【北师大版】期中模拟卷（3）-2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（原卷版+解析版）

编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块一上册》（北师大版）教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本卷是2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（北师大版）的期中模拟试卷（3）。 2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》 期中模拟卷（3） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块一 上册》（北师大版）教材第5、6单元。 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．已知双曲线的离心率为，若抛物线的焦点到该双曲线的渐近线的距离为3，则p等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的离心率以及渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】已知双曲线离心率，即. 结合双曲线的关系，代入得，化简得. 双曲线渐近线方程.抛物线的焦点坐标为. 则焦点到渐近线的距离，代入， 化简得由题知，解得. 故选：D. 2．已知双曲线方程为，则其离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线方程确定的值，再由离心率公式求值即可. 【详解】已知双曲线方程为， 则， 则，所以离心率为. 故选：C. 3．已知双曲线，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线在第一象限交于点，双曲线的右顶点是的中点，若，则该双曲线的实轴长等于（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由题意设出右焦点，并列方程求出点，由中点的条件得到，再根据关系及两点距离公式求出，即可求出双曲线的实轴长. 【详解】设右焦点， 因为直线轴，所以由可得：， 且点在第一象限，所以， 又因为双曲线的右顶点是的中点，所以， 所以， 解得，则该双曲线的实轴长为. 故选：B. 4．已知双曲线的方程为．若其顶点是线段的两个三等分点，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线方程可知，利用实轴与焦距的关系求得，进而得的值，最后根据渐近线公式可求解. 【详解】由双曲线可知，双曲线的焦点在轴上，且. ∵顶点是线段的两个三等分点， ∴，解得， 从而， ∴双曲线的渐近线方程为． 故选：D 5．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于，若，则（   ） A．4 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线定义可得为等边三角形，再结合p的值求解即可. 【详解】记准线与x轴的交点为点D，如图，    ∵由抛物线定义可知，且， ∴为等边三角形，则， ∴， 由抛物线方程：可知，可得， ∴， 在中，， ∴. 故选：B. 6．已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的实轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再利用双曲线中的关系求出，进而得到实轴长. 【详解】由抛物线方程为：，可得：，则，所以焦点坐标为. 双曲线方程为（），其左焦点与抛物线焦点重合，即. 对于双曲线，有，其中，. 代入得：，解得，即，所以. 所以双曲线的实轴长为. 故选：D 7．已知分别是椭圆的左、右焦点，P是该椭圆上一点，则＝（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，求出即可得出结果. 【详解】椭圆方程为，这是一个焦点在轴上的椭圆， ，则. 根据椭圆的定义， . 即. 故选：B 8．已知椭圆的左、右焦点分别是是椭圆上一点，若垂直于轴，，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义及离心率公式求解. 【详解】设椭圆的长半轴长为，半焦距为. 由题意，，，则， 是椭圆上一点，则， 即，得， 因为，所以， 则，即， 所以该椭圆的离心率， 故选：B. 9．已知不同的直线和平面，则下列命题中正确命题的个数是（   ） ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据直线与平面的位置关系求解即可. 【详解】平行线中的一条垂直于平面，另一条也垂直于该平面，所以①正确； 垂直于同一平面的两直线平行，所以②正确； 若，，则或，所以③错误； 由，不能得出，所以④错误. 故选：B. 10．下列命题正确的是（   ） A．经过三点有且只有一个平面 B．若两个平面垂直，则一个平面内的直线垂直于另一个平面 C．若一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与该平面平行 D．若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直 【答案】D 【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系逐项分析即可. 【详解】经过不共线的三点有且只有一个平面， 如果三点在一条直线，经过三点有无数个平面，故A错误， 若两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个面，不是平面内任意直线都满足，故B错误， 若一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与该平面平行，或在平面内，故C错误， 根据线面垂直的判定定理可知，若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直，故D正确， 故选：D. 11．、是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定的是（   ） A．平面内有无数条直线与平面平行 B．平面与平面同平行于一条直线 C．平面内有两条直线平行于平面 D．平面内有两条相交直线与平面平行 【答案】D 【分析】根据面面平行的判定定理分析求解即可. 【详解】A：平面内无数条平行于平面的直线可以互相平行，此时与可能相交，不能判定平行； B：两个相交平面也可以同时平行于同一条直线，不能判定平行； C：缺少"两条直线相交"的条件，若两条直线平行，与仍可能相交，不能判定； D：平面内有两条相交直线与平面平行，根据面面平行的判定定理得. 故选：D. 12．下列几何图形中，一定是平面图形的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．球 D．正四面体 【答案】A 【分析】根据平面图形及立体图形的定义即可得解. 【详解】三角形的三个顶点一定不在同一条直线上，则三个顶点确定一个平面， 所以三角形一定是平面图形，故正确； 空间四边形不是平面图形，故错误； 球不是平面图形，故错误； 正四面体不是平面图形，故错误； 故选：. 13．已知为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，线面垂直及面面平行的判定定理逐一分析选项. 【详解】项，若且，则可能平行、相交、异面，错误； 项，若，则，又，则，B正确； C项，若，则可能平行或异面，C错误； D项，若，则或，D错误. 故选：B. 14．在正方体中，O为的中点，则直线与所成角的大小为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合异面直线所成的角的定义，结合正方体的结构特征，即可求解. 【详解】    因为，所以四边形是平行四边形， 所以直线与所成角为直线与所成角，即， 设正方体的棱长为2，则，，， 因为，所以三角形是直角三角形，且， 解得. 故选：A. 15．如图所示，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于点于点，则下列结论不正确的是（    ）    A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理判断选项即可. 【详解】A选项，∵为圆的直径， ∴，即， ∵垂直于圆所在的平面，即平面， ∵平面，∴， ∵，平面， ∴平面，故A正确； B选项，∵平面，且平面， ∴平面平面，故B正确； C选项，假设平面，平面，则，又， ∵，平面，∴平面， 又平面，则，与为直径矛盾，故C错误； D选项，∵平面，平面， ∴， 又∵， ∴，平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面，故D正确. 故选：C. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．若抛物线的一条弦的中点为，则这条弦所在的直线的方程为______． 【答案】 【分析】先利用点差法求出弦所在直线的斜率，再结合直线的点斜式方程求出直线方程. 【详解】设这条弦的两端点分别为， ，两式相减可得，即， 由题意可得，这条弦所在直线的斜率显然存在且不为，即， 所以直线的斜率，又中点为， 则， 所以这条弦所在的直线的方程为，即. 故答案为：. 17．若抛物线的焦点为F，抛物线上有A，B两点，点A的横坐标为3，点B的横坐标为5，则______． 【答案】31 【分析】根据抛物线的定义分别求出的值即可得解. 【详解】由抛物线可得，其准线方程为. 因为点A的横坐标为3，点B的横坐标为5， 根据抛物线的定义，可得，， 所以. 故答案为：. 18．已知椭圆的长轴长与短轴长的比是，则该椭圆的离心率为________________. 【答案】 【分析】根据椭圆的性质求解即可. 【详解】设椭圆的长轴长与短轴长分别为：， 则，即 不妨设， 则， 则椭圆的离心率为：. 故答案为：. 19．过点，且与平行的直线方程为____________. 【答案】 【分析】根据直线平行的性质求解. 【详解】因为与平行， 所以可设所求直线为， 将点代入得： ，解得， 所以直线方程为. 故答案为：. 20．在正方体中，，异面直线与之间的距离等于_____. 【答案】1 【分析】根据异面直线之间的距离求解即可. 【详解】正方体如图所示：    在正方体中，，， ∴异面直线与之间的距离即为的长度， ∵， ∴异面直线与之间的距离等于1. 故答案为：1. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21．已知抛物线的焦点为，求： (1)抛物线的标准方程； (2)抛物线上到焦点的距离等于3的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设抛物线方程为，由焦点坐标解得即可得解； （2）根据抛物线的定义，求出该点的横坐标，代入抛物线方程可求纵坐标. 【详解】（1）由题意，设抛物线的标准方程为， 又焦点为，所以，解得， 所以抛物线方程为； （2）由可知，其准线方程为. 设抛物线上所求点的坐标为，则满足且. 因为该点到焦点的距离等于3，根据抛物线的定义，可得该点到准线的距离也等于3， 故有，解得， 将代入，可得， 所以抛物线上到焦点的距离等于3的点的坐标为或. 22．已知椭圆，过椭圆右焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于两点．求： (1)直线的方程； (2)弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆方程确定焦点，再由点斜式求出直线方程即可. （2）将直线方程与椭圆方程联立，设，再由韦达定理得，最后由弦长公式求值即可. 【详解】（1）已知椭圆， 其中， 其右焦点为，直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即. （2）已知椭圆， 直线方程为， 联立方程组得，即， 得出，设， ， 所以 . 23．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，M为PB的中点． (1)求证：平面PDC； (2)求证：平面平面PBD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图：是的中位线，则，再利用线面平行的判定定理即可证得答案； （2）利用线面垂直的判定定理可得平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）证明：在中，O、M分别为BD、PB的中点， ， 又平面PDC，平面PDC， 平面PDC. （2）在正方形ABCD中，， 又平面ABCD，平面ABCD， ， 又平面PAC，平面PAC，， 平面PAC， 又平面PBD， 平面平面PBD． 24．已知正四棱锥的各条棱长均为13，，分别是，上的点，且.    (1)求证：//平面； (2)求线段长. 【答案】(1)证明见解析 (2)7 【分析】（1）连接并延长交于，通过已知条件中的比值关系来寻找平行的条件，得出，进而可得结论； （2）利用余弦定理，结合已知条件求的长度． 【详解】（1）连接并延长交于，连接，如图所示． ，， ， 又， ， 又平面平面， 平面．    （2）在等边中，， 在中，由余弦定理知 ， ． ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块一上册》（北师大版）教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本卷是2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（北师大版）的期中模拟试卷（3）。 2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》 期中模拟卷（3） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块一 上册》（北师大版）教材第5、6单元。 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．已知双曲线的离心率为，若抛物线的焦点到该双曲线的渐近线的距离为3，则p等于（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线方程为，则其离心率（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线在第一象限交于点，双曲线的右顶点是的中点，若，则该双曲线的实轴长等于（   ） A．1 B．2 C． D． 4．已知双曲线的方程为．若其顶点是线段的两个三等分点，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于，若，则（   ） A．4 B．12 C． D． 6．已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的实轴长为（   ） A． B． C． D． 7．已知分别是椭圆的左、右焦点，P是该椭圆上一点，则＝（   ） A． B． C．2 D．4 8．已知椭圆的左、右焦点分别是是椭圆上一点，若垂直于轴，，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．已知不同的直线和平面，则下列命题中正确命题的个数是（   ） ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． A．1 B．2 C．3 D．4 10．下列命题正确的是（   ） A．经过三点有且只有一个平面 B．若两个平面垂直，则一个平面内的直线垂直于另一个平面 C．若一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与该平面平行 D．若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直 11．、是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定的是（   ） A．平面内有无数条直线与平面平行 B．平面与平面同平行于一条直线 C．平面内有两条直线平行于平面 D．平面内有两条相交直线与平面平行 12．下列几何图形中，一定是平面图形的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．球 D．正四面体 13．已知为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．在正方体中，O为的中点，则直线与所成角的大小为（    ）. A． B． C． D． 15．如图所示，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于点于点，则下列结论不正确的是（    ）    A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．若抛物线的一条弦的中点为，则这条弦所在的直线的方程为______． 17．若抛物线的焦点为F，抛物线上有A，B两点，点A的横坐标为3，点B的横坐标为5，则______． 18．已知椭圆的长轴长与短轴长的比是，则该椭圆的离心率为________________. 19．过点，且与平行的直线方程为____________. 20．在正方体中，，异面直线与之间的距离等于_____. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21．已知抛物线的焦点为，求： (1)抛物线的标准方程； (2)抛物线上到焦点的距离等于3的点的坐标． 22．已知椭圆，过椭圆右焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于两点．求： (1)直线的方程； (2)弦长． 23．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，M为PB的中点． (1)求证：平面PDC； (2)求证：平面平面PBD． 24．已知正四棱锥的各条棱长均为13，，分别是，上的点，且.    (1)求证：//平面； (2)求线段长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $