专题02 分数的巧算（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-小升初奥数培优精讲精练

西学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 专题02分数的巧算 88888级日gg目■88888888888日888888888g目88■gg8888888 知识点梳理 一、基本概念 分数巧算是指在分数运算中，通过运用运算定律、性质或特殊方法（如裂项、凑整等），简化 计算过程、减少计算量的数学技巧。其核心目的是通过“巧”化繁为简，提高计算效率与准确 率，避免机械性的复杂运算。 二、核心解题方法 1.凑整法（基础方法） 方法要点：利用加法交换律、结合律或减法性质，将分母相同、分子相加/减后为整数或特殊 分数((\frac12)1等)的分数组合，优先计算。 适用场景：算式中存在分母相同或分子可凑整的分数加减运算。 示例：计算信+吾+) 解：通过交换律组合分母相同的分数： (传+号+=（传+号）+音=1+8=) 2.裂项法（进阶方法） 方法要点：将分数拆分成两个或多个分数的差或和，消去中间项，简化计算。常见类型包括： 裂差 :(=吉-点如（☆=支-）》 裂和：（瑞=+品）（则最=器=青+）》 适用场景：分数分母为两个连续自然数的乘积，且分子为常数或与分母相关的数。 示例：计算（之十☆+之+.+） 解：裂差后消去中间项： (1-)+(-)+.+(-0)=1-品=) 3.提取公因式法（乘除巧算) 第1页共7页 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 方法要点：当算式中各项存在相同的分数因数时，提取公因式，将“多乘多”转化为“一乘和 /差”。 适用场景：分数乘法与加减法混合运算，且各项有公共因数。 示例：计算（传×4+号×1） 解：提取公因式()： (号×(4+11)=号×15=6) 4.整体约分法（综合巧算） 方法要点：当分子、分母中存在相同的算式或公因式时，将整体视为一个“单位”进行约分， 简化分数。 适用场景：分子分母为多项式或多个分数和的形式，且存在相同部分。 示侧：计 解：分母可变形为(2×(1+专+青) 整体约分： 1+十方 2++) 三、常见题型 1.加减巧算：以凑整法、裂差/裂和法为主，如分母相同的分数组合、连续自然数乘积的分数 裂项。 2.乘除巧算：以提取公因式法为主，如各项含相同分数因数的乘法与加减法混合运算。 3.混合运算巧算：综合运用多种方法，如整体约分结合裂项、换元法简化复杂算式。 例题讲解 一、基础题（凑整法与提取公因式） 例1：计算[日-号+吉) 解题步骤 1.观察分母：()和)分母相同，可凑整。 2.利用加法交换律：（日+合-号=（日+合）-号=1-号=) 第2页共7页 色学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 跟踪练习1：计算+号+) 答案：(（号+）+号=1+号=) 例2：计算（保×9-是×5） 解题步骤 1.提取公因式()：（昼×(9-5） 2.计算括号内差：(9-5=4) 3.最终结果：（径×4=3） 跟踪练习2：计号×13+吾×5) 答案：（层×(13+5=号×18=15） 二、进阶题（裂项法） 例3：计算（品++） 解题步骤： 1.分析分母：均为连续偶数乘积，裂差需补系数。公式：(+=专×（去一）》 2.裂项拆分：（传×(3-+主-言+名-合）) 3.消去中间项：(×（生-吉）=×吾=品) 跟踪练习3：计算之+女+) 答案：（传×(1-+-寺+号-品）=专×品=哥)八裂差系数)，因分母差3) 三、挑战题（综合巧算） 例4：计算(1++专+)×(3+++号)-(1+号+号++)×(3+号+) 解题步骤 1.换元简化：a=+青+)，则原式=(（1+a以a+)-（1+a+)a) 2展开算式：(a++a2+是-(a+a2+)》 3化简消项：(a+片+a2+号-a-a2-号=) 第3页共7页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 跟踪练习4：计算 (1++吉+)×（传+吉+号+合）-（1+专+吉+号+合)×（传+吉+）) 答案：设(b=青+青+)，原式=(1+b以b+)-(1+b+)b=) 提升练习 1.计算：（停+吾+等+） 答案：2 解析：利用凑整法，将分母相同的分数组合： (号+)+（号+告）=1+1=2) 2.计算： (得×8+8×4) 答案：10 解析：提取公因式()： (得×(8+4)=8×12=10) 3计算： (这+女+女+) 答案：() 解析： 裂差公式中南=-市)： (1-)+(3-)+(3-)+(降-)=1-房=) 4计算：（品-是+） 答案：() 解析：先凑整分母相同的分数： (品+是)-音=1-是=) 5计算：（得×马+号×） 答案：() 第4页共7页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解析：提取公因式()： (传×（月+号）=号×1=) 6计算： (+++) 答案：() 解析：裂差需补系数)，公=（会一）刀小： ([(-)+(保-)+（告-）+（合-六）]=×（生-）=克×=) 7.计算：(1+房+合)×（居+名+）-(1+房+合+)×（信+合）) 答案：() 解析：换元法设 (a=房+)，原(=(1+(a+)-(1+a+)a=a+片+a2+号-a-a2-号-) 8计算：（得×专+星×） 答案：() 解析：提取公因式()： (得×（信+）=是×1=) 9.计算： (+女+☆+☆) 答案：() 解析：裂差系数为()（分母差加）： ([(1-)+(传-)+(3-)+（号-）]=支×(1-)=) 10.计算：（得-+告-） 答案：0 解析：分组凑整：（号+）-（年+）=1-1=0) 11.计算：(×7+手×7) 答案：7 第5页共7页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解析：提取公因式7： (7×(号+是)=7×1=7) 12.计算：（合+音+立+品+六） 答案：() 解析：裂差（分母为连续自然数乘积)： (1-)+(3-)+(传-)+（降-）+（传-）=1-吉=) 13.计算：(+++1) 答案：（集） 解析：裂差系数)（分母差为3）： ([(3-合)+（倍-）+（合-立）+（立-）]=号×(3-)=号×击=表) 14.计算：(（号+青+）÷(1++青+) 答案：() 解析：a=++生=》，分1+a=),原式=帝-器=》 15计算：（品×是+品×音-品） 答案：0 解析：提取公因式（品）： (品×（倍+音-1）=品×(1-)=0) 16.计算： (+2x+xs) 1 答案：0 解析：裂项公式 (+网=[中-m网)小：（传[（应-☆）+(-嘉)+（京-安）]=×（告-六） 17.计算：（得+品+诗+品） 答案：昌 第6页共7页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解析：分组凑整： (+)+(品+品)=寺+1=昌 18计算：（月×字+号×是+） 答案：1 解析：提取公因式()： (停×（年+）+号=号×1+号-) 19.计算：（峰++六+0） 答案：青 解析：分母变形1×4(4×7)(7×10(10×13)，裂差系数)： ([(1-)+(降-)+（号-品）+（品-）]=青×(1-)=) 20.计算： (1+支+专++房)×(2+青++吉+)-(1++青++吉+名)×(3+专++吉) 答案：() 解析：换元法a=支+专++)，原式=(1+a(a+合)-（1+a+君)a=) 第7页共7页西学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 专题02分数的巧算 88888级日gg目■88888888888日888888888g目88■gg8888888 知识点梳理 一、基本概念 分数巧算是指在分数运算中，通过运用运算定律、性质或特殊方法（如裂项、凑整等），简化 计算过程、减少计算量的数学技巧。其核心目的是通过“巧”化繁为简，提高计算效率与准确 率，避免机械性的复杂运算。 二、核心解题方法 1.凑整法（基础方法） 方法要点：利用加法交换律、结合律或减法性质，将分母相同、分子相加/减后为整数或特殊 分数((\frac12)1等)的分数组合，优先计算。 适用场景：算式中存在分母相同或分子可凑整的分数加减运算。 示例：计算信+吾+) 解：通过交换律组合分母相同的分数： (传+号+=（传+号）+音=1+8=) 2.裂项法（进阶方法） 方法要点：将分数拆分成两个或多个分数的差或和，消去中间项，简化计算。常见类型包括： 裂差 :(=吉-点如（☆=支-）》 裂和：（瑞=+品）（则最=器=青+）》 适用场景：分数分母为两个连续自然数的乘积，且分子为常数或与分母相关的数。 示例：计算（之十☆+之+.+） 解：裂差后消去中间项： (1-)+(-)+.+(-0)=1-品=) 3.提取公因式法（乘除巧算) 第1页共7页 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 方法要点：当算式中各项存在相同的分数因数时，提取公因式，将“多乘多”转化为“一乘和 /差”。 适用场景：分数乘法与加减法混合运算，且各项有公共因数。 示例：计算（传×4+号×1） 解：提取公因式()： (号×(4+11)=号×15=6) 4.整体约分法（综合巧算） 方法要点：当分子、分母中存在相同的算式或公因式时，将整体视为一个“单位”进行约分， 简化分数。 适用场景：分子分母为多项式或多个分数和的形式，且存在相同部分。 示侧：计 解：分母可变形为(2×(1+专+青) 整体约分： 1+十方 2++) 三、常见题型 1.加减巧算：以凑整法、裂差/裂和法为主，如分母相同的分数组合、连续自然数乘积的分数 裂项。 2.乘除巧算：以提取公因式法为主，如各项含相同分数因数的乘法与加减法混合运算。 3.混合运算巧算：综合运用多种方法，如整体约分结合裂项、换元法简化复杂算式。 例题讲解 一、基础题（凑整法与提取公因式） 例1：计算[日-号+吉) 解题步骤 1.观察分母：()和)分母相同，可凑整。 2.利用加法交换律：（日+合-号=（日+合）-号=1-号=) 第2页共7页 色学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 跟踪练习1：计算+号+) 答案：(（号+）+号=1+号=) 例2：计算（保×9-是×5） 解题步骤 1.提取公因式()：（昼×(9-5） 2.计算括号内差：(9-5=4) 3.最终结果：（径×4=3） 跟踪练习2：计号×13+吾×5) 答案：（层×(13+5=号×18=15） 二、进阶题（裂项法） 例3：计算（品++） 解题步骤： 1.分析分母：均为连续偶数乘积，裂差需补系数。公式：(+=专×（去一）》 2.裂项拆分：（传×(3-+主-言+名-合）) 3.消去中间项：(×（生-吉）=×吾=品) 跟踪练习3：计算之+女+) 答案：（传×(1-+-寺+号-品）=专×品=哥)八裂差系数)，因分母差3) 三、挑战题（综合巧算） 例4：计算(1++专+)×(3+++号)-(1+号+号++)×(3+号+) 解题步骤 1.换元简化：a=+青+)，则原式=(（1+a以a+)-（1+a+)a) 2展开算式：(a++a2+是-(a+a2+)》 3化简消项：(a+片+a2+号-a-a2-号=) 第3页共7页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 跟踪练习4：计算 (1++吉+)×（传+吉+号+合）-（1+专+吉+号+合)×（传+吉+）) 答案：设(b=青+青+)，原式=(1+b以b+)-(1+b+)b=) 提升练习 1.计算：（停+号+等+） 2.计算：(×8+音×4 3.计算：（☆之十☆+之十） 4.计算：（位-吾+是) 第4页共7页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.计算：（导×号+号×） 6计算：（十十十) 7计算：(1+吉+音)×（信+言+）-（1+÷+吉+)×（信+合）) 8计算：（昼×房+×） 9.计算：（十十+) 10.计算：（侣-+告-） 第5页共7页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.计算：（得×7+是×7） 12.计算：（位+言+立+品+元） 13.计算：（这+++） 14计算：(（合+专+）÷（1+支+青+) 15计算：（品×是+品×号-0） 16.计算：(+34+3x) 17.计算：(+品+言+品) 第6页共7页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18.计算：（停×+号×+号） 19.计算：（年++六+） (传[(1-)+（生-）+（号-六）+(-市)]=青×(1-)=) 20.计算 (1+克+青++吉)×(+青++房+音)-（1+克+青++吉+含)×（告+专++专）) 第7页共7页