【北师大版】期中模拟卷（2）-2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（原卷版+解析版）

编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块一上册》（北师大版）教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本卷是2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（北师大版）的期中模拟试卷（2）。 2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》 期中模拟卷（2） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块一 上册》（北师大版）教材第5、6单元。 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的顶点到渐近线的距离为（   ） A．3 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】首先求出双曲线的渐近线，再求出双曲线方程，最后根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为两条渐近线互相垂直，所以双曲线渐近线方程为，所以，解得或． 因焦点在y轴上，则，双曲线方程为，所以，，焦点在轴，顶点为； 从而该双曲线的顶点到渐近线的距离为． 故选：D． 2．设抛物线上一点P到y轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是（   ） A．3 B．4 C．7 D． 【答案】B 【分析】根据焦半径公式求值即可. 【详解】已知抛物线中，， 则抛物线上点P到该抛物线焦点的距离为， 故选：B. 3．若椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则点P到另一个焦点的距离为（   ） A．5 B．6 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义求值即可. 【详解】已知椭圆，则，， 所以，因为点P到一个焦点的距离为5， 则点P到另一个焦点的距离为， 故选：A. 4．已知抛物线上的点到焦点的距离为，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的焦半径公式即可得解. 【详解】抛物线，焦点在轴正半轴，且焦点坐标为，则准线方程为， 设点的横坐标为，，解得， 故选：. 5．已知椭圆的离心率是，则的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．不存在这样的 【答案】C 【分析】根据椭圆方程以及椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】椭圆的标准方程为，因此，即， 若焦点在轴上，则，即， 此时，，， 离心率，故，解得 ，符合条件. 若焦点在轴上，则，解得， 此时，，， 离心率 ，故 ，解得 ，符合条件. 因此的值为或. 故选：C. 6．已知抛物线上的一点到焦点的距离，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】∵抛物线一点到焦点的距离， ∴由抛物线的定义可知，，解得， 所以抛物线方程为. 故选：B. 7．在平面直角坐标系中，直线与抛物线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】B 【分析】联立方程组，求出判别式即可得解. 【详解】依题意，联立方程组， ，说明方程有一个实数解， 即直线与抛物线的交点个数是. 故选：. 8．已知焦点在轴的椭圆，离心率为，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】已知椭圆的标准方程和离心率，可根据椭圆的基本性质以及离心率公式来求解. 【详解】因为焦点在轴上的椭圆，所以. 离心率，代入可得. 又因为，代入和，解得，所以. 故选：C 9．下列命题正确的是（    ） ①如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的任意一条直线都和另一平面垂直. ④如果个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. A．①②③ B．③④ C．②③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据线面平行，面面平行，线面垂直的判定，面面垂直的性质即可求解. 【详解】对①，由线面平行的判定可得，平面外的一条直线与平面内的一条直线平行， 那么这条直线与这个平面平行，故①正确. 对②，由线面垂直的判定可得，平面外一条直线与平面内的两条相交直线垂直, 那么这条直线与这个平面垂直，故②错误. 对③，两平面垂直，一平面内垂直于两平面交线的直线垂直于另一个平面，故③错误. 对④，由面面平行的判定可得，平面内的两条相交直线都与另一个平面平行， 那么这两个平面平行，故④正确. 综上，①④正确. 故选：D. 10．已知为平面，l，m，n为三条不同的直线，给出以下四个结论： ①若l，m与n所成的角相等，则； ②若l，m与所成的角相等，则； ③若l与n所成的角等于，，则m与n所成的角等于； ④若l与所成的角等于，，则m与所成的角等于． 其中正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】D 【分析】根据直线与直线、直线与平面所成角的定义和性质，对每个结论逐一进行分析判断. 【详解】对于①，若，与所成的角相等，则与的位置关系有多种可能：可能平行，可能相交，也可能异面，故①错误； 对于②，若，与所成的角相等，则与的位置关系有多种可能：可能平行，也可能相交，也可能异面，故②错误； 对于③，已知与所成的角等于，且，那么与所成的角和与所成的角是相等的， 所以与所成的角等于，故③正确； 对于④，若与所成的角等于，且，那么与所成的角和与所成的角是相等的， 所以与所成的角等于，故④正确， 故选：D. 11．下列条件能确定一个平面的是（   ） A．空间的三个点 B．空间的一个点和一条直线 C．空间的两条直线 D．空间的两条相交的直线 【答案】D 【分析】根据题意，结合平面的公理及推论，即可判断结果． 【详解】根据平面的公理和三个推论可得： 空间不共线的三个点确定一个平面， 若空间三点共线时，过这三点的平面有无数个，故A错误； 空间的一条直线和直线外一点可确定一个平面， 若该点在直线上时，则有无数个平面经过这条直线和该点，故B错误； 空间的两条相交直线或两条平行直线可确定一个平面， 若两条直线异面时，则这两条直线不能确定一个平面，故C错误，D正确. 故选：D 12．空间中两条异面直线所成角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据异面直线所成角定义可得结果. 【详解】根据异面直线所成角定义知：空间中两条异面直线所成角的范围是. 故选：C 13．若平面平面，直线，直线，那么直线a，b的位置关系一定是（   ） A．无公共点 B．平行 C．异面 D．相交 【答案】A 【分析】由两线的位置关系的定义判断即可. 【详解】已知平面，直线，直线. 因为两个平面平行，所以它们没有任何公共点，因此直线和也一定没有公共点. a，b的位置关系可能平行或异面，直线和不可能相交. 故选：A 14．下列命题中，不正确的是（    ） A．若平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线，则 B．若平面内任意一条直线都平行于平面，则 C．若平面平面，任取，且与两个平面的交线垂直，则必有 D．若平面平面，任取，则必有 【答案】A 【分析】根据面面垂直的判定定理和性质，以及面面平行的判定和性质即可求解. 【详解】对A：根据面面垂直的判定定理可知，若平面内的一条直线垂直于平面β，则，故A项错误； 对B：若平面内任一直线平行于平面，则直线与平面没有公共点， 所以平面与平面没有公共点，所以，故B项正确； 对C：根据面面垂直的性质定理可知，若两个平面垂直， 那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，故C项正确； 对D：若平面平面，则平面与平面没有公共点，任取直线， 则直线与平面没有公共点，所以，故D项正确. 故选：A. 15．下列说法错误的是（   ）． A．不共线的三个点确定一个平面 B．两条平行直线确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．一条直线和一个平面内的一点确定一个平面 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质逐项判断即可. 【详解】由平面的基本性质可得， 不共线的三个点确定一个平面， 两条平行直线确定一个平面， 两条相交直线确定一个平面，故ABC正确， 一条直线和直线外的一点确定一个平面，故D错误， 故选：D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．若双曲线的渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为______． 【答案】3 【分析】根据双曲线渐近线的公式和离心率公式求值即可. 【详解】已知双曲线的渐近线的方程为， 所以，则， 所以，离心率为， 故答案为：. 17．已知抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为______________. 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求出的值，进而得到焦点到准线的距离. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为 抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为10， 由抛物线的定义可得，该点到抛物线的准线的距离也为10， 即，解得， 所以焦点到准线的距离为. 故答案为：. 18．椭圆（）的焦点坐标是______. 【答案】 【分析】将给定方程化为标准形式，判断焦点位置，并求出椭圆焦点坐标. 【详解】将椭圆方程化为，因为， 所以，即方程为焦点在y轴上的椭圆方程， 则，所以焦点的纵坐标为. 故答案为：. 19．如图所示，在正方体中，AC与所成的角的大小是______.    【答案】90° 【分析】利用正方体的性质和三垂线定理证明两直线垂直即可. 【详解】连接，    在正方体中，因为平面， 所以是斜线在平面上的射影， 因为与是正方形的对角线，所以. 所以，故AC与所成的角的大小是90°. 故答案为：. 20．如图所示，在四面体中，分别是的中点，若， ，则与所成角的大小是_____________    【答案】 【分析】取的中点构造平行关系，可知（或其补角）是与所成的角，求解即可. 【详解】取的中点，连接，，    因为，分别是，的中点，可得，， 所以（或其补角）是与所成的角， 因为，分别是，的中点，所以，， 已知，所以，即， 又因为，，所以，， 在中，， 所以，即与所成角的大小是. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21．设直线与抛物线相交于两点，已知弦的长为，求实数b的值． 【答案】 【分析】联立直线与抛物线方程，再由弦长公式列方程求解即可. 【详解】联立方程，消去y可得， 因为得，解得， 设，则， 所以， 即，则，解得． 22．已知椭圆：的焦距为6，短轴长为8.抛物线以原点为顶点，以椭圆的右焦点为焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求抛物线的标准方程； (3)若直线过抛物线的焦点，并与抛物线交于、两点，求（为坐标原点）的面积最小值. 【答案】(1). (2). (3)18. 【分析】（）根据题意结合椭圆的性质求出的值即可得解. （）根据抛物线的焦点求出值即可得解. （）联立方程组，结合韦达定理及三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由题意可知，，即，， ，， 因此，椭圆的标准方程为. （2）由题意知抛物线的焦点为，即， 抛物线的焦点在轴正半轴上， 抛物线的标准方程. （3）由题意可设直线的方程为， 联立方程组，消得， 由韦达定理有，， ，当且仅当时，等号成立， 此时面积最小，最小值为18. 23．如图所示，在正方体中，为中点． (1)求证：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）根据直线与平面的关系，再结合正方体的性质以及三角形的相关知识求解. （2）结合正方体的性质及三棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）连接交于O，连接，则正方形中，为中点， 因为分别为中点， 所以是的中位线，所以． 又面，面， 所以平面． （2）正方体中，平面， 所以. 24．如图长方体中，．求对角线与平面ABCD所成的角． 【答案】 【分析】根据线面角定义和三角函数的定义易得答案. 【详解】连接， 因为长方体中， 平面， 所以是在平面的投影， 所以是对角线与平面ABCD所成的角， 因为平面， 所以， 因为， 所以在正方形中，， 所以， 因为 所以， 所以对角线与平面ABCD所成的角的角度为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块一上册》（北师大版）教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本卷是2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（北师大版）的期中模拟试卷（2）。 2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》 期中模拟卷（2） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块一 上册》（北师大版）教材第5、6单元。 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的顶点到渐近线的距离为（   ） A．3 B．8 C． D． 2．设抛物线上一点P到y轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是（   ） A．3 B．4 C．7 D． 3．若椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则点P到另一个焦点的距离为（   ） A．5 B．6 C．4 D． 4．已知抛物线上的点到焦点的距离为，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的离心率是，则的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．不存在这样的 6．已知抛物线上的一点到焦点的距离，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，直线与抛物线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 8．已知焦点在轴的椭圆，离心率为，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．下列命题正确的是（    ） ①如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的任意一条直线都和另一平面垂直. ④如果个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. A．①②③ B．③④ C．②③④ D．①④ 10．已知为平面，l，m，n为三条不同的直线，给出以下四个结论： ①若l，m与n所成的角相等，则； ②若l，m与所成的角相等，则； ③若l与n所成的角等于，，则m与n所成的角等于； ④若l与所成的角等于，，则m与所成的角等于． 其中正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 11．下列条件能确定一个平面的是（   ） A．空间的三个点 B．空间的一个点和一条直线 C．空间的两条直线 D．空间的两条相交的直线 12．空间中两条异面直线所成角的范围是（   ） A． B． C． D． 13．若平面平面，直线，直线，那么直线a，b的位置关系一定是（   ） A．无公共点 B．平行 C．异面 D．相交 14．下列命题中，不正确的是（    ） A．若平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线，则 B．若平面内任意一条直线都平行于平面，则 C．若平面平面，任取，且与两个平面的交线垂直，则必有 D．若平面平面，任取，则必有 15．下列说法错误的是（   ）． A．不共线的三个点确定一个平面 B．两条平行直线确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．一条直线和一个平面内的一点确定一个平面 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．若双曲线的渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为______． 17．已知抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为______________. 18．椭圆（）的焦点坐标是______. 19．如图所示，在正方体中，AC与所成的角的大小是______.    20．如图所示，在四面体中，分别是的中点，若， ，则与所成角的大小是_____________    三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21． 设直线与抛物线相交于两点，已知弦的长为，求实数b的值． 22．已知椭圆：的焦距为6，短轴长为8.抛物线以原点为顶点，以椭圆的右焦点为焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求抛物线的标准方程； (3)若直线过抛物线的焦点，并与抛物线交于、两点，求（为坐标原点）的面积最小值. 23．如图所示，在正方体中，为中点． (1)求证：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 24．如图长方体中，．求对角线与平面ABCD所成的角． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $