专题03 概率全章16个题型（期中复习讲义）高二数学下学期湘教版

专题03 概率（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 条件概率的计算 题型02 条件概率的性质 题型03 相互独立事件与互斥事件的计算 题型04 独立事件的实际计算 题型05 全概率公式的应用 题型06 贝叶斯公式的应用 题型07 条件概率综合大题 题型08 离散型随机变量的分布列及其性质 题型09 离散型随机变量的均值 题型10 离散型随机变量的方差 题型11 两点分布 题型12 二项分布的均值与方差 题型13 二项分布最大概率问题 题型14 超几何分布的均值与方差 题型15 正态曲线的性质 题型16 正态曲线的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 条件概率 能准确复述条件概率的定义能熟练使用条件概率公式计算具体事件的概率 能在实际问题中识别条件概率场景区分条件概率与普通概率 以选择填空为主难度中等是概率大题的基础工具 常与独立事件乘法公式结合考查 易错点为忽略的前提或错算分子 事件的独立性 能判断两事件是否独立能利用独立事件概率公式计算乘积型概率 能区分独立与互斥避免概念混淆 高频考点选择填空大题均可能出现 是乘法公式的前提考查复杂分步事件的概率 易错点是把互斥当独立或误写 乘法公式 能熟练运用乘法公式计算分步事件的概率 能结合条件概率进行综合计算处理复杂分步概率 贯穿全章是概率大题的核心工具 期中多以解答题第一问出现考查基础计算能力 易错点为漏乘条件概率或步骤混乱导致计算错误 离散型随机变量及其分布 能识别离散型随机变量能根据实际问题写出分布列 能验证分布列的合法性能根据分布列求某一事件的概率 基础必考点选择填空大题均考 是后续所有随机变量问题的基础 易错点为忽略归一性或漏写概率为0的情况 几个常用的分布 能判断题目属于哪种分布类型能准确写出各类分布的概率公式 能计算分布列中的相关概率区分二项分布与超几何分布 期中绝对重点解答题必考 是概率大题的核心板块 易错点为二项分布参数识别错误或超几何中对应关系混淆 离散型随机变量的数学期望 能根据分布列计算数学期望能利用线性性质简化期望计算 能解决期望类应用题熟记常见分布的期望公式 高频考点大题必考 常与分布列结合是解答题第二问的主流题型 易错点为计算求和时出错或线性性质符号错误 离散型随机变量的方差 能根据分布列计算方差能利用方差公式化简计算 能解决方差最值类综合问题熟记常见分布的方差公式 中高频考点多与期望结合考查 偶尔单独出小题 易错点为公式记忆混淆（如与关系）或计算平方项出错 正态分布 能认识正态曲线的形态能理解μ与σ的意义 能熟记3σ原则的概率值能解决简单的正态分布概率计算 期中考查多为选择填空 难度偏低考查基础概念与数值记忆 易错点为σ的含义理解偏差或3σ概率数值记忆错误 知识点01 条件概率 核心概念 条件概率是在事件A已经发生的前提下，事件B发生的概率，反映了“先后关联”的概率关系，其本质是样本空间的缩小（以A为新样本空间） 核心公式 适用前提：（事件A必须有发生的可能性） 解题技巧 1定义法：直接套用公式，先求联合概率，再求条件概率，二者作比 2缩小样本空间法：将原样本空间限定为A，直接分析A中包含的基本事件数，计算B在A中的占比（适用于古典概型） 易错点解析 1混淆与：是“以A为前提的B的概率”，是“A和B同时发生的概率”，二者数值和意义均不同 2忽略前提：若，条件概率无意义，题目中若出现需先验证A的概率是否为正 3公式分子分母颠倒：误写为，核心是“联合概率除以条件事件概率” 知识点02 事件的独立性 核心概念 若事件A发生与否不影响事件B发生的概率，即，则称事件A与B相互独立；独立事件可推广至n个事件，核心是“互不干扰” 核心公式 1两事件独立：（等价定义，最常用） 2 n个事件独立： 解题技巧 1独立判断：优先用等价定义验证，避免凭直觉判断（如“先后抛掷硬币”是独立事件，“不放回摸球”是互斥但非独立事件） 2独立事件概率计算：将复杂事件拆分为多个独立子事件，分别求概率再相乘（如“先后两次独立试验”的概率） 易错点解析 1混淆独立与互斥：互斥是“A、B不能同时发生”（），独立是“A、B发生互不影响”，二者无必然联系；互斥的两事件一定不独立（除概率为0或1的事件外） 2误写独立事件概率公式：将误写为，正确应为乘积形式 3忽略n个事件独立的条件：n个事件独立需满足“任意k个事件的联合概率等于各事件概率乘积”（），仅满足部分条件时不能判定为整体独立 知识点03 概率乘法公式 核心概念 乘法公式是条件概率的变形公式，用于计算“先后发生、相互关联”的事件的联合概率，是连接条件概率与联合概率的桥梁 核心公式 1两事件乘法公式： 2推广到n个事件： 解题技巧 1分步概率计算：遇到“先后发生”的概率问题，按事件发生顺序拆分，依次求各步条件概率，再相乘得到总概率 2结合独立事件：若某步事件与前序事件独立，则条件概率等于该事件本身的概率（如），简化计算 易错点解析 1漏乘条件概率：直接用，忽略A、B不独立的情况，未乘或 2条件事件顺序混淆：误写时，混淆“由果索因”的逻辑，需结合题目事件发生顺序确定条件事件 3推广公式中漏写中间条件：n个事件相乘时，漏乘某一中间条件概率，如漏写 知识点04 全概率公式 核心概念 全概率公式是“化整为零”的概率思想，将复杂事件B拆分为若干个互斥且完备的子事件，分别求各子事件下B的概率，再求和得到总概率；核心是“样本空间的划分” 核心公式 前提条件：是样本空间的一个划分（即两两互斥，且） 解题技巧 1样本空间划分：明确复杂事件B的“原因”或“前提”，将样本空间拆分为有限个互斥子事件（如“不同批次产品”“不同天气情况”） 2分步计算：先求每个子事件的概率，再求在发生下B的条件概率，最后代入公式求和 易错点解析 1样本空间划分不完整：遗漏某一互斥子事件，或子事件不互斥（导致重复计算），最终概率和大于1 2混淆划分事件与目标事件：将目标事件B当作划分事件，或误将非完备事件组作为划分依据 3忽略子事件概率的计算：直接用求和，未乘，违背全概率公式核心逻辑 知识点05 贝叶斯公式 核心概念 贝叶斯公式是“由果索因”的逆向概率公式，在已知结果B发生的前提下，反推导致结果发生的原因的概率，核心是“逆向推理”的概率思想 核心公式 关联公式：分母为全概率公式计算的，分子为全概率公式中对应项 解题技巧 1逆向概率求解：题目出现“结果已知，求原因概率”时，直接套用贝叶斯公式 2分步结合：先通过全概率公式计算分母，再计算分子，最后作比得到结果 易错点解析 1分子分母混淆：误将分子写为，分母写为，核心是“分子是单个原因的联合概率，分母是总结果概率” 2忽略贝叶斯公式的适用场景：盲目套用，未识别题目是“由果索因”的逆向概率问题 3全概率计算错误：分母计算错误，导致最终结果出错，需先准确计算全概率 知识点06 离散型随机变量 核心概念 离散型随机变量是取值可以一一列举的随机变量（有限个或可列无限个），其取值对应随机试验的不同结果，是连接随机事件与概率的桥梁 核心性质 1取值非负：（所有概率都大于等于0） 2归一性：（所有取值的概率之和为1，保证样本空间完备） 解题技巧 1随机变量赋值：根据实际问题，将试验结果转化为数值（如“正面记1，反面记0”），明确X的所有可能取值 2概率验证：求出分布列后，验证概率之和是否为1，取值概率是否非负，避免计算错误 易错点解析 1混淆离散型与连续型随机变量：连续型随机变量取值不可一一列举，不能用分布列描述，需用密度函数 2忽略归一性：计算分布列时，概率和不为1，未调整概率值 3漏写概率为0的取值：部分取值概率为0时，仍需在分布列中列出，保证完整性 知识点07 离散型随机变量的分布列 核心概念 分布列是离散型随机变量所有取值及其对应概率的对应关系表，完整刻画了离散型随机变量的概率分布规律，是求解随机变量相关问题的基础 核心表示形式 1表格形式： 2公式形式：（），满足， 解题技巧 1分布列求解步骤：①确定X的所有可能取值；②计算每个取值对应的概率；③按格式写出分布列 2结合常见分布：若题目符合二项分布、超几何分布等常见类型，直接套用对应概率公式，无需逐一计算 易错点解析 1取值对应概率错误：混淆随机变量取值与事件概率，如将“试验结果”直接当作概率 2分布列格式不规范：漏写概率项，或未按顺序排列取值 3忽略分布列合法性：未验证，导致分布列无效 知识点08 两点分布（0-1分布） 核心概念 两点分布是最简单的离散型分布，随机变量X只有两个可能取值（通常记为0和1），对应随机试验只有两个对立结果（如“成功/失败”“正面/反面”） 核心公式 1分布列： 0 1 2概率公式：，（） 解题技巧 1分布识别：题目出现“单次试验，只有两种结果”，直接判定为两点分布 2期望方差计算：直接套用公式，无需复杂计算 易错点解析 1取值对应错误：误将1对应，0对应，需明确“成功”对应的取值 2忽略参数范围：的取值范围为，若或，试验结果确定，不再是随机事件 3与二项分布混淆：两点分布是单次试验的分布，二项分布是n次独立重复试验的分布，二者本质不同 知识点09 超几何分布 核心概念 超几何分布描述不放回抽样中，某类特征的个体出现的次数，核心是“有限总体、不放回、计数成功次数” 核心公式 若随机变量X表示从N个个体（其中M个具有某特征）中抽取n个个体，抽到具有该特征的个体数，则 取值范围：的取值为 解题技巧 1分布识别：明确题目是“不放回抽样”，确定总体数N、成功数M、抽样数n，直接套用公式 2概率计算：先计算组合数，再代入公式求概率，注意组合数的计算准确性 易错点解析 1混淆放回与不放回：放回抽样对应二项分布，不放回抽样对应超几何分布，二者公式完全不同 2参数对应错误：误将N、M、n的数值对应错误，核心是“N=总体数，M=总体中成功数，n=抽样数” 3忽略取值范围：超出取值范围时，概率为0，无需计算 知识点10 二项分布 核心概念 二项分布描述n次独立重复试验中，成功事件发生的次数，核心是“独立、重复、计数成功次数”，是伯努利试验的推广 核心公式 若随机变量（n次独立重复试验，每次成功概率p），则 取值范围： 解题技巧 1分布识别：题目出现“n次独立重复试验”“每次试验成功概率相同”，直接判定为二项分布 2期望方差计算：直接套用公式，，快速求解 易错点解析 1混淆独立与不独立：试验不独立时，不能用二项分布，需用其他分布（如超几何分布） 2参数识别错误：是试验次数，是单次试验成功概率，二者对应关系错误会导致公式误用 3组合数计算错误：是n次试验中选k次成功的组合数，计算时易出现阶乘运算错误 知识点11 离散型随机变量的数学期望 核心概念 数学期望（期望）是离散型随机变量所有取值的加权平均值，反映了随机变量的“平均水平”，是描述随机变量中心趋势的核心指标 核心公式 1定义公式： 2线性性质：（为常数） 3常见分布期望： 两点分布： 二项分布： 超几何分布： 解题技巧 1直接计算：根据分布列，代入定义公式求和，注意计算准确性 2线性性质简化：遇到线性变换的随机变量（如），直接用线性性质，无需重新计算 3套用常见分布公式：识别分布类型后，直接用对应期望公式，避免复杂求和 易错点解析 1计算求和错误：定义公式中，的求和易漏项或算错数值，需逐项核对 2线性性质符号错误：误写，或的符号处理错误 3混淆期望与概率：将期望当作某一取值的概率，二者意义和数值均不同 知识点12 离散型随机变量的方差 核心概念 方差是离散型随机变量取值与期望的偏离程度的平均值，反映了随机变量的“波动程度”，标准差是方差的算术平方根，二者均描述随机变量的离散程度 核心公式 1定义公式： 2简化公式：（常用，简化计算） 3线性性质：（为常数，注意的平方） 4常见分布方差： 两点分布： 二项分布： 超几何分布： 解题技巧 1简化公式计算：优先用，避免计算的复杂求和 2线性性质应用：线性变换的随机变量，方差仅与有关，与无关，需平方 3结合期望计算：先求期望，再求，代入简化公式 题型一 条件概率的计算 解｜题｜技｜巧 1采用定义法套用公式 2运用缩小样本空间法计算 3古典概型优先使用事件个数比值计算 4计算前确认条件事件概率不为0 【典例1】（25-26高三下·北京·月考）投掷红、蓝两个骰子，设：蓝色骰子的点数为1或2，：两骰子的点数之和小于5，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·辽宁盘锦·一模）袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·湖南长沙·月考）有40人报名100米赛跑，50人报名200米赛跑，60人报名100米或200米赛跑，若已知某人报100米赛跑，则其报200米赛跑的概率为________. 【变式3】（25-26高二下·北京·月考）已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（    ） A．22.5% B．30% C．40% D．45% 题型二 条件概率的性质 答｜题｜模｜板 1利用对立事件性质简化运算 2互斥事件满足可加性 3所有条件概率取值均在0到1之间 4复杂条件概率问题优先转化为对立事件求解 【典例1】【多选题】（2026·江西赣州·一模）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·山东临沂·一模）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】【多选题】（25-26高三上·湖北武汉·月考）设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（   ） A．事件A，B相互独立 B．若，则 C． D．若，则必有 【变式3】（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型三 相互独立事件与互斥事件的计算 答｜题｜模｜板 1互斥事件满足适用加法公式 2独立事件满足适用乘法公式 3不可凭直观判断独立需用公式验证 4区分互斥与独立避免概念混淆 【典例1】【多选题】（24-25高一下·贵州遵义·期末）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 【变式1】【多选题】（23-24高二下·安徽合肥·期末）设A，B是两个随机事件，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若A，B为互斥事件，且，则 D．若A，B相互独立，且，则 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知事件A，B满足，则下列结论正确的是（   ） A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则 C．A与B相互对立 D．若，则 【变式3】（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知是三个随机事件，下列说法中正确的有（    ） A．若，则相互独立 B．若相互独立，，则相互独立 C．“两两独立”是“”的既不充分也不必要条件 D．若相互独立，相互独立，互斥，，则事件中至少有一个发生的概率为 题型四 独立事件的实际计算 答｜题｜模｜板 1将复杂事件拆分为多个独立简单事件 2至少一个发生转化为 3有放回抽样视为独立无放回不独立 4多步独立事件直接使用分步乘法计算 【典例1】（25-26高二上·湖北襄阳·期中）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、深度学习、图象处理与计算机视觉、无线通信、信号处理、人工智能机器人等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为. (1)求和的值； (2)若两题都答对者可被评为“优秀”，求甲、乙至少有一人被评为“优秀”的概率. 【变式1】（24-25高一下·福建龙岩·期末）甲乙两位同学参加数学知识挑战赛，比赛共设置两道不同的题目，甲乙两人需要在规定时间内独自对这两道不同的题目进行解答，每道题只有一次解答机会．已知甲答对每道题的概率都为，乙答对每道题的概率都为，每次是否答对互不影响．设“甲只答对一道题”，“甲答对两道题”，“乙只答对一道题”，“乙答对两道题”. (1)若，求甲乙两人至少有一人全部答对的概率； (2)若，求甲乙两人一共答对三道题的概率的最小值． 【变式2】（24-25高一下·江苏无锡·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 【变式3】（2024·上海徐汇·一模）某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 题型五 全概率公式的应用 答｜题｜模｜板 1先对样本空间进行互斥且完备的划分 2代入公式 3适用于多种原因导致同一结果的概率问题 4按定划分求求求和的步骤解题 【典例1】（25-26高二下·上海松江·月考）某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·天津河东·一模）某地区有A、B两个城区，人口比例为，由于人口密度不同，A、B两地的流感感染率分别为、.若随机选取A地区的3名市民进行该流感检测，至少1人感染的概率为________；若该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为__________. 【变式2】【多选题】（2026·重庆万州·模拟预测）年月日上午9时，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”上线运行，是目前中国最先进的可编程、可交付超导量子计算机，该量子计算机搭载位自主超导量子芯片“悟空芯”寓意如孙悟空般“变”．在研发过程中，某科研所承担了一项关键项目包含5个任务（其中3个涉及工作量子比特任务，2个涉及耦合器量子比特任务），该所的一个团队需不放回地依次随机抽取2个任务进行攻坚，设事件A为“第1次抽到涉及工作量子比特任务”，事件B为“第2次抽到涉及耦合器量子比特任务”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·贵州黔西南·月考）三个罐子分别编号为1，2，3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率_______. 题型六 贝叶斯公式的应用 答｜题｜模｜板 1识别由果索因的逆向概率场景 2先通过全概率计算分母 3公式为 4牢记分子为单项分母为全部原因概率和 【典例1】（25-26高二下·贵州黔西南·月考）甲、乙、丙三种不同型号的机器生产同一种产品，已知它们的产量分别占总产量的0.2，0.3，0.5，各机器所生产的产品的优良率分别为0.85，0.9，0.95，现从所有产品中任取一件. (1)求取到优良产品的概率; (2)求取到的优良产品由甲机器生产的概率. 【变式1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某智能手环可通过监测心率对佩戴者进行“心律失常”疾病的早期预警．据临床数据，其用户群体中该疾病的患病率约为0.5%，手环单次分析会给出“预警”或“无预警”结果，其性能如下： 对于确实患病的用户，单次分析触发预警的概率为99%（灵敏度）； 对于未患病的用户，单次分析误触发预警的概率为5%（误报率）． 现从用户群体中随机抽取一人，进行单次分析． (1)求此次分析触发预警的概率； (2)记事件为“此次分析触发预警”，事件为“该用户确实患病”． （i）求； （ii）结合（1）和（2）（i）的结果，说明与在医学预警中的不同含义，并分析：若手环触发预警，哪个概率对用户决定是否就医的参考价值更大？为什么？ 【变式2】（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 【变式3】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. (1)求这个人是阳性患者的概率； (2)若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率. 题型七 条件概率综合大题 答｜题｜模｜板 1先明确事件间的独立互斥或条件关系 2按条件概率乘法公式全概率贝叶斯顺序解题 3规范设定事件符号分步列式不跳步 4注意条件顺序避免混淆防止计算失误 【典例1】（2026·广东·模拟预测）某足球队的5人围成一圈进行单球传球训练，甲与乙相邻，每阶段第1次都由甲将球传出，第一阶段进行短传练习，每次传球时传球者等可能地将球传给相邻的人；第二阶段进行长传练习，每次传球时传球者等可能地将球传给不相邻的人，规定球传回到甲或传到乙时结束长传练习．记“第一阶段经过次传球后球在甲脚下”，“第二阶段结束时共进行了次传球”，“第二阶段结束时球在甲脚下”． (1)求，及； (2)求及． 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； 【变式2】（2026·福建福州·模拟预测）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种. 记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 【变式3】（2026·山东聊城·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入A袋或B袋中．一次游戏中小球落入A袋记1分，落入B袋记2分，游戏可以重复进行．游戏过程中累计得n（）分的概率为． (1)求； (2)写出与 之间的递推关系，并求出的通项公式． 题型八 离散型随机变量的分布列及其性质 答｜题｜模｜板 1按确定随机变量取值计算对应概率列出分布列验证性质步骤完成 2满足概率非负且所有概率和为1 3利用概率和为1检验计算结果 4已知部分概率可通过归一性求解未知概率 【典例1】（2026·山东东营·一模）甲、乙、丙三人每人制作两张卡片，将卡片放在同一个盒子中，每人不放回地随机抽取两张，设至少取回一张自己的卡片的人数为X，则_______. 【变式1】（24-25高二下·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【变式2】【多选题】（23-24高二下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知离散型随机变量X的分布列为 X 2 4 6 8 P a 则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，其中为常数，则（    ） A． B． C． D． 题型九 离散型随机变量的均值 答｜题｜模｜板 1用定义进行计算 2优先使用线性性质 3先求出分布列再计算对应均值 4均值反映随机变量的平均水平用于实际决策 【典例1】（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（    ） X 1 2 3 P n m A． B． C． D． 【变式1】现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是，设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为，对乙项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润. (1)求、的概率分布和数学期望、； (2)当时，求的取值范围. 【变式2】（23-24高二下·广西南宁·月考）某（应用软件）举行推广活动，新用户注册前7天内，每天登录可获得1元红包，前7天连续登录的新用户，还可进入抽奖活动页面领取红包，每位用户随机点击4个红包中的1个领取（领取前不知道红包金额），领取后看1分钟广告，可再次从剩余3个红包中领取1个，4个红包的金额分别为元、元、元、元. (1)若前7天连续登录且抽奖活动页面看1分钟广告的新用户获得的所有红包金额之和（单位：元）的期望值为70元，求的值； (2)该推广活动进行一个月后，对新用户登录方案进行了调整，调整为：新用户注册前7天内，连续登录第天，当天可获得元红包，中间中断再登录重新计算连续天数，若新注册用户甲前4天已经连续登录该，后3天每天登录的概率均为，求该用户前7天内通过登录获得红包金额之和（单位：元）的分布列. 【变式3】（2024·湖北·一模）如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为．      (1)当时，求后质点移动到点0的位置的概率； (2)记后质点的位置对应的数为，若随机变量的期望，求的取值范围． 题型十 离散型随机变量的方差 答｜题｜模｜板 1优先使用简化公式 2线性性质为系数需平方 3标准差为方差的算术平方根反映数据波动 4计算顺序为先求期望再求最后算方差 【典例1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P m n 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 【变式1】（25-26高三上·山东·月考）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.    (1)求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； (2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差. 【变式2】（24-25高二下·河北承德·期中）甲、乙两同学进行答题比赛，比赛规则如下：每位选手从4道备选题中，随机选取2道题独立作答.已知甲同学这4道题中只会3道题，乙同学每题正确完成的概率都是.记随机变量和分别是甲、乙答对的题数. (1)求“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率； (2)若，求随机变量的分布列、数学期望、方差. 【变式3】（24-25高二下·甘肃平凉·期中）为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动．这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名． (1)求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率； (2)设表示选出的3人中外科医生的人数，求的分布列，均值，方差． 题型十一 两点分布 答｜题｜模｜板 1识别试验仅有两种对立结果 2分布列满足 3均值为方差为 4是二项分布在试验次数为1时的特殊情况 【典例1】（25-26高二上·江西宜春·期末）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.1 【变式1】（25-26高三上·山西大同·月考）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·全国·单元测试）若随机变量服从两点分布，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 题型十二 二项分布的均值与方差 答｜题｜模｜板 1识别次独立重复试验满足 2均值公式方差公式 3无需列出分布列直接套用公式计算 4区分放回与不放回抽样避免误用分布 【典例1】（25-26高三下·湖南·月考）2026年2月，雅礼中学举办了“情系雅礼蓝”的活动，来自全国高校的雅礼校友回到母校开展线下宣讲，介绍各自大学的专业、录取政策、校园生活等.宣讲活动按时间顺序分为四场，每场均安排了10所不同的大学，各场的大学均不相同. (1)若甲、乙、丙三名同学均打算从第二场的10所大学中选择一所来了解，已知甲、乙所选的大学不同，则丙与甲、乙的选择均不同的概率是多少? (2)若甲、乙、丙三名同学均打算从四场宣讲中选择两场参加，设共有个人参加了第一场宣讲活动，求的分布列和数学期望. 【变式1】（2026·辽宁抚顺·一模）某科技兴趣小组研发了一种AI模型，用于图象识别任务．为了测试该模型的性能，对其进行了若干次试验，在每次试验中识别相同数目的图象，并记录该模型正确识别图象的数量，得到如图所示的样本数据频率分布直方图． (1)求的值，并估计该模型在一次试验中正确识别图象数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)以频率估计概率，在相同的条件下，随机对该模型进行4次试验，用表示这4次试验中正确识别图象不少于50个的次数，求的分布列和数学期望． 【变式2】（25-26高二下·天津·月考）随机变量，则等于（    ） A．16 B．8 C．5 D．4 【变式3】（2026·湖北荆州·一模）某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B两类关卡，A，B两类关卡每一次闯关成功的概率分别为.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B中的一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类推.规定A类关卡闯关成功一次得20分，B类关卡闯关成功一次得10分，闯关失败均得0分.每名活动参与者有3次闯关机会. (1)已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A类关卡的概率； (2)若一名活动参与者闯关总得分不低于40分则获得现金奖励1000元，低于40分则根据分数奖励其他实物小礼品.若活动参与者有1000人，求商场支出的现金奖励总金额的期望. 题型十三 二项分布最大概率问题 答｜题｜模｜板 1列出相邻两项概率比值 2通过解不等式判断概率单调性 3找到使比值大于等于1且后续小于1的 4注意取值范围为0到n的整数 【典例1】（25-26高二下·湖南长沙·月考）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】（2026·湖南·一模）二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 【变式2】（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同.某人做摸球答题游戏.规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐.此人答对每一道题目的概率均为 当甲罐内无球时，游戏停止.假设开始时乙罐无球. (1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率； (2)设第 次答题后游戏停止的概率为 问：是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由. 【变式3】（25-26高三上·山西太原·期末）随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立. (1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率； (2)在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？ 题型十四 超几何分布的均值与方差 答｜题｜模｜板 1识别不放回抽样模型对应超几何分布 2均值公式 3计算时明确总体容量N次品数M抽取数n 4与二项分布区分不放回不用二项分布公式 【典例1】（25-26高二下·江苏南通·月考）已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·广东东莞·模拟预测）一个袋子中有个大小相同的球，其中有4个红球、8个绿球，分别采用有放回和不放回的方式从中随机抽取3个球，设采用有放回方式抽取时抽到红球的个数为，采用不放回方式抽取时抽到红球的个数为. (1)求的概率; (2)求Y的分布列与数学期望. 【变式2】（2026·重庆·一模）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 【变式3】【多选题】（25-26高二上·江西上饶·期末）一个袋子中有5个完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从中随机地摸出3个球作为样本.用X表示样本中球的编号为偶数的个数，用Y表示样本中球的最大编号，则（   ） A．若采取有放回摸球， B．若采取不放回摸球，则 C．若采取有放回摸球，则 D．若采取不放回摸球，则 题型十五 正态曲线的性质 答｜题｜模｜板 1曲线关于直线对称 2决定对称轴位置决定曲线陡峭程度 3曲线与x轴围成面积为1 4越小曲线越陡峭数据越集中 【典例1】【多选题】（2026·广东广州·一模）某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·吉林·三模）已知随机变量，若，则______. 【变式2】【多选题】（2026·广东汕头·一模）某同学上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.则（    ） A． B． C．若某天只有34min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择坐公交车 D．若某天只有38min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择骑自行车 【变式3】【多选题】（25-26高二下·河南驻马店·月考）某校开展寒假社会实践活动．据统计高二1班学生的实践时间（单位：小时）与2班学生的实践时间（单位：小时）均服从正态分布，且，，则（   ） A． B． C． D． 题型十六 正态曲线的实际应用 答｜题｜模｜板 1利用对称性转化区间概率 2牢记3σ原则对应概率数值 3将实际问题转化为正态分布区间概率 4结合对称性质简化区间计算 【典例1】（2026·河南许昌·模拟预测）某企业对员工进行技能测试，测试成绩（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）为优秀. (1)若该企业共有30000名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80分以上（含80分）的员工人数（结果四舍五入保留到整数）； (2)从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3人，设3人中测试成绩优秀的人数为，求的分布列和期望. 附：若随机变量，则，，. 【变式1】（2026·上海奉贤·二模）某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布，记作．规定：这种零食的质量在62.8~69.4g之间的为合格品；则这种零食的合格率为________．（结果精确到0.001）； 参考数据：若，则，，． 【变式2】（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）某新能源汽车企业为了检验一款新车型的续航能力，随机抽取了辆该车型，在相同条件下进行续航测试，得到续航里程（单位：）的频率分布表如下： 续航里程区间 频率 (1)求这辆该车型续航里程的平均数和方差（同一区间的数据用该区间的中点值作代表）； (2)由频率分布表可认为，该车型的续航里程服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． （i）求； （ii）某用户购买了该车型，求其续航里程不低于的概率． 参考数据：，若，则，． 【变式3】（25-26高三上·山东滨州·期末）某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是（），各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性． 附：若，则，． (1)求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差； (2)若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性有何变化？ 期中基础通关练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．(25-26高二下·山东临沂第二十四中学·)对于事件,,,,则 (    ) A．0.4 B．0.08 C．0.6 D．0.48 2．(25-26高二下·湖南长沙周南中学·)设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高二下·江苏南通天星湖中学·月考)若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 4．对于随机事件A，B，若，，，则（   ） A． B． C． D． 5．(25-26高二上·江西九江第一中学·期末)下列关于随机事件的概率说法正确的是（   ） A．若，则事件发生，事件一定发生 B．对于古典概型，若，则事件与互斥 C．若，则事件与独立 D．若，则事件与独立 三、填空题 6．两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______． 7．(25-26高一·河南驻马店·期末)已知事件，发生的概率分别为，，若与相互独立，则______. 8．(25-26高二·宁夏银川第二中学·月考)某批产品来自 A、B两条生产线，A生产线占60%，次品率为4%；B生产线占40%，次品率为5%.现随机抽取一件进行检测，抽到的是次品的概率是________. 9．(25-26高二·上海大学北附属中学·期末)某批产品来自两条生产线，生产线占，次品率为；生产线占，次品率为． 现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是______________． 10．若离散型随机变量的分布列为 0 1 2 则________，________． 四、解答题 11．(25-26高二·湖北天门·)某旅游景区停车场的收费标准为：1小时以内（含）不收费，1小时2小时（含）按5元收费．超出2小时的部分按每小时6元收费（不足1小时的按1小时计算）．现有甲、乙两人临时停车，两人停车都不超过4小时． (1)若甲停车不超过1小时的概率为，超过2小时的概率为，求甲停车1小时以上且不超过2小时的概率； (2)若甲乙两人停车的时长是相互独立的，且每个人停车费为0元、5元、11元的概率分别为，求甲、乙两人停车费之和为22元的概率． 12．(25-26高三下·海南部分学校·调研)竹竿舞又称“跳竹竿”，是人在两竹竿滑动相撞的空隙中跳动的一种娱乐活动.2005年，黎族的竹竿舞被确定为海南省非物质文化遗产，2006年，竹竿舞入选“国家级非物质文化遗产保护名录”，甲､乙两名游客组队参加了海南某文化旅游区举办的竹竿舞闯关活动，该活动总共分为三关：第一､二关均为单人独舞（第一关和第二关闯关的人不相同），第三关为两人共舞.已知甲､乙闯过第一关的概率分别为，闯过第二关的概率分别为，这支队伍闯过第三关的概率为0.5.活动规定：只有闯过前一关，才有资格闯关后一关. (1)请以这支队伍闯过前两关的概率为依据，为甲､乙安排第一关和第二关的闯关顺序，并求此时这支队伍闯过前两关的概率； (2)以在（1）中安排的闯关顺序为准，记这支队伍闯过的关数为，求的分布列与期望. 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．(25-26高三下·陕西西安西北工业大学附属中学·)当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(25-26高二下·吉林四平实验中学·月考)若随机事件A，B满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则相互独立 B．若，，，则相互独立 C．若，则相互独立 D．若相互独立，则 3．已知随机事件A，B，C满足，，，，则下列说法正确的是（   ） A．事件A，B相互独立 B． C．若，则 D．若，则 4．(25-26高三·广东深圳罗湖区·期末)某商场举行抽奖活动，规则如下：参与者从甲、乙两个箱子中随机选择一个，然后从该箱中有放回地抽取小球两次，每次抽取1个球，已知甲箱中有4个红球和2个白球，乙箱中有3个红球和3个白球，每次抽到红球记1分，抽到白球记0分，设事件“参与者选择甲箱”，事件“两次抽球总得分为2分”，则（   ） A． B． C．与相互独立 D． 三、填空题 5．(25-26高三上·江西景德镇一中·期末)已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且红球在1，2，3号箱中分别占，，.从3个箱中随机选一个箱子，再从中随机取出一个球，若1，2，3号箱子被选中的概率为，，，问在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为______. 四、解答题 6．马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，求 (1)的值； (2)求的式子. 7．某商场进行消费抽奖活动，抽奖分成两轮，第一轮游戏消费者投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，进入第二轮游戏，否则游戏结束，消费者获得三等奖，奖金10元；第二轮游戏消费者在装有2个白球和个红球的抽奖箱中任意抽取两个球，若抽取的两个球均为白球，则获得一等奖，奖金30元，若抽取的球为一个红球一个白球，则获得二等奖，奖金20元，若抽取的球均为红球，则获得三等奖，奖金10元，抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同． (1)若，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率； (2)记顾客一次抽奖所获得的奖金为，若商场希望的数学期望小于12元，求的最小值． 8．第33届夏季奥林匹克运动会于2024年月日至月日在法国巴黎举行．为举行这场体育盛会，某社区决定举办一次奥林匹克运动会知识竞赛，要求每组参赛队伍由两人组成，竞赛分为预赛和决赛，其中预赛规则如下： ①每组队伍先从两类问题中选择一类，并由两位选手从各随机抽取一个问题回答，答错的选手本轮竞赛结束；答对的选手再从另一类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，该选手本轮竞赛结束； ②若在本轮竞赛中每组队伍的两名选手合计答对问题的个数不少于3个，则可进入决赛． 市民甲与乙组成“梦幻”队参加了这次竞赛，已知甲答对A类中每个问题的概率均为0.7，答对B类中每个问题的概率均为0.5，乙答对A类中每个问题的概率均为0.4，答对B类中每个问题的概率均为0.8． (1)若“梦幻”队先回答A类问题，记X为“梦幻”队答对问题的个数，求X的分布列； (2)为使“梦幻”队进入决赛的概率最大，“梦幻”队应选择先回答哪类问题？并说明理由． 9．某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 10．某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “春节联欢晚会” 的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件 “喜欢春节联欢晚会”， “学生为女生”，据统计有：. (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为. 求的概率分布列和期望; (2)将样本的频率视为概率. 现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 11．(25-26高二·江西南昌中学三经路校区·期末)DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张答对的题数为，求的分布列，并求出的期望和方差． 12．某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为X，求X的分布列； (3)由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且.从该市所有参赛学生中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6分的概率. ［参考数据：；若，则， ，］ 期中综合拓展练（测试时间30分钟） 一、多选题 1．(25-26高三下·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·开学考)小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且，事件:吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子，事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 2．为测试一种新研发药物的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 5 45 50 未使用药物 25 25 50 合计 30 70 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的权值，在发生的条件下的权值，则（） A．的估值为，的估值为 B．的估值为，的估值为 C．可化为 D．可化为 3．小明和小红进行某项比赛（比赛结果没有平局），小明每局获胜的概率均为，每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记小明和小红两人积分之差的绝对值为，当时，比赛结束且总积分多者获胜.下列说法正确的是（    ） A．若，则比赛结束时总局数可能是5 B．若，，则恰好4局结束比赛且小明获胜的概率为 C．若，，则在不超过5局比赛结束的条件下，小明以4:1获胜的概率为 D．若，，比赛进行一段时间后，则继续比赛小明最终获胜的概率为 4．(25-26高三下·湖北天门中学等校·)在某次联考中，全体物理方向高三学生数学成绩，此次联考物理方向数学一本线为80分，清北线为140分．已知：若，则，则下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则服从标准正态分布 B． C．从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为 D．从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为 二、填空题 5．已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________. 6．一个正十二面体，十二个面分别标以数字1到12，任意抛掷一次这个正十二面体，观察它与地面接触的面上的数字．事件，事件，若事件满足，则满足条件的事件的个数为__________． 三、解答题 7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下： 若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分； 若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． (1)求甲获得3分的概率； (2)若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为． ①求的表达式，并比较和的大小关系； ②求在上的最大值及取得最大值时的值． 8．(25-26高三下·河南周口天立高级中学等学校·)一种加密传输信号发出信号“11”的概率为，发出信号“2”“3”“4”三个信号的概率均为．某次传输信号过程中，传输器一共发出了次信号，信号接收人员按照传输先后顺序依次记录得到信号序列．例如，当时，“1123”为一个发出的信号序列，共有四个数字． (1)若，记信号序列中数字2的个数为，求的数学期望和方差； (2)若，记信号序列中第个数为的概率为，求： （i）； （ii）． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 条件概率的计算 题型02 条件概率的性质 题型03 相互独立事件与互斥事件的计算 题型04 独立事件的实际计算 题型05 全概率公式的应用 题型06 贝叶斯公式的应用 题型07 条件概率综合大题 题型08 离散型随机变量的分布列及其性质 题型09 离散型随机变量的均值 题型10 离散型随机变量的方差 题型11 两点分布 题型12 二项分布的均值与方差 题型13 二项分布最大概率问题 题型14 超几何分布的均值与方差 题型15 正态曲线的性质 题型16 正态曲线的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 条件概率 能准确复述条件概率的定义能熟练使用条件概率公式计算具体事件的概率 能在实际问题中识别条件概率场景区分条件概率与普通概率 以选择填空为主难度中等是概率大题的基础工具 常与独立事件乘法公式结合考查 易错点为忽略的前提或错算分子 事件的独立性 能判断两事件是否独立能利用独立事件概率公式计算乘积型概率 能区分独立与互斥避免概念混淆 高频考点选择填空大题均可能出现 是乘法公式的前提考查复杂分步事件的概率 易错点是把互斥当独立或误写 乘法公式 能熟练运用乘法公式计算分步事件的概率 能结合条件概率进行综合计算处理复杂分步概率 贯穿全章是概率大题的核心工具 期中多以解答题第一问出现考查基础计算能力 易错点为漏乘条件概率或步骤混乱导致计算错误 离散型随机变量及其分布 能识别离散型随机变量能根据实际问题写出分布列 能验证分布列的合法性能根据分布列求某一事件的概率 基础必考点选择填空大题均考 是后续所有随机变量问题的基础 易错点为忽略归一性或漏写概率为0的情况 几个常用的分布 能判断题目属于哪种分布类型能准确写出各类分布的概率公式 能计算分布列中的相关概率区分二项分布与超几何分布 期中绝对重点解答题必考 是概率大题的核心板块 易错点为二项分布参数识别错误或超几何中对应关系混淆 离散型随机变量的数学期望 能根据分布列计算数学期望能利用线性性质简化期望计算 能解决期望类应用题熟记常见分布的期望公式 高频考点大题必考 常与分布列结合是解答题第二问的主流题型 易错点为计算求和时出错或线性性质符号错误 离散型随机变量的方差 能根据分布列计算方差能利用方差公式化简计算 能解决方差最值类综合问题熟记常见分布的方差公式 中高频考点多与期望结合考查 偶尔单独出小题 易错点为公式记忆混淆（如与关系）或计算平方项出错 正态分布 能认识正态曲线的形态能理解μ与σ的意义 能熟记3σ原则的概率值能解决简单的正态分布概率计算 期中考查多为选择填空 难度偏低考查基础概念与数值记忆 易错点为σ的含义理解偏差或3σ概率数值记忆错误 知识点01 条件概率 核心概念 条件概率是在事件A已经发生的前提下，事件B发生的概率，反映了“先后关联”的概率关系，其本质是样本空间的缩小（以A为新样本空间） 核心公式 适用前提：（事件A必须有发生的可能性） 解题技巧 1定义法：直接套用公式，先求联合概率，再求条件概率，二者作比 2缩小样本空间法：将原样本空间限定为A，直接分析A中包含的基本事件数，计算B在A中的占比（适用于古典概型） 易错点解析 1混淆与：是“以A为前提的B的概率”，是“A和B同时发生的概率”，二者数值和意义均不同 2忽略前提：若，条件概率无意义，题目中若出现需先验证A的概率是否为正 3公式分子分母颠倒：误写为，核心是“联合概率除以条件事件概率” 知识点02 事件的独立性 核心概念 若事件A发生与否不影响事件B发生的概率，即，则称事件A与B相互独立；独立事件可推广至n个事件，核心是“互不干扰” 核心公式 1两事件独立：（等价定义，最常用） 2 n个事件独立： 解题技巧 1独立判断：优先用等价定义验证，避免凭直觉判断（如“先后抛掷硬币”是独立事件，“不放回摸球”是互斥但非独立事件） 2独立事件概率计算：将复杂事件拆分为多个独立子事件，分别求概率再相乘（如“先后两次独立试验”的概率） 易错点解析 1混淆独立与互斥：互斥是“A、B不能同时发生”（），独立是“A、B发生互不影响”，二者无必然联系；互斥的两事件一定不独立（除概率为0或1的事件外） 2误写独立事件概率公式：将误写为，正确应为乘积形式 3忽略n个事件独立的条件：n个事件独立需满足“任意k个事件的联合概率等于各事件概率乘积”（），仅满足部分条件时不能判定为整体独立 知识点03 概率乘法公式 核心概念 乘法公式是条件概率的变形公式，用于计算“先后发生、相互关联”的事件的联合概率，是连接条件概率与联合概率的桥梁 核心公式 1两事件乘法公式： 2推广到n个事件： 解题技巧 1分步概率计算：遇到“先后发生”的概率问题，按事件发生顺序拆分，依次求各步条件概率，再相乘得到总概率 2结合独立事件：若某步事件与前序事件独立，则条件概率等于该事件本身的概率（如），简化计算 易错点解析 1漏乘条件概率：直接用，忽略A、B不独立的情况，未乘或 2条件事件顺序混淆：误写时，混淆“由果索因”的逻辑，需结合题目事件发生顺序确定条件事件 3推广公式中漏写中间条件：n个事件相乘时，漏乘某一中间条件概率，如漏写 知识点04 全概率公式 核心概念 全概率公式是“化整为零”的概率思想，将复杂事件B拆分为若干个互斥且完备的子事件，分别求各子事件下B的概率，再求和得到总概率；核心是“样本空间的划分” 核心公式 前提条件：是样本空间的一个划分（即两两互斥，且） 解题技巧 1样本空间划分：明确复杂事件B的“原因”或“前提”，将样本空间拆分为有限个互斥子事件（如“不同批次产品”“不同天气情况”） 2分步计算：先求每个子事件的概率，再求在发生下B的条件概率，最后代入公式求和 易错点解析 1样本空间划分不完整：遗漏某一互斥子事件，或子事件不互斥（导致重复计算），最终概率和大于1 2混淆划分事件与目标事件：将目标事件B当作划分事件，或误将非完备事件组作为划分依据 3忽略子事件概率的计算：直接用求和，未乘，违背全概率公式核心逻辑 知识点05 贝叶斯公式 核心概念 贝叶斯公式是“由果索因”的逆向概率公式，在已知结果B发生的前提下，反推导致结果发生的原因的概率，核心是“逆向推理”的概率思想 核心公式 关联公式：分母为全概率公式计算的，分子为全概率公式中对应项 解题技巧 1逆向概率求解：题目出现“结果已知，求原因概率”时，直接套用贝叶斯公式 2分步结合：先通过全概率公式计算分母，再计算分子，最后作比得到结果 易错点解析 1分子分母混淆：误将分子写为，分母写为，核心是“分子是单个原因的联合概率，分母是总结果概率” 2忽略贝叶斯公式的适用场景：盲目套用，未识别题目是“由果索因”的逆向概率问题 3全概率计算错误：分母计算错误，导致最终结果出错，需先准确计算全概率 知识点06 离散型随机变量 核心概念 离散型随机变量是取值可以一一列举的随机变量（有限个或可列无限个），其取值对应随机试验的不同结果，是连接随机事件与概率的桥梁 核心性质 1取值非负：（所有概率都大于等于0） 2归一性：（所有取值的概率之和为1，保证样本空间完备） 解题技巧 1随机变量赋值：根据实际问题，将试验结果转化为数值（如“正面记1，反面记0”），明确X的所有可能取值 2概率验证：求出分布列后，验证概率之和是否为1，取值概率是否非负，避免计算错误 易错点解析 1混淆离散型与连续型随机变量：连续型随机变量取值不可一一列举，不能用分布列描述，需用密度函数 2忽略归一性：计算分布列时，概率和不为1，未调整概率值 3漏写概率为0的取值：部分取值概率为0时，仍需在分布列中列出，保证完整性 知识点07 离散型随机变量的分布列 核心概念 分布列是离散型随机变量所有取值及其对应概率的对应关系表，完整刻画了离散型随机变量的概率分布规律，是求解随机变量相关问题的基础 核心表示形式 1表格形式： 2公式形式：（），满足， 解题技巧 1分布列求解步骤：①确定X的所有可能取值；②计算每个取值对应的概率；③按格式写出分布列 2结合常见分布：若题目符合二项分布、超几何分布等常见类型，直接套用对应概率公式，无需逐一计算 易错点解析 1取值对应概率错误：混淆随机变量取值与事件概率，如将“试验结果”直接当作概率 2分布列格式不规范：漏写概率项，或未按顺序排列取值 3忽略分布列合法性：未验证，导致分布列无效 知识点08 两点分布（0-1分布） 核心概念 两点分布是最简单的离散型分布，随机变量X只有两个可能取值（通常记为0和1），对应随机试验只有两个对立结果（如“成功/失败”“正面/反面”） 核心公式 1分布列： 0 1 2概率公式：，（） 解题技巧 1分布识别：题目出现“单次试验，只有两种结果”，直接判定为两点分布 2期望方差计算：直接套用公式，无需复杂计算 易错点解析 1取值对应错误：误将1对应，0对应，需明确“成功”对应的取值 2忽略参数范围：的取值范围为，若或，试验结果确定，不再是随机事件 3与二项分布混淆：两点分布是单次试验的分布，二项分布是n次独立重复试验的分布，二者本质不同 知识点09 超几何分布 核心概念 超几何分布描述不放回抽样中，某类特征的个体出现的次数，核心是“有限总体、不放回、计数成功次数” 核心公式 若随机变量X表示从N个个体（其中M个具有某特征）中抽取n个个体，抽到具有该特征的个体数，则 取值范围：的取值为 解题技巧 1分布识别：明确题目是“不放回抽样”，确定总体数N、成功数M、抽样数n，直接套用公式 2概率计算：先计算组合数，再代入公式求概率，注意组合数的计算准确性 易错点解析 1混淆放回与不放回：放回抽样对应二项分布，不放回抽样对应超几何分布，二者公式完全不同 2参数对应错误：误将N、M、n的数值对应错误，核心是“N=总体数，M=总体中成功数，n=抽样数” 3忽略取值范围：超出取值范围时，概率为0，无需计算 知识点10 二项分布 核心概念 二项分布描述n次独立重复试验中，成功事件发生的次数，核心是“独立、重复、计数成功次数”，是伯努利试验的推广 核心公式 若随机变量（n次独立重复试验，每次成功概率p），则 取值范围： 解题技巧 1分布识别：题目出现“n次独立重复试验”“每次试验成功概率相同”，直接判定为二项分布 2期望方差计算：直接套用公式，，快速求解 易错点解析 1混淆独立与不独立：试验不独立时，不能用二项分布，需用其他分布（如超几何分布） 2参数识别错误：是试验次数，是单次试验成功概率，二者对应关系错误会导致公式误用 3组合数计算错误：是n次试验中选k次成功的组合数，计算时易出现阶乘运算错误 知识点11 离散型随机变量的数学期望 核心概念 数学期望（期望）是离散型随机变量所有取值的加权平均值，反映了随机变量的“平均水平”，是描述随机变量中心趋势的核心指标 核心公式 1定义公式： 2线性性质：（为常数） 3常见分布期望： 两点分布： 二项分布： 超几何分布： 解题技巧 1直接计算：根据分布列，代入定义公式求和，注意计算准确性 2线性性质简化：遇到线性变换的随机变量（如），直接用线性性质，无需重新计算 3套用常见分布公式：识别分布类型后，直接用对应期望公式，避免复杂求和 易错点解析 1计算求和错误：定义公式中，的求和易漏项或算错数值，需逐项核对 2线性性质符号错误：误写，或的符号处理错误 3混淆期望与概率：将期望当作某一取值的概率，二者意义和数值均不同 知识点12 离散型随机变量的方差 核心概念 方差是离散型随机变量取值与期望的偏离程度的平均值，反映了随机变量的“波动程度”，标准差是方差的算术平方根，二者均描述随机变量的离散程度 核心公式 1定义公式： 2简化公式：（常用，简化计算） 3线性性质：（为常数，注意的平方） 4常见分布方差： 两点分布： 二项分布： 超几何分布： 解题技巧 1简化公式计算：优先用，避免计算的复杂求和 2线性性质应用：线性变换的随机变量，方差仅与有关，与无关，需平方 3结合期望计算：先求期望，再求，代入简化公式 题型一 条件概率的计算 解｜题｜技｜巧 1采用定义法套用公式 2运用缩小样本空间法计算 3古典概型优先使用事件个数比值计算 4计算前确认条件事件概率不为0 【典例1】（25-26高三下·北京·月考）投掷红、蓝两个骰子，设：蓝色骰子的点数为1或2，：两骰子的点数之和小于5，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别写出事件B和事件AB所包含的样本点，根据条件概率公式可得. 【详解】投掷红、蓝两个骰子，共有个样本点，其中 事件B包含，共个样本点， 事件包含，共个样本点， 所以. 【变式1】（2026·辽宁盘锦·一模）袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记取出的 2个球中，有一个标号为1为事件，另一个标号为1为事件， 则，， 则. 【变式2】（25-26高二下·湖南长沙·月考）有40人报名100米赛跑，50人报名200米赛跑，60人报名100米或200米赛跑，若已知某人报100米赛跑，则其报200米赛跑的概率为________. 【答案】/0.75 【分析】由题意求出同时报名两个项目的人数，根据条件概率的计算公式，即可得答案. 【详解】设事件A=“报名100米赛跑”，事件B=“报名200米赛跑”， 由题意得：40人报名100米赛跑，50人报名200米赛跑，60人报名100米或200米赛跑， 则同时报名两个项目的人数为：， 则 故，即某人报100米赛跑，则其报200米赛跑的概率为. 【变式3】（25-26高二下·北京·月考）已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（    ） A．22.5% B．30% C．40% D．45% 【答案】C 【详解】设事件“抽到的学生喜欢文学阅读”，事件“抽到的学生喜欢科普阅读”， 由题意，， . 题型二 条件概率的性质 答｜题｜模｜板 1利用对立事件性质简化运算 2互斥事件满足可加性 3所有条件概率取值均在0到1之间 4复杂条件概率问题优先转化为对立事件求解 【典例1】【多选题】（2026·江西赣州·一模）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用条件概率，和事件的概率公式求解. 【详解】选项A，，， ， ， ，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 【变式1】（2026·山东临沂·一模）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式以及并事件的性质即可求解. 【详解】由条件概率公式，可得， 故， 又因，则. 【变式2】【多选题】（25-26高三上·湖北武汉·月考）设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（   ） A．事件A，B相互独立 B．若，则 C． D．若，则必有 【答案】BCD 【分析】根据条件概率的计算公式以及并事件的概率公式，可得方程组，进而可得，则，所以，根据相互独立满足的公式即可判断A，结合基本不等式即可求解C,根据条件概率即可求解D. 【详解】由可得, 又, , 则, 不妨设，则， 所以，化简得， 设，则，所以， 对于A，要使A，B相互独立，则需要， 即，即，不恒成立，故A错误， 对于B，由，得，， 故 ，B正确， 对于C, , 当且仅当时取到等号，而,故，C正确， 对于D,由，得,又, 所以，化简可得, 由于，则,将其代入上式得 ,化简得①， 结合②, 联立①②可得,故， 解得，则，故，故D正确. 故选：BCD 【变式3】（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用条件概率的性质得，再利用条件概率公式求得，最后利用对立事件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C 题型三 相互独立事件与互斥事件的计算 答｜题｜模｜板 1互斥事件满足适用加法公式 2独立事件满足适用乘法公式 3不可凭直观判断独立需用公式验证 4区分互斥与独立避免概念混淆 【典例1】【多选题】（24-25高一下·贵州遵义·期末）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 【答案】BD 【分析】利用样本空间法，分别计算4个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立事件，互斥事件的定义，即可判断选项. 【详解】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故A错误； 事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故B正确； ，，所以，乙与丙不相互独立，故C错误； 事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确. 故选：BD 【变式1】【多选题】（23-24高二下·安徽合肥·期末）设A，B是两个随机事件，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若A，B为互斥事件，且，则 D．若A，B相互独立，且，则 【答案】ABD 【分析】根据条件概率公式，以及以及对立事件概率公式，即可判断AB，根据互斥事件概率公式判断C，根据互斥事件概率公式，以及独立事件概率公式，判断D. 【详解】对于选项A，， 于是，故选项A正确. 对于选项 ，故选项B正确. 对于选项C，由，得 为互斥事件，，又，故选项C错误. 对于选项D，由A，B相互独立，则 ，故选项D正确. 故选：ABD 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知事件A，B满足，则下列结论正确的是（   ） A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则 C．A与B相互对立 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，若A与B相互独立，则A与相互独立，所以，故A错误．对于B，若A与B互斥，则A，B不可能同时发生，即，故B错误．对于C，，由于不确定A与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果，设事件 “出现奇数点”；事件“出现点数不大于3”，则，但事件A，B并不互斥，也不对立，故C错误．对于D，若，则，则，故D正确． 【变式3】（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知是三个随机事件，下列说法中正确的有（    ） A．若，则相互独立 B．若相互独立，，则相互独立 C．“两两独立”是“”的既不充分也不必要条件 D．若相互独立，相互独立，互斥，，则事件中至少有一个发生的概率为 【答案】AC 【分析】根据选项所给条件，结合相应的概率公式和概念进行判断. 【详解】A选项：，A正确； B选项：，但不能说明与，与独立，B错误； C选项： 一方面，设，则， 且，故充分性不成立； 另一方面，设， 则，，，故必要性不成立，C正确； D选项：，D错误. 故选：AC. 题型四 独立事件的实际计算 答｜题｜模｜板 1将复杂事件拆分为多个独立简单事件 2至少一个发生转化为 3有放回抽样视为独立无放回不独立 4多步独立事件直接使用分步乘法计算 【典例1】（25-26高二上·湖北襄阳·期中）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、深度学习、图象处理与计算机视觉、无线通信、信号处理、人工智能机器人等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为. (1)求和的值； (2)若两题都答对者可被评为“优秀”，求甲、乙至少有一人被评为“优秀”的概率. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据题意，列出关于和的方程组，求解即可； （2）法一：甲、乙至少有一人被评为“优秀”，包含甲被评为“优秀”、乙没被评为“优秀”，甲没被评为“优秀”、乙被评为“优秀”，甲、乙都被评为“优秀”三种情况，分别求解加和即可； 法二：先求得甲、乙都没被评为“优秀”的概率，利用对立事件的思想，即可求得甲、乙至少有一人被评为“优秀”的概率. 【详解】（1）由题可知，每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为， 则，解得或， 由于，所以，. （2）设甲被评为“优秀”为事件，乙被评为“优秀”为事件， 甲乙至少一人被评为“优秀”为事件.则 法一：甲被评为“优秀”的概率， 乙被评为“优秀”的概率， 则甲乙至少一人被评为“优秀”的概率 . 法二：甲乙两人都没被评为“优秀”的概率， 则甲乙至少一人被评为“优秀”的概率. 【变式1】（24-25高一下·福建龙岩·期末）甲乙两位同学参加数学知识挑战赛，比赛共设置两道不同的题目，甲乙两人需要在规定时间内独自对这两道不同的题目进行解答，每道题只有一次解答机会．已知甲答对每道题的概率都为，乙答对每道题的概率都为，每次是否答对互不影响．设“甲只答对一道题”，“甲答对两道题”，“乙只答对一道题”，“乙答对两道题”. (1)若，求甲乙两人至少有一人全部答对的概率； (2)若，求甲乙两人一共答对三道题的概率的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设“甲乙两人至少有一人全部答对”，得到两两互斥，且与相互独立，结合独立事件的概率乘法公式，即可求解； （2）设“甲乙两人一共答对三道题”，得到，且，设，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：设“甲乙两人至少有一人全部答对”， 则两两互斥，与相互独立， 且，所以． 所以 ． （2）解：由题知，， 设“甲乙两人一共答对三道题”， 则 ． 因为，所以， 设，则在单调递增，单调递减， 所以当时，；当时，，所以， 所以，即，当且仅当时等号成立， 故甲乙两人一共答对三道题的概率最小值为． 【变式2】（24-25高一下·江苏无锡·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对2个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； （2）根据题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对0个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； 【详解】（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得 ，，，， 设“两轮活动星对猜对3个成语”，则， 所以， ， 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. （2）设表示乙两轮都没猜对的事件，， 设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则 ， . 【变式3】（2024·上海徐汇·一模）某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，方案一即可表示为，方案二先考虑随机选取两门的概率为，再计算这两门都及格的概率即可. （2）为了比较概率大小，可作差与比较即可. 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为， 则. 应聘者选方案一考试通过的概率 应聘者选方案二考试通过的概率 （2） ， 因为，所以,即. 故，即选方案一，该应聘者考试通过的概率较大. 题型五 全概率公式的应用 答｜题｜模｜板 1先对样本空间进行互斥且完备的划分 2代入公式 3适用于多种原因导致同一结果的概率问题 4按定划分求求求和的步骤解题 【典例1】（25-26高二下·上海松江·月考）某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件，则， ，， ，，， 由全概率公式得： ， . 【变式1】（2026·天津河东·一模）某地区有A、B两个城区，人口比例为，由于人口密度不同，A、B两地的流感感染率分别为、.若随机选取A地区的3名市民进行该流感检测，至少1人感染的概率为________；若该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为__________. 【答案】 / / 【详解】第一空，A地流感感染率为，那么A地流感未感染率为， 考虑至少一人感染的对立事件为3人都未感染，那么人都未感染的概率为. 所以至少一人感染的概率为. 第二空，因为A、B两个城区，人口比例为，所以人口占比分别为， 由全概率公式，该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为. 【变式2】【多选题】（2026·重庆万州·模拟预测）年月日上午9时，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”上线运行，是目前中国最先进的可编程、可交付超导量子计算机，该量子计算机搭载位自主超导量子芯片“悟空芯”寓意如孙悟空般“变”．在研发过程中，某科研所承担了一项关键项目包含5个任务（其中3个涉及工作量子比特任务，2个涉及耦合器量子比特任务），该所的一个团队需不放回地依次随机抽取2个任务进行攻坚，设事件A为“第1次抽到涉及工作量子比特任务”，事件B为“第2次抽到涉及耦合器量子比特任务”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】已知5个任务中３个涉及工作量子比特任务，2个涉及耦合器量子比特任务， 事件A为“第1次抽到涉及工作量子比特任务”，事件B为“第2次抽到涉及耦合器量子比特任务”， 则，，故C错误； ，故A正确； ，故B正确； ，故D正确． 【变式3】（25-26高二下·贵州黔西南·月考）三个罐子分别编号为1，2，3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率_______. 【答案】 【详解】记｛球取自号罐｝，{取得红球}， 显然的发生总是伴随着之一同时发生， 即，且两两互斥， ， 由全概率公式可得， 题型六 贝叶斯公式的应用 答｜题｜模｜板 1识别由果索因的逆向概率场景 2先通过全概率计算分母 3公式为 4牢记分子为单项分母为全部原因概率和 【典例1】（25-26高二下·贵州黔西南·月考）甲、乙、丙三种不同型号的机器生产同一种产品，已知它们的产量分别占总产量的0.2，0.3，0.5，各机器所生产的产品的优良率分别为0.85，0.9，0.95，现从所有产品中任取一件. (1)求取到优良产品的概率; (2)求取到的优良产品由甲机器生产的概率. 【答案】(1)0.915 (2) 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式展开即可求得. 【详解】（1）设事件分别表示取到的产品由甲、乙、丙机器生产，事件表示取到优良产品， 则，，，，， 所以 代入数据得：. （2）取到的优良产品由甲机器生产的概率为. 【变式1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某智能手环可通过监测心率对佩戴者进行“心律失常”疾病的早期预警．据临床数据，其用户群体中该疾病的患病率约为0.5%，手环单次分析会给出“预警”或“无预警”结果，其性能如下： 对于确实患病的用户，单次分析触发预警的概率为99%（灵敏度）； 对于未患病的用户，单次分析误触发预警的概率为5%（误报率）． 现从用户群体中随机抽取一人，进行单次分析． (1)求此次分析触发预警的概率； (2)记事件为“此次分析触发预警”，事件为“该用户确实患病”． （i）求； （ii）结合（1）和（2）（i）的结果，说明与在医学预警中的不同含义，并分析：若手环触发预警，哪个概率对用户决定是否就医的参考价值更大？为什么？ 【答案】(1)0.0547 (2)（i）（ii）答案见解析 【详解】（1）事件为“用户患病”，事件为“分析触发预警”． 由题知：，，，． 由全概率公式： 所以，触发预警的概率为0.0547． （2）（i）由贝叶斯公式： ， 所以，在预警条件下确实患病的概率约为． （ii）含义解释： 由（i），表示“在手环预警的条件下用户确实患病”的概率， 它衡量了预警结果的可靠性，回答了“预警是否意味着真患病”的个人风险问题； 是灵敏度，表示“用户真患病的条件下手环触发预警”的概率， 反映了该手环识别真实病例的能力； 决策参考分析：对收到预警的个人而言， 的参考价值更大、更直接． 理由：该值从群体基础患病率（）显著提升至，构成了明确的个人健康风险信号， 用户应结合自身症状，将此作为是否需要进一步医疗检查的关键依据． 而描述的是该手环的整体性能，无法直接量化个人当前风险， 故对个人就诊决策的参考相对间接． 【变式2】（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 【答案】 【分析】由求出，再由求出,最后利用即可求解. 【详解】设为第天选A套餐，为第天选B套餐， 则， ； 从而， ， . 【变式3】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. (1)求这个人是阳性患者的概率； (2)若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用全概率公式求概率即可； （2）应用贝叶斯公式求概率即可. 【详解】（1）设选的人是阳性患者为事件，来自甲、乙、丙三个地区分别为事件，，， 则 （2）. 题型七 条件概率综合大题 答｜题｜模｜板 1先明确事件间的独立互斥或条件关系 2按条件概率乘法公式全概率贝叶斯顺序解题 3规范设定事件符号分步列式不跳步 4注意条件顺序避免混淆防止计算失误 【典例1】（2026·广东·模拟预测）某足球队的5人围成一圈进行单球传球训练，甲与乙相邻，每阶段第1次都由甲将球传出，第一阶段进行短传练习，每次传球时传球者等可能地将球传给相邻的人；第二阶段进行长传练习，每次传球时传球者等可能地将球传给不相邻的人，规定球传回到甲或传到乙时结束长传练习．记“第一阶段经过次传球后球在甲脚下”，“第二阶段结束时共进行了次传球”，“第二阶段结束时球在甲脚下”． (1)求，及； (2)求及． 【答案】(1)；； (2)； 【分析】（1）根据传球规则，确定相应事件包含的事件个数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. （2）根据的含义，利用树状图可确定其包含的事件个数，即可求得；记事件“第二阶段结束时球在甲脚下” =“球从甲（1）传出，最终回到甲（1）”，C=“球从戊（5）传出，最终回到甲（1）”，利用方程思想，列出关于的方程，即可求得答案. 【详解】（1）当时，实现的方法为向左传5次或向右传5次，共有种， 而此时总共种可能的传球方式， 所以； 当时，实现的方法有3种： 向左传5次，向右传5次，概率为； 向左传10次，概率为； 向右传10次，概率为； 所以； 当时，实现的方法数为解的数量， 可能的取值为个1；个1和5个-1；个1和10个；， 个，共有种情况， 而此时所有可能的传球方法有种， 故； （2）如图，将甲、乙、、戊5人依次用1、2、3、4、5表示，根据长传规则， 甲（1）只能将球等可能传给丙（3）或丁（4），依此类推， 当时，表示4次长传后球传回给甲，画出树状图： 可知只有1种方法：，而此时所有可能的传球方法有种， 故； 记事件“第二阶段结束时球在甲脚下” =“球从甲（1）传出，最终回到甲（1）”， C=“球从戊（5）传出，最终回到甲（1）”， 分解事件B，可能的情况是：， 将视作整体量，则； 再分解C，可能的情况是：，则； 联立，， 解得， 即第二阶段结束时球在甲脚下的概率为. 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件确定样本中男性居民与女性居民的人数，再用频率估计概率. （2）利用新定义，结合条件概率的公式计算即可. 【详解】（1）依题意，样本中男性居民与女性居民的人数分别为300人，200人， 在300名男性居民中，有200人观看了这场苏超联赛， 在200名女性居民中，有100人观看了这场苏超联赛， 因此样本中，观看了这场苏超联赛的频率为， 所以从全市居民中随机抽取1人，估计此人观看了这场苏超联赛的概率为. （2）由（1）得， 因此； 又， 因此，所以. 【变式2】（2026·福建福州·模拟预测）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种. 记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 【答案】(1) (2)（i），，证明见解析；（ii）能 【分析】（1）利用全概率公式进行求解即可； （2）（i）利用全概率公式，结合等比数列的定义进行求解即可； （ii）根据（i）的结论，结合指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）设选择方案A，B，C分别为事件A，B，C，物流提前送达为事件Z， 则， ，，， . （2）（i）由①知道. 由②根据全概率公式 ， . 设第n次物流选择方案A，B，C为事件，，，第n次物流提前送达为事件， 则，，，因为，所以， 所以. 由②根据全概率公式 ， 注意到，， 而， 所以 ， 同理 . 注意到 ， 且，所以， 故为定值， 即是以为首项，为公比的等比数列. （ii）由（i）可求， 同理 ， 所以， 联立解得 ，， 所以. 随着的增大，增大，注意到，所以当时，， 因此从第2次起，智能自适应调度系统能逐步提高物流提前送达的概率. 【变式3】（2026·山东聊城·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入A袋或B袋中．一次游戏中小球落入A袋记1分，落入B袋记2分，游戏可以重复进行．游戏过程中累计得n（）分的概率为． (1)求； (2)写出与 之间的递推关系，并求出的通项公式． 【答案】(1)，，． (2) ， ． 【分析】（1）根据独立事件乘法公式，结合对立事件的概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件乘法公式，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可. 【详解】（1）小球3次碰撞全部向左偏或者全部向右偏时落入B袋中， 此概率P（B）＝， 则小球落入A袋中的概率P（A）＝1－P（B）＝， 故，，． （2）游戏过程中累计得n分可以分为两种情况：得到（n－2）分后的一次游戏中小球落入B袋中，或得到（n－1）分后的一次游戏中小球落入A袋中， 故 ， 即 ， 故 为常数列，且， 故 ， 即 ，得 ， 故为等比数列，且首项为，公比为， 故， 故 ． 题型八 离散型随机变量的分布列及其性质 答｜题｜模｜板 1按确定随机变量取值计算对应概率列出分布列验证性质步骤完成 2满足概率非负且所有概率和为1 3利用概率和为1检验计算结果 4已知部分概率可通过归一性求解未知概率 【典例1】（2026·山东东营·一模）甲、乙、丙三人每人制作两张卡片，将卡片放在同一个盒子中，每人不放回地随机抽取两张，设至少取回一张自己的卡片的人数为X，则_______. 【答案】 【分析】用字母表示出甲、乙、丙的卡片，计算出相应样本空间与总样本空间求出概率即可. 【详解】设甲制作的卡片为；乙制作的卡片为；丙制作的卡片为. 代表三人只有一人至少取回一张自己的卡片， 有种情况；不妨设是甲至少取回一张自己的卡片； 当甲只取回一张自己的卡片时，有种； 例如：甲取到的卡片为，此时丙不能取， 只能取，即甲取回一张自己的卡片时，样本数为； 当甲取回两张自己的卡片时，此时乙与丙只能相互交换， 即有种；而总样本空间为甲、乙、丙三人各自任取两张卡片，即， 所以; 代表三人有两人至少取回一张自己的卡片， 即有一个人没有取回自己的卡片，有种情况； 不妨设是丙没有取回自己的卡片，则丙要在四张中取两个， 显然丙不能取或，所以丙有种取法， 例如：丙取的是，则甲留下，只能在中取一个，即种，剩下两张给乙， 即共有种，所以. 所以. 【变式1】（24-25高二下·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【答案】B 【分析】根据分布列的性质求出参数，进而求出事件概率. 【详解】，解得； ， 故选：B. 【变式2】【多选题】（23-24高二下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知离散型随机变量X的分布列为 X 2 4 6 8 P a 则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由分布列中概率之和为1可得A正确；由分布列中概率的计算可依次判断BCD. 【详解】由分布列性质可知，解得，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：AC． 【变式3】（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，其中为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分布列的性质求出，再利用互斥事件的概率公式求解. 【详解】依题意，，解得， 所以. 故选：A 题型九 离散型随机变量的均值 答｜题｜模｜板 1用定义进行计算 2优先使用线性性质 3先求出分布列再计算对应均值 4均值反映随机变量的平均水平用于实际决策 【典例1】（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（    ） X 1 2 3 P n m A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分布列的性质以及期望公式列方程组即可求解． 【详解】由分布列的性质可得，，所以， 又因为，所以，即； 联立方程，解得， 所以 故选：B 【变式1】现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是，设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为，对乙项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润. (1)求、的概率分布和数学期望、； (2)当时，求的取值范围. 【答案】(1)概率分布见解析，， (2) 【分析】（1）解法一：由题意直接写出的概率分布列，并求出数学期望，根据得到的分布列，从而得到的分布列，得到数学期望； 解法二：由题意直接写出的概率分布列，并求出数学期望，设出事件，由独立事件概率乘法公式得到，，，得到的分布列，得到数学期望； （2）在（1）的基础上，根据得到不等式，结合求出答案. 【详解】（1）解法一：的概率分布为 1.2 1.18 1.17 P . 由题设得，故， ，， 则的概率分布为 0 1 2 P 故的概率分布为 1.3 1.25 0.2 P 所以的数学期望为 . 解法二：的概率分布为 1.2 1.18 1.17 P . 的概率分布解法如下： 设表示事件”第i次调整，价格下降”， 则， ， ， 故的概率分布为 1.3 1.25 0.2 P 所以的数学期望为 . （2）由，得：， 解得， 因为，所以时，p的取值范围是. 【变式2】（23-24高二下·广西南宁·月考）某（应用软件）举行推广活动，新用户注册前7天内，每天登录可获得1元红包，前7天连续登录的新用户，还可进入抽奖活动页面领取红包，每位用户随机点击4个红包中的1个领取（领取前不知道红包金额），领取后看1分钟广告，可再次从剩余3个红包中领取1个，4个红包的金额分别为元、元、元、元. (1)若前7天连续登录且抽奖活动页面看1分钟广告的新用户获得的所有红包金额之和（单位：元）的期望值为70元，求的值； (2)该推广活动进行一个月后，对新用户登录方案进行了调整，调整为：新用户注册前7天内，连续登录第天，当天可获得元红包，中间中断再登录重新计算连续天数，若新注册用户甲前4天已经连续登录该，后3天每天登录的概率均为，求该用户前7天内通过登录获得红包金额之和（单位：元）的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）求出X的所有可能取值，然后利用古典概型概率公式求解概率，再利用期望公式即可得到答案； （2）由题意求出Y的所有可能取值，利用独立事件乘法概率公式求出对应的概率，即可求出分布列. 【详解】（1）该试验为不放回抓取红包两次，从事件数考虑作答，由题意，总事件数， 由题意，所以，， ，， 所以，解得. （2）易知该用户前4天的红包金额之和为（元）， 由题意， 则， ，，，，，， 所以的分布列为 10 11 13 15 16 21 28 【变式3】（2024·湖北·一模）如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为．      (1)当时，求后质点移动到点0的位置的概率； (2)记后质点的位置对应的数为，若随机变量的期望，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用独立重复实验的概率求解 （2）写出随机变量可能值，利用期望大于0解不等式求解. 【详解】（1）后质点移动到点0的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次， 所求概率为：． （2）所有可能的取值为，且 ， ， ， ， 由，解得， 又因为，故的取值范围为． 题型十 离散型随机变量的方差 答｜题｜模｜板 1优先使用简化公式 2线性性质为系数需平方 3标准差为方差的算术平方根反映数据波动 4计算顺序为先求期望再求最后算方差 【典例1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P m n 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【分析】先根据分布列的性质与确定的值，计算，再根据求值. 【详解】由题意可得：，解得， 则， 所以. 故选：C. 【变式1】（25-26高三上·山东·月考）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.    (1)求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； (2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差. 【答案】(1)平均数为123，第60百分位数为125； (2)分布列见解析，方差为. 【分析】（1）利用中间值作代表求出平均数；判断出第60百分位数落在内，设其为，列出方程，求出答案； （2）求出一级口罩与二级口罩的个数比，从而得到抽取8个口罩中，一级口罩有2个，二级口罩有6个，的可能取值为0,1,2，并得到相应的概率，得到分布列和方差. 【详解】（1）该厂商生产口罩质量指标值的平均数为 ； ， 故第60百分位数落在内，设其为， 则， 解得，故第60百分位数为125； （2）一级口罩与二级口罩的个数比为， 现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩， 则一级口罩有个，二级口罩有个， 再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为0,1,2， ，，， 故的分布列如下： 0 1 2 数学期望为， 方差为 【变式2】（24-25高二下·河北承德·期中）甲、乙两同学进行答题比赛，比赛规则如下：每位选手从4道备选题中，随机选取2道题独立作答.已知甲同学这4道题中只会3道题，乙同学每题正确完成的概率都是.记随机变量和分别是甲、乙答对的题数. (1)求“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率； (2)若，求随机变量的分布列、数学期望、方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）分别计算甲答对2道题、乙答对2道题的概率，相乘即可； （2）将问题分解为甲、乙分别答对的题目数，分别求概率再相乘即可列出分布列，进而利用期望和方差公式计算即可. 【详解】（1）甲答对2道题的概率为，乙答对2道题的概率为， 故“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率为. （2）由题意知可取1，2，可取0，1，2，故可取1，2，3，4， ， ， ， ， 故的分布列为： 1 2 3 4 期望， 方差. 【变式3】（24-25高二下·甘肃平凉·期中）为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动．这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名． (1)求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率； (2)设表示选出的3人中外科医生的人数，求的分布列，均值，方差． 【答案】(1) (2)分布列见解析，1， 【分析】（1）由古典概型概率计算公式结合互斥事件和事件概率公式求解即可； （2）确定可能取值，求得对应概率，进而可求解. 【详解】（1）推荐的6名医生中任选3名去参加活动基本事件总数为， 这6名医生中，外科医生2名，内科医生2名，眼科医生2名， 设事件表示“选出的外科医生人数多于内科医生人数”，故有两种情况： 恰好选出1名外科医生和2名眼科医生和恰好选出2名外科医生， 用表示“恰好选出1名外科医生和2名眼科医生”，表示“恰好选出2名外科医生”， 且，互斥， 因为，， 所以选出外科医生人数多于内科医生人数的概率为． （2）由题知可为0，1，2，故，， ， 0 1 2 0.2 0.6 0.2 所以， ． 题型十一 两点分布 答｜题｜模｜板 1识别试验仅有两种对立结果 2分布列满足 3均值为方差为 4是二项分布在试验次数为1时的特殊情况 【典例1】（25-26高二上·江西宜春·期末）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.1 【答案】C 【分析】根据两点分布的性质求解即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且， 则. 故选：C 【变式1】（25-26高三上·山西大同·月考）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全概率公式，由的值，得到的值，再由条件概率计算公式即可. 【详解】由于 服从两点分布，且 ， 因此. 由全概率公式得， 即， 所以， 由条件概率计算公式得. 故选：D 【变式2】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两点分布分别求得的概率，再，由求出，由条件概率公式计算. 【详解】随机变量均服从两点分布， ，， 又， ，由条件概率公式， 故选：D. 【变式3】（25-26高二上·全国·单元测试）若随机变量服从两点分布，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点分布期望和方差公式可将所求式子化为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】服从两点分布，设成功的概率为，则可得，，其中， （当且仅当，即时取等号）， 的最大值为． 故选：D. 题型十二 二项分布的均值与方差 答｜题｜模｜板 1识别次独立重复试验满足 2均值公式方差公式 3无需列出分布列直接套用公式计算 4区分放回与不放回抽样避免误用分布 【典例1】（25-26高三下·湖南·月考）2026年2月，雅礼中学举办了“情系雅礼蓝”的活动，来自全国高校的雅礼校友回到母校开展线下宣讲，介绍各自大学的专业、录取政策、校园生活等.宣讲活动按时间顺序分为四场，每场均安排了10所不同的大学，各场的大学均不相同. (1)若甲、乙、丙三名同学均打算从第二场的10所大学中选择一所来了解，已知甲、乙所选的大学不同，则丙与甲、乙的选择均不同的概率是多少? (2)若甲、乙、丙三名同学均打算从四场宣讲中选择两场参加，设共有个人参加了第一场宣讲活动，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）利用古典概型公式即可求解； （2）利用二项分布即可求解. 【详解】（1）由题意得甲、乙所选的大学不同，丙有10种选择， 当丙与甲、乙的选择均不同，丙有8种选择， 所以已知甲、乙所选的大学不同，则丙与甲、乙的选择均不同的概率为； （2）由题意得选择第一场的概率为，所以， 所以， ， 所以的分布列为： 所以. 【变式1】（2026·辽宁抚顺·一模）某科技兴趣小组研发了一种AI模型，用于图象识别任务．为了测试该模型的性能，对其进行了若干次试验，在每次试验中识别相同数目的图象，并记录该模型正确识别图象的数量，得到如图所示的样本数据频率分布直方图． (1)求的值，并估计该模型在一次试验中正确识别图象数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)以频率估计概率，在相同的条件下，随机对该模型进行4次试验，用表示这4次试验中正确识别图象不少于50个的次数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)， (2)的分布列为： 0 1 2 3 4 . 【分析】（1）根据频率和为1可求的值，根据平均数的计算方法求. （2）利用二项分布求的分布列和数学期望. 【详解】（1）由 . 所以 . （2）以频率估计概率，正确识别图象不少于50个的概率为 . 表示这4次试验中正确识别图象不少于50个的次数，则. 所以，, ，， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 【变式2】（25-26高二下·天津·月考）随机变量，则等于（    ） A．16 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【详解】因为随机变量，所以期望 ， 再根据期望的线性性质：有， 代入得： . 【变式3】（2026·湖北荆州·一模）某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B两类关卡，A，B两类关卡每一次闯关成功的概率分别为.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B中的一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类推.规定A类关卡闯关成功一次得20分，B类关卡闯关成功一次得10分，闯关失败均得0分.每名活动参与者有3次闯关机会. (1)已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A类关卡的概率； (2)若一名活动参与者闯关总得分不低于40分则获得现金奖励1000元，低于40分则根据分数奖励其他实物小礼品.若活动参与者有1000人，求商场支出的现金奖励总金额的期望. 【答案】(1) (2)96000元 【分析】（1）根据全概率公式求解甲第一次闯关成功的概率，进而利用条件概率公式即可求解； （2）先求解一个参与者得分大于等于40分的概率，即可根据，由二项分布的期望公式求解. 【详解】（1）设事件表示“第i次选择的是A”事件表示“第i次选择的是B”， 设事件表示“第i次闯关成功” ， ， ， 第一次闯关成功，参与者甲选择的是A类关卡的概率为； （2）一个参与者得分大于等于40分有两类情形： 第一关选择A成功，第二关继续选择A也成功； 第一关选择B失败，第二关换为A成功，第三关继续选择A也成功. 故 ， 设1000人中获得现金奖励的人数为X，则商场支出的现金奖励Y＝1000X元. 由题知，， 故 ， 所以， 商场支出的现金奖励总金额的期望为96000元. 题型十三 二项分布最大概率问题 答｜题｜模｜板 1列出相邻两项概率比值 2通过解不等式判断概率单调性 3找到使比值大于等于1且后续小于1的 4注意取值范围为0到n的整数 【典例1】（25-26高二下·湖南长沙·月考）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】利用二项分布概率公式，通过为唯一最大值需满足且，列不等式组求解正整数. 【详解】依题意，， 由是唯一的最大值，得，即， 则，整理得，解得， 而，因此. 【变式1】（2026·湖南·一模）二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 【答案】 【分析】根据题意先计算，再利用二项分布即可求解. 【详解】由题意知，可知，解得，故， ，，， ，，，，可知的最大值为． 【变式2】（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同.某人做摸球答题游戏.规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐.此人答对每一道题目的概率均为 当甲罐内无球时，游戏停止.假设开始时乙罐无球. (1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率； (2)设第 次答题后游戏停止的概率为 问：是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，最大值为. 【分析】（1）记“此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一球”，记“第次摸出红球，并且答题正确”，，记“第次摸出黑球，并且答题正确”，，记“第次摸出黑球或红球，并且答题错误”，，结合全概率公式直接求解即可； （2）第次后游戏停止的情况是：前次答题正确恰好为次，答题错误次，且第次摸出一球时答题正确，即可直接得到，结合概率的性质，即可求解. 【详解】（1）记“此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一球”， 记“第次摸出红球，并且答题正确”，， 记“第次摸出黑球，并且答题正确”，， 记“第次摸出黑球或红球，并且答题错误”，， 所以， 又，，， 所以 ， 同理， 所以. （2）①第次后游戏停止的情况是：前次答题正确恰好为次， 答题错误次，且第次摸出一球时答题正确， 所以. ②由①知，， 所以， 令，解得， 令，解得，即， ， 所以的最大值是. 【变式3】（25-26高三上·山西太原·期末）随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立. (1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率； (2)在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据全概率公式计算求解即可； （2）结合（1）得，再结合二项分布的概率公式计算求解即可. 【详解】（1）解：记“用户输入一个问题没有语法错误”为事件， “用户输入一个问题软件生成正确答案”为事件， 由题意可得，，，， . 所以用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8. （2）解：由（1）知用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8， 则，， 令， 则， 令，则；令，则；令，则； 所以或时，取最大值. 题型十四 超几何分布的均值与方差 答｜题｜模｜板 1识别不放回抽样模型对应超几何分布 2均值公式 3计算时明确总体容量N次品数M抽取数n 4与二项分布区分不放回不用二项分布公式 【典例1】（25-26高二下·江苏南通·月考）已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式，结合组合数公式，即可判断AB，，，再代入概率公式，判断C，代入超几何分布期望公式，判断D. 【详解】由题意可得，故A正确； ，，故B正确； ， ， 故，故C错误； 因为X，Y均符合超几何分布，所以，，故D正确. 【变式1】（2026·广东东莞·模拟预测）一个袋子中有个大小相同的球，其中有4个红球、8个绿球，分别采用有放回和不放回的方式从中随机抽取3个球，设采用有放回方式抽取时抽到红球的个数为，采用不放回方式抽取时抽到红球的个数为. (1)求的概率; (2)求Y的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 3 【分析】（1）若有放回的抽取时，随机变量X服从二项分布，由二项分布的概率公式可得； （2）若不放回抽取时，随机变量Y服从超几何分布，由超几何分布的概率公式可得分布列及期望. 【详解】（1）若有放回抽取时，每次抽球相互独立，每次抽到红球的概率为 ​，共抽3次， 因此,根据二项分布概率公式： . （2）若不放回抽取时，服从超几何分布，的所有可能取值为， 概率公式为：. ，，，. 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望： . 【变式2】（2026·重庆·一模）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)72分 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，可求得a值，分析可得选报物理方向的最低分在内，根据x值右侧面积和为，即可求得答案. （2）求出成绩在区间和的人数，分析可得X的可能取值，求出各个取值对应的概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】（1）由题意，解得， 成绩在的频率为0.1，在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为， 所以选报物理方向的最低分在内，则， 解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． （2）由题可知，成绩在区间的频数为， 成绩在区间的频数为， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为， 成绩在的频数为， 再从这7份答卷中随机抽取3份，的所有可能取值为， ， 故的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：． 【变式3】【多选题】（25-26高二上·江西上饶·期末）一个袋子中有5个完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从中随机地摸出3个球作为样本.用X表示样本中球的编号为偶数的个数，用Y表示样本中球的最大编号，则（   ） A．若采取有放回摸球， B．若采取不放回摸球，则 C．若采取有放回摸球，则 D．若采取不放回摸球，则 【答案】AC 【分析】根据二项分布以及超几何分布的期望和方差公式以及条件概率公式即可判断 【详解】对于，有放回的摸球，满足二项分布，且摸到偶数球的概率， 共摸次，，则根据期望公式可得，故正确； 对于，不放回的摸球，则服从超几何分布，， 根据超几何分布的期望和方差公式可得， ，故错误； 对于，有放回的摸球，根据二项分布的方差公式， 故正确； 对于，根据条件概率公式表示的最大编号是， 剩余的个从1，2，3，4中选其中偶数球有两个的概率， 则， 表示的意思是已知有两个偶数球，其中最大编号是的概率， 则，则，故错误. 故选：AC 题型十五 正态曲线的性质 答｜题｜模｜板 1曲线关于直线对称 2决定对称轴位置决定曲线陡峭程度 3曲线与x轴围成面积为1 4越小曲线越陡峭数据越集中 【典例1】【多选题】（2026·广东广州·一模）某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由正态分布对称性可判断AB；由二项分布的知识判断CD. 【详解】A选项，由，得， 故， 由正态分布的对称性可知，A正确； B选项，，B正确； C选项，由题意得，故，C错误； D选项，，D正确. 【变式1】（2026·吉林·三模）已知随机变量，若，则______. 【答案】/ 【详解】因为，且， 所以， 所以 . 【变式2】【多选题】（2026·广东汕头·一模）某同学上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.则（    ） A． B． C．若某天只有34min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择坐公交车 D．若某天只有38min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择骑自行车 【答案】ACD 【分析】根据正态分布的性质和相关公式逐项计算即可. 【详解】对于A，因为坐公交车平均用时，样本方差为36，坐公交车用时都服从正态分布， 所以，所以，A正确； 对于B，因为骑自行车平均用时，样本方差为4，骑自行车用时都服从正态分布， 所以，其分布关于均值34对称.由于而，40和30并不关于34对称， 故，B错误； 对于C，计算34分钟内不迟到的概率为，， 因为，所以坐公交车不迟到的概率更高，C正确； 对于D，计算38分钟内不迟到的概率为， ， 因为，所以骑自行车不迟到的概率更高，D正确； 【变式3】【多选题】（25-26高二下·河南驻马店·月考）某校开展寒假社会实践活动．据统计高二1班学生的实践时间（单位：小时）与2班学生的实践时间（单位：小时）均服从正态分布，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正态分布的性质，结合正态密度曲线的图象特征，判断选项. 【详解】A.，故A错误；B.，，故B正确； C.因为，其中，所以，故C正确； D.两个分布的平均数都是16，所以两个函数图象的对称轴相同，，，越小，数据越集中，正态分布密度曲线越高，，故D错误. 题型十六 正态曲线的实际应用 答｜题｜模｜板 1利用对称性转化区间概率 2牢记3σ原则对应概率数值 3将实际问题转化为正态分布区间概率 4结合对称性质简化区间计算 【典例1】（2026·河南许昌·模拟预测）某企业对员工进行技能测试，测试成绩（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）为优秀. (1)若该企业共有30000名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80分以上（含80分）的员工人数（结果四舍五入保留到整数）； (2)从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3人，设3人中测试成绩优秀的人数为，求的分布列和期望. 附：若随机变量，则，，. 【答案】(1)25241人 (2) 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 【分析】（1）根据正态分布的性质可知，从而可求出； （2）首先求出，再根据服从二项分布可得分布列及数学期望. 【详解】（1）因为，所以，， 所以 ， 则， 所以估计该公司测试成绩80分以上（含80分）的员工人数为25241人. （2）因为，且， 所以， 依题意， 所以，， ，， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 所以随机变量的期望. 【变式1】（2026·上海奉贤·二模）某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布，记作．规定：这种零食的质量在62.8~69.4g之间的为合格品；则这种零食的合格率为________．（结果精确到0.001）； 参考数据：若，则，，． 【答案】 【详解】因为零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布， 所以 . 【变式2】（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）某新能源汽车企业为了检验一款新车型的续航能力，随机抽取了辆该车型，在相同条件下进行续航测试，得到续航里程（单位：）的频率分布表如下： 续航里程区间 频率 (1)求这辆该车型续航里程的平均数和方差（同一区间的数据用该区间的中点值作代表）； (2)由频率分布表可认为，该车型的续航里程服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． （i）求； （ii）某用户购买了该车型，求其续航里程不低于的概率． 参考数据：，若，则，． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）结合已知条件，利用平均数和方差的计算公式求解； （2）（i）利用（1）的数据结合正态分布的性质求解；（ii）利用正态分布的对称性计算求解． 【详解】（1） ， ． （2）由（1）可知，，，结合参考数据得， （i），， ，区间长度为， 根据正态分布的对称性，概率近似等于， 已知，， ； （ii）利用正态分布对称性：， ， 其续航里程不低于的概率约为． 【变式3】（25-26高三上·山东滨州·期末）某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是（），各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性． 附：若，则，． (1)求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差； (2)若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性有何变化？ 【答案】(1) (2)可靠性为,变差了 【分析】（1）首先根据优品的范围，再结合正态分布的数据，以及参考公式，分别求解改造前后的优品率，即可求解； （2）根据二项分布概率公式，分别求增加元件前后系统正常工作的概率，再比较. 【详解】（1）由条件可知，技术改造前，，优品率为， 技术改造后，，优品率为， ， 所以这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差为. （2）设为原有3个元件正常工作的个数，，则系统正常工作的概率， 所以该系统的可靠性为 为增加一个元件后，元件正常工作的个数，，则系统正常工作的概率， 则， 所以该系统增加一个元件，可靠性变差了. 期中基础通关练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．(25-26高二下·山东临沂第二十四中学·)对于事件,,,,则 (    ) A．0.4 B．0.08 C．0.6 D．0.48 【答案】D 【来源】山东临沂第二十四中学2025-2026学年高二下学期3月学生素养评价数学试题 【详解】,所以， 又，所以. 2．(25-26高二下·湖南长沙周南中学·)设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南长沙市周南中学2025-2026学年下学期高二年级第1次质量检测数学试题 【分析】通过二项分布的期望，方差公式求解. 【详解】因为随机变量，所以， 解得，所以， 所以. 3．(25-26高二下·江苏南通天星湖中学·月考)若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏南通市天星湖中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题 【分析】根据两点分布求，再根据期望和方差公式以及性质，即可求解. 【详解】由题意可知，，所以， ，， . 二、多选题 4．对于随机事件A，B，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【来源】陕西省榆林市2026届高三下学期全国高考冲刺压轴卷（一） 数学试卷 【详解】对于A，因为，，， 所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 5．(25-26高二上·江西九江第一中学·期末)下列关于随机事件的概率说法正确的是（   ） A．若，则事件发生，事件一定发生 B．对于古典概型，若，则事件与互斥 C．若，则事件与独立 D．若，则事件与独立 【答案】BCD 【来源】江西省九江第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】利用互斥事件，相互独立事件同时发生乘法公式，条件概率公式来进行判断即可. 【详解】对于A选项，若，则事件发生，事件不一定发生，A错； 对于B选项，对于古典概型，若 ，则事件与互斥，B对； 对于C选项，若且由条件概率公式可得， 所以，所以，则事件与独立，C对； 对于D选项，若，则， 所以，故与独立，即事件与独立，D对． 故选：BCD． 三、填空题 6．两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______． 【答案】 【来源】陕西省镇安中学2026届高三下学期二模数学试题 【分析】分别求出事件的对立事件和事件包含的样本点个数，再利用求解即可. 【详解】两位游客从4个景点中任选，每人有4种选择，总事件数：种． 事件的对立事件为“两位游客都不选择古汉台”，的事件数：种， 事件分为两种情况：甲选古汉台，乙选其余3个景点，3种； 乙选古汉台，甲选其余3个景点，3种； 共种事件， 所以． 7．(25-26高一·河南驻马店·期末)已知事件，发生的概率分别为，，若与相互独立，则______. 【答案】0.44 【来源】河南省驻马店市2025-2026学年度高一第一学期期末质量监测数学试题 【分析】利用并事件的概率公式即可. 【详解】. 故答案为：0.44. 8．(25-26高二·宁夏银川第二中学·月考)某批产品来自 A、B两条生产线，A生产线占60%，次品率为4%；B生产线占40%，次品率为5%.现随机抽取一件进行检测，抽到的是次品的概率是________. 【答案】 【来源】宁夏回族自治区银川市第二中学2025-2026学年高二第二学期月考一数学试卷 【详解】设“抽到的产品来自生产线”， “抽到的产品来自生产线”， “抽到的产品是次品”， 则． 9．(25-26高二·上海大学北附属中学·期末)某批产品来自两条生产线，生产线占，次品率为；生产线占，次品率为． 现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是______________． 【答案】 【来源】上海大学市北附属中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试卷 【分析】根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求解. 【详解】设“抽到的产品来自生产线”，“抽到的产品来自生产线”，“抽到的产品是次品”，则， ． 故答案为： 10．若离散型随机变量的分布列为 0 1 2 则________，________． 【答案】 【来源】第七章 随机变量及其分布 7.2 离散型随机变量及其分布列 【分析】由分布列中概率和为，求得的值；结合分布列，根据加法公式求得. 【详解】由，得． ． 故答案为： 四、解答题 11．(25-26高二·湖北天门·)某旅游景区停车场的收费标准为：1小时以内（含）不收费，1小时2小时（含）按5元收费．超出2小时的部分按每小时6元收费（不足1小时的按1小时计算）．现有甲、乙两人临时停车，两人停车都不超过4小时． (1)若甲停车不超过1小时的概率为，超过2小时的概率为，求甲停车1小时以上且不超过2小时的概率； (2)若甲乙两人停车的时长是相互独立的，且每个人停车费为0元、5元、11元的概率分别为，求甲、乙两人停车费之和为22元的概率． 【答案】(1) (2) 【来源】湖北天门市2025-2026学年高二第一学期教学质量监测数学试题 【分析】（1）根据对立事件概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的乘法公式进行求解即可. 【详解】（1）设甲停车1小时以上且不超过2小时的事件为A， 则； （2）由题意可知，每个人停车时间超过3小时，即停车费为17元的概率为. 设甲乙两人停车费之和为22元的事件为M， 甲要付0元、5元、11元、17元停车费的事件分别为， 乙要付0元、5元、11元、17元停车费的事件分别为， 则. 因为每人停车的时长是相互独立的，所以， . 12．(25-26高三下·海南部分学校·调研)竹竿舞又称“跳竹竿”，是人在两竹竿滑动相撞的空隙中跳动的一种娱乐活动.2005年，黎族的竹竿舞被确定为海南省非物质文化遗产，2006年，竹竿舞入选“国家级非物质文化遗产保护名录”，甲､乙两名游客组队参加了海南某文化旅游区举办的竹竿舞闯关活动，该活动总共分为三关：第一､二关均为单人独舞（第一关和第二关闯关的人不相同），第三关为两人共舞.已知甲､乙闯过第一关的概率分别为，闯过第二关的概率分别为，这支队伍闯过第三关的概率为0.5.活动规定：只有闯过前一关，才有资格闯关后一关. (1)请以这支队伍闯过前两关的概率为依据，为甲､乙安排第一关和第二关的闯关顺序，并求此时这支队伍闯过前两关的概率； (2)以在（1）中安排的闯关顺序为准，记这支队伍闯过的关数为，求的分布列与期望. 【答案】(1)甲闯第一关，乙闯第二关，此时这支队伍闯过前两关的概率为 (2) 0 1 2 3 0.2 0.32 0.24 0.24 【来源】海南部分学校2025-2026学年高三下学期联合调研考试i数学试题 【详解】（1）若甲闯第一关，乙闯第二关，则这支队伍闯过前两关的概率为， 若乙闯第一关，甲闯第二关，则这支队伍闯过前两关的概率为， 由于，则应该安排甲闯第一关，乙闯第二关，此时这支队伍闯过前两关的概率为. （2）由（1）知，安排甲闯第一关，乙闯第二关，而的可能取值为， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 0.2 0.32 0.24 0.24 则. 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．(25-26高三下·陕西西安西北工业大学附属中学·)当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】陕西西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高三下学期第十一次模考数学试题 【分析】根据对立事件的概率关系求出，由条件概率公式求得，根据全概率公式求得，再由条件概率公式求得. 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 二、多选题 2．(25-26高二下·吉林四平实验中学·月考)若随机事件A，B满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则相互独立 B．若，，，则相互独立 C．若，则相互独立 D．若相互独立，则 【答案】ABD 【来源】吉林四平市实验中学2025-2026学年下学期第一次月考试题高二数学 【分析】事件相互独立的定义为，条件概率公式为，对每个选项逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，即相互独立，故A正确. 对于B，由，，，可得，即相互独立，故B正确. 对于C，，又，. ，所以不相互独立，故C错误. 对于D，当相互独立时，也相互独立，所以，因此，故D正确． 3．已知随机事件A，B，C满足，，，，则下列说法正确的是（   ） A．事件A，B相互独立 B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【来源】重庆市第八中学2026届高三下3月月考数学试卷 【分析】利用概率的基本性质、条件概率公式及相互独立事件的定义逐项求解判断. 【详解】随机事件A，B，C满足， 对于A，，事件相互独立，A正确； 对于B，，，，B错误； 对于C，，则，，C正确； 对于D，由，得，则，解得，D正确. 4．(25-26高三·广东深圳罗湖区·期末)某商场举行抽奖活动，规则如下：参与者从甲、乙两个箱子中随机选择一个，然后从该箱中有放回地抽取小球两次，每次抽取1个球，已知甲箱中有4个红球和2个白球，乙箱中有3个红球和3个白球，每次抽到红球记1分，抽到白球记0分，设事件“参与者选择甲箱”，事件“两次抽球总得分为2分”，则（   ） A． B． C．与相互独立 D． 【答案】ABD 【来源】广东深圳市罗湖区2025-2026学年第一学期期末质量检测高三数学试卷 【分析】根据条件公式即可判断A，利用全概率公式即可判断B，利用事件的独立性的定义即可判断C，利用贝叶斯公式即可判断D. 【详解】设甲箱中每次抽到红球概率为，乙箱中每次抽到红球概率为， 由于参与者选择箱子是随机的，． 在事件发生的条件下（即选择了甲箱），每次抽到红球的概率为， 且各次抽取相互独立．两次总得分为2分，即两次均抽到红球，其概率为，故A正确； 在事件发生的条件下（即选择了乙箱），每次抽到红球的概率为，两次均抽到红球概率为， 由全概率公式，，故B正确； 由于， 显然，因此事件与事件不独立，故C错误； 由贝叶斯公式，，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 5．(25-26高三上·江西景德镇一中·期末)已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且红球在1，2，3号箱中分别占，，.从3个箱中随机选一个箱子，再从中随机取出一个球，若1，2，3号箱子被选中的概率为，，，问在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为______. 【答案】 【来源】江西省景德镇一中2025-2026学年高三上学期期末数学试题 【分析】由题意，根据古典概型的概率公式以及条件概率计算公式，结合全概率公式和贝叶斯公式即可计算得解. 【详解】设事件为“取出的小球来自号箱”，事件为“取出的球为红球”， 则构成了总的样本空间，且，，两两互斥， 由题意有，，， ，，， 则由全概率公式得， 则在取出的球为红球的条件下， 该球取自3号箱的概率为. 故答案为： 四、解答题 6．马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，求 (1)的值； (2)求的式子. 【答案】(1) (2) 【来源】河南南阳市方城县第一高级中学2026届高三一模错题重考数学试卷 【分析】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式可求得； （2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解. 【详解】（1）由题意，； （2）当时， ， 整理得，， 是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以. 7．某商场进行消费抽奖活动，抽奖分成两轮，第一轮游戏消费者投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，进入第二轮游戏，否则游戏结束，消费者获得三等奖，奖金10元；第二轮游戏消费者在装有2个白球和个红球的抽奖箱中任意抽取两个球，若抽取的两个球均为白球，则获得一等奖，奖金30元，若抽取的球为一个红球一个白球，则获得二等奖，奖金20元，若抽取的球均为红球，则获得三等奖，奖金10元，抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同． (1)若，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率； (2)记顾客一次抽奖所获得的奖金为，若商场希望的数学期望小于12元，求的最小值． 【答案】(1) (2)9 【来源】山东中学联盟2026届高三普通高中学业水平4月调研数学试卷 【详解】（1）硬币只有正反两面，第一轮反面朝上的概率为； 当时，抽奖箱中有2个白球和4个红球，从6个球中任意摸出2个球的组合数为，从4个红球中任意摸出2个球的组合数为， 第二轮摸到2个红球的概率为； 第一轮硬币正面朝上且第二轮摸到的2个球均为红球的概率为； 顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率为. （2）由题意得，的所有可能取值为10，20，30. 商场希望的数学期望小于12, ，即 化简得，解得或. 且，的最小值为9. 8．第33届夏季奥林匹克运动会于2024年月日至月日在法国巴黎举行．为举行这场体育盛会，某社区决定举办一次奥林匹克运动会知识竞赛，要求每组参赛队伍由两人组成，竞赛分为预赛和决赛，其中预赛规则如下： ①每组队伍先从两类问题中选择一类，并由两位选手从各随机抽取一个问题回答，答错的选手本轮竞赛结束；答对的选手再从另一类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，该选手本轮竞赛结束； ②若在本轮竞赛中每组队伍的两名选手合计答对问题的个数不少于3个，则可进入决赛． 市民甲与乙组成“梦幻”队参加了这次竞赛，已知甲答对A类中每个问题的概率均为0.7，答对B类中每个问题的概率均为0.5，乙答对A类中每个问题的概率均为0.4，答对B类中每个问题的概率均为0.8． (1)若“梦幻”队先回答A类问题，记X为“梦幻”队答对问题的个数，求X的分布列； (2)为使“梦幻”队进入决赛的概率最大，“梦幻”队应选择先回答哪类问题？并说明理由． 【答案】(1)分布列见解析 (2)B类问题，理由见解析 【来源】假期作业十一 离散型随机变量的分布列和二项分布 高二寒假作业快乐假期B版数学 【分析】（1）根据题意得的可能取值为0，1，2，3，4，求得相应的概率，列出分布列； （2）由（1）求得先回答类问题，“梦幻”队能进入决赛的概率为，再求得先回答类问题，“梦幻”队能进入决赛的概率为，结合，即可得到答案. 【详解】（1）根据题意得X的可能取值为， 则， ， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.180 0.234 0.334 0.140 0.112 （2）由（1）可知，若先回答A类问题，则“梦幻”队能进入决赛的概率为：； 若先回答B类问题，记“梦幻”队答对问题的个数为Y， 则，， 则“梦幻”队能进入决赛的概率为， 所以，所以为使“梦幻”队进入决赛的概率最大，“梦幻”队应选择先回答B类问题． 9．某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 ， (3) 【来源】河北石家庄市2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（一）数学试题 【分析】（1）直接根据频率和样本容量计算可得； （2）由随机变量服从超几何分布，根据超几分布计算可得； （3）随机变量服从二项分布，再根据概率的增减性判断可得. 【详解】（1）该样本中学生分数为优秀的频率 故优秀的人数为人; （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈， 其中分数在的人数为. 若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为. 则的分布列为： 0 1 2 所以. （3）由题意知，，则，. 令， 当，解得. 因为，所以时，， 当时，，所以当时，最大. 10．某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “春节联欢晚会” 的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件 “喜欢春节联欢晚会”， “学生为女生”，据统计有：. (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为. 求的概率分布列和期望; (2)将样本的频率视为概率. 现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 【答案】(1) 0 1 2 (2)或40或41 【来源】重庆市第一中学校2026届高三下学期3月月考数学试卷 【分析】（1）由题意易得的所有可能取值为，算出对应的概率可得分布列，进一步得数学期望； （2）先得到从全校的学生中随机抽取1名学生，他喜欢春节联欢晚会的概率为，再由二项分布概率最大可列不等式求解. 【详解】（1）由，所以10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为6人和4人， 故的取值为， 则， 的分布列为： 0 1 2 故的期望为. （2）（i）由已知 ，女生有 100 人， 所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为 60 人， 又因为，所以喜欢春节联欢晚会的人数为 90 人， 由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生， 他喜欢春节联欢晚会的概率为， 则随机变量， 令 ， 解得， 因为，所以或40或41. 11．(25-26高二·江西南昌中学三经路校区·期末)DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张答对的题数为，求的分布列，并求出的期望和方差． 【答案】(1) (2)0.9 (3)答案见解析 【来源】江西南昌中学三经路校区2025~2026学年度第一学期期末考试高二数学 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”，将所求事件表示为，再利用全概率公式计算可得； （3）X的可能取值是，求出所对应的概率，即可求出分布列、期望和方差． 【详解】（1）由题意，小张能全部回答正确当且仅当抽到的9个问题均来自他能正确回答的9个问题. 则由古典概型的概率公式可得， 小张能全部回答正确的概率， 故小张能全部回答正确的概率为； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”， 则，且事件与互斥， 由题意知， 则， 由全概率公式可得， ． 故一个问题能被DeepSeek回答正确的概率为； （3）已知小张答对的题数为X，则X的可能取值是， 且， 所以X的分布列为： 8 9 则， . 故的期望为，方差为. 12．某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为X，求X的分布列； (3)由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且.从该市所有参赛学生中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6分的概率. ［参考数据：；若，则， ，］ 【答案】(1)，76分 (2)分布列见解析 (3) 【来源】新疆2026年普通高考三月适应性检测数学试卷 【分析】（1）根据频率分布直方图矩形面积为1计算可得，再由百分位数的定义计算可求出最低分数线； （2）由分层抽样比可求出各区间抽取的人数，再计算出相应概率可求出分布列； （3）由频率分布直方图计算出初赛成绩的平均值，再由正态分布计算可得所求概率. 【详解】（1）由频率分布直方图易知，， 解得， 由图知的频率为0.04，的频率为， 的频率为0.54， ∴获奖学生最低分数线落在内，不妨设为x， 则，解得， ∴估计获奖学生的最低分数线为76分. （2）由图可知，与的频率之比是， 根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取3人，在内抽取4人，在内抽取1人. 则X的可能取值为0，1，2， 易知，，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P （3）易知平均值为， 即可得， ∴. 期中综合拓展练（测试时间30分钟） 一、多选题 1．(25-26高三下·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·开学考)小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且，事件:吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子，事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【来源】安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题 【分析】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，利用条件概率公式计算、全概率公式逐项判断即可. 【详解】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，， 事件：吃到的前个饺子均为玉米肉馅饺子. 则，A正确； ，，B错误； ， 当时，， 由题知，， 所以，C正确； 又， 所以.D正确. 2．为测试一种新研发药物的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 5 45 50 未使用药物 25 25 50 合计 30 70 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的权值，在发生的条件下的权值，则（） A．的估值为，的估值为 B．的估值为，的估值为 C．可化为 D．可化为 【答案】AC 【来源】浙江省名校协作体2026届高三下学期开学联考数学练习试题 【分析】对AB，利用表格和频率估计概率，代入计算即可；对C、D，利用贝叶斯公式和条件概率公式化简即可 【详解】对AB，根据表格和频率估计概率：事件为动物发病，总样本数为，发病共只， 因此，。由定义 事件为此动物使用药物，发生条件下，用药共只，其中发病只， 因此，。由定义.因此选项A正确，选项B错误. 对CD，利用贝叶斯公式展开推导：根据条件概率公式：， 代入得： 又，因此：，选项C正确，选项D错误 3．小明和小红进行某项比赛（比赛结果没有平局），小明每局获胜的概率均为，每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记小明和小红两人积分之差的绝对值为，当时，比赛结束且总积分多者获胜.下列说法正确的是（    ） A．若，则比赛结束时总局数可能是5 B．若，，则恰好4局结束比赛且小明获胜的概率为 C．若，，则在不超过5局比赛结束的条件下，小明以4:1获胜的概率为 D．若，，比赛进行一段时间后，则继续比赛小明最终获胜的概率为 【答案】BCD 【来源】陕西省渭南中学2026届高三（3月中旬）质量调研数学试题 【分析】由题意可知时，比赛结束时总局数为偶数可判断A，由二项分布、相互独立事件的概率公式可判断B和C，由全概率公式分析可判断D. 【详解】选项A：若，则比赛结束时积分差的绝对值为2， 设总局数为，小明胜局，小红胜局， 则，即，所以总局数为偶数，故A错误. 选项B：若，，则恰好4局结束比赛且小明获胜的概率为： ，故B正确. 选项C：若，，则在不超过5局比赛结束，有两种情况，第一种小明或小红连胜3局，概率为. 第二种小明或小红以获胜，概率为. 其中小明以获胜的概率为. 所以在不超过5局比赛结束的条件下，小明以4:1获胜的概率为，故C正确. 选项D：设小明在净胜局（小明胜的局数比输的局数多）前提下，继续比赛最终获胜的概率为，. 当净胜局时，继续比赛一局，若小明胜，则小明的状态变为净胜局，继续比赛获胜的概率为；若小明输，则小明的状态变为净胜局，比赛结束，小明失败. 根据全概率公式可得，. 当净胜局时，继续比赛一局，若小明胜，则小明的状态变为净胜0局，继续比赛获胜的概率为；若小明输，则小明的状态变为净胜局，继续比赛获胜的概率为. 根据全概率公式可得，. 同理可得，当净胜0局时，.当净胜1局时，. 当净胜2局时，继续比赛一局，若小明胜，则小明以获胜，若小明输，则小明的状态变为净胜1局，继续比赛获胜的概率为. 根据全概率公式可得，. 联立，即，整理得，解得. 因为表示小明和小红积分相同，即净胜0局，所以继续比赛小明最终获胜的概率为，故D正确. 4．(25-26高三下·湖北天门中学等校·)在某次联考中，全体物理方向高三学生数学成绩，此次联考物理方向数学一本线为80分，清北线为140分．已知：若，则，则下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则服从标准正态分布 B． C．从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为 D．从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为 【答案】BCD 【来源】湖北省天门中学等校2025-2026学年高三下学期2月阶段训练数学试卷 【分析】借助正态分布中的意义与标准正态分布的意义可判断A；利用正态分布的性质计算即可得的值可判断B；由正态分布的性质可得，，结合相互独立事件的概率公式及条件概率公式计算即可判断CD. 【详解】对于A，因为，则， 若随机变量，则服从标准正态分布， 故时，才服从标准正态分布，故A错误； 对于B，， ， 由正态分布的对称性可得， 所以，故B正确； 对于C，由， 可得， 所以从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为： ，故C正确； 对于D，由，可得， 所以， 又，所以由条件概率公式可得， 所以从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为，故D正确. 故选：BCD. 二、填空题 5．已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________. 【答案】 【来源】江西省南昌市2026届高三下学期三月（一模）测试数学试题 【详解】若4次重复操作后，盒中6个球全是红球，则1次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次、第二次和第三次抽到红球三种情况， 所以， 若5次重复操作后，盒中6个球全是红球，则2次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次和第二次、第一次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况， 所以 ， 所以. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于将次重复操作后，盒中6个球全是红球转化为次抽到红球，3次抽到黑球，然后分情况计算概率即可. 6．一个正十二面体，十二个面分别标以数字1到12，任意抛掷一次这个正十二面体，观察它与地面接触的面上的数字．事件，事件，若事件满足，则满足条件的事件的个数为__________． 【答案】108 【来源】四川省字节精准教育联盟2026届高三二模数学试题 【分析】将事件概率关系转化成事件包含的样本点个数关系，进而对条件分类讨论得答案. 【详解】由事件，事件，从而， 所以，即， 从而有， 又由，即， 从而有， 又由，即， 从而有，故 其中，，故，或. 当时，，，； 故中有且只有一个元素在中，中有且只有一个元素在中， 中另外两个元素为中两奇数或两偶数，满足条件的事件共有. 当时，，，； 故中有且只有两个元素在中，中有且只有两个元素在中， 中另外四个元素为中一个奇数三个偶数或三个奇数一个偶数， 满足条件的事件共有. 当时，，，；此时不满足，不合题意. 综上满足条件的事件的个数为个. 三、解答题 7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下： 若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分； 若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． (1)求甲获得3分的概率； (2)若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为． ①求的表达式，并比较和的大小关系； ②求在上的最大值及取得最大值时的值． 【答案】(1)； (2)随机变量的分布列为： ； (3)①；②当时，取得最大值. 【来源】陕西省渭南中学2026届高三（3月中旬）质量调研数学试题 【分析】（1）甲获得3分，有和获胜两种情况，根据事件的相互独立性和互斥事件的加法即可求解； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式计算； （3）①先求出的表达式，再得到的表达式，即可比较大小； ②通过换元，令，结合二次函数的图像性质及复合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立． 所以甲以获胜的概率为， 甲以获胜的概率为， 所以甲获得3分的概率为； （2）由题意可知，随机变量为甲的总得分，其所有可能取值为、、、， 若，即甲、乙获胜的概率都是， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以； （3）①由题意，，， 所以 ， 则， 所以； ②由①可得，， 令，， 因为，可得恒成立，所以单调递增， 又当时，取得最大值，即， 所以， 即当时，取得最大值. 8．(25-26高三下·河南周口天立高级中学等学校·)一种加密传输信号发出信号“11”的概率为，发出信号“2”“3”“4”三个信号的概率均为．某次传输信号过程中，传输器一共发出了次信号，信号接收人员按照传输先后顺序依次记录得到信号序列．例如，当时，“1123”为一个发出的信号序列，共有四个数字． (1)若，记信号序列中数字2的个数为，求的数学期望和方差； (2)若，记信号序列中第个数为的概率为，求： （i）； （ii）． 【答案】(1)， (2)（i） （ii） 【来源】河南周口市天立高级中学等学校2025-2026学年高三下学期开学数学试题 【分析】（1）根据二项分布的期望和方差公式即可求解； （2）（i）法一:利用全概率公式，建立起与的递推公式，构造等比数列即可求解；法二：通过构造互补事件加递推数列求解，设事件：在某一次发出信号后，信号序列共有个数；事件：任意一次发出信号后，信号序列都不可能有个数，设为事件的概率，为信号序列的所有数字，构造等比数列可求出，将第个数为1的概率按照初始信号分为两类，代入计算即可求解； （ii）由信号转移规则推出来，当时由（i）知，验证当上式成立，再根据条件概率公式即可求解. 【详解】（1）易知符合二项分布， 所以． （2）（i）若一开始发出的信号为“11”，即最左边两个数为“11”， 则对于前个数，在剩下个数中，第个数为1的概率为； 若一开始发出的信号为“2”或“3”或“4”， 则对于前个数，在剩下个数中，第个数为1的概率为； 所以， 故 且 而，， 故，， 故为等比数列且首项为，公比为， 为常数列，且该常数为， 故且， 故. （ii）， ， 当时，同（i）可知 ， 同（i）， 故， 故． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $