专题16 相遇及追及问题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-小升初奥数培优精讲精练

专题16 相遇及追及问题 知识点梳理 一、基本概念 1.相遇问题 定义：两个物体从两地出发，相向而行，经过一段时间后在途中相遇的问题。 核心要素：路程和（两地距离）、速度和（两物体速度之和）、相遇时间。 基本公式：路程和 = 速度和 × 相遇时间 变形公式：相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和；速度和 = 路程和 ÷ 相遇时间。 2.追及问题 定义：两个物体同向而行，快者从后面追上慢者的问题。 核心要素：路程差（初始距离）、速度差（快者与慢者速度之差）、追及时间。 基本公式：路程差 = 速度差 × 追及时间 变形公式：追及时间 = 路程差 ÷ 速度差；速度差 = 路程差 ÷ 追及时间。 3.关键区别 相遇问题：物体运动方向相反，核心是“路程和”与“速度和”。 追及问题：物体运动方向相同，核心是“路程差”与“速度差”。 二、核心解题方法 1.线段图法（基础方法） 方法要点：用线段表示路程，标注物体的出发位置、方向、速度及时间，直观呈现数量关系。 适用场景：所有相遇及追及问题，尤其适合复杂情境（如中途停留、多次相遇）。 2.公式代入法（核心方法） 方法要点：根据问题类型（相遇/追及），直接套用基本公式或变形公式，代入已知量求解未知量。 示例：甲、乙两地相距300千米，客车速度50千米/时，货车速度40千米/时，两车同时相向而行，相遇时间 = 300 ÷（50+40）= 10/3小时。 3.方程法（综合方法） 方法要点：设未知量（如速度、时间），根据路程关系列方程求解。 适用场景：含未知速度、分段运动或需要逆向求解的问题。 三、常见题型 1.基本相遇型：已知两地距离、速度和，求相遇时间；或已知速度和、相遇时间，求路程和。 2.基本追及型：已知路程差、速度差，求追及时间；或已知速度差、追及时间，求路程差。 3.综合应用型：含中途停留、变速运动、环形跑道（相遇/追及）、多次相遇等复杂情境。 例题讲解 一、基础题（公式代入法） 例1（相遇问题） 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车速度为60千米/时，乙车速度为40千米/时，经过3小时相遇。求A、B两地的距离。 解题步骤： 1.确定类型：相遇问题，已知速度和、相遇时间，求路程和。 2.速度和 = 60 + 40 = 100（千米/时）。 3.路程和 = 速度和 × 相遇时间 = 100 × 3 = 300（千米）。 答案：A、B两地相距300千米。 跟踪练习1：甲、乙两人从相距180米的两地同时相向而行，甲每分钟走70米，乙每分钟走50米，几分钟后相遇？ 答案：180 ÷（70+50）= 1.5分钟。 例2（追及问题） 一辆客车以80千米/时的速度行驶，后方一辆小轿车以100千米/时的速度同向追赶。若两车初始距离为40千米，小轿车多久能追上客车？ 解题步骤： 1.确定类型：追及问题，已知路程差、速度差，求追及时间。 2.速度差 = 100 - 80 = 20（千米/时）。 3.追及时间 = 路程差 ÷ 速度差 = 40 ÷ 20 = 2（小时）。 答案：2小时后小轿车追上客车。 跟踪练习2：小明以5米/秒的速度跑步，前方100米处的小红以3米/秒的速度同向慢跑，小明几秒后追上小红？ 答案：100 ÷（5-3）= 50秒。 二、进阶题（线段图法+公式） 例3（含停留的相遇问题） A、B两地相距450千米，甲车从A地出发，速度50千米/时，行驶1小时后因故障停留2小时，之后继续以原速前进；乙车从B地同时出发，速度40千米/时，匀速行驶。两车何时相遇？ 解题步骤： 1.画线段图：标注A、B两地，甲车行驶1小时后停留2小时，乙车持续行驶。 2.计算乙车在甲车停留期间的路程：乙车共行驶1+2=3小时，路程 = 40×3=120（千米）。 3.剩余路程和 = 450 -（50×1 + 120）= 280（千米）。 4.甲车恢复行驶后，速度和 = 50+40=90（千米/时），相遇时间 = 280 ÷ 90 = 28/9 ≈3.11小时。 5.总时间 = 3 + 28/9 ≈6.11小时（即6小时7分钟）。 答案：出发后约6小时7分钟相遇。 跟踪练习3：甲、乙两地相距300千米，货车从甲地出发，速度60千米/时，行驶2小时后卸货1小时；客车从乙地出发，速度40千米/时，行驶1小时后加油0.5小时。两车何时相遇？ 答案：货车卸货后剩余路程和=300-（60×2 + 40×1.5）=120千米，相遇时间=120÷（60+40）=1.2小时，总时间=2+1+1.2=4.2小时（4小时12分钟）。 三、挑战题（方程法） 例4（环形跑道追及问题） 在400米环形跑道上，甲、乙两人同时同地同向出发，甲速度3米/秒，乙速度2米/秒。问甲第3次追上乙时，两人各跑了多少米？ 解题步骤： 1.每次追及路程差 = 跑道周长 = 400米，第3次追及总路程差 = 400×3=1200米。 2.速度差 = 3-2=1米/秒，追及时间 = 1200 ÷1=1200秒。 3.甲跑的路程 = 3×1200=3600米，乙跑的路程 = 2×1200=2400米。 答案：甲跑3600米，乙跑2400米。 跟踪练习4：环形跑道长200米，甲、乙反向而行，甲速度5米/秒，乙速度3米/秒，两人第5次相遇时，甲跑了多少米？ 答案：每次相遇路程和=200米，总路程和=200×5=1000米，相遇时间=1000÷（5+3）=125秒，甲路程=5×125=625米。 提升练习 1．快、慢两车从A、B两地相向出发，在离中点60千米处相遇，并且慢车行的路程是快车的，求A、B两地相距多少千米？ 2．甲、乙两列火车分别从相距1100千米的两地出发，相对而行。甲先开出2小时，乙出发后6个小时相遇，甲的速度为每小时70千米，乙车的速度是多少？ 3．甲、乙两车同时从A、B两地出发，相对而行，6小时相遇。相遇后，乙车继续行驶5小时才到达A地。甲车每小时行60千米，问A、B两地相距多少千米？ 4．果果和姗姗约好一起去看电影。果果比姗姗晚出发20分钟，果果每分钟走60米，姗姗每分钟走45米。果果出发15分钟后，与姗姗相距435米。再过2分钟，果果到达电影院，此时姗姗还需多少分钟才能到达电影院？ 5．甲、乙两车同时从两地出发，相向而行。甲车每小时行50千米，乙车每小时行60千米，途中乙车因修车耽误了1小时，两车在离中点10千米的地相遇。求两地之间的距离。 6．五缘湾湿地公园内有一条环形步道，全长2.4千米。林杰和宇鑫从步道同一地点同时出发，反向而行。林杰骑自行车的速度是每分钟220米，两人第一次相遇用时8分钟。两人第一次相遇后继续沿原方向前进，当第二次相遇时，宇鑫一共走了多少米？ 7．黄石市磁湖景区有A、B两艘游船，分别从湖的东、西两岸同时出发相向而行。第一次相遇时，A船距离东岸1200米；相遇后两船继续航行，到达对岸后立即原路返回，第二次相遇时，A船距离西岸800米。请问磁湖东西两岸之间的距离是多少米？ 8．甲乙两人练习往返骑行缥缈峰，两人各自上山速度保持不变，下山速度也保持不变，且为各自上山速度的2倍。两人同时从山脚出发，在靠近山顶四分之一的地方首次相遇（在同一地点即为相遇），在距离山脚12千米处第二次相遇，那么从山脚到山顶的距离为多少千米？ 9．甲、乙二人分别从A、B两地间同时相向而行，甲的速度是每小时40千米，乙的速度是每小时30千米，二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回。已知二人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点是60千米，那么A、B两地相距多少米？ 10．客车和货车同时从甲乙两站相对开出，客车每小时行58千米，货车每小时行46千米。相遇后继续以原速前进，客车到乙站后立即返回，货车到甲站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行了25.2千米。 （1）此时两车已经行驶了多久？ （2）甲乙两站间的路程是多少千米？ 11．爸爸和儿子一起骑车去郊游，他们每分钟行240米，出发5分钟，爸爸发现忘带照相机，他们商定，儿子继续前行，爸爸马上以每分钟320米的速度按原路返回家中去取，取上后再立刻去追。爸爸自返回开始到追上儿子，在路上要用多少分钟？ 12．小丁丁8：00出门，以每分钟60米的速度从家步行去学校，8：15即可到达。出发9分钟后，爸爸发现他的作业遗漏在家里了，沿路骑自行车以每分钟180米的速度追他，爸爸能在小丁丁到达前追上他吗？（用方程解） 13．一只野兔逃出80步后猎狗才追它，野兔跑 8步的路程猎狗只需跑3步，猎狗跑4步的时间兔子能跑9步．猎狗至少要跑多少步才能追上野兔？ 14．小张从家到公园，原打算每分钟走50米，为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米，问家到公园多远？ 15．龟兔赛跑，全程共2000米．已知龟每分钟爬4米，兔子每分钟跑35米．兔自以为速度快，在途中睡了一觉，结果乌龟到终点时，兔子离终点还有250米，你知道兔子这一觉睡了多长时间吗？ 16．一架飞机从机场出发到某地执行任务，原计划每分钟飞行8千米．为了争取时间，现将飞行速度提高到每分钟12千米，结果比计划早到了40分钟．问机场与目的地相距多远？ 17．甲、乙两城间的铁路长360千米，快车从甲城、慢车从乙城同时相向开出，3小时相遇．如果两车从两城同时同向出发，慢车在前，快车在后，12小时快车可以追上慢车，求两车的速度各是多少？ 18．甲、乙两辆汽车同时从地出发去地，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米．途中甲车出故障停车修理了小时，结果甲车比乙车迟到小时到达地．、两地间的路程是多少？ 19．王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走米，李华每分钟走米，出发分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了分钟，然后追赶李华．求多少分钟后追上李华？ 20．小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？当爸爸追上小明时他们离家多远？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 相遇及追及问题 知识点梳理 一、基本概念 1.相遇问题 定义：两个物体从两地出发，相向而行，经过一段时间后在途中相遇的问题。 核心要素：路程和（两地距离）、速度和（两物体速度之和）、相遇时间。 基本公式：路程和 = 速度和 × 相遇时间 变形公式：相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和；速度和 = 路程和 ÷ 相遇时间。 2.追及问题 定义：两个物体同向而行，快者从后面追上慢者的问题。 核心要素：路程差（初始距离）、速度差（快者与慢者速度之差）、追及时间。 基本公式：路程差 = 速度差 × 追及时间 变形公式：追及时间 = 路程差 ÷ 速度差；速度差 = 路程差 ÷ 追及时间。 3.关键区别 相遇问题：物体运动方向相反，核心是“路程和”与“速度和”。 追及问题：物体运动方向相同，核心是“路程差”与“速度差”。 二、核心解题方法 1.线段图法（基础方法） 方法要点：用线段表示路程，标注物体的出发位置、方向、速度及时间，直观呈现数量关系。 适用场景：所有相遇及追及问题，尤其适合复杂情境（如中途停留、多次相遇）。 2.公式代入法（核心方法） 方法要点：根据问题类型（相遇/追及），直接套用基本公式或变形公式，代入已知量求解未知量。 示例：甲、乙两地相距300千米，客车速度50千米/时，货车速度40千米/时，两车同时相向而行，相遇时间 = 300 ÷（50+40）= 10/3小时。 3.方程法（综合方法） 方法要点：设未知量（如速度、时间），根据路程关系列方程求解。 适用场景：含未知速度、分段运动或需要逆向求解的问题。 三、常见题型 1.基本相遇型：已知两地距离、速度和，求相遇时间；或已知速度和、相遇时间，求路程和。 2.基本追及型：已知路程差、速度差，求追及时间；或已知速度差、追及时间，求路程差。 3.综合应用型：含中途停留、变速运动、环形跑道（相遇/追及）、多次相遇等复杂情境。 例题讲解 一、基础题（公式代入法） 例1（相遇问题） 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车速度为60千米/时，乙车速度为40千米/时，经过3小时相遇。求A、B两地的距离。 解题步骤： 1.确定类型：相遇问题，已知速度和、相遇时间，求路程和。 2.速度和 = 60 + 40 = 100（千米/时）。 3.路程和 = 速度和 × 相遇时间 = 100 × 3 = 300（千米）。 答案：A、B两地相距300千米。 跟踪练习1：甲、乙两人从相距180米的两地同时相向而行，甲每分钟走70米，乙每分钟走50米，几分钟后相遇？ 答案：180 ÷（70+50）= 1.5分钟。 例2（追及问题） 一辆客车以80千米/时的速度行驶，后方一辆小轿车以100千米/时的速度同向追赶。若两车初始距离为40千米，小轿车多久能追上客车？ 解题步骤： 1.确定类型：追及问题，已知路程差、速度差，求追及时间。 2.速度差 = 100 - 80 = 20（千米/时）。 3.追及时间 = 路程差 ÷ 速度差 = 40 ÷ 20 = 2（小时）。 答案：2小时后小轿车追上客车。 跟踪练习2：小明以5米/秒的速度跑步，前方100米处的小红以3米/秒的速度同向慢跑，小明几秒后追上小红？ 答案：100 ÷（5-3）= 50秒。 二、进阶题（线段图法+公式） 例3（含停留的相遇问题） A、B两地相距450千米，甲车从A地出发，速度50千米/时，行驶1小时后因故障停留2小时，之后继续以原速前进；乙车从B地同时出发，速度40千米/时，匀速行驶。两车何时相遇？ 解题步骤： 1.画线段图：标注A、B两地，甲车行驶1小时后停留2小时，乙车持续行驶。 2.计算乙车在甲车停留期间的路程：乙车共行驶1+2=3小时，路程 = 40×3=120（千米）。 3.剩余路程和 = 450 -（50×1 + 120）= 280（千米）。 4.甲车恢复行驶后，速度和 = 50+40=90（千米/时），相遇时间 = 280 ÷ 90 = 28/9 ≈3.11小时。 5.总时间 = 3 + 28/9 ≈6.11小时（即6小时7分钟）。 答案：出发后约6小时7分钟相遇。 跟踪练习3：甲、乙两地相距300千米，货车从甲地出发，速度60千米/时，行驶2小时后卸货1小时；客车从乙地出发，速度40千米/时，行驶1小时后加油0.5小时。两车何时相遇？ 答案：货车卸货后剩余路程和=300-（60×2 + 40×1.5）=120千米，相遇时间=120÷（60+40）=1.2小时，总时间=2+1+1.2=4.2小时（4小时12分钟）。 三、挑战题（方程法） 例4（环形跑道追及问题） 在400米环形跑道上，甲、乙两人同时同地同向出发，甲速度3米/秒，乙速度2米/秒。问甲第3次追上乙时，两人各跑了多少米？ 解题步骤： 1.每次追及路程差 = 跑道周长 = 400米，第3次追及总路程差 = 400×3=1200米。 2.速度差 = 3-2=1米/秒，追及时间 = 1200 ÷1=1200秒。 3.甲跑的路程 = 3×1200=3600米，乙跑的路程 = 2×1200=2400米。 答案：甲跑3600米，乙跑2400米。 跟踪练习4：环形跑道长200米，甲、乙反向而行，甲速度5米/秒，乙速度3米/秒，两人第5次相遇时，甲跑了多少米？ 答案：每次相遇路程和=200米，总路程和=200×5=1000米，相遇时间=1000÷（5+3）=125秒，甲路程=5×125=625米。 提升练习 1．快、慢两车从A、B两地相向出发，在离中点60千米处相遇，并且慢车行的路程是快车的，求A、B两地相距多少千米？ 【答案】600千米 【分析】根据题意，慢车行的路程是快车的，说明慢车行的路程是两地距离的，快车行的路程是两地距离的，用（－）算出快车比慢车多行全程的几分之几。在离中点60千米处相遇，说明快车比慢车多行了2个60千米，是120千米。根据对应的量÷对应的分率＝单位“1”。用120千米除以快车比慢车多行全程的几分之几，就是A、B两地相距多少千米。 【详解】60×2＝120（千米） 120÷（－） ＝120÷（－） ＝120÷ ＝120×5 ＝600（千米） 答：A、B两地相距600千米。 2．甲、乙两列火车分别从相距1100千米的两地出发，相对而行。甲先开出2小时，乙出发后6个小时相遇，甲的速度为每小时70千米，乙车的速度是多少？ 【答案】 90千米/小时 【分析】根据速度、时间与路程的关系，先求出甲车行驶的总距离，再用总路程减去甲车行驶的距离得到乙车行驶的距离，最后用乙车行驶的距离除以时间即可求出乙车的速度。 【详解】乙车行驶的距离：1100－（2＋6）×70 ＝1100－8×70 ＝1100－560 ＝540（千米） 乙车速度：540÷6＝90（千米/小时） 答：乙车的速度是90千米/小时。 3．甲、乙两车同时从A、B两地出发，相对而行，6小时相遇。相遇后，乙车继续行驶5小时才到达A地。甲车每小时行60千米，问A、B两地相距多少千米？ 【答案】 792千米 【分析】相遇后乙车继续行驶5小时到达A地，说明乙车5小时行驶的路程等于甲车6小时行驶的路程。甲车每小时行60千米，据此可以求出乙车的速度为：60×6÷5＝360÷5＝72（千米/小时）。最后再根据“路程和＝速度和×时间”，用两车的速度和乘以相遇时间6小时，即可求出A、B两地的距离。 【详解】乙车的速度为：60×6÷5 ＝360÷5 ＝72（千米/小时） A、B两地距离为：（60＋72）×6 ＝132×6 ＝792（千米） 答：A、B两地相距792千米。 4．果果和姗姗约好一起去看电影。果果比姗姗晚出发20分钟，果果每分钟走60米，姗姗每分钟走45米。果果出发15分钟后，与姗姗相距435米。再过2分钟，果果到达电影院，此时姗姗还需多少分钟才能到达电影院？ 【答案】5分钟 【分析】根据题意可以先求出果果到达电影院时，珊珊距离电影院的路程为：435－（60＋45）×2＝225（米）。然后再根据“时间＝路程÷速度”即可求出珊珊还需多少分钟才能到达电影院。 【详解】435－（60＋45）×2 ＝435－105×2 ＝435－210 ＝225（米） 225÷45＝5（分钟） 答：姗姗还需5分钟才能到达电影院。 5．甲、乙两车同时从两地出发，相向而行。甲车每小时行50千米，乙车每小时行60千米，途中乙车因修车耽误了1小时，两车在离中点10千米的地相遇。求两地之间的距离。 【答案】 820千米或者380千米 【分析】本题可以用方程来解决。设甲车行驶时间为小时，则乙车行驶时间为小时。甲车每小时行50千米，乙车每小时行60千米，因此甲车行驶的路程为50t千米，乙车行驶的路程为60（t－1）千米。两车在离中点10千米的地相遇，即两车行驶路程差为20千米，分两种情况讨论列出方程，或者。解着两个方程即可确定两地之间的距离。 【详解】解：设甲车行驶时间为小时，则乙车行驶时间为小时。 若乙车路程比甲车多20千米： 全程： （千米） 若乙车路程比甲车多20千米： 全程： （千米） 答：两地之间的距离为820千米或者380千米。 6．五缘湾湿地公园内有一条环形步道，全长2.4千米。林杰和宇鑫从步道同一地点同时出发，反向而行。林杰骑自行车的速度是每分钟220米，两人第一次相遇用时8分钟。两人第一次相遇后继续沿原方向前进，当第二次相遇时，宇鑫一共走了多少米？ 【答案】1280米 【分析】将步道全长2.4千米换算为2400米。两人从同一地点反向而行，第一次相遇时，两人路程和等于步道全长。根据“路程和÷相遇时间＝速度和”，可求出两人的速度和，再减去林杰的速度，得到宇鑫的速度。从第一次相遇到第二次相遇，两人又共同走了一圈，因此总相遇时间是第一次相遇时间的2倍。最后用宇鑫的速度乘总时间，即可得到他一共走的路程。 【详解】2.4千米＝2400米 2400÷8＝300（米） 300－220＝80（米） 8×2＝16（分钟） 80×16＝1280（米） 答：当第二次相遇时，宇鑫一共走了1280米。 【点睛】关键点是理解环形跑道上，每次相遇两人的路程和都是一圈，从而求出总时间，再计算宇鑫的总路程。 7．黄石市磁湖景区有A、B两艘游船，分别从湖的东、西两岸同时出发相向而行。第一次相遇时，A船距离东岸1200米；相遇后两船继续航行，到达对岸后立即原路返回，第二次相遇时，A船距离西岸800米。请问磁湖东西两岸之间的距离是多少米？ 【答案】2800米 【分析】两船第一次相遇时，共行驶1个全程，此时A船行驶1200米；从第一次相遇到第二次相遇，两船共行驶2个全程，因此从出发到第二次相遇，两船共行驶个全程。在3个全程中，A船行驶的路程为米。第二次相遇时， A船距离西岸800米，说明A船行驶的总路程为1个全程加800米（到达西岸后返回的距离）。设磁湖东西两岸之间的距离为米，则，据此进行解答。 【详解】解：设磁湖东西两岸之间的距离为米， 答：磁湖东西两岸之间的距离是2800米。 8．甲乙两人练习往返骑行缥缈峰，两人各自上山速度保持不变，下山速度也保持不变，且为各自上山速度的2倍。两人同时从山脚出发，在靠近山顶四分之一的地方首次相遇（在同一地点即为相遇），在距离山脚12千米处第二次相遇，那么从山脚到山顶的距离为多少千米？ 【答案】28千米 【分析】假设甲速度大于乙速度，设山脚到山顶的距离为a千米，甲的上山速度为x，则下山速度为2x；乙的上山速度为y，则下山速度为2y。根据第一次相遇时两人时间相等，可得x＝y。第二次相遇时，甲和乙的总时间仍相等，代入速度关系后解方程可得a＝28。据此解答。 【详解】第一次相遇：相遇点离山脚a千米 甲骑行路程：上山a千米，下山a千米，根据“时间＝路程÷速度”，时间为 乙骑行路程：上山a千米，时间为 因为时间相等，所以＝，解得x＝y。 第二次相遇：相遇点离山脚12千米 甲骑行路程：下山a千米，上山12千米，时间为 乙骑行路程：上山a千米，下山（a－12）千米，时间为 代入x＝y，化简得解得a＝28 答：从山脚到山顶的距离为28千米 【点睛】本题考查行程问题，根据第一次相遇求出甲和乙的速度关系是解题关键。 9．甲、乙二人分别从A、B两地间同时相向而行，甲的速度是每小时40千米，乙的速度是每小时30千米，二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回。已知二人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点是60千米，那么A、B两地相距多少米？ 【答案】210000米 【分析】已知甲的速度是每小时40千米，乙的速度是每小时30千米，计算两人速度比，时间相同，进而可求得二者的路程比。第一次相遇时，两人共行了一个全程，计算相遇点距A地的距离为全程的几分之几。第二次相遇时，两人共行了三个全程，计算相遇点距A地的距离占全程的几分之几，然后计算两次相遇点之间的距离占全程的几分之几，由此解答本题。 【详解】甲的速度：乙的速度＝4：3 第一次相遇时，两人共行了一个全程，相遇点距A地的距离为全程的4÷（4＋3）＝4÷7＝ 第二次相遇时，两人共行了三个全程，甲行驶 相遇点距A地的距离为全程的2－ 60÷ ＝60÷ ＝60× ＝210（千米） 210千米＝210000米 答：A、B两地相距210000米。 【点睛】由甲、乙的速度，可求得二者的速度比，时间相同，速度比等于路程比，进而可求得第一次相遇时，相遇点距A地的距离（即甲的路程占总路程的几分之几）。第二次相遇时，相当于两人共走3个全程，用一次相遇时，甲所走的路程乘3，可求得甲所走的路程，用2减这部分分率，可求得相遇点距A地的距离为全程的几分之几。用总长除以（第一次距离A地的距离的分率－第二次距离A地的分率），即可求得A、B两地相距多少。 10．客车和货车同时从甲乙两站相对开出，客车每小时行58千米，货车每小时行46千米。相遇后继续以原速前进，客车到乙站后立即返回，货车到甲站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行了25.2千米。 （1）此时两车已经行驶了多久？ （2）甲乙两站间的路程是多少千米？ 【答案】（1）2.1小时；（2）72.8千米 【分析】（1）已知客车和货车同时从甲乙两站相对开出，客车比货车多行25.2千米，用路程差除以速度差可得行驶时间。 （2）根据总路程＝速度和×相遇时间，已知客车每小时行58千米，货车每小时行46千米，用两车的速度和乘相遇时间得出两车行驶的总路程；两车第二次相遇时，总路程为甲乙两站间路程的3倍，再用两车行驶的总路程除以3即为两站间路程。据此解答。 【详解】（1）25.2÷（58－46） ＝25.2÷12 ＝2.1（小时） 答：此时两车已经行驶了2.1小时。 （2）（58＋46）×2.1÷3 ＝104×2.1÷3 ＝218.4÷3 ＝72.8（千米） 答：甲乙两站间的路程是72.8千米。 【点睛】明确客车和货车第二次相遇时所走的总路程实际上是甲、乙两站间的路程的3倍是解决问题的关键。 11．爸爸和儿子一起骑车去郊游，他们每分钟行240米，出发5分钟，爸爸发现忘带照相机，他们商定，儿子继续前行，爸爸马上以每分钟320米的速度按原路返回家中去取，取上后再立刻去追。爸爸自返回开始到追上儿子，在路上要用多少分钟？ 【答案】30分钟 【分析】由题意可知爸爸出发5分钟后返回，儿子继续前行，根据“路程＝速度×时间”可以求出此时爸爸和儿子已经走过的路程为：240×5＝1200（米）。然后爸爸以每分钟320米的速度返回家中然后立刻去追儿子，因此爸爸要比儿子多走2个1200米，然后再根据追及问题“追及时间＝路程差÷速度差”即可求出爸爸自返回开始到追上儿子需要多少分钟。 【详解】240×5×2÷（320－240） ＝1200×2÷80 ＝2400÷80 ＝30（分钟） 答：爸爸自返回开始到追上儿子需要30分钟。 12．小丁丁8：00出门，以每分钟60米的速度从家步行去学校，8：15即可到达。出发9分钟后，爸爸发现他的作业遗漏在家里了，沿路骑自行车以每分钟180米的速度追他，爸爸能在小丁丁到达前追上他吗？（用方程解） 【答案】能 【分析】设经过x分钟后爸爸追上小丁丁；根据路程＝速度×时间，小丁丁每分钟60米，先求出小丁丁9分钟走的路程，列式为60×9；再求走x分钟行的路程，即60x米；爸爸骑自行车每分钟180米，x分钟爸爸行了180x米；小丁丁走的路程＝爸爸骑自行车行的路程，列方程：60×9＋60x＝180x，解方程，求出经过多少分钟爸爸追上小丁丁，再加上9分钟，求出小丁丁走的时间；再和小丁丁上学的时间比较，如果大于小丁丁上学用的时间，爸爸不能在小丁丁到达学校前追上，如果小于等于小丁丁上学用的时间，爸爸能在小丁丁到达学校前追上，据此解答。 【详解】8：15－8：00＝15（分钟） 解：设经过x分钟后爸爸追上小丁丁。 60×9＋60x＝180x 540＋60x＝180x 540＋60x－60x＝180x－60x 120x＝540 120x÷120＝540÷120 x＝4.5 4.5＋9＝13.5（分钟） 13.5分钟＜15分钟，爸爸能在小丁丁到达前追上他。 答：爸爸能在小丁丁到达前追上他。 13．一只野兔逃出80步后猎狗才追它，野兔跑 8步的路程猎狗只需跑3步，猎狗跑4步的时间兔子能跑9步．猎狗至少要跑多少步才能追上野兔？ 【答案】192步 【详解】狗跑12步的路程等于兔跑32步的路程，狗跑12步的时间等于兔跑27步的时间．所以兔每跑27步，狗追上5步（兔步），狗要追上80步（兔步）需跑[27×（80÷5）＋80]÷8×3＝192（步） 14．小张从家到公园，原打算每分钟走50米，为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米，问家到公园多远？ 【答案】1500米 【分析】可以作为“追及问题”处理. 【详解】假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是50×10÷（75-50）＝20（分钟）· 因此，小张走的距离是75×20＝1500（米）. 答：从家到公园的距离是1500米. 15．龟兔赛跑，全程共2000米．已知龟每分钟爬4米，兔子每分钟跑35米．兔自以为速度快，在途中睡了一觉，结果乌龟到终点时，兔子离终点还有250米，你知道兔子这一觉睡了多长时间吗？ 【答案】450分钟 【详解】乌龟跑完全程所需时间：2000÷4＝500（分钟） 兔子跑的路程：2000-250=1750（米） 兔子跑的时间：1750÷35=50（分钟） 兔子睡觉的时间：500-50＝450（分钟） 答：兔子一觉睡了450分钟． 16．一架飞机从机场出发到某地执行任务，原计划每分钟飞行8千米．为了争取时间，现将飞行速度提高到每分钟12千米，结果比计划早到了40分钟．问机场与目的地相距多远？ 【答案】960千米 【分析】将此题可看作是追及问题．一架每分钟飞行8千米的飞机，飞行40分钟后，另一架每分钟飞行12千米的飞机，沿第一架飞机的飞行路线从后面赶来，两架飞机同时到达目的地． 【详解】路程差：8×40=320（千米） 追及时间：320÷（12－8）＝80（分钟），即第二架飞机的飞行时间． 则这段路程：12×80=960（千米） 答：机场与目的地相距960千米． 17．甲、乙两城间的铁路长360千米，快车从甲城、慢车从乙城同时相向开出，3小时相遇．如果两车从两城同时同向出发，慢车在前，快车在后，12小时快车可以追上慢车，求两车的速度各是多少？ 【答案】快车与慢车的速度分别为75千米／小时和45千米/小时 【详解】相遇问题中，全程360千米，相遇时间3小时．快车与慢车的速度和：360÷3=120（千米／小时）． 追及问题中，路程差360千米，追及时间12小时，快车与慢车的速度差：360÷12＝30（千米/小时）． 那么快车的速度：（120+30）÷2=75（千米/小时） 慢车的速度：（120-30）÷2=45（千米／小时） 答：快车与慢车的速度分别为75千米／小时和45千米/小时． 18．甲、乙两辆汽车同时从地出发去地，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米．途中甲车出故障停车修理了小时，结果甲车比乙车迟到小时到达地．、两地间的路程是多少？ 【答案】400千米 【详解】由于甲车在途中停车小时，比乙车迟到小时，说明行这段路程甲车比乙车少用小时．可理解成甲车在途中停车小时，两车同时到达，也就是乙车比甲车先行小时，两车同时到达地，所以，也可以用追及问题的数量关系来解答．即：行这段路程甲车比乙车少用的时间是：(小时)，乙车小时行的路程是：(千米)，甲车每小时比乙车多行的路程是：(千米)，甲车所需的时间是：(小时)，、两地间的路程是：(千米)． 19．王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走米，李华每分钟走米，出发分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了分钟，然后追赶李华．求多少分钟后追上李华？ 【答案】21分钟 【详解】已知二人出发分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了分钟，在学校又耽误了分钟，王芳一共耽误了(分钟)．李华在这段时间比王芳多走：(米)，速度差为：(米/秒)，王芳追上李华的时间是：(分钟) 20．小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？当爸爸追上小明时他们离家多远？ 【答案】4分钟．1120米 【详解】 当爸爸开始追小明时，小明已经离家：(米)，即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短(米)，也就是爸爸与小明的速度差为 (米/分),爸爸追及的时间：(分钟)．当爸爸追上小明时，小明已经出发(分钟)，此时离家的距离是：(米) 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $