2026届高考数学模拟卷（十三）（全国适用）

2026届高考数学终极押题卷（十三） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可先分别求出集合与集合，再根据确定实数的取值范围，进而分析各选项. 【详解】集合，解得，集合，解得， 说明集合中的元素都属于集合，即. 故选：B 2. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数奇偶性，再考虑特殊点代入检验，即得. 【详解】依题意得，函数的定义域为， 因为， 所以为偶函数，图象关于y轴对称，排除B,D两项， 又，排除C项，所以只有A选项符合. 故选:A． 3. 已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 4. 在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理，角化边，再利用余弦定理可求角A. 【详解】因为， 由正弦定理得：， 由余弦定理，， 又为三角形内角，所以. 故选：D 5. 如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的50%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（ ） A. 76 B. 77 C. 78 D. 79 【答案】B 【解析】 【分析】从频率分布直方图中求出各组的频率，判断出50%分位数在第三组内，列式求解即可. 【详解】从左到右前2个小组的频率分别为，，第3个小组的频率为， 又，， 故50%分位数在内，. 故选：B. 6. 在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】可先根据已知条件求出初始学习率和衰减系数，进而得到学习率关于训练迭代轮数的表达式，最后根据学习率的要求求出训练迭代轮数的最小值. 【详解】因为衰减学习率模型为， 所以根据已知条件可得：① ② 用②式除以①式可得： ,化简可得：. 将代入①式中可得：. 所以衰减学习率模型为. 当学习率衰减到0.05以下时，即. 化简上述不等式得：，所以. 因为为正数，所以最小值取34. 故选：D. 7. 已知函数，下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出每个选项中的函数的表达式，确定其定义域，结合奇函数的定义判断，即可得答案. 【详解】由于，定义域为 故，定义域为， ， 即不是奇函数，A错误； ，定义域为，不关于原点对称， 即不是奇函数，B错误； ，定义域为，不关于原点对称， 即不是奇函数，C错误； ，定义域为， ， 即为奇函数，D正确， 故选：D 8. 已知双曲线，圆与轴交于两点，是圆与双曲线在轴上方的两个交点，点在轴的同侧，且交于点G，且M为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断的形状，再结合双曲线的定义列式，可求双曲线的离心率. 【详解】如图： 因为，所以为双曲线的焦点. 因为为上的点，所以， 根据双曲线的对称性，可知点在轴上，又为的中点，所以. 所以为等边三角形，，所以. 又根据双曲线的定义，，所以， 所以. 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱､圆锥､球的体积之比为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件确定圆柱的底面半径、高以及圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式求解并判断选项即可. 【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为， A项，圆柱的侧面积为，故A正确； B项，圆锥的母线长为， 所以，圆锥的侧面积为，故B错误； C项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确； D项，圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 球的体积为， 因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D正确. 故选：ACD. 10. 设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列等比数列 C. 数列为等比数列 D. 数列为等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】A令即可；C降标作差即可求出；B利用等比数列通项公式即可求出，进而求出，最后利用等比数列的定义求证；D利用通项公式化简，最后利用等比数列的定义求证. 【详解】选项A，，A对； 选项C，因为，则当时，， 两式作差得，，变形为， 又，则，故， 故当时，等比数列，公比为2，首项为， 故，即，显然不满足， 故的通项公式为，C错误； B选项，时，， 又符合上式，故， 由于时，，故为等比数列，B正确； D选项，由C选项可知，，则， 故时，， 所以为等比数列，D正确. 故选：ABD 11. 如图，是某同学发现的一种曲线，因形如小恐龙，因此命名为小恐龙曲线．对于小恐龙曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线与直线最多存在3个交点 B. 存在a，使得曲线是偶函数的图象 C. 当时，曲线中的部分可以表示为y关于x的某一函数 D. 若曲线如题图所示（x轴向右为正方向，y轴向上为正方向），则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：转化为三次方程根的个数问题研究；对于B：举特例说明存在值使曲线是偶函数的图象；对于C：令，由零点存在性定理说明方程至少两根，对应值不唯一即可说明不是的函数；对于D：转化为三次方程根的个数问题研究，结合导数分析判断. 【详解】对于选项A：曲线方程， 令，得关于的一元三次方程， 令，则， 可知最多两根，即函数最多两个极值点， 则有3个单调区间，所以方程最多有三个实根，故A正确； 对于选项B：当时，曲线，即函数的图象， 设，，定义域关于原点对称. 且，所以是偶函数. 故存在，使得曲线是偶函数的图象，故B正确： 对于选项C：若，令可得，即， 令，则， 可知在内均有零点，即方程的根不唯一， 所以曲线中的部分不可以表示为y关于x的某一函数，故C错误； 对于选项D：若曲线如题图所示，则存在，使得与曲线图象有三个交点， 即存在，关于的方程有三个实根. 令，则， 假设，，都有，即单调递增， 则方程在最多有一个实根，与题图矛盾，假设错误. 因此，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及共线向量定理列式计算得解. 【详解】由，得， 由三点共线，得，而， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 13. 已知数列满足，且是的等差中项，是数列的前项和，则__________，___________. 【答案】 ①. 171 ②. 【解析】 【分析】先求出，分和，求出通项公式，进而分组求和，得到答案. 详解】由题知，解得， 当是偶数，是奇数，故， 所以，因为， 故是首项为，公比为2的等比数列， 故，. 所以当时，， 所以 ； . 故答案为：171； 14. 某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答题，若答错则对方获得1分并由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，则甲在这场比赛中获胜的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意分析得每局第一个答题是甲或乙，概率均为，设事件表示一局比拼中甲获胜，甲得分有两种情况：3分或2分，分类求出一局后甲获胜的概率，再由独立事件乘法公式求这场比赛甲获胜的概率. 【详解】由题意，每局第一个答题是甲或乙，概率均为，且每局不可能出现平局， 设事件表示某一局甲获胜，则甲得分有两种情况：3分或2分， 若甲第一个答题， 甲得3分：3题甲都答对，故其概率为， 甲得2分：3题对错依次为甲对甲对甲错、甲对甲错乙错、甲错乙错甲对，故其概率为， 若乙第一个答题， 甲得3分：3题对错依次为乙错甲对甲对，故其概率为， 甲得2分：3题对错依次为乙对乙错甲对、乙错甲对甲错、乙错甲错乙错，故其概率为， 综上，一局比拼，甲获胜的概率为， 所以甲在这场比赛中获胜的概率为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 的最小正周期为，其中 . （1）求，并求曲线的对称中心； （2）若，求. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简的表达式，结合函数的最小正周期，求出，再结合正弦函数的对称中心，即可求得答案； （2）由可求出，利用三角函数诱导公式以及两角差的正切公式，即可求得答案. 【小问1详解】 ， 因为函数的最小正周期为，，所以，则有， 所以； 由，可得，， 所以函数的对称中心为； 【小问2详解】 由于，所以， 则有，即， 所以． 16. 为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为和．在治疗过程中，用指标衡量患者是否受益：若，则认为指标正常；若，则认为指标偏高；若，则认为指标偏低．若治疗后患者的指标正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6． （1）求和； （2）统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第位的患者治疗后指标的值为，，2，，50，定义函数： （ⅰ）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由． ①； ②； （ⅱ）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（ⅰ）中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策． 【答案】（1）， （2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据二项分布的公式可求得； （2）（ⅰ）（ⅱ）根据题意分析可知两个量的意义，进而利用数学期望的意义找出更合适的统计量，并作出决策. 【小问1详解】 由题设知服从二项分布， 所以，． 【小问2详解】 （ⅰ）统计量反映了未受益于新治疗方案的患者数，理由如下： 若患者受益于新治疗方案，则其指标的值满足， 否则，会被统计量计入，且每位未受益于新治疗方案的患者恰使得统计量的数值加1． 统计量反映了未受益于新治疗方案且指标偏高的患者数量，理由如下： 若患者接受新治疗方案后指标偏低或正常，则其指标的值满足 若指标偏高，则，，会被统计量计入， 且每位未受益于新治疗方案且指标偏高的患者恰使得统计量的数值加1． （ⅱ）由题设知新治疗方案优于标准治疗方案等价于一次试验中的观测值大于的数学期望， 由（ⅰ）知的观测值， 因此当，即时，认为新治疗方案优于标准治疗方案； 当，即时，认为新治疗方案与标准治疗方案相当； 当，即时，认为新治疗方案劣于标准治疗方案． 17. 如图，三棱锥中，点在平面的射影恰在上，为中点，，，. （1）若平面，证明：是的三等分点； （2）记的轨迹为曲线，判断是什么曲线，并说明理由； （3）求的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2）椭圆，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由于平面，作，证得，进而证得平面，得到和，结合，得到，得到，得到，即可得证； （2）延长至，使得，得到M，D到的距离为定值，求得，得到M，D的运动平面截得该圆柱，根据圆锥曲线的定义，即可求解； （3）以A为原点，建立空间直角坐标系，由椭圆的短半轴长为1，求得椭圆，求得，得到为左焦点，设右焦点为，则，设，在中，由余弦定理，求得和. 解法1：由，令，得到，求得，得到函数的单调性和极值，即可求解； 解法2：由，转化为求的最小值，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 由于平面，作，垂足为点， 因为平面，则， 又因为，且，平面， 因此平面，因为平面，所以， 同理可证：， 又因为，可得，所以， 因为面，从而， 因此，进而为的三等分点. 【小问2详解】 椭圆， 延长至，使得， 由于，可得M，D到的距离为定值， 因此M，D应在以为高线的圆柱上运动，且上下底面与垂直， 又因为M，D为平面上两点，， 从而M，D的运动平面截得该圆柱，根据圆锥曲线的定义， 因而M，D的运动轨迹应为椭圆，示意如下. 【小问3详解】 以A为原点，所在直线为x轴，过A点与平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 下面求椭圆方程：一方面，由于该圆柱的底面半径为， 故由图可知椭圆的短半轴长为1， 由，从而椭圆的长半轴，进而椭圆方程：， 又由，平面，从而，即， 由定义知为椭圆的左焦点，设的右焦点为，则， 设， 在中，由余弦定理，可得， 解得，同理可得：， 解法1：由， 令，则，可得， 令，解得，（舍去）， 当，；当，， 因此为的极小值点，可得. 解法2：由，原题等价于求的最小值， 则等价于求的最小值， 又由， 当且仅当时等号成立，因此的最小值为. 18. 已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 关于双曲线 的一条渐近线 的对称点 在 上. （1）求双曲线 的离心率； （2）若 ，双曲线 的左、右顶点分别为 ，过左顶点 作实轴的垂线交渐近线 于点 ，过 作直线分别交双曲线 的左、右两支于 两点，直线 分别交 于 两点. 证明: 四边形 为平行四边形. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，结合双曲线的定义即可求解，即可利用离心率公式求解， （2）联立直线与双曲线方程可得韦达定理，即可根据两点求解直线，联立与渐近线方程可得坐标，即可根据向量的坐标运算，代入韦达定理可证明得解. 【小问1详解】 连接, 由于关于直线对称，又，所以， 到直线距离为， 因此，故， 由双曲线定义可得，故， 因此离心率为， 【小问2详解】 当时，则，故双曲线的方程为， ，直线，故， 由题意可知直线有斜率，故设， 联立与可得， 设，则， 则直线，联立与方程可得， 解得，，所以, 同理可得, ,, ， 所以，即， 因此，因此, 故四边形 为平行四边形. 19. 已知函数． （1）是否存在实数a使得在上有唯一最小值，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由； （2）已知函数有两个不同的零点，记的两个零点是． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1）存在， （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的取值范围，并判断导数正负，即可得答案； （2）①由题意得，从而，可得，从而要证，需证，进而构造函数，利用导数进行证明； ②利用构造函数，判断出，，进而先证明，再证，从而令，则可设；令，则，则可得，结合不等式知识即可证明结论. 【小问1详解】 由题意知，则， 当时，，在上单调递增，没有最小值； 当时，令，则（负值舍）， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故当时，取最小值， 即，解得， 故存在实数使得在上有唯一最小值； 【小问2详解】 ①因为，令，即得， 由题意知的两个零点是， 即，则，则， 要证，即证，即， 即证，即， 由于，故， 即证，即， 令，设，则恒成立， 即在上单调递增，且， 故，即成立， 故； ②由于，令， 则，令， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故， 函数有两个不同的零点，即的两个零点是， 则，由于，故， 函数在处的切线方程分别为， 且在内，在内， 先证：，即，即， 令，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故， 再证：，即， 令，则恒成立， 即在单调递减，则， 令，则可设；令，则， 则可得，即. 【点睛】难点点睛：本题考查了导数的综合应用，涉及到单调性、极值以及不等式证明，难度较大，解答的难点在于（2）中不等式证明，要结合不等式特征，构造恰当的函数，利用导数进行求解. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考数学终极押题卷（十三） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的50%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（ ） A. 76 B. 77 C. 78 D. 79 6. 在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 7. 已知函数，下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线，圆与轴交于两点，是圆与双曲线在轴上方的两个交点，点在轴的同侧，且交于点G，且M为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱､圆锥､球的体积之比为 10. 设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列等比数列 C. 数列为等比数列 D. 数列为等比数列 11. 如图，是某同学发现的一种曲线，因形如小恐龙，因此命名为小恐龙曲线．对于小恐龙曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线与直线最多存在3个交点 B. 存在a，使得曲线是偶函数的图象 C. 当时，曲线中的部分可以表示为y关于x的某一函数 D. 若曲线如题图所示（x轴向右为正方向，y轴向上为正方向），则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 13. 已知数列满足，且是的等差中项，是数列的前项和，则__________，___________. 14. 某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答题，若答错则对方获得1分并由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，则甲在这场比赛中获胜的概率为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 的最小正周期为，其中 . （1）求，并求曲线的对称中心； （2）若，求. 16. 为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为和．在治疗过程中，用指标衡量患者是否受益：若，则认为指标正常；若，则认为指标偏高；若，则认为指标偏低．若治疗后患者的指标正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6． （1）求和； （2）统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第位的患者治疗后指标的值为，，2，，50，定义函数： （ⅰ）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由． ①； ②； （ⅱ）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（ⅰ）中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策． 17. 如图，三棱锥中，点在平面的射影恰在上，为中点，，，. （1）若平面，证明：是的三等分点； （2）记的轨迹为曲线，判断是什么曲线，并说明理由； （3）求的最小值. 18. 已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 关于双曲线 的一条渐近线 的对称点 在 上. （1）求双曲线 的离心率； （2）若 ，双曲线 的左、右顶点分别为 ，过左顶点 作实轴的垂线交渐近线 于点 ，过 作直线分别交双曲线 的左、右两支于 两点，直线 分别交 于 两点. 证明: 四边形 为平行四边形. 19. 已知函数． （1）是否存在实数a使得在上有唯一最小值，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由； （2）已知函数有两个不同的零点，记的两个零点是． ①求证：； ②求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $