专题03 一次函数（期中复习知识清单9大题型）八年级数学下学期新教材冀教版

专题03 一次函数 一次函数的定义（★★高频必考） 1. 一般形式：形如 （为常数，且）的函数，叫做一次函数。 2. 关键要点： k是一次项系数，（若，则函数变为，是常数函数，不是一次函数）； b是常数项，b可以为0（当时，函数变为，此时叫做 ，正比例函数是特殊的 ）； 自变量x的次数为1，且自变量x不能在分母、根号下。 3. 常见易错点：忽略的条件；混淆一次函数与常数函数、正比例函数的关系。 一次函数的图像与性质（★★★高频必考） （一）图像特征 一次函数（）的图像是 ，因此也叫做线性函数，图像可通过“两点法”画出。 1.两点法画图步骤（必掌握）： 令，求出，得到与y轴的交点（0，b）； 令，求出（），得到与x轴的交点（，0）； 连接两个交点，即为一次函数的图像。 2.正比例函数（，）的图像：必经过 ，两点法可选取（0，0）和（1，k）画图。 （二）性质（核心重点） 一次函数的性质由 共同决定，重点掌握k的作用（决定直线的增减性）和b的作用（决定直线与y轴的交点位置）。 k的符号 b的符号 函数图像经过的象限 函数增减性（核心） k > 0 b > 0 第 象限 y随x的增大而 k > 0 b = 0 第 象限 （正比例函数） y随x的增大而 k > 0 b < 0 第 象限 y随x的增大而 k < 0 b > 0 第 象限 y随x的增大而 k < 0 b = 0 第 象限 （正比例函数） y随x的增大而 k < 0 b < 0 第 象限 y随x的增大而 直线中，k的绝对值越 ，直线越陡峭；k的绝对值越 ，直线越平缓。 一次函数解析式的求法（★★★高频必考） 核心方法： （中考重点考查，必掌握步骤），核心是根据已知条件求出k和b的值。 1. 待定系数法基本步骤： 设：设一次函数的解析式为（）； 代：将已知的两个点的坐标（或两组x、y的对应值）代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组； 解：解方程组，求出k、b的值； 写：将k、b的值代入解析式，写出最终的一次函数表达式。 2. 常见已知条件类型（适配冀教版教材考点）： 已知两个点的坐标（最常见，如已知（1，2）和（3，6），求解析式）； 已知函数图像与x轴、y轴的交点（即已知（，0）和（0，b））； 已知函数是正比例函数（此时，只需一个点的坐标即可求k）； 已知函数的增减性（k的符号）和一个点的坐标。 一次函数与方程、不等式的关系（★★★高频必考） （一）一次函数与一元一次方程 对于一次函数（）： 1. 解方程，本质是求一次函数图像与 横坐标； 2. 若（c为常数），本质是求当时，自变量x的值（即函数图像上对应的点的横坐标）。 （二）一次函数与二元一次方程组 两个一次函数图像的 ，就是这两个函数解析式组成的二元一次方程组的 ；反之，二元一次方程组的解，就是对应的两个一次函数图像的交点坐标。 1. 核心要点： 设两个一次函数分别为（），则方程组的解()，就是两个函数图像的交点坐标； 若两个一次函数图像平行(且)，则对应的二元一次方程组无解； 若两个一次函数图像重合(且)，则对应的二元一次方程组有无数组解。 （三）一次函数与一元一次不等式 1. 解不等式（），本质是求一次函数图像在x轴 时，自变量x的取值范围； 2. 解不等式（），本质是求一次函数图像在x轴 时，自变量x的取值范围； 3. 关键：结合函数图像分析，避免单纯计算出错，尤其注意k的符号对不等号方向的影响。 一次函数的实际应用（★★★高频必考） 冀教版教材重点考查与生活实际结合的应用，核心是“建模”——将实际问题转化为一次函数问题，步骤如下： 审：审题，明确题目中的已知量、未知量，找出数量关系； 设：设自变量（通常设x为变化的量，如时间、数量等），表示出一次函数解析式； 求：根据题目条件，用待定系数法求出k、b的值，确定解析式； 用：根据解析式解决实际问题（如求最值、求特定条件下的x或y的值、判断方案合理性等）； 验：检验结果是否符合实际意义（如时间、数量不能为负数）。 常见应用场景（冀教版高频）： 行程问题（路程、速度、时间的关系，如）； · 计费问题（如水电费、话费、打车费，分段一次函数，★★中频）； · 销售问题（单价、数量、总价，利润与销量的关系）； · 生产调配问题（工作量、效率与时间的关系）。 一次函数与正比例函数定义 【例1】（22-23八年级下·河北邢台·期末）下列函数中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 E．1 一次函数图像的画法 【例2】（20-21八年级下·河北邯郸·期末）如图所示的计算程序中，与之间的函数关系所对应的图象应为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数． (1)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (2)结合所画图象，分别求出在函数图象上满足下列条件的点的坐标： ①横坐标是； ②和轴的距离是2个单位长度． 【变式2】（22-23八年级下·河北沧州·月考）已知函数． (1)填表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x … _____ … … ____ 4 … (2)在函数中，随着x的增大，y将______（填“增大”或“减小”）； (3)当时，求x的取值范围． 一次函数图像象限的判断 【例3】（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）在同一坐标系中，直线（，为常数）与直线的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）一次函数与正比例函数（其中为常数，且）在同一坐标系中的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式3】（23-24八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，若直线经过第一、二、四象限，则直线不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 一次函数图像与参数k、b的符号 【例4】（24-25八年级下·河北沧州·月考）对于试题“直线与直线的交点在第三象限，求k的取值范围”，甲答：；乙答：．则下列说法正确的是（   ） A．甲的答案正确且完整 B．乙的答案正确且完整 C．甲乙答案合在一起才正确 D．甲乙答案合在一起也不正确，还有其他的取值 【变式1】（23-24八年级下·河北唐山·期中）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】在一次函数中，的值随着值的增大而增大，则它的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】（24-25八年级下·河北唐山·月考）一次函数的图像经过第一、二、三象限，则的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 求一次函数的函数值 【例5】一次函数的图象经过点，则_____． 【变式1】铁的密度为，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：）之间的函数关系式为．当时，______g． 【变式2】已知直线经过点和，其中，则的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 用待定系数法求一次函数 【例6】（24-25八年级下·河北廊坊·月考）关于的一次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（    ） A．图象经过第一、二、四象限 B．的值随的增大而增大 C．该函数的图象与轴的交点坐标为 D．该函数的图象可由一次函数的图象向上平移1个单位长度得到 【变式1】一次函数（k、b为常数，且）的图象经过、、三点，则m的值为（   ） A．0 B． C．8 D．4 【变式2】（24-25八年级下·河北衡水·月考）已知，当时， (1)求y关于x的函数解析式； (2)在平面直角坐标系中，该函数的图象不经过第______象限； (3)若点是该函数图象上的一点，求y的值． 一次函数与一次方程 【例7】如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，已知点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（24-25八年级下·河北衡水·月考）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线，，①；②；③关于x，y的方程组的解为．关于①、②和③正确的有（      ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 一次函数与一元一次不等式 【例8】（25-26八年级上·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（a、b是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．不等式的解集是 C．当时， D．当时， 【变式1】如图，直线经过点和； 直线过点A，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·河北邯郸·月考）若一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．当时， D．若，在函数图象上，则 一次函数实际应用 【例9】（2026·河北邯郸·一模）有甲、乙两个运输队共同承担了清理运输A、B两个建筑工地施工土方的任务，在规定时间内，甲、乙两个运输队分别可以清运土方20万立方米和30万立方米，当前A、B两个建筑工地需要清运的土方分别是40万立方米和10万立方米，经评估测算，甲、乙两个运输队在A、B两个工地清运土方的单价费用如下表： 单价 运输队 在A工地清运土方费用单价（元/立方米） 在B工地清运土方费用单价（元/立方米） 甲运输队 40 35 乙运输队 38 36 设甲运输队在A工地清运土方x万立方米，清运完成A、B两个工地的土方所需的总费用为y万元． (1)用含x的代数式完成下表（不必化简），并求y与x的函数关系式；（不写自变量x的取值范围） 清运土方 运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米） 甲运输队 乙运输队 (2)求总费用y的最大值； (3)在实际清运土方的过程中，甲运输队在A工地使用人工智能设备，使每立方米的清运费用减少a元，但仍高于甲运输队在B工地清运费用的单价，求如何分配甲、乙两个运输队的清运任务，使清理土方的总费用最小． 【变式1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多元，用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同． (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种粽子共个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为元/个、元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【变式2】（2026·河北石家庄·一模）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校． (1)求甲步行的速度和乙骑车的速度以及学校门口和操场的距离； (2)当乙追上甲时，求x的值； (3)求乙返回时行驶路程y与x的函数关系式（不必写出自变量的取值范围），并直接写出当乙到达学校门口时x的值． 一次函数与正比例函数定义 易错归因： 忽略一次函数的核心条件，误将（常数函数）当作一次函数； 混淆一次函数与正比例函数的关系，忽略正比例函数是“的一次函数”； 判断时遗漏自变量x的次数为1、x不能在分母或根号下的要求。 一次函数图像的画法 易错归因： 用两点法画图时，求与x轴、y轴交点坐标计算错误； 绘制正比例函数时，未选取原点（0,0）作为关键点； 连线不规范，未标注交点坐标； 忽略自变量的取值范围，导致图像画错（如实际应用中x不能为负）。 一次函数图像象限的判断 易错归因： 混淆k、b符号对象限的影响，尤其是或时，误判经过的象限； 忽略正比例函数（）只经过两个象限的特点，误判为三个象限。 一次函数图像与参数k、b的符号 易错归因： k无法根据图像经过的象限反推k、b的符号； 混淆k的符号与图像增减性的关系，进而误判k的符号； 忽略b的符号对应图像与y轴交点的位置（正半轴、负半轴、原点）。 求一次函数的函数值 易错归因： 代入自变量x的值时，符号出错（尤其是负数、分数代入）； 代入后运算顺序混乱，先算加减后算乘除； 忽略自变量的取值范围，代入不符合条件的x值求函数值。 用待定系数法求一次函数 易错归因： 设解析式时遗漏的条件；代入点的坐标时，横纵坐标对应错误（x、y颠倒）； 解关于k、b的二元一次方程组时计算出错； 求出k、b后，未代入解析式验证正确性。 一次函数与一元一次方程及二元一次方程组 易错归因： 不理解“解方程”与“求一次函数与x轴交点横坐标”的关联； 根据图像求方程的解时，误读交点横坐标； 计算时，移项、系数化为1出错，尤其是k为负数时。 不理解：交点坐标 = 方程组的解。 读图不准，横纵坐标混淆。 联立解析式时变形、消元出错。 一次函数与一元一次不等式 易错归因： 混淆“”与“图像在x轴上方”的对应关系； 根据k的符号判断不等号方向时出错（时，解不等式需变号）； 结合图像求不等式解集时，误判x的取值范围（左右方向混淆）。 一次函数实际应用 易错归因： 无法从实际问题中提炼数量关系，难以建立一次函数模型； 设自变量、因变量时，对应关系颠倒； 忽略实际意义，自变量、函数值取负数； 未检验结果是否符合题目情境，导致答案不合理。 一次函数与正比例函数定义 速通技巧： 牢记核心判定标准——一次函数（k、b为常数，）， 正比例函数（，）； 判断时先看k是否不为0，再看x的次数为1，最后看x的位置（不在分母、根号下） 一次函数图像的画法 速通技巧： 优先用“两点法”，步骤固定——令求y（得y轴交点），令求x（得x轴交点），连接两点并标注； 正比例函数简化为“两点法”（0,0）和（1,k），快速画图；实际应用中先确定自变量取值范围，再画图。 一次函数图像象限的判断 速通技巧： 先看k的符号（决定增减性和经过的左右象限），再看b的符号（决定与y轴交点位置，进而确定上下象限）； 口诀辅助：k正右上增，k负右下减；b正交y轴正半轴，b负交负半轴，过原点。 一次函数图像与参数k、b的符号 速通技巧： 由图像判k、b： 图像从左到右上升→， 下降→； 与y轴交于正半轴→，负半轴→，原点→； 由k、b判图像：结合象限判断技巧，快速锁定经过的象限。 求一次函数的函数值 速通技巧： 核心是“代入计算”，步骤：先确认x的取值符合自变量范围，再将x的值代入解析式，遵循“先乘除后加减”的运算顺序； 负数、分数代入时，可先加括号，避免符号出错。 用待定系数法求一次函数 速通技巧： 四步走固定流程——设（，）→代（代入两点坐标或已知条件）→解（解二元一次方程组求k、b）→验（代入原条件验证，确保正确）； 正比例函数可简化为“设→代→解→验”（，只需一个点）。 一次函数与一元一次方程及二元一次方程组 速通技巧： 牢记两个核心关联——解方程，等价于求一次函数与x轴交点的横坐标； 解方程，等价于求时x的值； 结合图像解题更快捷，无需复杂计算，直接读取交点坐标。 两个一次函数图像的交点坐标 (x,y)⇔ 它们解析式组成的二元一次方程组的解 一次函数与一元一次不等式 速通技巧： 图像法优先，口诀：→找图像在x轴上方的部分，对应x的取值范围； →找图像在x轴下方的部分，对应x的取值范围； 时，注意不等号方向要反转，避免出错。 一次函数实际应用 速通技巧： 五步建模法——审（找已知量、未知量，提炼数量关系）→设（设自变量x，因变量y，列）→求（用待定系数法求k、b）→用（代入求解，解决问题）→验（检验结果符合实际意义）； 重点记忆行程、销售等常见场景的数量关系，快速建模。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数 一次函数的定义（★★高频必考） 1. 一般形式：形如（为常数，且）的函数，叫做一次函数。 2. 关键要点： k是一次项系数，（若，则函数变为，是常数函数，不是一次函数）； b是常数项，b可以为0（当时，函数变为，此时叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数）； 自变量x的次数为1，且自变量x不能在分母、根号下。 3. 常见易错点：忽略的条件；混淆一次函数与常数函数、正比例函数的关系。 一次函数的图像与性质（★★★高频必考） （一）图像特征 一次函数（）的图像是一条直线，因此也叫做线性函数，图像可通过“两点法”画出。 1.两点法画图步骤（必掌握）： 令，求出，得到与y轴的交点（0，b）； 令，求出（），得到与x轴的交点（，0）； 连接两个交点，即为一次函数的图像。 2.正比例函数（，）的图像：必经过原点（0，0），两点法可选取（0，0）和（1，k）画图。 （二）性质（核心重点） 一次函数的性质由k和b的符号共同决定，重点掌握k的作用（决定直线的增减性）和b的作用（决定直线与y轴的交点位置）。 k的符号 b的符号 函数图像经过的象限 函数增减性（核心） k > 0 b > 0 第一、二、三象限 y随x的增大而增大 k > 0 b = 0 第一、三象限 （正比例函数） y随x的增大而增大 k > 0 b < 0 第一、三、四象限 y随x的增大而增大 k < 0 b > 0 第一、二、四象限 y随x的增大而减小 k < 0 b = 0 第二、四象限 （正比例函数） y随x的增大而减小 k < 0 b < 0 第二、三、四象限 y随x的增大而减小 直线中，k的绝对值越大，直线越陡峭；k的绝对值越小，直线越平缓。 一次函数解析式的求法（★★★高频必考） 核心方法：待定系数法（中考重点考查，必掌握步骤），核心是根据已知条件求出k和b的值。 1. 待定系数法基本步骤： 设：设一次函数的解析式为（）； 代：将已知的两个点的坐标（或两组x、y的对应值）代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组； 解：解方程组，求出k、b的值； 写：将k、b的值代入解析式，写出最终的一次函数表达式。 2. 常见已知条件类型（适配冀教版教材考点）： 已知两个点的坐标（最常见，如已知（1，2）和（3，6），求解析式）； 已知函数图像与x轴、y轴的交点（即已知（，0）和（0，b））； 已知函数是正比例函数（此时，只需一个点的坐标即可求k）； 已知函数的增减性（k的符号）和一个点的坐标。 一次函数与方程、不等式的关系（★★★高频必考） （一）一次函数与一元一次方程 对于一次函数（）： 1. 解方程，本质是求一次函数图像与x轴交点的横坐标； 2. 若（c为常数），本质是求当时，自变量x的值（即函数图像上对应的点的横坐标）。 （二）一次函数与二元一次方程组 两个一次函数图像的交点坐标，就是这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解；反之，二元一次方程组的解，就是对应的两个一次函数图像的交点坐标。 1. 核心要点： 设两个一次函数分别为（），则方程组的解()，就是两个函数图像的交点坐标； 若两个一次函数图像平行(且)，则对应的二元一次方程组无解； 若两个一次函数图像重合(且)，则对应的二元一次方程组有无数组解。 （三）一次函数与一元一次不等式 1. 解不等式（），本质是求一次函数图像在x轴上方时，自变量x的取值范围； 2. 解不等式（），本质是求一次函数图像在x轴下方时，自变量x的取值范围； 3. 关键：结合函数图像分析，避免单纯计算出错，尤其注意k的符号对不等号方向的影响。 一次函数的实际应用（★★★高频必考） 冀教版教材重点考查与生活实际结合的应用，核心是“建模”——将实际问题转化为一次函数问题，步骤如下： 审：审题，明确题目中的已知量、未知量，找出数量关系； 设：设自变量（通常设x为变化的量，如时间、数量等），表示出一次函数解析式； 求：根据题目条件，用待定系数法求出k、b的值，确定解析式； 用：根据解析式解决实际问题（如求最值、求特定条件下的x或y的值、判断方案合理性等）； 验：检验结果是否符合实际意义（如时间、数量不能为负数）。 常见应用场景（冀教版高频）： 行程问题（路程、速度、时间的关系，如）； · 计费问题（如水电费、话费、打车费，分段一次函数，★★中频）； · 销售问题（单价、数量、总价，利润与销量的关系）； · 生产调配问题（工作量、效率与时间的关系）。 一次函数与正比例函数定义 【例1】（22-23八年级下·河北邢台·期末）下列函数中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可. 【解答】解：A. 不是一次函数，故该选项错误； B. 不是一次函数，故该选项错误； C. 是一次函数，故该选项正确； D. 不是一次函数，故该选项错误； 故选：C． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，理解一次函数的定义是解题的关键. 【变式1】已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据正比例函数的定义可得到，，解之代入求值即可． 【解答】解：函数是正比例函数， ，， 解得：，， ， 故选：D． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，解绝对值方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式2】下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数（形式为，）和正比例函数的定义，逐一验证各选项是否符合“一次函数但”的条件． 【解答】解：∵ 一次函数需满足自变量x的次数为1且为整式；正比例函数是一次函数中的特殊情况， A项：，形式为，，是正比例函数，不符合要求； B项：，x的次数为2，不是一次函数，不符合要求； C项：，形式为，，，故是一次函数但不是正比例函数，符合要求； D项：，即，x的次数为，不是一次函数，不符合要求， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，根据函数定义，逐一验证 【变式3】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 E．1 【分析】根据一次函数的定义（形如，），逐一判断即可． 【解答】解：①可化为，符合一次函数定义； ②不符合一次函数定义； ③可化为，符合一次函数定义； ④化简为（），定义域不全为实数，不符合一次函数定义； ⑤展开化简为，符合一次函数定义； ⑥不符合一次函数定义． 综上，①、③、⑤符合条件，共3个，选C． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数定义，掌握相关知识是解决问题的关键 一次函数图像的画法 【例2】（20-21八年级下·河北邯郸·期末）如图所示的计算程序中，与之间的函数关系所对应的图象应为（    ） A． B． C． D． 【分析】首先根据计算程序得出函数的解析式，再去绝对值，得到分段函数，在同一平面直角坐标系中画出图像即可． 【解答】解：由计算程序分析可得，， 化简绝对值得：， 在同一平面直角坐标系中，分别画出的图像，如图， 故选：A． 【点评】本题考查化简绝对值，画一次函数的图像，解题关键是能够从计算程序中读懂题意，再根据绝对值的性质，化简绝对值，正确画出对应图像． 【变式1】已知函数． (1)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (2)结合所画图象，分别求出在函数图象上满足下列条件的点的坐标： ①横坐标是； ②和轴的距离是2个单位长度． 【分析】（1）根据解析式先求出函数与轴、轴的交点，即可画出图象； （2）①将代入解析式进行计算求出的值即可；②由和轴的距离是2个单位长度得出或，分别代入计算，求出的值即可． 【解答】（1）解：在函数中， 当时，，则过， 当时，，解得：，则过， 画出该函数图象如图所示： ； （2）解：①当时，，横坐标是的点是； ②和轴的距离是2个单位长度，或， 当时，，解得：，此时点的坐标为， 当时，，解得：，此时点的坐标为， 综上所述，和轴的距离是2个单位长度的点的坐标为或． 【点评】本题考查了画一次函数的图象，一次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【变式2】（22-23八年级下·河北沧州·月考）已知函数． (1)填表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x … _____ … … ____ 4 … (2)在函数中，随着x的增大，y将______（填“增大”或“减小”）； (3)当时，求x的取值范围． 【分析】(1)根据函数的解析式，求函数值，自变量的值即可． (2)根据函数的性质，当时，y随x的增大而增大解答即可． (3)根据函数的性质，当时，y随x的增大而增大，求得函数值对应的自变量的值，解答即可． 【解答】（1）∵， ∴列表如下表； 画图如图；      （2）∵， ∴， ∴y随x的增大而增大， 故答案为：增大． （3））由表格可知，当时，． 当时，，， ∴当时，x的取值范围是． 【点评】本题考查一次函数图像的画法，性质和根据解析式计算，熟练掌握函数的性质和计算是解题关键． 一次函数图像象限的判断 【例3】（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）在同一坐标系中，直线（，为常数）与直线的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【分析】，时，一次函数图象经过第一、三象限，时，一次函数图象经过第二、四象限，时与y轴正半轴相交，时与y轴负半轴相交．据此分情况讨论解答即可． 【解答】解：当时，直线的图象过第一、三象限，直线的图象与轴交于正半轴，没有选项符合题意； 当时，直线的图象过第二、四象限，直线的图象与轴交于负半轴，选项B符合题意； 故选：B 【点评】本题考查一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握一次函数与函数图像关系 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的性质可依次作判断. 【解答】解：A、假设经过一，二，四象限，所以 经过一，三，四象限，所以符合题意； B、假设经过一，三，四象限，所以 经过一，三，四象限，所以两图像a，b不一致,不符合题意； C、假设经过一，二，三象限，所以 经过一，二，四象限，所以两图像不一致，不符合题意； D、假设经过一，三，四象限，所以 经过二，三，四象限，所以两图像a不一致，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数的图像性质，解决问题的关键是掌握一次函数的性质，根据的符号判断图像所经过的象限. 【变式2】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）一次函数与正比例函数（其中为常数，且）在同一坐标系中的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得a、的符号，进而可得的符号，从而判断正比例函数的图象是否正确，进而比较可得答案． 【解答】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，一致，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知，；即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数和正比例函数图象的判断，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 【变式3】（23-24八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，若直线经过第一、二、四象限，则直线不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】先根据直线经过第一、二、四象限，确定、；再分析直线中（正）和（负）的符号对图象的影响，判断其经过的象限，进而确定不经过的象限． 【解答】解：  根据一次函数的图象性质：当时，直线从左到右上升；当时，直线从左到右下降；当时，直线交y轴正半轴；当时，直线交y轴负半轴． 已知直线经过第一、二、四象限， ∴（直线下降），（交y轴正半轴）． 对于直线： ∵（直线上升），（交y轴负半轴）， ∴直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限．   故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的图象与性质（k、b的取值对函数图象所在象限的影响） ，解题的关键是根据已知直线经过的象限确定k、b的符号，再结合符号判断另一条直线经过的象限． 一次函数图像与参数k、b的符号 【例4】（24-25八年级下·河北沧州·月考）对于试题“直线与直线的交点在第三象限，求k的取值范围”，甲答：；乙答：．则下列说法正确的是（   ） A．甲的答案正确且完整 B．乙的答案正确且完整 C．甲乙答案合在一起才正确 D．甲乙答案合在一起也不正确，还有其他的取值 【分析】根据一次函数的性质即可求解． 【解答】解：对于直线，令，则， ∴直线经过点， 当时，直线与直线的交点一定在第三象限； 当时，直线经过一、三、四象限， 此时直线与直线的交点一定在第三象限； 当时，令，则，交点坐标为， ∵交点在第三象限， ∴，解得，即， 综上，当时，直线与直线的交点一定在第三象限； ∴甲乙答案合在一起也不正确，还有其他的取值， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的性质．分、和三种情况讨论 【变式1】（23-24八年级下·河北唐山·期中）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【分析】根据比例系数小于0时，一次函数的函数值y随x的增大而减小列出不等式求解即可． 【解答】解：一次函数中，函数值y随x的增大而减小， 解得： 因此，k的取值范围是， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的性质，解题关键在于掌握其性质． 【变式2】在一次函数中，的值随着值的增大而增大，则它的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据在一次函数中，y的值随着x值的增大而增大，可知，然后根据一次函数的性质，即可得到答案． 【解答】解：∵在一次函数中，y的值随着x值的增大而增大， ∴， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【变式3】（24-25八年级下·河北唐山·月考）一次函数的图像经过第一、二、三象限，则的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 【分析】根据，，时，函数图像经过第一、二、三象限，则有且，通过解该不等式即可求得的取值范围，然后写出的值即可． 【解答】解：一次函数的图像经过第一、二、三象限， 且， ． 观察选项中的数字，只有数字0符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数图像与系数的关系；熟练掌握一次函数中与的符号对函数图像的影响是解题的关键． 求一次函数的函数值 【例5】一次函数的图象经过点，则_____． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解答本题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征，把代入，即可求出的值． 【解答】解：把代入得， 故答案为：． 【变式1】铁的密度为，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：）之间的函数关系式为．当时，______g． 【分析】本题考查一次函数的应用，将自变量的值代入函数关系式求出对应函数值是解题的关键． 将代入求出对应m的值即可． 【解答】解：当时，． 故答案为：79． 【变式2】已知直线经过点和，其中，则的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征得到，由题意可知，解得，且，故k的值可能是1． 【解答】解：∵直线经过点和， ∴， ∵，∴， ∴或， 解得：， ∴且， ∴k的值可能是． 用待定系数法求一次函数 【例6】（24-25八年级下·河北廊坊·月考）关于的一次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（    ） A．图象经过第一、二、四象限 B．的值随的增大而增大 C．该函数的图象与轴的交点坐标为 D．该函数的图象可由一次函数的图象向上平移1个单位长度得到 【分析】根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【解答】解：将点代入，得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为， ， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，故结论A错误； ， ∴ y的值随着值的增大而增大，故结论B正确； 令，则， ∴一次函数图象与轴的交点坐标为，故结论C错误； ， ∴一次函数的图象不能由一次函数的图象平移得到，故结论D错误； 故选：B． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象（根据一次函数解析式判断其经过的象限，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一次函数图象平移问题）与性质（判断一次函数的增减性），求一次函数解析式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式1】一次函数（k、b为常数，且）的图象经过、、三点，则m的值为（   ） A．0 B． C．8 D．4 【分析】把、代入求出k，b的值，得出解析式，再把代入即可求解． 【解答】解：把、代入，得， 解得，∴， 代入，得 ， 故选A． 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式 【变式2】（24-25八年级下·河北衡水·月考）已知，当时， (1)求y关于x的函数解析式； (2)在平面直角坐标系中，该函数的图象不经过第______象限； (3)若点是该函数图象上的一点，求y的值． 【分析】（1）把已知的对应值代入中求出k，从而得到y与x的关系式； （2）根据一次函数的性质求解； （3）利用（1）中的解析式计算自变量为2所对应的函数值即可． 【解答】（1）解：把，代入得， 解得，， 即y关于x的函数解析式为； （2）解：，， 一次函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限； 故答案为：二； （3）解：当时， 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质． 一次函数与一次方程 【例7】如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【分析】根据两直线的交点的特点即可求解． 【解答】解：一次函数和的图象交于点， 点的横纵坐标是关于，的二元一次方程组的解， 即二元一次方程组的解为， 故选：C． 【点评】本题主要考查两条直线的交点与二元一次方程组的解的关系，理解图示，掌握两条直线的交点的特点是解题的关键． 【变式1】如图所示，已知点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法确定 【分析】根据一次函数的性质判断即可． 【解答】解：根据题意，当时，， ∴方程的解是． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合的数学思想是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·河北衡水·月考）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线，，①；②；③关于x，y的方程组的解为．关于①、②和③正确的有（      ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】依据题意，根据直线经过一、二、三象限，判断，；直线经过一、二、四象限，判断，，进而可以判断①②；依据题意，由一次函数与的图象的交点为，进而可以判断③． 本题考查了一次函数与二元一次方程组，解题的关键是根据图象确定一次函数中k和b的值． 【解答】解：由题意得，直线经过一、二、三象限，判断，；直线经过一、二、四象限，判断，， 又结合图象可得，，，，故①正确，②错误； 又一次函数与的图象的交点为， 方程组的解为，故③正确． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握数形结合的数学思想是解题的关键 一次函数与一元一次不等式 【例8】（25-26八年级上·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（a、b是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．不等式的解集是 C．当时， D．当时， 【分析】根据函数图象逐项判断即可求解． 【解答】解：A、由函数图象可知，当时，， 所以方程的解是，原选项说法错误，不合题意； B、由函数图象可知，当时，， 所以不等式的解集是，该选项说法正确，符合题意； C、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意； D、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程，看懂函数图象是解题的关键． 【变式1】如图，直线经过点和； 直线过点A，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【分析】找到直线在轴下方且在直线上方的部分对应的自变量的范围即可． 【解答】解：由图象可知：的解集为；故选A． 【点评】本题考查一次函数与不等式的关系，正确找到直线上方与下方自变量的自变量范围是关键. 【变式2】（23-24八年级下·河北邯郸·月考）若一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．当时， D．若，在函数图象上，则 【分析】根据一次函数的图象和一次函数的性质，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由图象可得， 一次函数图象过第一、二、四象限，则，故选项A错误，不符合题意； 令，则，故选项B错误，不符合题意； 当时， ，故选项C正确，符合题意； y随x的增大而减小，，则，故选项D错误，不符合题意；故选：C． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 一次函数实际应用 【例9】（2026·河北邯郸·一模）有甲、乙两个运输队共同承担了清理运输A、B两个建筑工地施工土方的任务，在规定时间内，甲、乙两个运输队分别可以清运土方20万立方米和30万立方米，当前A、B两个建筑工地需要清运的土方分别是40万立方米和10万立方米，经评估测算，甲、乙两个运输队在A、B两个工地清运土方的单价费用如下表： 单价 运输队 在A工地清运土方费用单价（元/立方米） 在B工地清运土方费用单价（元/立方米） 甲运输队 40 35 乙运输队 38 36 设甲运输队在A工地清运土方x万立方米，清运完成A、B两个工地的土方所需的总费用为y万元． (1)用含x的代数式完成下表（不必化简），并求y与x的函数关系式；（不写自变量x的取值范围） 清运土方 运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米） 甲运输队 乙运输队 (2)求总费用y的最大值； (3)在实际清运土方的过程中，甲运输队在A工地使用人工智能设备，使每立方米的清运费用减少a元，但仍高于甲运输队在B工地清运费用的单价，求如何分配甲、乙两个运输队的清运任务，使清理土方的总费用最小． 【分析】（1）根据A、B两个建筑工地需要清运的土方分别是40万立方米和10万立方米，甲运输队可以清运土方20万立方米即可填写表格，结合甲、乙两个运输队在A、B两个工地清运土方的单价费用即可求得y与x的函数关系式； （2）根据一次函数的性质即可求解； （3）由题意得， ，根据函数的增减性分类讨论即可求解． 【解答】（1）解：填表如下： 清运土方 运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米） 甲运输队 乙运输队 由题意，列函数关系式得， ∴． （2）解：由（1）可知，总费用， ∵， ∴当时，y的最大值为万元． （3）解：由题意可得，， ∴， ∴， ∴， 当时，，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值， 此时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米； 当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元； 当时，，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值， 此时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米； 综上所述，当时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米总费用最少； 当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元； 当时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米总费用最少． 【变式1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多元，用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同． (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种粽子共个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为元/个、元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用， （1）设甲粽子每个的进价为，则乙粽子每个的进价为元，根据用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同列分式方程解答； （2）①设购进甲粽子，则乙粽子个，利润为元，根据单个利润乘以数量求出函数解析式，由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，得到，求出的取值范围； ②根据一次函数的性质解答 【解答】（1）解：设甲粽子每个的进价为，则乙粽子每个的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲粽子每个的进价为元，则乙粽子每个的进价为元； （2）①设购进甲粽子，则乙粽子个，利润为元， 由题意得：， ∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍， ∴， 解得：， ∴(是正数）， ∴与的函数关系式为(是正数）； ②∵， 则随的增大而减小，即的最小整数为， 当时，最大，最大值， ∴个 ∴答：购进甲粽子个，乙粽子个才能获得最大利润，最大利润为元． 【变式2】（2026·河北石家庄·一模）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校． (1)求甲步行的速度和乙骑车的速度以及学校门口和操场的距离； (2)当乙追上甲时，求x的值； (3)求乙返回时行驶路程y与x的函数关系式（不必写出自变量的取值范围），并直接写出当乙到达学校门口时x的值． 【分析】（1）根据函数图象，用路程除以时间得出速度，两人的路程差即为学校门口和操场的距离； （2）分别求得甲和乙的函数关系式，根据题意列出方程，即可求解； （3）根据返回的速度相同，得出乙到达学校门口时x的值为，的值为，进而待定系数法求解析式，即可求解． 【解答】（1）解：根据函数图象可知，甲步行的速度为米每分钟， 乙骑车的速度为米每分钟， 学校门口和操场的距离为：米； （2）解：设甲的函数解析式为：，代入， ∴， ∴， ∴， 设乙的函数解析式为： 代入， ∴ 解得： ∴ 当时， 解得：； （3）解：∵乙骑车到达图书馆后停留5分钟，按照原速返回学校门口， ∴乙返回时的行驶距离为（米）， ∴乙到达学校门口时x的值为，的值为， 设乙返回时行驶路程y与x的函数关系式为，代入， ，解得： ∴，当乙到达学校门口时x的值为． 一次函数与正比例函数定义 易错归因： 忽略一次函数的核心条件，误将（常数函数）当作一次函数； 混淆一次函数与正比例函数的关系，忽略正比例函数是“的一次函数”； 判断时遗漏自变量x的次数为1、x不能在分母或根号下的要求。 一次函数图像的画法 易错归因： 用两点法画图时，求与x轴、y轴交点坐标计算错误； 绘制正比例函数时，未选取原点（0,0）作为关键点； 连线不规范，未标注交点坐标； 忽略自变量的取值范围，导致图像画错（如实际应用中x不能为负）。 一次函数图像象限的判断 易错归因： 混淆k、b符号对象限的影响，尤其是或时，误判经过的象限； 忽略正比例函数（）只经过两个象限的特点，误判为三个象限。 一次函数图像与参数k、b的符号 易错归因： k无法根据图像经过的象限反推k、b的符号； 混淆k的符号与图像增减性的关系，进而误判k的符号； 忽略b的符号对应图像与y轴交点的位置（正半轴、负半轴、原点）。 求一次函数的函数值 易错归因： 代入自变量x的值时，符号出错（尤其是负数、分数代入）； 代入后运算顺序混乱，先算加减后算乘除； 忽略自变量的取值范围，代入不符合条件的x值求函数值。 用待定系数法求一次函数 易错归因： 设解析式时遗漏的条件；代入点的坐标时，横纵坐标对应错误（x、y颠倒）； 解关于k、b的二元一次方程组时计算出错； 求出k、b后，未代入解析式验证正确性。 一次函数与一元一次方程及二元一次方程组 易错归因： 不理解“解方程”与“求一次函数与x轴交点横坐标”的关联； 根据图像求方程的解时，误读交点横坐标； 计算时，移项、系数化为1出错，尤其是k为负数时。 不理解：交点坐标 = 方程组的解。 读图不准，横纵坐标混淆。 联立解析式时变形、消元出错。 一次函数与一元一次不等式 易错归因： 混淆“”与“图像在x轴上方”的对应关系； 根据k的符号判断不等号方向时出错（时，解不等式需变号）； 结合图像求不等式解集时，误判x的取值范围（左右方向混淆）。 一次函数实际应用 易错归因： 无法从实际问题中提炼数量关系，难以建立一次函数模型； 设自变量、因变量时，对应关系颠倒； 忽略实际意义，自变量、函数值取负数； 未检验结果是否符合题目情境，导致答案不合理。 一次函数与正比例函数定义 速通技巧： 牢记核心判定标准——一次函数（k、b为常数，）， 正比例函数（，）； 判断时先看k是否不为0，再看x的次数为1，最后看x的位置（不在分母、根号下） 一次函数图像的画法 速通技巧： 优先用“两点法”，步骤固定——令求y（得y轴交点），令求x（得x轴交点），连接两点并标注； 正比例函数简化为“两点法”（0,0）和（1,k），快速画图；实际应用中先确定自变量取值范围，再画图。 一次函数图像象限的判断 速通技巧： 先看k的符号（决定增减性和经过的左右象限），再看b的符号（决定与y轴交点位置，进而确定上下象限）； 口诀辅助：k正右上增，k负右下减；b正交y轴正半轴，b负交负半轴，过原点。 一次函数图像与参数k、b的符号 速通技巧： 由图像判k、b： 图像从左到右上升→， 下降→； 与y轴交于正半轴→，负半轴→，原点→； 由k、b判图像：结合象限判断技巧，快速锁定经过的象限。 求一次函数的函数值 速通技巧： 核心是“代入计算”，步骤：先确认x的取值符合自变量范围，再将x的值代入解析式，遵循“先乘除后加减”的运算顺序； 负数、分数代入时，可先加括号，避免符号出错。 用待定系数法求一次函数 速通技巧： 四步走固定流程——设（，）→代（代入两点坐标或已知条件）→解（解二元一次方程组求k、b）→验（代入原条件验证，确保正确）； 正比例函数可简化为“设→代→解→验”（，只需一个点）。 一次函数与一元一次方程及二元一次方程组 速通技巧： 牢记两个核心关联——解方程，等价于求一次函数与x轴交点的横坐标； 解方程，等价于求时x的值； 结合图像解题更快捷，无需复杂计算，直接读取交点坐标。 两个一次函数图像的交点坐标 (x,y)⇔ 它们解析式组成的二元一次方程组的解 一次函数与一元一次不等式 速通技巧： 图像法优先，口诀：→找图像在x轴上方的部分，对应x的取值范围； →找图像在x轴下方的部分，对应x的取值范围； 时，注意不等号方向要反转，避免出错。 一次函数实际应用 速通技巧： 五步建模法——审（找已知量、未知量，提炼数量关系）→设（设自变量x，因变量y，列）→求（用待定系数法求k、b）→用（代入求解，解决问题）→验（检验结果符合实际意义）； 重点记忆行程、销售等常见场景的数量关系，快速建模。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $