专题03 四则运算的巧算（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-小升初奥数培优精讲精练

专题03 四则运算的巧算 知识点梳理 一、基本概念 四则运算巧算是指在整数、小数、分数的加减乘除运算中，通过运用运算定律、性质或特殊技巧，简化计算过程、提高运算效率的方法。核心要素： 1.运算定律：加法交换律（a+b=b+a）、结合律（(a+b)+c=a+(b+c)）；乘法交换律（a×b=b×a）、结合律（(a×b)×c=a×(b×c)）、分配律（a×(b+c)=a×b+a×c）。 2.运算性质：减法性质（a-b-c=a-(b+c)）、除法性质（a÷b÷c=a÷(b×c)，b、c≠0）；商不变性质（a÷b=(a×c)÷(b×c)，b、c≠0）。 3.特殊技巧：凑整法（将数凑成整十、整百等）、拆分法（将数拆成易算形式）、基准数法（以某个数为基准计算偏差）、等差数列求和（首项+末项）×项数÷2。 二、核心解题方法 1.凑整法（基础方法） 方法要点：将算式中的数拆分成能凑成整十、整百、整千的数，利用加法或乘法结合律简化计算。 示例：计算25×32×125，可拆分为25×(4×8)×125=(25×4)×(8×125)=100×1000=100000。 2.拆分法（进阶方法） 方法要点：将一个数拆成两个或多个数的和/差/积，利用分配律或结合律计算。 示例：计算99×78，拆分为(100-1)×78=100×78-1×78=7800-78=7722。 3.基准数法（综合方法） 方法要点：选取算式中接近的数作为基准数，计算所有数与基准数的偏差并求和，再加上基准数×项数。 示例：计算102+105+98+99，基准数取100，偏差为+2、+5、-2、-1，总和=100×4+(2+5-2-1)=400+4=404。 4.等差数列求和法 方法要点：对于连续自然数或公差为d的数列，用公式：和=（首项+末项）×项数÷2。 示例：计算1+2+3+...+100，首项=1，末项=100，项数=100，和=(1+100)×100÷2=5050。 三、常见题型 1.直接凑整型：利用运算定律将数凑整，如25×4、125×8等特殊组合。 2.拆分简算型：将接近整十/百的数拆分（如99=100-1，102=100+2）。 3.基准数求和型：多个接近数相加，以基准数简化计算。 4.等差数列求和型：连续数或有规律数列求和。 例题讲解 一、基础题（凑整法与运算定律） 例1：计算287+36+13+64 解题步骤： 1.观察数的特征：287与13凑整（300），36与64凑整（100）。 2.运用加法交换律和结合律：(287+13)+(36+64)=300+100=400。 跟踪练习1：计算125×16×5，答案：10000。解析：125×(8×2)×5=(125×8)×(2×5)=1000×10=10000。 例2：计算78×101 解题步骤： 1.拆分101为100+1，利用乘法分配律：78×(100+1)=78×100+78×1=7800+78=7878。 易错点：避免漏乘1，确保分配律完整应用。 跟踪练习2：计算56×99，答案：5544。解析：56×(100-1)=5600-56=5544。 二、进阶题（拆分与基准数法） 例3：计算1+3+5+7+...+99（共50项） 解题步骤： 1.判定为等差数列：首项=1，末项=99，项数=50。 2.套用求和公式：(1+99)×50÷2=100×50÷2=2500。 跟踪练习3：计算2+4+6+...+100，答案：2550。解析：(2+100)×50÷2=102×25=2550。 例4：计算9.9+99.9+999.9+0.3 解题步骤： 1.拆分0.3为0.1+0.1+0.1，与前三个数凑整： (9.9+0.1)+(99.9+0.1)+(999.9+0.1)=10+100+1000=1110。 跟踪练习4：计算8.8+89.8+899.8+0.6，答案：1000。解析：0.6拆分为0.2×3，(8.8+0.2)+(89.8+0.2)+(899.8+0.2)=9+90+900=999？（修正：应为9+90+900=999，此处原答案有误，正确应为999）。 三、挑战题（综合技巧应用） 例5：计算(1234+2341+3412+4123)÷5 解题步骤： 1.观察每个数的数位特征：千位、百位、十位、个位分别为1-4循环，每个数位之和为1+2+3+4=10。 2.原式=(10×1000 + 10×100 + 10×10 + 10×1)÷5=10×(1000+100+10+1)÷5=10×1111÷5=2222。 跟踪练习5：计算(1357+3571+5713+7135)÷4，答案：4444。解析：每个数位和1+3+5+7=16，原式=16×(1000+100+10+1)÷4=16×1111÷4=4444。 提升练习 1．计算。 2．计算。 14141414×25－14×25252525 3．计算。 （1）999×123 （2）99998×1257 （3）×1234 4．计算。 110×47－125－5－100×（47×8）       53.5×35.3＋53.5×43.2＋78.5×46.5 5．2020202×333-3030303×222 等于多少？ 6．计算：1994×19931993-1992×19941994 7．计算： 8．计算( )。 9．计算。 8.12＋14.57×39＋6.45＝________。 10．计算。 ____。 11．计算。 20.18÷[3.17－0.4×（14－6.7）]＝___________。 12．9×20×12.3＋12×9.7×15＋4.5×360＝( )。 13．2.019×447＋65.8×20.19－1.05×201.9＋22÷20＝( )。 14．计算：555555×55555＋111111×222225＝_________。 15．2008＋2007＋2006＋2005＋2004×96＝______。 16．计算：99＋99×99＋99×99×99＝______。 17．__________。 18．计算：765÷18×213＋765×327÷18＝______。 19．算式（16＋28－5.3）×47÷0.9的计算结果是( )。 20．计算：______. 21．请你计算结果的末尾有多少个连续的零？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 四则运算的巧算 知识点梳理 一、基本概念 四则运算巧算是指在整数、小数、分数的加减乘除运算中，通过运用运算定律、性质或特殊技巧，简化计算过程、提高运算效率的方法。核心要素： 1.运算定律：加法交换律（a+b=b+a）、结合律（(a+b)+c=a+(b+c)）；乘法交换律（a×b=b×a）、结合律（(a×b)×c=a×(b×c)）、分配律（a×(b+c)=a×b+a×c）。 2.运算性质：减法性质（a-b-c=a-(b+c)）、除法性质（a÷b÷c=a÷(b×c)，b、c≠0）；商不变性质（a÷b=(a×c)÷(b×c)，b、c≠0）。 3.特殊技巧：凑整法（将数凑成整十、整百等）、拆分法（将数拆成易算形式）、基准数法（以某个数为基准计算偏差）、等差数列求和（首项+末项）×项数÷2。 二、核心解题方法 1.凑整法（基础方法） 方法要点：将算式中的数拆分成能凑成整十、整百、整千的数，利用加法或乘法结合律简化计算。 示例：计算25×32×125，可拆分为25×(4×8)×125=(25×4)×(8×125)=100×1000=100000。 2.拆分法（进阶方法） 方法要点：将一个数拆成两个或多个数的和/差/积，利用分配律或结合律计算。 示例：计算99×78，拆分为(100-1)×78=100×78-1×78=7800-78=7722。 3.基准数法（综合方法） 方法要点：选取算式中接近的数作为基准数，计算所有数与基准数的偏差并求和，再加上基准数×项数。 示例：计算102+105+98+99，基准数取100，偏差为+2、+5、-2、-1，总和=100×4+(2+5-2-1)=400+4=404。 4.等差数列求和法 方法要点：对于连续自然数或公差为d的数列，用公式：和=（首项+末项）×项数÷2。 示例：计算1+2+3+...+100，首项=1，末项=100，项数=100，和=(1+100)×100÷2=5050。 三、常见题型 1.直接凑整型：利用运算定律将数凑整，如25×4、125×8等特殊组合。 2.拆分简算型：将接近整十/百的数拆分（如99=100-1，102=100+2）。 3.基准数求和型：多个接近数相加，以基准数简化计算。 4.等差数列求和型：连续数或有规律数列求和。 例题讲解 一、基础题（凑整法与运算定律） 例1：计算287+36+13+64 解题步骤： 1.观察数的特征：287与13凑整（300），36与64凑整（100）。 2.运用加法交换律和结合律：(287+13)+(36+64)=300+100=400。 跟踪练习1：计算125×16×5，答案：10000。解析：125×(8×2)×5=(125×8)×(2×5)=1000×10=10000。 例2：计算78×101 解题步骤： 1.拆分101为100+1，利用乘法分配律：78×(100+1)=78×100+78×1=7800+78=7878。 易错点：避免漏乘1，确保分配律完整应用。 跟踪练习2：计算56×99，答案：5544。解析：56×(100-1)=5600-56=5544。 二、进阶题（拆分与基准数法） 例3：计算1+3+5+7+...+99（共50项） 解题步骤： 1.判定为等差数列：首项=1，末项=99，项数=50。 2.套用求和公式：(1+99)×50÷2=100×50÷2=2500。 跟踪练习3：计算2+4+6+...+100，答案：2550。解析：(2+100)×50÷2=102×25=2550。 例4：计算9.9+99.9+999.9+0.3 解题步骤： 1.拆分0.3为0.1+0.1+0.1，与前三个数凑整： (9.9+0.1)+(99.9+0.1)+(999.9+0.1)=10+100+1000=1110。 跟踪练习4：计算8.8+89.8+899.8+0.6，答案：1000。解析：0.6拆分为0.2×3，(8.8+0.2)+(89.8+0.2)+(899.8+0.2)=9+90+900=999？（修正：应为9+90+900=999，此处原答案有误，正确应为999）。 三、挑战题（综合技巧应用） 例5：计算(1234+2341+3412+4123)÷5 解题步骤： 1.观察每个数的数位特征：千位、百位、十位、个位分别为1-4循环，每个数位之和为1+2+3+4=10。 2.原式=(10×1000 + 10×100 + 10×10 + 10×1)÷5=10×(1000+100+10+1)÷5=10×1111÷5=2222。 跟踪练习5：计算(1357+3571+5713+7135)÷4，答案：4444。解析：每个数位和1+3+5+7=16，原式=16×(1000+100+10+1)÷4=16×1111÷4=4444。 提升练习 1．计算。 【答案】19600 【分析】观察数据特点：，据此根据乘法分配律简便计算即可。 【详解】 2．计算。 14141414×25－14×25252525 【答案】0 【分析】观察算式发现：14141414＝14×1010101、25252525＝25×1010101，据此把原式变为：（14×25－14×25）×1010101，可以简算。 【详解】14141414×25－14×25252525 ＝14×1010101×25－14×25×1010101 ＝（14×25－14×25）×1010101 ＝（350－350）×1010101 ＝0×1010101 ＝0 3．计算。 （1）999×123 （2）99998×1257 （3）×1234 【答案】（1）122877； （2）125697486； （3） 【分析】（1）把999看作1000与1的差，求出1000与123的积，再减去123即可； （2）把99998看作100000与2的差，分别求出100000、2与1257的积，再相减即可； （3）把看作与1的差，求出与1234的积，再减去1234即可。 【详解】（1）999×123 ＝（1000－1）×123 ＝1000×123－123 ＝123000－123 ＝122877 （2）99998×1257 ＝（100000－2）×1257 ＝100000×1257－2×1257 ＝125700000－2514 ＝125697486 （3）×1234 ＝（－1）×1234 ＝×1234－1234 ＝－1234 ＝ 4．计算。 110×47－125－5－100×（47×8）       53.5×35.3＋53.5×43.2＋78.5×46.5 【答案】﹣32560；7850 【分析】第一小题，利用乘法结合律、乘法分配律及减法的性质，可以简算，注意负数的处理方法； 第二小题，利用乘法分配律可以简算。 【详解】110×47－125－5－100×（47×8） ＝110×47－100×8×47－（125＋5） ＝（110－800）×47－130 ＝（﹣690）×47＋（﹣130） ＝（﹣32430）＋（﹣130） ＝﹣32560 53.5×35.3＋53.5×43.2＋78.5×46.5 ＝53.5×（35.3＋43.2）＋78.5×46.5 ＝53.5×78.5＋78.5×46.5 ＝78.5×100 ＝7850 5．2020202×333-3030303×222 等于多少？ 【答案】0 【详解】原式=（1010101×2）×（111×3）-（1010101×3）×（111×2）， =1010101×111×（2×3-3×2） =1010101×111×0 =0． 故答案为：0． 6．计算：1994×19931993-1992×19941994 【答案】19941994 【详解】原式=1994×1993×10001-1992×1994×10001 =1994×10001×（1993-1992） =1994×10001=19941994. 7．计算： 【答案】665 【详解】原式 8．计算( )。 【答案】10060 【分析】算式中的五个数接近2010，将2011改成2010＋1、2012改成2010＋2、2013改成2010＋3、2014改成2010＋4，再利用加法的交换律和结合律得出结果。 【详解】2010＋2011＋2012＋2013＋2014 ＝2010＋2010＋1＋2010＋2＋2010＋3＋2010＋4 ＝2010×5＋1＋2＋3＋4 ＝10050＋10 ＝10060 9．计算。 8.12＋14.57×39＋6.45＝________。 【答案】 582.8 【分析】根据四则运算的规则，应先计算乘法，再从左到右依次计算加减法。因此，先计算14.57×39，再将结果依次与8.12和6.45相加。 【详解】8.12＋14.57×39＋6.45 ＝8.12＋568.23＋6.45 ＝582.8 10．计算。 ____。 【答案】5000 【分析】仔细观察数字特点：＝99×（100－98）＝99×2； ＝97×（98－96）＝97×2； … ＝3×（4－3）＝3×2； 每两项结合在一起，最后剩余。 再运用乘法分配律简便计算即可。 【详解】 11．计算。 20.18÷[3.17－0.4×（14－6.7）]＝___________。 【答案】80.72 【分析】根据四则混合运算的运算顺序：先乘除后加减，有括号先计算小括号再计算中括号，依次进行计算即可。 【详解】20.18÷[3.17－0.4×（14－6.7）] ＝20.18÷（3.17－0.4×7.3） ＝20.18÷（3.17－2.92） ＝20.18÷0.25 ＝80.72 因此20.18÷[3.17－0.4×（14－6.7）]＝80.72。 12．9×20×12.3＋12×9.7×15＋4.5×360＝( )。 【答案】5580 【分析】观察算式发现，9×20和12×15的结果都是180，因此可以考虑利用积不变的性质将4.5×360写成9×180，这样就可以用乘法分配律进行简便计算了。 【详解】9×20×12.3＋12×9.7×15＋4.5×360 ＝180×12.3＋180×9.7＋9×180 ＝180×（12.3＋9.7＋9） ＝180×31 ＝5580 因此9×20×12.3＋12×9.7×15＋4.5×360＝5580。 13．2.019×447＋65.8×20.19－1.05×201.9＋22÷20＝( )。 【答案】2020.1 【分析】观察发现算式中有2.019，20.19，201.9，先利用积不变的性质将这3个数都统一成2.019，然后根据乘法分配律即可进行简便计算。算式最末尾的22÷20直接计算求和。 【详解】2.019×447＋65.8×20.19－1.05×201.9＋22÷20 ＝2.019×447＋658×2.019－105×2.019＋1.1 ＝2.019×（447＋658－105）＋1.1 ＝2.019×1000＋1.1 ＝2019＋1.1 ＝2020.1 因此2.019×447＋65.8×20.19－1.05×201.9＋22÷20＝2020.1。 14．计算：555555×55555＋111111×222225＝_________。 【答案】55555500000 【分析】将222225分成5×44445，即可以利用乘法的结合律计算出111111×5的值。最后根据乘法的分配律提出555555，再将剩下的数相加，可以简便计算。 【详解】555555×55555＋111111×222225 ＝555555×55555＋111111×5×44445 ＝555555×55555＋555555×44445 ＝555555×（55555＋44445） ＝555555×100000 ＝55555500000 555555×55555＋111111×222225＝55555500000 15．2008＋2007＋2006＋2005＋2004×96＝______。 【答案】200410 【分析】将2008分成2004＋4，2007分成2004＋3，2006分成2004＋2，2005分成2004＋1，将这些分成的数相加得出有4个2004相加，最后利用乘法的分配律提出2004，简便计算。 【详解】2008＋2007＋2006＋2005＋2004×96 ＝2004＋4＋2004＋3＋2004＋2＋2004＋1＋2004×96 ＝2004×4＋2004×96＋4＋3＋2＋1 ＝2004×（4＋96）＋10 ＝2004×100＋10 ＝200400＋10 ＝200410 则2008＋2007＋2006＋2005＋2004×96＝200410 16．计算：99＋99×99＋99×99×99＝______。 【答案】980199 【分析】根据加法的结合律，先将99×99＋99×99×99提出99×99，再利用乘法的分配律得出99×99×（99＋1），再将其中的99转化为100－1，最后再利用乘法的分配律，将最后算式转化为加减法算式可以简便。 【详解】99＋99×99＋99×99×99 ＝99＋99×99×（99＋1） ＝99＋99×（100－1）×100 ＝99＋99×100×100－99×1×100 ＝99＋990000－9900 ＝980199 17．__________。 【答案】437 【分析】通过观察发现，这个算式前后都有437÷156，因此可以先将437÷156看作一个整体，然后利用乘法分配律将437÷156提取出来进行简便计算，即可得出答案。 【详解】437÷156×211－437×55÷156 ＝437÷156×211－437÷156×55 ＝437÷156×（211－55） ＝437÷156×156 ＝437 因此437÷156×211－437×55÷156＝437 18．计算：765÷18×213＋765×327÷18＝______。 【答案】22950 【分析】先利用交换律将765×327÷18转化为765÷18×327，再利用乘法的分配律，提出765÷18，将剩下的两个数相加得出765÷18×540，再利用交换律，将×540提到765后面，再根据结合律得出765×（540÷18）。 【详解】765÷18×213＋765×327÷18 ＝765÷18×213＋765÷18×327 ＝765÷18×（213＋327） ＝765÷18×540 ＝765×（540÷18） ＝765×30 ＝22950 765÷18×213＋765×327÷18＝22950 【点睛】能够将765÷18先看成一个整体，逆用乘法分配律是解决本题的关键。 19．算式（16＋28－5.3）×47÷0.9的计算结果是( )。 【答案】2021 【分析】按照运算顺序，先计算括号里面的，得到38.7，然后先计算除法，除以0.9得到43，最后计算43乘47。 【详解】 【点睛】最后一步，再计算43乘47的时候，可以利用“头同尾合十”的技巧计算。 20．计算：______. 【答案】1 【详解】 21．请你计算结果的末尾有多少个连续的零？ 【答案】4016个0 【详解】同学们观察会发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，可以引导学生按照两种思路给学生展开 方法一：是学生喜欢的从简单情况找规律 9×9=81；99×99="9801" ；999×999=998001；9999×9999=99980001；…… 所以： 原式 方法二：观察一下你会发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，其中 999 很接近 1 000 ，于是我们采用添项凑整，简化运算． 原式 所以末尾有4016个0 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $