专题01 二次根式全章15种题型（期中复习知识清单）八年级数学下学期新教材浙教版

专题01 二次根式 核心概念与基础定义 1. 二次根式的核心定义 形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式，其中a为被开方数，为二次根号. 核心要点：①形式上必须含二次根号； ②被开方数a必须是非负数（a≥0），这是式子有意义的唯一前提. 2. 二次根式的双重非负性 ★★★★★ 二次根式同时满足两个非负条件：≥0 且 a≥0. 常考题型：多个非负数之和为 0，即若+∣b∣+c2=0，则=0、∣b∣=0、c2=0，联立求解a、b、c的值. 3. 二次根式有意义的条件 ★★★★★ 求含二次根式的代数式中字母的取值范围，需分情况列不等式： · 单一根式：仅需满足被开方数≥0； · 根式+分母：需同时满足被开方数≥0 且分母≠0； · 多层根式：需满足所有内层被开方数均≥0（如，需先满足−1≥0 且a≥0）. 4. 最简二次根式 ★★★★ 同时满足以下两个条件的二次根式： 1 被开方数不含分母（分母无根号，被开方数无分数）； ② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（即因数分解后无平方项，因式分解后无平方因式）. 5. 同类二次根式 ★★★ 几个二次根式先化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式. 核心作用：是二次根式加减运算的唯一依据——只有同类二次根式才能合并. 核心性质与运算规则 1. 二次根式的两大核心性质 性质 1：()2=a (a≥0) · 适用条件：a必须是非负数； · 运算结果：直接去根号，结果等于a； · 易错点：忽略 a≥0 的前提. 性质2：=∣a∣ · 适用条件：a为任意实数； · 运算关键：先开方得绝对值，再根据a的正负性去绝对值符号； · 易错点：直接写成=a，忽略绝对值的分类讨论。 2. 二次根式的运算规则 （1）乘法运算 ★★★★★ 法则：⋅=(a≥0,b≥0) · 运算步骤：先按法则相乘，再将结果化为最简二次根式； · 拓展：⋅⋅= (a≥0,b≥0,c≥0)。 （2）除法运算 ★★★★★ 法则： (a≥0,b>0) · 运算步骤：先按法则相除，再化简； · 核心应用：分母有理化（将分母中的根号去掉）. （3）加减运算 ★★★★★ 步骤：① 先将每个二次根式化为最简二次根式； ② 合并同类二次根式（仅合并系数，被开方数不变）； · 易错点：非同类二次根式强行合并. （4）混合运算 ★★★★★ 遵循实数混合运算顺序：先算乘方（含开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算； · 常用技巧：结合乘法公式（平方差、完全平方）简化计算. 3. 分母有理化 ★★★★ 把分母中的根号化去的过程，核心方法： · 单根式分母：(a>0)（分子分母同乘）； · 和差型分母：,. 易错类型 具体错误表现 避坑技巧 取值范围遗漏 求字母范围时，只考虑被开方数≥0，忽略分母≠0；或忽略多层根式的内层限制 列不等式时，逐一标注所有限制条件： 被开方数≥0、分母≠0、多层根式逐层排查 性质混淆 混淆 ()2 与，忽略 ()2 的a≥0前提 牢记：()2 需a≥0，结果为a； 对任意a成立，结果为-a 化简不彻底 被开方数含能开尽方的因数/因式，或含分母，未完全化简 化简时先分解质因数 / 因式，提取平方项； 含分母的先通分再分母有理化 合并错误 非同类二次根式强行合并，或合并时遗漏系数 先化简，判定是否为同类二次根式； 合并仅合并系数，被开方数不变 运算符号错误 乘除运算忽略非负前提，混合运算顺序出错，乘法公式用错 运算前先确认字母取值范围（保证根式有意义）； 严格遵循运算顺序；熟记平方差、完全平方公式 分母有理化漏乘 分子未乘有理化因式，或有理化因式找错 分母是什么形式，分子就同步乘什么有理化因式；和差型用平方差公式找有理化因式 1. 取值范围求解技巧 步骤拆解：① 找根式（含被开方数）→被开方数≥0；② 找分母 →分母≠；③ 联立不等式组，求解得字母范围. 2. 二次根式化简技巧 · 整数被开方数：分解质因数，将平方因数开方到根号外； · 分数被开方数：先通分，再分母有理化； · 多项式被开方数：先因式分解，再判断是否有平方因式. 3. 非负性解题技巧 遇到+∣b∣+c2=0 形式的等式，直接利用 “非负数之和为0，则每个非负数都为0”，列方程=0、∣b∣=0、c2=0，联立求解即可。 4. 估值技巧（比较大小、求整数部分） 比较二次根式大小：① 平方法（a>0,b>0，若a2>b2则a>b； 2 作差法/作商法； 求整数部分：找被开方数相邻的两个完全平方数. 5. 混合运算简便技巧 · 利用乘法公式：完全平方公式 (±)2=a+b±2，平方差公式 (+)(−)=a−b，可大幅简化计算； · 运算顺序：先观察式子结构，能简便运算的（如用公式）优先简便运算，再按常规顺序计算. 二次根式的识别 【例1】下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 求二次根式中的参数 【例2】若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若是整数，则正整数的最小值是___________． 【变式2-3】已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二次根式有意义的条件 【例3】若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【变式3-1】若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【变式3-2】若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 二次根式的性质化简 【例4】已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 【变式4-1】已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【变式4-2】实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 最简二次根式的判断 【例5】下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 化为最简二次根式 【例6-1】化简的结果是（    ） A．2 B．3 C．2 D．2 【例6-2】已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【变式6-1】将化成最简二次根式为______． 【变式6-2】把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】若，则 化简后的结果是（      ） A．xy B． C． D． 【变式6-4】若，把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 二次根式的乘除混合运算 【例7】计算______． 【变式7-1】计算：． 【变式7-2】计算： (1)； (2)． 【变式7-3】计算： (1) (2)． 分母有理化 【例8】化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】化简的结果是______． 【变式8-2】已知，求代数式的值． 【变式8-3】我们知道，因此，像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以上各小题． (1)计算：； (2)比较：与的大小； (3)化简：． 复合二次根式的化简 【例9】已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【变式9-1】计算（   ） A． B． C．5 D．1 【变式9-2】形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 同类二次根式 【例10】下列各式化简后，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】若最简二次根式与是同类二次根式，则_______． 【变式10-2】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值可能是（　　） A．16 B．0 C．2 D．任意实数 二次根式的混合运算 【例11】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】计算题： (1)； (2)． 【变式11-2】计算： (1)； (2)． 【变式11-3】计算： (1) (2) 已知字母的值，化简求值 【例12】若，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【变式12-1】若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 【变式12-2】已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【变式12-3】先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+． 已知条件式，化简求值 【例13】已知，求代数式的值是_____． 【变式13-1】已知，则___________． 【变式13-2】已知，则代数式的值为________． 【变式13-3】已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 比较二次根式的大小 【例14】比较大小：______． 【变式14-1】比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【变式14-2】比较大小：______（填“”“”或“”）． 【变式14-3】比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 二次根式的应用 【例15】如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．6 D．8 【变式15-1】如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． (1)大正方形的边长是______，小正方形的边长是_____． (2)求图中阴影部分的周长． 【变式15-3】如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32． (1)求正方形ABCD和正方形ECFG的边长； (2)求阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式 核心概念与基础定义 1. 二次根式的核心定义 形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式，其中a为被开方数，为二次根号. 核心要点：①形式上必须含二次根号； ②被开方数a必须是非负数（a≥0），这是式子有意义的唯一前提. 2. 二次根式的双重非负性 ★★★★★ 二次根式同时满足两个非负条件：≥0 且 a≥0. 常考题型：多个非负数之和为 0，即若+∣b∣+c2=0，则=0、∣b∣=0、c2=0，联立求解a、b、c的值. 3. 二次根式有意义的条件 ★★★★★ 求含二次根式的代数式中字母的取值范围，需分情况列不等式： · 单一根式：仅需满足被开方数≥0； · 根式+分母：需同时满足被开方数≥0 且分母≠0； · 多层根式：需满足所有内层被开方数均≥0（如，需先满足−1≥0 且a≥0）. 4. 最简二次根式 ★★★★ 同时满足以下两个条件的二次根式： 1 被开方数不含分母（分母无根号，被开方数无分数）； ② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（即因数分解后无平方项，因式分解后无平方因式）. 5. 同类二次根式 ★★★ 几个二次根式先化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式. 核心作用：是二次根式加减运算的唯一依据——只有同类二次根式才能合并. 核心性质与运算规则 1. 二次根式的两大核心性质 性质 1：()2=a (a≥0) · 适用条件：a必须是非负数； · 运算结果：直接去根号，结果等于a； · 易错点：忽略 a≥0 的前提. 性质2：=∣a∣ · 适用条件：a为任意实数； · 运算关键：先开方得绝对值，再根据a的正负性去绝对值符号； · 易错点：直接写成=a，忽略绝对值的分类讨论。 2. 二次根式的运算规则 （1）乘法运算 ★★★★★ 法则：⋅=(a≥0,b≥0) · 运算步骤：先按法则相乘，再将结果化为最简二次根式； · 拓展：⋅⋅= (a≥0,b≥0,c≥0)。 （2）除法运算 ★★★★★ 法则： (a≥0,b>0) · 运算步骤：先按法则相除，再化简； · 核心应用：分母有理化（将分母中的根号去掉）. （3）加减运算 ★★★★★ 步骤：① 先将每个二次根式化为最简二次根式； ② 合并同类二次根式（仅合并系数，被开方数不变）； · 易错点：非同类二次根式强行合并. （4）混合运算 ★★★★★ 遵循实数混合运算顺序：先算乘方（含开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算； · 常用技巧：结合乘法公式（平方差、完全平方）简化计算. 3. 分母有理化 ★★★★ 把分母中的根号化去的过程，核心方法： · 单根式分母：(a>0)（分子分母同乘）； · 和差型分母：,. 易错类型 具体错误表现 避坑技巧 取值范围遗漏 求字母范围时，只考虑被开方数≥0，忽略分母≠0；或忽略多层根式的内层限制 列不等式时，逐一标注所有限制条件： 被开方数≥0、分母≠0、多层根式逐层排查 性质混淆 混淆 ()2 与，忽略 ()2 的a≥0前提 牢记：()2 需a≥0，结果为a； 对任意a成立，结果为-a 化简不彻底 被开方数含能开尽方的因数/因式，或含分母，未完全化简 化简时先分解质因数 / 因式，提取平方项； 含分母的先通分再分母有理化 合并错误 非同类二次根式强行合并，或合并时遗漏系数 先化简，判定是否为同类二次根式； 合并仅合并系数，被开方数不变 运算符号错误 乘除运算忽略非负前提，混合运算顺序出错，乘法公式用错 运算前先确认字母取值范围（保证根式有意义）； 严格遵循运算顺序；熟记平方差、完全平方公式 分母有理化漏乘 分子未乘有理化因式，或有理化因式找错 分母是什么形式，分子就同步乘什么有理化因式；和差型用平方差公式找有理化因式 1. 取值范围求解技巧 步骤拆解：① 找根式（含被开方数）→被开方数≥0；② 找分母 →分母≠；③ 联立不等式组，求解得字母范围. 2. 二次根式化简技巧 · 整数被开方数：分解质因数，将平方因数开方到根号外； · 分数被开方数：先通分，再分母有理化； · 多项式被开方数：先因式分解，再判断是否有平方因式. 3. 非负性解题技巧 遇到+∣b∣+c2=0 形式的等式，直接利用 “非负数之和为0，则每个非负数都为0”，列方程=0、∣b∣=0、c2=0，联立求解即可。 4. 估值技巧（比较大小、求整数部分） 比较二次根式大小：① 平方法（a>0,b>0，若a2>b2则a>b； 2 作差法/作商法； 求整数部分：找被开方数相邻的两个完全平方数. 5. 混合运算简便技巧 · 利用乘法公式：完全平方公式 (±)2=a+b±2，平方差公式 (+)(−)=a−b，可大幅简化计算； · 运算顺序：先观察式子结构，能简便运算的（如用公式）优先简便运算，再按常规顺序计算. 二次根式的识别 【例1】下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义． 需依据“形如（），根指数为2且被开方数非负”的特征判断选项． 【详解】解：A选项：的被开方数，式子无意义，不是二次根式； B选项：的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式； C选项：中，当时，，式子无意义，不一定是二次根式； D选项：的根指数为3，是三次根式，不是二次根式； 故选：B． 【变式1-1】下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的定义，把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式； B、∵，∴不是二次根式； C、当时，，不是二次根式； D、∵，∴一定是二次根式． 故选：D． 【变式1-2】下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 【变式1-3】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式必须满足：①有二次根号；②被开方数为非负数．根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：①是二次根式； ②被开方数是负数，不是二次根式； ③是二次根式； ④由于，即被开方数是负数，不是二次根式； ⑤由于，为非负数，是二次根式； ⑥由于，为非负数，是二次根式； 则二次根式共有4个． 故选：C． 求二次根式中的参数 【例2】若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值． 【详解】∵是一个整数,且m是正整数，, ∴m的最小值为3，此时的值是整数3. 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 【变式2-1】已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 【变式2-2】若是整数，则正整数的最小值是___________． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先将化简，再根据其为整数的条件，确定正整数的最小值． 【详解】解：． 因为是整数， 所以必须是整数．则为完全平方数，正整数的最小值为． 故答案为：． 【变式2-3】已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 二次根式有意义的条件 【例3】若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 【变式3-1】若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3-2】若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式3-3】要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解． 【详解】解：依题意，且， 解得：且， 故答案为：且． 二次根式的性质化简 【例4】已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 【答案】/ 【分析】先根据数轴的定义可得，从而可得，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴的定义得：， 则，， 因此 ， ． 【变式4-1】已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式4-2】实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴与实数，二次根式的性质，先由数轴得，则，故，即可作答． 【详解】解：由数轴得， ∴， 则 ， 故选：C． 【变式4-3】把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式． 先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简． 【详解】解：∵， ∴． ∴=． 故选：C． 最简二次根式的判断 【例5】下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、2不能再开方，是最简二次根式； D、，不是最简二次根式． 故选：C． 【变式5-1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式．结合最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不合题意； B、，不是最简二次根式，不合题意； C、，不是最简二次根式，不合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 【变式5-2】在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，根据最简二次根式的概念逐项判断即可；本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键． 【详解】解：A：，含平方因子9，非最简，不符合题意； B：被开方数为多项式，无平方因子且不含分母，为最简二次根式，符合题意； C：，含平方因子，非最简，不符合题意； D：含分母，非最简，不符合题意； 故选：B． 【变式5-3】下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解答本题的关键． 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 化为最简二次根式 【例6-1】化简的结果是（    ） A．2 B．3 C．2 D．2 【答案】A 【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2． 【详解】解：＝2， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简． 【例6-2】已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解：有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 【变式6-1】将化成最简二次根式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式6-2】把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据化简即可． 【详解】解：． 【变式6-3】若，则 化简后的结果是（      ） A．xy B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，有意义可得，进而即可求解． 【详解】解：∵，有意义， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，得出是解题的关键． 【变式6-4】若，把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握，根据二次根式有意义的条件得到，而，则，再进行化简． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 二次根式的乘除混合运算 【例7】计算______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，根据二次根式的乘除运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式7-1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，然后将二次根式化为最简二次根式，最后进行加减运算．掌握相应的运算法则、运算顺序及性质是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式7-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的性质、二次根式的除法进行计算，再合并同类二次根式，即可求解； （2）根据二次根式乘除法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： 【变式7-3】计算： (1) (2)． 【答案】(1)1 (2)15 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则并准确计算是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除法则计算可得； （2）先化简二次根式，再先后计算乘除法即可． 【详解】（1）解： ； （2） . 分母有理化 【例8】化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键．将分子分母同时乘以，将分母有理化，即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 【变式8-1】化简的结果是______． 【答案】/ 【分析】本题考查分母有理化，先将原式分子分母同时乘以，然后化简求解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式8-2】已知，求代数式的值． 【答案】95 【分析】本题主要考查了分母有理化、代数式求值、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 通过分母有理化可得、，进而得到，然后将原式化为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 【变式8-3】我们知道，因此，像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以上各小题． (1)计算：； (2)比较：与的大小； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）分子、分母同时乘以，进行分母有理化即可求解； （2）根据材料提示，先根据分母有理化化简，再将两数作差进行比较即可； （3）根据材料提示，分别进行分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ∴； （3）解： ． 复合二次根式的化简 【例9】已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 【变式9-1】计算（   ） A． B． C．5 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了复合二次根式的混合运算，先利用完全平方公式化简二次根式，再加减即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：D． 【变式9-2】形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握题干给定的化简方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （2）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （3）根据题干给定的化简方法，先化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：， ∴，，， ∴； （3）原式 ． 同类二次根式 【例10】下列各式化简后，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．对二次根式进行化简，找到与为同类项的即是答案． 【详解】解：无法进行化简，不能与合并，故选项A不符合题意； ，不能与合并，故选项B不符合题意； ，能与合并，故选项C符合题意； ，不能与合并，故选项D不符合题意； 故选C． 【变式10-1】若最简二次根式与是同类二次根式，则_______． 【答案】6 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据最简二次根式和同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得． 故答案为：6． 【变式10-2】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【变式10-3】已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值可能是（　　） A．16 B．0 C．2 D．任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把化简为，再利用最简二次根式的定义和同类二次根式的定义得到，从而得到a的值． 【详解】解：∵， 而最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故选：B． 二次根式的混合运算 【例11】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式11-1】计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行二次根式的化简，再去掉括号合并即可； （2）根据二次根式的运算顺序，先进行乘除运算，再合并即可． 【详解】（1）原式 =； （2）原式 =． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 【变式11-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先算乘除，再计算加减法； （2）先运用平方差公式和完全平方公式，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式11-3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）利用平方差公式，完全平方公式计算即可； （2）先计算乘除，再计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 已知字母的值，化简求值 【例12】若，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的加减法法则分别求出，，再根据平方差公式计算； （2）根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2），， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解本题的关键． 【变式12-1】若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据分母有理化化简x，y的值，求出，，再根据完全平方公式的变形计算解题． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选：D． 【变式12-2】已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)99 (2)10 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． （1）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可； （2）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． ∴． （2）解：， ， ． ∴． 【变式12-3】先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+． 【答案】 【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解：原式＝ ； a＝-，b＝+， ∴原式 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键． 已知条件式，化简求值 【例13】已知，求代数式的值是_____． 【答案】14 【分析】根据，整体代入计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：14． 【变式13-1】已知，则___________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，进行解答，即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【变式13-2】已知，则代数式的值为________． 【答案】11 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算． 将原式进行变形，再将代入式子中，进行计算，整理；再将代入式子中进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为： 11． 【变式13-3】已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）对原式根据完全平方公式进行因式分解，然后代入求值即可； （2）对原式根据平方差公式进行因式分解，然后代入求值即可． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ． 比较二次根式的大小 【例14】比较大小：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较、二次根式的混合运算等知识点，掌握分子有理化是解题的关键． 先对和分子有理化，然后比较分母即可解答． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式14-1】比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，先比较的大小，再根据两个负数，绝对值大的反而小即可求解，掌握二次根式的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：． 【变式14-2】比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，熟练掌握“通过平方转化为有理数（或含根式的整式）比较大小”是解题的关键． 通过平方两个根式表达式，比较平方值的大小，进而判断原式的大小关系． 【详解】解：设，． ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 均为正数， ∴ ，即， 故答案为：． 【变式14-3】比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 二次根式的应用 【例15】如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积=大长方形面积两个正方形面积，本题得以解决．本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴题图中阴影部分的面积为． 故选：C． 【变式15-1】如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，关键在于审清题意，看懂图形，找到各部分面积的关系．先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】因为重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长的和减去大正方形的边长，所以重叠部分也是正方形． 因为三个小正方形的面积分别为， 所以三个小正方形的边长分别为：，，． 由图知大正方形的边长为：， 所以． 故选：A． 【变式15-2】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． (1)大正方形的边长是______，小正方形的边长是_____． (2)求图中阴影部分的周长． 【答案】(1)5， (2) 【分析】（1）根据正方形的性质，利用求算术平方根的方法解答即可． （2）根据周长的定义，二次根式的乘法，加减混合计算解答即可． 【详解】（1）解：∵长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， 故答案为：5，． （2）解：根据题意，得阴影的周长为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，二次根式的化简，二次根式的乘法，二次根式的加减，熟练掌握正方形的性质，算术平方根的解答，二次根式的运算是解题的关键． 【变式15-3】如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32． (1)求正方形ABCD和正方形ECFG的边长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1)正方形ABCD的边长为2，正方形ECFG的边长为4 (2)阴影部分的面积为12 【分析】（1）根据正方形的面积公式直接开平方得出正方形的边长即可； （2）用两个正方形的面积之和减去直角三角形ABD和直角三角形BGF的面积，即可得出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：∵正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32， ∴正方形ABCD的边长为，正方形ECFG的边长为． （2）阴影部分的面积为： 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $