2026年中考数学第二轮专题复习之填空题 ——13：《平行线的性质与判定》

2026 年中考第二轮复习 填空题专题 13.平行线的性质与判定   本课题是中考数学几何模块的基础必考点与核心工具性考点，在全国中考数学填空题中固定考查 1 题，分值 3 分，是平面几何入门的核心基石，更是打通三角形、四边形、圆、相似、锐角三角函数等后续几何模块的必备基础。二轮复习中，本课时以 “平行线的判定定理、性质定理、平行公理、平行线间的距离” 为四大核心主线，核心目标是实现基础题零失误、中档题秒破题、综合题稳拿分，彻底解决学生 “概念混淆、逻辑颠倒、细节漏看、模型不会用” 的核心痛点，强化学生的几何逻辑推理、模型识别与综合应用能力。 一、题型特点 考点层级清晰，适配二轮分层复习本课时题目严格遵循中考命题逻辑，形成三级梯度，完全适配二轮分层复习需求：基础题（1、8、9、12、13、16、22 题）聚焦平行线判定定理、性质定理、平行公理的直接应用，高频考查尺规作图原理、推理依据填写、基础角度计算，适配全员保底得分，是必拿分板块；中档题（2、3、5、7、11、14、15、23、28 题）融合角平分线、垂直、光线折射、地球纬度、梯形等场景，考查平行线性质的综合运算，是二轮复习的核心突破点；拔高压轴题（4、6、19、20、21、24、25、26、27、29、30 题）深度融合三角形面积、中点、折叠、动态转角、正方形 / 矩形 / 圆等几何图形，结合最值、动点、多结论判断考查，是填空题的小幅拉分点，完全贴合中考 “重基础、考细节、强综合” 的命题趋势。 模型化特征突出，四大核心模型全覆盖超 80% 的题目围绕中考平行线四大核心模型命题，且均以填空题轻量化形式考查：平行线间的距离模型（1、2、3 题）、铅笔头 / 猪蹄拐点模型（14、15 题）、两平行线 + 角平分线模型（11、27 题）、平行线 + 中点 / 面积转化模型（4、20、25 题），二轮复习中可通过模型识别实现 “见题识型、秒出辅助线、快速得结论”，大幅缩短解题时间。 跨模块融合性强，是几何综合的核心纽带极少单独考查纯平行线的角度计算，超 70% 的题目与其他几何模块深度融合：矩形 / 正方形（6、21、29、30 题）、圆（26 题）、三角形全等 / 相似（20、30 题）、解直角三角形（5、7、28 题）、平面直角坐标系（24 题），平行线是搭建边角等量关系、实现角度 / 线段转化、面积转化的核心桥梁，与中考几何综合题的命题逻辑高度契合。 场景化命题鲜明，贴合新课标核心素养高频结合生活实际场景命题：光线折射、排水管转弯、地球纬度与太阳高度角、斜坡坡度等，摒弃纯理论计算，重点考查学生的数学建模能力，完全贴合新课标对 “数学应用核心素养” 的考查要求。 陷阱设置隐蔽，细节区分度极强填空题无解题步骤、无过程分，命题人高频设置隐蔽易错点：多组平行线场景下的截线 / 被截线错配、无图题的多解漏解、拐点模型的角度拆分错误、同旁内角的性质误用、平行公理的前提遗漏，极易出现 “知识点掌握但题目做错” 的隐性失分，是二轮复习中易错点复盘的核心重点。 二、答题要点 三线八角精准识别，先定线再定角，筑牢解题基础解题第一步先锁定核心要素：先找平行线，再找截线与被截线，精准识别同位角、内错角、同旁内角，明确角与线的对应关系，杜绝 “找错角、配错线” 的低级错误。证平行用判定定理（由角的数量关系推线的位置关系），用平行推角度用性质定理（由线的位置关系推角的数量关系），严格区分因果逻辑，不颠倒使用。 核心模型标准化破题，辅助线做法固定化，大幅提速见题先匹配核心模型，直接套用固定解题方法： 遇 “折线拐点、多段平行线”：过拐点作已知直线的平行线，用平行线的传递性拆分角度，将复杂折线问题转化为基础的三线八角问题，这是本课时最核心的辅助线做法； 遇 “平行线 + 角平分线”：优先推导等腰三角形，利用 “平行线 + 角平分线 = 等腰三角形” 的固定结论，快速锁定边角等量关系； 遇 “三角形 / 四边形面积、同底等高”：直接套用平行线间的距离处处相等的结论，实现面积的等积转化，无需复杂的底高计算，秒解面积题。 多解问题分类讨论，杜绝漏解失分无图几何题、射线 / 直线上的动点题、平行线间的转角题，先拆分所有可能的位置情况：点在线段上 / 线段延长线上、角在平行线内侧 / 外侧、拐点在平行线之间 / 之外，结合平行线的性质分类讨论，逐一验证后给出完整答案，避免单解漏解。 定理依据规范表述，确保踩点得分针对 “填写推理依据” 类题型，必须规范使用定理全称，杜绝不规范简称： 平行线判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线互相平行；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补； 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 综合题先拆基础模块，用平行线搭建转化桥梁针对融合矩形、正方形、圆、三角形的综合题，先从题干中提取平行线的核心条件，将复杂几何图形拆解为平行线基础模型，通过平行线转化相等的角、相等的线段、等积的三角形，再结合其他几何图形的性质解题，实现 “化繁为简、分步破题”。 三、避坑指南 三线八角识别错误，角与线的对应关系错配最高频易错点：多组平行线、多条截线的场景下，错配截线与被截线，导致同位角、内错角、同旁内角识别错误，角度计算完全偏离；误将 “非截线形成的角” 当作三线八角使用，逻辑链条完全断裂。 性质与判定因果颠倒，逻辑链条断裂学生极易混淆平行线的判定与性质，出现 “由两直线平行推内错角相等，再用内错角相等证两直线平行” 的循环论证；填写推理依据时，将性质与判定写反，导致步骤失分，这是几何推理入门的核心易错点。 平行公理核心前提遗漏，概念性错误平行公理必须强调 “过直线外一点”“同一平面内”两大核心前提，忽略前提会出现概念性错误：如 “过一点有且只有一条直线与已知直线平行”，遗漏 “直线外”；“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，遗漏 “同一平面内”，是填空题概念题的高频失分点。 同旁内角性质误用，基础概念混淆学生高频记错 “两直线平行，同旁内角互补”，误写为 “同旁内角相等”，导致基础角度计算题全盘错误；在无平行前提的情况下，直接使用同旁内角互补的结论，几何推理前提不成立，证明逻辑完全错误。 拐点模型辅助线不规范，角度拆分错误过拐点作平行线时，未写明 “平行于哪一条已知直线”，辅助线作图语言不规范；拐点数量较多时，角度拆分方向错误，出现 “内错角、同旁内角” 混淆，导致角度计算符号、数值错误。 无图题漏解，忽略多位置情况无图几何题中，忽略点在直线 / 射线上的不同位置、角在平行线的同侧 / 异侧等情况，只给出一种解，导致填空题漏解失分；动态转角题中，忽略旋转方向带来的多解情况，答案不完整。 平行线间距离概念混淆，面积转化错误误将 “平行线间的线段长度” 当作 “平行线间的距离”，忽略距离必须是 “垂线段的长度” 的核心定义；等积转化时，错配三角形的底和高，未保证 “同底等高 / 等底等高” 的前提，导致面积计算错误。 本课题二轮复习的核心逻辑是 “抓基础、建模型、强逻辑、避易错”**，核心是让学生不仅掌握平行线的基础知识点，更能形成 “识别模型→规范推理→精准计算→规避陷阱” 的标准化几何解题思维，让平行线成为学生破解几何综合题的 “基础万能钥匙”。 二轮复习中，本课时需围绕 “分层突破、模型贯通、错题复盘、规范落地” 四大核心展开： 基础层：保底得分，零失误突破针对全员学生，聚焦平行线的核心概念与定理，重点纠正概念混淆、性质与判定颠倒等基础错误，通过基础题限时训练，确保所有学生实现基础题 100% 得分，杜绝低级失分。 进阶层：模型贯通，方法迁移针对中等以上学生，以四大核心平行线模型为抓手，通过专项训练让学生形成 “见图形→识模型→用结论” 的条件反射，熟练掌握拐点辅助线、等积转化的核心技巧，实现中档题稳拿分、快解题。 拔高层：综合突破，拆解压轴针对尖子生，聚焦平行线与正方形、圆、动态最值结合的综合题，强化复杂图形拆解能力，让学生能通过平行线搭建边角等量关系，分步破解压轴题，突破拉分点。 同时，必须针对高频易错点开展专项错题复盘，重点纠正 “三线八角识别错误、性质与判定因果颠倒、同旁内角性质误用、无图题漏解” 四大核心失分点，让学生形成严谨的几何逻辑推理习惯。最终通过本课时复习，不仅要让学生拿下中考固定分值，更要筑牢平面几何的推理基础，为后续几何模块的二轮复习打下坚实根基，实现初中几何模块的整体提分。 四、真题练习 1.（24-25·贵州模拟）如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点，若，则平行线，之间的距离是_____________． 2.（23-24·广东中考）如图，，，分别是直线，上的点，，，则直线与之间的距离为______________ 3.（24-25·广西中考）如图，三条相互平行的直线和分别经过矩形的三个顶点交边于点．若与之间的距离为，与之间的距离为，则的长为______________． 4.（24-25·江西模拟）如图梯形中，，对角线与交于点，点为的中点．已知、的面积分别为，则的面积为________________． 5.（25-26·四川模拟）如图，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图所示，则_________． 6.（24-25·四川中考）如图，在矩形中，点、分别在上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上的点处．若、、三点共线，则的值为_____________． 7.（25-26·河南模拟）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为___________． 8.（25-26·河北模拟）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则___________． 9.（24-25·江苏中考）如图，，直线与射线相交于点．若，则_________． 10.（24-25·四川中考）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，为两条平行的光线，，则的度数为_______________． 11.（25-26·甘肃模拟）如图，，平分，点为射线上一点，作于点，在的内部作，则______度． 12.（23-24·内蒙古模拟）已知，，三点及直线，过点作，过点作，那么，，三点一定在同一条直线上，依据是___________． 13.（24-25·天津模拟）如图，这是我们学过的用直尺和三角板画平行线，画图的原理是__________________． 14.（24-25·江苏模拟）如图，的顶点、分别在直线，上，，若，，则____________． 15.（24-25·广西模拟）如图，若，则______________. 16.（24-25·吉林模拟）把两块形状、大小相同的三角尺按照如图所示的样子放置，则，理由是_________________． 17.（24-25·全国模拟）如图，，，点在直线上，且，则与的位置关系是___________． 18.（23-24·广东模拟）如图，将木条，与钉在一起，，要使木条与平行，木条旋转的度数至少是 _________． 19.（24-25·陕西模拟）如图，摆放着正六边形和正三角形，，则________________． 20.（22-23·山东模拟）如图，已知，于，于，，．点是的中点，则的长是__________． 21.（25-26·山东模拟）如图，在正方形中，点在边上，，垂足为．若，，则的面积为___________． 22.（24-25·重庆中考）如图，，直线分别与交于点，．若，则的度数是_____________． 23.（24-25·广东模拟）如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于；②分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交于点．若测得，则点到的距离为________． 24.（24-25·福建中考）如图中点是边的中点，分别过点作直线过点作直线分别交于点，则与之间的距离最大为          ；当以为顶点的三角形与相似时，以为顶点的三角形与的相似比的值为        ． 25.（2024-2025·陕西模拟）在中，＝＝，＝，点为上一动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_______． 26.（23-24·河南模拟）如图，正方形内接于，直径，已知的半径为，则图中阴影部分的面积为___________． 27.（23-24·江苏模拟）如图，在矩形中，平分，点是射线上一点，连接交于点，若的面积为，则的面积为________________． 28.（23-24·辽宁模拟）如图所示是地球截面图，其中，分别表示南回归线和北回归线，表示赤道，点表示太原市的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬，太原市的纬度是北纬，而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线的延长线经过地心），则太原市冬至正午时，太阳光线与地面水平线的夹角的度数是_______________． 29.（24-25·广东模拟）如图，已知直线，点是上的定点，于点，，分别是，上的动点，且，连接交于点，于点，则当最大时，的值为_____________． 30.（24-25·吉林模拟）如图，在正方形中，点和点分别是边和的中点，连结、交于点，点是延长线上一点，连结，给出下面四个结论：①；②；③；④当时，；⑤当时，．上述结论中，正确结论的序号有_____________． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 填空题专题 13.平行线的性质与判定   本课题是中考数学几何模块的基础必考点与核心工具性考点，是平面几何入门的核心基石，更是打通三角形、四边形、圆、相似、锐角三角函数等后续几何模块的必备基础。二轮复习中，本课时以 “平行线的判定定理、性质定理、平行公理、平行线间的距离” 为四大核心主线，核心目标是实现基础题零失误、中档题秒破题、综合题稳拿分，彻底解决学生 “概念混淆、逻辑颠倒、细节漏看、模型不会用” 的核心痛点，强化学生的几何逻辑推理、模型识别与综合应用能力。 一、题型特点 考点层级清晰，适配二轮分层复习本课时题目严格遵循中考命题逻辑，形成三级梯度，完全适配二轮分层复习需求：基础题（1、8、9、12、13、16、22 题）聚焦平行线判定定理、性质定理、平行公理的直接应用，高频考查尺规作图原理、推理依据填写、基础角度计算，适配全员保底得分，是必拿分板块；中档题（2、3、5、7、11、14、15、23、28 题）融合角平分线、垂直、光线折射、地球纬度、梯形等场景，考查平行线性质的综合运算，是二轮复习的核心突破点；拔高压轴题（4、6、19、20、21、24、25、26、27、29、30 题）深度融合三角形面积、中点、折叠、动态转角、正方形 / 矩形 / 圆等几何图形，结合最值、动点、多结论判断考查，是填空题的小幅拉分点，完全贴合中考 “重基础、考细节、强综合” 的命题趋势。 模型化特征突出，四大核心模型全覆盖超 80% 的题目围绕中考平行线四大核心模型命题，且均以填空题轻量化形式考查：平行线间的距离模型（1、2、3 题）、铅笔头 / 猪蹄拐点模型（14、15 题）、两平行线 + 角平分线模型（11、27 题）、平行线 + 中点 / 面积转化模型（4、20、25 题），二轮复习中可通过模型识别实现 “见题识型、秒出辅助线、快速得结论”，大幅缩短解题时间。 跨模块融合性强，是几何综合的核心纽带极少单独考查纯平行线的角度计算，超 70% 的题目与其他几何模块深度融合：矩形 / 正方形（6、21、29、30 题）、圆（26 题）、三角形全等 / 相似（20、30 题）、解直角三角形（5、7、28 题）、平面直角坐标系（24 题），平行线是搭建边角等量关系、实现角度 / 线段转化、面积转化的核心桥梁，与中考几何综合题的命题逻辑高度契合。 场景化命题鲜明，贴合新课标核心素养高频结合生活实际场景命题：光线折射、排水管转弯、地球纬度与太阳高度角、斜坡坡度等，摒弃纯理论计算，重点考查学生的数学建模能力，完全贴合新课标对 “数学应用核心素养” 的考查要求。 陷阱设置隐蔽，细节区分度极强填空题无解题步骤、无过程分，命题人高频设置隐蔽易错点：多组平行线场景下的截线 / 被截线错配、无图题的多解漏解、拐点模型的角度拆分错误、同旁内角的性质误用、平行公理的前提遗漏，极易出现 “知识点掌握但题目做错” 的隐性失分，是二轮复习中易错点复盘的核心重点。 二、答题要点 三线八角精准识别，先定线再定角，筑牢解题基础解题第一步先锁定核心要素：先找平行线，再找截线与被截线，精准识别同位角、内错角、同旁内角，明确角与线的对应关系，杜绝 “找错角、配错线” 的低级错误。证平行用判定定理（由角的数量关系推线的位置关系），用平行推角度用性质定理（由线的位置关系推角的数量关系），严格区分因果逻辑，不颠倒使用。 核心模型标准化破题，辅助线做法固定化，大幅提速见题先匹配核心模型，直接套用固定解题方法： 遇 “折线拐点、多段平行线”：过拐点作已知直线的平行线，用平行线的传递性拆分角度，将复杂折线问题转化为基础的三线八角问题，这是本课时最核心的辅助线做法； 遇 “平行线 + 角平分线”：优先推导等腰三角形，利用 “平行线 + 角平分线 = 等腰三角形” 的固定结论，快速锁定边角等量关系； 遇 “三角形 / 四边形面积、同底等高”：直接套用平行线间的距离处处相等的结论，实现面积的等积转化，无需复杂的底高计算，秒解面积题。 多解问题分类讨论，杜绝漏解失分无图几何题、射线 / 直线上的动点题、平行线间的转角题，先拆分所有可能的位置情况：点在线段上 / 线段延长线上、角在平行线内侧 / 外侧、拐点在平行线之间 / 之外，结合平行线的性质分类讨论，逐一验证后给出完整答案，避免单解漏解。 定理依据规范表述，确保踩点得分针对 “填写推理依据” 类题型，必须规范使用定理全称，杜绝不规范简称： 平行线判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线互相平行；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补； 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 综合题先拆基础模块，用平行线搭建转化桥梁针对融合矩形、正方形、圆、三角形的综合题，先从题干中提取平行线的核心条件，将复杂几何图形拆解为平行线基础模型，通过平行线转化相等的角、相等的线段、等积的三角形，再结合其他几何图形的性质解题，实现 “化繁为简、分步破题”。 三、避坑指南 三线八角识别错误，角与线的对应关系错配最高频易错点：多组平行线、多条截线的场景下，错配截线与被截线，导致同位角、内错角、同旁内角识别错误，角度计算完全偏离；误将 “非截线形成的角” 当作三线八角使用，逻辑链条完全断裂。 性质与判定因果颠倒，逻辑链条断裂学生极易混淆平行线的判定与性质，出现 “由两直线平行推内错角相等，再用内错角相等证两直线平行” 的循环论证；填写推理依据时，将性质与判定写反，导致步骤失分，这是几何推理入门的核心易错点。 平行公理核心前提遗漏，概念性错误平行公理必须强调 “过直线外一点”“同一平面内”两大核心前提，忽略前提会出现概念性错误：如 “过一点有且只有一条直线与已知直线平行”，遗漏 “直线外”；“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，遗漏 “同一平面内”，是填空题概念题的高频失分点。 同旁内角性质误用，基础概念混淆学生高频记错 “两直线平行，同旁内角互补”，误写为 “同旁内角相等”，导致基础角度计算题全盘错误；在无平行前提的情况下，直接使用同旁内角互补的结论，几何推理前提不成立，证明逻辑完全错误。 拐点模型辅助线不规范，角度拆分错误过拐点作平行线时，未写明 “平行于哪一条已知直线”，辅助线作图语言不规范；拐点数量较多时，角度拆分方向错误，出现 “内错角、同旁内角” 混淆，导致角度计算符号、数值错误。 无图题漏解，忽略多位置情况无图几何题中，忽略点在直线 / 射线上的不同位置、角在平行线的同侧 / 异侧等情况，只给出一种解，导致填空题漏解失分；动态转角题中，忽略旋转方向带来的多解情况，答案不完整。 平行线间距离概念混淆，面积转化错误误将 “平行线间的线段长度” 当作 “平行线间的距离”，忽略距离必须是 “垂线段的长度” 的核心定义；等积转化时，错配三角形的底和高，未保证 “同底等高 / 等底等高” 的前提，导致面积计算错误。 本课题二轮复习的核心逻辑是 “抓基础、建模型、强逻辑、避易错”**，核心是让学生不仅掌握平行线的基础知识点，更能形成 “识别模型→规范推理→精准计算→规避陷阱” 的标准化几何解题思维，让平行线成为学生破解几何综合题的 “基础万能钥匙”。 二轮复习中，本课时需围绕 “分层突破、模型贯通、错题复盘、规范落地” 四大核心展开： 基础层：保底得分，零失误突破针对全员学生，聚焦平行线的核心概念与定理，重点纠正概念混淆、性质与判定颠倒等基础错误，通过基础题限时训练，确保所有学生实现基础题 100% 得分，杜绝低级失分。 进阶层：模型贯通，方法迁移针对中等以上学生，以四大核心平行线模型为抓手，通过专项训练让学生形成 “见图形→识模型→用结论” 的条件反射，熟练掌握拐点辅助线、等积转化的核心技巧，实现中档题稳拿分、快解题。 拔高层：综合突破，拆解压轴针对尖子生，聚焦平行线与正方形、圆、动态最值结合的综合题，强化复杂图形拆解能力，让学生能通过平行线搭建边角等量关系，分步破解压轴题，突破拉分点。 同时，必须针对高频易错点开展专项错题复盘，重点纠正 “三线八角识别错误、性质与判定因果颠倒、同旁内角性质误用、无图题漏解” 四大核心失分点，让学生形成严谨的几何逻辑推理习惯。最终通过本课时复习，不仅要让学生拿下中考固定分值，更要筑牢平面几何的推理基础，为后续几何模块的二轮复习打下坚实根基，实现初中几何模块的整体提分。 四、真题练习 1.（24-25·贵州模拟）如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点，若，则平行线，之间的距离是_____3_________． 【答案】 【解析】 依据直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点，即可得到长为直线和之间的距离，长为直线和之间的距离，长为直线和之间的距离，再根据，，即可得出直线与直线之间的距离． 【解答】 解：直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点， 长为直线和之间的距离，长为直线和之间的距离，长为直线和之间的距离， 又，， ， 即直线与直线之间的距离为 故答案为：3 2.（23-24·广东中考）如图，，，分别是直线，上的点，，，则直线与之间的距离为_______2_________ 【答案】 【解析】 本题考查了解直角三角形，两平行线间的距离．作于，根据锐角三角函数求出，根据从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离即可求解． 【解答】 解：作于，如图： ，， ， 则直线与之间的距离为． 故答案为：． 3.（24-25·广西中考）如图，三条相互平行的直线和分别经过矩形的三个顶点交边于点．若与之间的距离为，与之间的距离为，则的长为_________________． 【答案】 【解析】 如图所示，过点作于，过点作于，，，证明，就，结合，可得，证明，可得，从而可得答案． 【解答】 解：如图所示，过点作于，过点作于， ，与之间的距离为，与之间的距离为， 与之间的距离为， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4.（24-25·江西模拟）如图梯形中，，对角线与交于点，点为的中点．已知、的面积分别为，则的面积为_______7___________． 【答案】 【解析】 本题考查了三角形中线的性质，根据题意得出的面积为，进而得出则，根据平行线之间的距离相等得出的面积为，进而求得，即可求解． 【解答】 解：点为的中点． 、的面积分别为， 的面积为 ， 的面积 的面积 的面积为 故答案为：． 5.（25-26·四川模拟）如图，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图所示，则____ ________． 【答案】 【解析】 本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得的值，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得． 【解答】 解：如图，延长，交直线于点， 由题意得：， 设，则， 密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和， ， 解得， 即， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6.（24-25·四川中考）如图，在矩形中，点、分别在上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上的点处．若、、三点共线，则的值为______ ________． 【答案】 【解析】 此题考查矩形与折叠，平行线的性质，勾股定理，等角对等边，根据矩形的性质及平行线的性质得到，再根据等角对等边推出，设，则，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【解答】 解：四边形是矩形， ， ， ，， 由翻折得，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 故答案为． 7.（25-26·河南模拟）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为______43_______． 【答案】 【解析】 本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【解答】 解：如图，设与交于点， ， ， 在中，，， ， ， ， 故答案为：． 8.（25-26·河北模拟）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则___145°_________． 【答案】 【解析】 本题考查了平行线的性质，运用两直线平行，内错角相等是解题关键 ． 根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【解答】 解：由题意得，， ， 故答案为：． 9.（24-25·江苏中考）如图，，直线与射线相交于点．若，则______130_______． 【答案】 【解析】 本题考查平行线的性质，邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性质得出，再利用邻补角的性质求解即可． 【解答】 解：， ， ， 故答案为：． 10.（24-25·四川中考）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，为两条平行的光线，，则的度数为_____45°___________． 【答案】 【解析】 本题考查平行线的性质，根据题意，得到两条折射光线平行，根据平行线的性质得到，即可． 【解答】 解：， 在空气中的两条直线也平行， ， ， ； 故答案为：． 11.（25-26·甘肃模拟）如图，，平分，点为射线上一点，作于点，在的内部作，则____130____度． 【答案】 【解析】 先根据角平分线的性质求出和的大小，再利用三角形外角的性质求出”的大小，根据平行线的性质求出的 大小，进而可得∠的大小 【解答】 ，平分，，又于点 ，，∴ 12.（23-24·内蒙古模拟）已知，，三点及直线，过点作，过点作，那么，，三点一定在同一条直线上，依据是_____过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行_______． 【答案】 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【解析】 根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得、、三点在同一条直线上． 【解答】 ，， 、、三点在同一条直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）． 故答案为过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 13.（24-25·天津模拟）如图，这是我们学过的用直尺和三角板画平行线，画图的原理是__________同位角相等，两直线平行____________． 【答案】 同位角相等，两直线平行 【解析】 本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．图中所画的两个同位角相等，则根据“同位角相等，两直线平行”可判断所作直线与平行． 【解答】 解：由画图得， 所以根据同位角相等，两直线平行可判断． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 14.（24-25·江苏模拟）如图，的顶点、分别在直线，上，，若，，则____32°__________． 【答案】 度 【解析】 根据平行四边形的性质得到，再利用平行线的性质得到即可解答． 【解答】 解：过点作， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15.（24-25·广西模拟）如图，若，则_____75°___________. 【答案】 度 【解析】 本题考查平行线的判定与性质，关键是添加平行辅助线．过作，利用平行线的判定与性质求解即可． 【解答】 解：过作， ， ， ，， ，， ，， ，即， 故答案为：． 16.（24-25·吉林模拟）把两块形状、大小相同的三角尺按照如图所示的样子放置，则，理由是________内错角相等，两直线平行_____________． 【答案】 内错角相等，两直线平行 【解析】 由两个三角尺的形状、大小相同可得，由内错角相等，两直线平行可得，即可得到答案． 【解答】 解：由题意可得：， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：内错角相等，两直线平行．   17.（24-25·全国模拟）如图，，，点在直线上，且，则与的位置关系是______平行________． 【答案】 平行 【解析】 本题主要考查了平行直线的判定，有已知条件可得出，再根据平角的定义求出，即可得出，根据同位角相等两直线平行即可得出答案． 【解答】 解：， ． ， ． ， ， ． 故答案为：平行． 18.（23-24·广东模拟）如图，将木条，与钉在一起，，要使木条与平行，木条旋转的度数至少是 ___________． 【答案】 度 【解析】 根据同位角相等，两直线平行，求解即可． 【解答】 解：当时， 即木条旋转的度数至少是时， 故答案为： 19.（24-25·陕西模拟）如图，摆放着正六边形和正三角形，，则_______90°___________． 【答案】 【解析】 本题考查正多边形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．接并延长，交于点，交于点，利用六边形是正六边形，得出，，是正六边形的对称轴，再得出，，结合平行可得，结合三角形是正三角形，求出，即可求解． 【解答】 解：如图，连接并延长，交于点，交于点， 六边形是正六边形， ，，是正六边形的对称轴， ，， ， ， ， 三角形是正三角形， ，， ， ， 故答案为：． 20.（22-23·山东模拟）如图，已知，于，于，，．点是的中点，则的长是____________． 【答案】 【解析】 连接，延长到，使得，连接，易得为的中位线，由三角形中位线的性质可得，再在中，由勾股定理可解得的值，然后证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得的值，即可获得答案． 【解答】 解：连接，延长到，使得，连接，如下图， ， ， ， 又点是的中点， 为的中位线， ， 在中，可有， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ． 故答案为：． 21.（25-26·山东模拟）如图，在正方形中，点在边上，，垂足为．若，，则的面积为_____________． 【答案】 【解析】 本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点分别作，垂足为，，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解． 【解答】 解：过点分别作，垂足为，，连接，则， 四边形为正方形， ， ， ， ， , ， ，垂足为，，， ， ， ， ， ， 故答案为：．   22.（24-25·重庆中考）如图，，直线分别与交于点，．若，则的度数是_______70°_________． 【答案】 【解析】 本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等即可解答，熟知平行线的性质是解题的关键． 【解答】 解：， ， 故答案为：． 23.（24-25·广东模拟）如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于；②分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交于点．若测得，则点到的距离为_______3_____． 【答案】 【解析】 如图所示，过点作交的延长线于点，根据作图得出，则，进而根据含度角的直角三角形的性质得出，根据平行线间的距离处处相等，即可求解． 【解答】 解： 如图，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， 根据作图可知为的角平分线，， 点到的距离为 故答案为：3 24.（24-25·福建中考）如图中点是边的中点，分别过点作直线过点作直线分别交于点，则与之间的距离最大为            ；当以为顶点的三角形与相似时，以为顶点的三角形与的相似比的值为    或        ． 【答案】 ,或 【解析】 过点作于点，结合图形得出当时，即点与点重合时与之间的距离最大为的长，然后利用勾股定理即可得出结果；分三种情况分析：当时时，当时，当时，分别结合图形，利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】 解：过点作于点，如图所示： 当时，即点与点重合时与之间的距离最大为的长， ； 与之间的距离最大为； 当时时，如图所示： 点是边的中点， 相似比为； 当时，如图所示： 相似比为； 当时， 相似比为； 综上可得：的值为或 25.（2024-2025·陕西模拟）在中，＝＝，＝，点为上一动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为___4.8_____． 【答案】 【解析】 过作于点，利用勾股定理建立方程便可求得，当时，的值最小，即的值最小，可以证明此时取最小值时，＝． 【解答】 ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ＝，＝， ∴ 当时，的值最小，即的值最小， 过作于点，则＝＝， ∵ 平行四边形中，即， ∴ ＝， ∴ 四边形是矩形， ∴ ＝， ∵ ＝＝，＝， 设＝，则＝， ∵ ＝＝， 即＝， 解得，＝， ∴ ＝， ∴ ， ∴ 的最小值为． 26.（23-24·河南模拟）如图，正方形内接于，直径，已知的半径为，则图中阴影部分的面积为______________． 【答案】 【解析】 本题考查了正方形的性质，平行线间的距离，扇形面积等知识．正确表示阴影部分面积是解题的关键． 如图，连接，由正方形，，可得，，则，，，根据，计算求解即可． 【解答】 解：如图，连接， 正方形，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 27.（23-24·江苏模拟）如图，在矩形中，平分，点是射线上一点，连接交于点，若的面积为，则的面积为_____________________． 【答案】 【解析】 连接，过点作于点，根据矩形的性质可得，，从而得到，进而得到，继而得到，，进一步得到，，再由，可得，再根据，可得，即可求解． 【解答】 解：如图，连接，过点作于点， 在矩形中，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 28.（23-24·辽宁模拟）如图所示是地球截面图，其中，分别表示南回归线和北回归线，表示赤道，点表示太原市的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬，太原市的纬度是北纬，而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线的延长线经过地心），则太原市冬至正午时，太阳光线与地面水平线的夹角的度数是_________________． 【答案】 【解析】 设与交于点，先由三角形内角和定理求出．，再根据平行线的性质求解即可． 【解答】 如图，设与交于点， ，， ， 在中，，， ， ， ， 故答案为：． 29.（24-25·广东模拟）如图，已知直线，点是上的定点，于点，，分别是，上的动点，且，连接交于点，于点，则当最大时，的值为_______________． 【答案】 【解析】 证明，得出，根据，得出，说明点在以为直径的圆上运动，取线段的中点，以点为圆心，为半径画圆，则点在上运动，说明当与相切时最大，得出，根据，求解，再进一步求解即可求出结果． 【解答】 解：两条平行线、，点是上的定点，于点， 点为定点，的长度为定值， ， ，， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 如图，取线段的中点，以点为圆心，为半径画圆， 则点在上运动， 当与相切时最大， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 30. （24-25·吉林模拟）如图，在正方形中，点和点分别是边和的中点，连结、交于点，点是延长线上一点，连结，给出下面五个结论：①；②；③；④当时， ；⑤当时，．上述结论中，正确结论的序号有______①②④________． 【答案】 ①②④ 【解析】 本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，根据可证明；设，证明，根据相似三角形.的性质可得；分别求出    和，进而求出，从而得出结论；根据等腰三角形三线合一的性质得，证明求得，从而可得结论． 【解答】 解：四边形是正方形， 点和点分别是边和的中点， ， ， 在和中， ， ，故①正确； 设，则， ， ； ， , ， ，即, ， ， ，故②正确； ， ， ， ，， ， ， ，即，故③错误； ， ， ， ， ， ，故④正确； 过点作于点，如图， ，， ， ， 又， ， ， 又， ， ，即， ， ， ， ，故⑤错误， 所以，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $