？ 【答案】50秒 【详解】（265+985）÷25=50（秒） 答：需要50秒钟． 11．某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17秒，这列火车与另一列长88米，速度为每秒22米的列车错车而过，问需要几秒钟？ 【答案】4秒 【详解】车速：（342-234）÷（23—17）=18（米） 车身长：18×23-342=72（米） 错车时间：（72 + 88）÷（18 + 22）= 4（秒） 答：两车错车而过，需要4秒钟． 【点睛】通过前两个已知条件，我们可以求出火车的车速和火车的车身长．两车错车是从车头相遇开始，直到两车尾离开才是错车结束，两车错车的总路程是两个车身之和，两车是做相向运动，所以，根据“路程÷速度和 = 相遇时间”，可以求出两车错车需要的时间． 12．一列客车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列客车长100米，火车每分钟行400米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？ 【答案】17分钟 【分析】 从火车头上桥，到火车尾离桥，这之间是火车通过这座大桥的过程，也就是过桥的路程是桥长+车长．通过“过桥的路程”和“车速”就可以求出火车过桥的时间． 【详解】过桥路程：6700 + 100 = 6800（米） 过桥时间：6800÷400 = 17（分） 答：这列客车通过南京长江大桥需要17分钟． 13．在上下行轨道上，两列火车相对开来，一列火车长182米，每秒行18米，另一列火车每秒行17米，两列火车错车而过用了10秒钟，求另一列火车长多少米？ 【答案】168米 【详解】（18 + 17）×10—182 = 168（米） 答：另一列火车长168米． 14．两列火车分别从A、B两站相向而来．快车车身长132米，车速为每秒钟27米；慢车车身长118米，车速为23米／秒．两车从车头相遇到车尾分开，共需要多长时间？ 【答案】5秒 【详解】两火车相遇的过程中，两车所行的相通路程恰好为两列火车车身长度的和；速度为两列火车的速度和． 则相遇时间：（132+118）÷（27+23）=5（秒） 答：两车从车头相遇到车尾分开共需要5秒钟． 15．一列火车通过108米的铁桥需用52秒，通过84米的铁桥需用46秒．如果这列火车与另一列长96米，每秒行24米的火车交叉而过，问需多少秒？ 【答案】7秒钟 【分析】若知道这列火车的车长与速度，就可以利用两列火车相遇的问题来求解．以通过两桥的长度差和通过两桥的时间差，来求出这列火车每秒行驶的米数，即速度． 【详解】两座铁桥的长度差：108-84=24（米） 通过两座铁桥的时间差：52-46＝6（秒） 火车速度为：24÷6=4（米／秒） 火车行驶46秒的路程：4×46=184（米） 火车车身长为：184-84＝100（米） 此列车身长为100米、速度为4米／秒的列车与另一列车身长为96米、速度为24米／秒的列车交叉而过所需时间：（100+96）÷（24+4）=196÷28=7（秒） 答：两车交叉而过，需要7秒钟． 16．田田坐在行驶的列车上，发现从迎面开来的货车用了6秒钟才通过他的窗口．后来田田乘坐的这列火车通过一座234米长的隧道用了13秒．已知货车车长180米，求货车的速度． 【答案】12米/秒 【分析】田田坐在列车上，货车用6秒通过他的窗口，这是一个相遇问题，是田田与货车相遇，因此与列车车长无关．假设田田不动，则货车行驶了一个货车车长，用时6秒．由速度和=全程÷相遇时间，可求田田与货车的速度和，田田的速度即列车的速度．那么只需利用下一个过隧道的条件求出列车的速度，此问题可解． 【详解】列车与货车的速度和：180÷6=30（米／秒） 列车的速度：234÷13=18（米／秒） 货车的速度：30－18=12（米／秒） 答：货车每秒钟行驶12米． 【点睛】此问题不同于单纯的列车相遇，因为所给的条件是从在车上的人的角度给出的，而人在此问题中是被看做一点，没有长度．列车过隧道也是按照从田田进隧道，到出隧道来计算时间的，因此与列车的车长无关． 17．快车车速19米／秒，慢车车速15米／秒．现有慢车、快车同方向齐头行进，20秒后快车超过慢车，首尾分离．如两车车尾相齐行进，则15秒后快车超过慢车，求两列火车的车身长． 【答案】快车车身长为80米，慢车车身长60米 【详解】当两车同时同向齐头行进，快车超过慢车时，两车的路程差相当于一个快车的车身长． 那么快车车身长=速度差×追及时间=（l9-15）×20＝80（米） 当两车车尾相齐同向行进，快车超过慢车时，多行的路程即路程差，相当于一个慢车的车身长．则慢车的车身长（19－15）×15＝60（米） 答：快车车身长为80米，慢车车身长60米． 18．小美以每秒2米的速度沿着铁路晨跑．这时从后面开来一列客车．客车经过她的身边共用了10秒．已知这列客车车身长130米，求客车的速度是多少？ 【答案】15米／秒 【详解】客车经过小美的身边，这一过程客车与小美的路程差是客车的车身长：130米，经过所需的时间是追及时间：10秒． 速度差：130÷10＝13（米／秒） 客车速度：2+13＝15（米／秒） 答：客车的速度为15米／秒． 19．铁路旁一条小路，一列长为110米的火车以每小时30千米的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名军人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民，问：军人与农民何时相遇？ 【答案】8点30分 【分析】涉及火车的行程问题中，火车的长度不能忽略，解题关键是找出15秒（12秒）内，火车行驶和人步行与火车车长之间的数量关系。 【详解】火车速度：30×1000÷60＝500（米/分） 火车速度与军人速度的差为：110÷（15÷60）＝440（米/分） 军人的速度：500－440＝＝60（米/分） 农民的速度：110÷（12÷60）－500＝50（米/分） 8点时火车头与农民的距离为：（500＋50）×6＝3300（米） 军人与农民相遇：3300÷（60＋50）＝30（分） 此时的时间为8点30分。 答：军人与农民8点30分相遇。 【点睛】1、此题中有着三个基本问题。火车追及军人，火车农民相遇，军人和农民相遇，找到三者之间的关系就是解决题目的关键。 2、解决行程问题的关键是三步： a：正确画出示意图； b：把复杂的行程问题分解为每一个基本的相遇或追及问题； c：找到这些相遇或追及问题之间的数量关系，包括路程关系，时间关系与速度关系。 20．在双轨铁道上，速度为千米/小时的货车时到达铁桥，时分秒完全通过铁桥，后来一列速度为千米/小时的列车，时分到达铁桥，时分秒完全通过铁桥，时分秒列车完全超过在前面行驶的货车．求货车、列车和铁桥的长度各是多少米？ 【答案】480 280 780 【详解】先统一单位：千米/小时米/秒，千米/小时米/秒， 分秒秒，分秒分分秒秒． 货车的过桥路程等于货车与铁桥的长度之和，为：(米)； 列车的过桥路程等于列车与铁桥的长度之和，为：(米)． 考虑列车与货车的追及问题，货车时到达铁桥，列车时分到达铁桥，在列车到达铁桥时，货车已向前行进了12分钟(720秒)，从这一刻开始列车开始追赶货车，经过2216秒的时间完全超过货车，这一过程中追及的路程为货车12分钟走的路程加上列车的车长，所以列车的长度为(米)，那么铁桥的长度为(米)，货车的长度为(米)． 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $