专题03 勾股定理及其逆定理（期中复习讲义，14题型）八年级数学下学期新教材沪科版

专题03 勾股定理及其逆定理（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 直接利用勾股定理求线段的长 题型02 证明勾股定理的方法 题型03 解决线段的平方关系 题型04 与直角三角形三边有关的面积问题 题型05 勾股定理在网格问题中的应用 题型06 解决折叠问题 题型07 勾股数问题 题型08 与弦图有关的计算 题型09 利用勾股定理构造直角三角形求线段的长 题型10 勾股定理的实际应用 题型11 勾股定理与最短路径问题 题型12 判断边能否构成直角三角形 题型13 利用勾股定理解决折叠问题 题型14 生活中的实际应用与勾股定理逆定理 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理的概念 熟记定理，会写定理的符号语言，会用定理变形求边长，如. 一般以选择，填空，基础计算的形式出现，大题中第一步常用，是计算几何相关量的基础。 勾股定理的证明 会使用拼图法、割补法，通过面积相等证明勾股定理，了解赵爽弦图、总统证法的原理，并会用面积法写简单的证明。 在期中或期末中以证明题或阅读理解的形式呈现，通常与数形结合思想进行考查。。 勾股定理求线段的长度 能准确快速算出直角三角形的边长，在没有指明是直角边还是斜边时会使用分类讨论思想进行求解。 以选择或填空的形式出现，通常是告诉在直角三角形中已知部分边长求其它线段的长度。。 勾股定理得逆定理 会用逆定理判断直角三角形；分清楚“原定理”与“逆定理”的使用条件或使用场景。 常常用来判断是不是直角三角形或者判断那个角是直角，也常与勾股定理一起组合进行综合考查。 勾股数的概念 会判断一组数据是不是勾股数；牢记常用的一些勾股数。 常以计算、填空的形式出现，通常考概念或者用来判断是不是直角三角形。 勾股定理的综合应用 会设未知数使用勾股定理列方程，能处理折叠、动点、坐标系、几何图形问题。 以解答题，中档题或压轴题的形式出现，与全等、三角形、四边形、坐标系结合考查。 知识点01 勾股定理 直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方：,(a，b为直角边，c为斜边) ·示例：若两直角边分别为a=3,b=4，则斜边为。 ·易错点：分不清直角边和斜边，错用斜边或直角边，计算时漏开方，单位不统一就直接代入计算。 知识点02 勾股定理变形求值 ,, ·示例：斜边为5，一直角边为3，则另一直角边为。 ·易错点：易记混公式，将勾股定理记成a=c-b，根号内算错为。 知识点03 勾股定理逆定理 ，则该三角形为直角三角形，c所对的角为直角。 ·示例：若三角形的三边分别为6,8,10，则，所以该三角形为直角三角形。 ·易错点：只看大小，不验证是否满足，把最长的边当成直角边。 知识点04 常见的勾股数 满足的三个正整数 ·示例：3,4,5；5,12,13；7,24,25等. ·易错点：已知直角三角形的两边为6和8，误认为第三边必为10；把5,6,7当成勾股数。 知识点05 含特殊角的直角三角形 含30°的直角三角形，斜边为30°角所对直角边的二倍；45°等腰直角三角形斜边=直角边为×。 ·示例：在直角三角形中30°角所对的边为5，所以斜边的长为10. ·易错点：把45°的直角三角形的边比记为1:1:2；30°对的边搞反。 知识点06 网格中求线段的长 构造直角三角形，利用勾股定理求解 ·示例：横向差为2，纵向差为4，则线段长为, ·易错点：直接数格子求长度，不构造直角三角形；横向、纵向距离数错误 知识点07 解决折叠类问题 折叠前后对应边相等、对应角相等，再利用勾股定理列方程求解 ·示例：长方形长为8，宽为4，沿对角线折叠，可利用方程求重叠部分的边长。 ·易错点：找不到相等的线段，设未知数后列错方程，忘记检验解是否合理。 知识点08 利用勾股定理解决实际问题 常见的应用如梯子、航海、距离等问题， ·示例：如梯子长5m，低端离墙3米，可得出墙高为故墙的高度为5米。 ·易错点：不会数形结合（画图），直接乱套公式；单位不统一，（厘米、米混用）。 知识点09 分类讨论问题 题目只说直角三角形两边长为3，4，没说谁是斜边谁是直角边，导致了分类讨论。 ·示例：直角三角形的两边分别为3,4，求另一边的长：1.当3,4是直角边时，另一边为；2，当4为斜边时，另一边为. ·易错点：只算一种情况，直接写5，导致答案不全。 题型一 直接利用勾股定理求线段的长 解｜题｜技｜巧 分析清楚题目中给出的直角边或斜边，代入勾股定理公式计算即可。 【典例1】如图，在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在长方形中，点E是的中点，且，连接，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，于点D，若，，则的长为_____． 题型二 证明勾股定理的方法 解｜题｜技｜巧 用两种方法去表示同一个图形的面积，令其相等，推导出，常见的证明方法有赵爽弦图法、总统法、外拼正方形法等。 【典例1】如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两直角边都是的直角三角形拼成一个新图形，使用不同的方法计算这个图形的面积，你发现了什么：___________ 【变式2】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：． 证明：， 又S四边形， ． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 题型三 解决线段的平方关系 解｜题｜技｜巧 基本原理依然是勾股定理：,若遇直角，直接套用勾股定理；若没有直角可先构造直角三角形；把要证明的线段关系放入直角三角形中写出平方的表达式，通过相加、减、代换得出结论。 【典例1】在中，所对的边分别是，且，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式2】如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为___________．    题型四 与直角三角形三边有关的面积问题 解｜题｜技｜巧 可通过勾股定理求出直角三角形中的边长的平方，进而得出由直角三角形的边长构造的图形的面积，也可以通过以直角三角形的边长为边长的图形的面积求出直角三角形的边长。 【典例1】如图，以直角三角形的三边为边作正方形，三个正方形的面积如图所示，正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．16 C．12 D．6 【变式2】如图①，是一个封闭的勾股水箱，其中甲，乙，丙三个部分是可以盛水且互相连通的正方形．已知，开始时，丙刚好盛满水，且甲，乙无水．当转动这个勾股水箱到图②位置时，水面刚好经过丙的中心（正方形两条对角线的交点），则此时乙中有水部分的面积为_____．    题型五 勾股定理在网格问题中的应用 解｜题｜技｜巧 根据网格特点可得，需求的边长=；可用来判定是否为直角三角形；在网格中常常使用割补发求图形的面积。 【典例1】中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因其趣味性强，深受大众喜爱．如图所示的棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则“车”“炮”两棋子间的距离为（   ） A．1 B．3 C． D． 【变式1】如图，在正方形网格中，点均在格点上，则下列线段长为的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在5×5的正方形网格中， 的顶点均在格点上，若 ，则点 P 与点_______重合．（填“D”“E”或“F”，且点D，E，F均为格点） 题型六 解决折叠问题 解｜题｜技｜巧 可根据四步法求解：1标：根据折叠的性质找到相等的边和角；2设：求那一段就设那一段为x；3找：找出新的小的Rt△，利用勾股定理列出方程，解出方程的解取适合的值即可。 【典例1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（   ） A． B．3 C． D． 【变式1】如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为_________． 【变式2】如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： (1)的长． (2)的面积． 题型七 勾股数问题 解｜题｜技｜巧 勾股数是满足的三个正整数，c为斜边，可以通过概念进行判断（所有含有小数，分数，带根号的最简根式都不是勾股数）。 【典例1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．，， B．1.5，2，2.5 C．5，12，11 D．7，24，25 【变式1】勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；．．．这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：若此类勾股数的勾为（为正整数），则股是___________．（结果用含的式子表示） 【变式2】（1）一位同学从勾股数“3，4，5”中发现，，，由此他发现最小数是奇数的勾股数的构造方法．你发现了吗？请你写出以下几组勾股数：①5，______，______；②7，______，______；③9，_______，_______． （2）写出勾股数一般规律的表达式（用字母n表示，n为奇数，且）． 题型八 与弦图有关的计算 解｜题｜技｜巧 抓住内外正方形求边长差，用面积差或勾股定理列方程，求变成、面积或线段平方和。 【典例1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为48，则小正方形的面积为（    ） A．8 B．16 C．2 D．27 【变式1】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为18，则小正方形的边长为_______． 【变式2】【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 题型九 利用勾股定理构造直角三角形求线段长 解｜题｜技｜巧 先根据图形构造出直角三角形，再结合边角之间的关系将已知量推导到同一个直角三角形中，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解。 【典例1】明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争藏，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几尺？建立数学模型，如图，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点，于点，于点，，则秋千绳索（或）的长度为（ ） A．14 B． C．15 D． 【变式1】一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为________． 【变式2】某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 题型十 勾股定理的实际应用 解｜题｜技｜巧 根据实际问题抽象出直角三角形模型，设出所求边为x，利用勾股定理列出方程，解方程取满足题意得未知数的值，再回代到原问题中去，即可求解。 【典例1】如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端A下落了（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．5米 【变式1】《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是_______． 【变式2】“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 题型十一 勾股定理与最短路径问题 解｜题｜技｜巧 展开成平面图形，构造直角三角形，利用勾股定理求解；再遇到多种路线时需要算出来比较大小才可以得出结论。 【典例1】如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱外的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离外上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（    ） A． B． C． D． 【变式1】运动铸就辉煌，汗水燃烧激情！阳光小学举办运动会，如图是运动会的颁奖台．3个长方体颁奖台的长均为，宽均为号颁奖台的高度分别是．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为________米． 题型十二 判断三边能否构成直角三角形 解｜题｜技｜巧 先找到最长的边长，再算出两小边的平方和，与最长边的平方相比，若相等则为直角三角形；若不等则不是直角三角形。 【典例1】在下列以线段的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若一个三角形的三边长分别为，且满足等式，则该三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 【变式2】若的三边长为、、，并且满足，则的形状是______． 题型十三 利用勾股定理逆定理解决几何问题 解｜题｜技｜巧 直接利用勾股定理逆定理验证是否满足,满足则为直角三角形，进一步可用勾股定理解决问题即可。 【典例1】如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 【变式1】如图，在四边形中，，若，则的度数为_________ ． 【变式2】如图，点在梯形的边上，,,,,． (1)求的度数． (2)求梯形的面积． 题型十四 生活中的实际应用与勾股定理逆定理 解｜题｜技｜巧 先抽象出实际问题中的几何问题，利用勾股定理逆定理验证是否满足,满足则为直角三角形，进一步可用勾股定理解决问题，最后回答实际问题。 【典例1】年7月日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部•联合－”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西方向以海里/小时的速度航行，二号舰以海里/小时的速度航行，离开港口小时后它们分别到达A，B两点，相距海里，则二号舰航行的方向是（    ） A．南偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西 【变式1】如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 【变式2】综合与实践：学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．小明测量4个直角三角形的边长，你认为正确无误的一组数据是（   ） A．5，3，4 B．8，8，10 C．5，11，12 D．10，15，20 2．下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（　　） A．2，3，4 B．4，7，5 C．6，7，8 D．5，12，13 3．在中，，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 4．如图，分别以Rt的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，则___________． 7．如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是_______(用字母表示)． 8．在平面直角坐标系中，点到原点O的距离是______． 9．已知中，，为直角边，为斜边． (1)若，求； (2)若，求． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（  ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 2．如图是一个弩箭模型，箭经过的中点．已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．已知三边长分别为，，，且满足，则是（  ） A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形 C．以为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形 5．如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是_____． 6．如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是________． 7．某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向由点向点移动，已知点为教学楼，点与直线上两点、的距离分别为和，且，以货车为圆心的周围以内为受影响区域． (1)求证： (2)教学楼会受噪声影响吗？为什么？ (3)若货车的速度为，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 8．某中学为提升学生实践能力，在学校围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且． (1)请在图中连接，求的长； (2)请你求出这块菜地的面积． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 2．在中，a，b，c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B．，， C． D． 3．如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　） A． B． C． D． 4．如图，在长方形纸片中，点M在边上，沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 5．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”其大意为：有一架秋千（如图），当它静止时，踏板离地距离为1尺．将它往前水平推送10尺（尺），则秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高……若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索的长为尺，则可列方程为_________________． 6．如图，在等边中，是的平分线，点E、P分别是上的动点．若，则的最小值是________________ ． 7．如图，在中，，，是斜边上的两点，且．将绕点顺时针旋转后，得到，连接．有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是__________．（请填写序号） 8．如图，在中，，于． (1)若，，求的长度． (2)设，，，判断之间的关系，并说明理由 9．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； (3)若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 10．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理及其逆定理（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 直接利用勾股定理求线段的长 题型02 证明勾股定理的方法 题型03 解决线段的平方关系 题型04 与直角三角形三边有关的面积问题 题型05 勾股定理在网格问题中的应用 题型06 解决折叠问题 题型07 勾股数问题 题型08 与弦图有关的计算 题型09 利用勾股定理构造直角三角形求线段的长 题型10 勾股定理的实际应用 题型11 勾股定理与最短路径问题 题型12 判断边能否构成直角三角形 题型13 利用勾股定理解决折叠问题 题型14 生活中的实际应用与勾股定理逆定理 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理的概念 熟记定理，会写定理的符号语言，会用定理变形求边长，如. 一般以选择，填空，基础计算的形式出现，大题中第一步常用，是计算几何相关量的基础。 勾股定理的证明 会使用拼图法、割补法，通过面积相等证明勾股定理，了解赵爽弦图、总统证法的原理，并会用面积法写简单的证明。 在期中或期末中以证明题或阅读理解的形式呈现，通常与数形结合思想进行考查。。 勾股定理求线段的长度 能准确快速算出直角三角形的边长，在没有指明是直角边还是斜边时会使用分类讨论思想进行求解。 以选择或填空的形式出现，通常是告诉在直角三角形中已知部分边长求其它线段的长度。。 勾股定理得逆定理 会用逆定理判断直角三角形；分清楚“原定理”与“逆定理”的使用条件或使用场景。 常常用来判断是不是直角三角形或者判断那个角是直角，也常与勾股定理一起组合进行综合考查。 勾股数的概念 会判断一组数据是不是勾股数；牢记常用的一些勾股数。 常以计算、填空的形式出现，通常考概念或者用来判断是不是直角三角形。 勾股定理的综合应用 会设未知数使用勾股定理列方程，能处理折叠、动点、坐标系、几何图形问题。 以解答题，中档题或压轴题的形式出现，与全等、三角形、四边形、坐标系结合考查。 知识点01 勾股定理 直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方：,(a，b为直角边，c为斜边) ·示例：若两直角边分别为a=3,b=4，则斜边为。 ·易错点：分不清直角边和斜边，错用斜边或直角边，计算时漏开方，单位不统一就直接代入计算。 知识点02 勾股定理变形求值 ,, ·示例：斜边为5，一直角边为3，则另一直角边为。 ·易错点：易记混公式，将勾股定理记成a=c-b，根号内算错为。 知识点03 勾股定理逆定理 ，则该三角形为直角三角形，c所对的角为直角。 ·示例：若三角形的三边分别为6,8,10，则，所以该三角形为直角三角形。 ·易错点：只看大小，不验证是否满足，把最长的边当成直角边。 知识点04 常见的勾股数 满足的三个正整数 ·示例：3,4,5；5,12,13；7,24,25等. ·易错点：已知直角三角形的两边为6和8，误认为第三边必为10；把5,6,7当成勾股数。 知识点05 含特殊角的直角三角形 含30°的直角三角形，斜边为30°角所对直角边的二倍；45°等腰直角三角形斜边=直角边为×。 ·示例：在直角三角形中30°角所对的边为5，所以斜边的长为10. ·易错点：把45°的直角三角形的边比记为1:1:2；30°对的边搞反。 知识点06 网格中求线段的长 构造直角三角形，利用勾股定理求解 ·示例：横向差为2，纵向差为4，则线段长为, ·易错点：直接数格子求长度，不构造直角三角形；横向、纵向距离数错误 知识点07 解决折叠类问题 折叠前后对应边相等、对应角相等，再利用勾股定理列方程求解 ·示例：长方形长为8，宽为4，沿对角线折叠，可利用方程求重叠部分的边长。 ·易错点：找不到相等的线段，设未知数后列错方程，忘记检验解是否合理。 知识点08 利用勾股定理解决实际问题 常见的应用如梯子、航海、距离等问题， ·示例：如梯子长5m，低端离墙3米，可得出墙高为故墙的高度为5米。 ·易错点：不会数形结合（画图），直接乱套公式；单位不统一，（厘米、米混用）。 知识点09 分类讨论问题 题目只说直角三角形两边长为3，4，没说谁是斜边谁是直角边，导致了分类讨论。 ·示例：直角三角形的两边分别为3,4，求另一边的长：1.当3,4是直角边时，另一边为；2，当4为斜边时，另一边为. ·易错点：只算一种情况，直接写5，导致答案不全。 题型一 直接利用勾股定理求线段的长 解｜题｜技｜巧 分析清楚题目中给出的直角边或斜边，代入勾股定理公式计算即可。 【典例1】如图，在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理可得：． 【变式1】如图，在长方形中，点E是的中点，且，连接，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】长方形的对边相等，邻边垂直，结合线段中点的定义可得的长，利用勾股定理求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ， ． 【变式2】如图，在中，，于点D，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法，先根据勾股定理算出，得到，再利用等面积法求即可． 【详解】解：，，， ，， 于点， ， ． 故答案为：． 题型二 证明勾股定理的方法 解｜题｜技｜巧 用两种方法去表示同一个图形的面积，令其相等，推导出，常见的证明方法有赵爽弦图法、总统法、外拼正方形法等。 【典例1】如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据中间边长为的正方形面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角边为a和b的直角三角形的面积列式求解即可． 【详解】解：由题意得，中间小正方形的边长为，大正方形的边长为c， 则， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两直角边都是的直角三角形拼成一个新图形，使用不同的方法计算这个图形的面积，你发现了什么：___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质与判定，第一种方法，这个图形的面积等于三个直角三角形的面积；第二种方法，可证明，进而推出B、C、D三点共线，则这个图形的面积等于梯形的面积，两种方法分别表示出这个图形的面积即可得到答案． 【详解】解；这个图形的面积等于三个直角三角形的面积，即为； 如图所示，∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴B、C、D三点共线， ∴这个图形的面积等于梯形的面积，即为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：． 证明：， 又S四边形， ． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明． 连接，过点B作边上的高，则，仿照已知材料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【详解】证明：连接，过点B作边上的高，则． ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型三 解决线段的平方关系 解｜题｜技｜巧 基本原理依然是勾股定理：,若遇直角，直接套用勾股定理；若没有直角可先构造直角三角形；把要证明的线段关系放入直角三角形中写出平方的表达式，通过相加、减、代换得出结论。 【典例1】在中，所对的边分别是，且，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，勾股定理．由角度比确定三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求解边长关系． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 【变式2】如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为___________．    【答案】 【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    因为和都是等腰直角三角形，， 即 故 故答案为： 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键． 题型四 与直角三角形三边有关的面积问题 解｜题｜技｜巧 可通过勾股定理求出直角三角形中的边长的平方，进而得出由直角三角形的边长构造的图形的面积，也可以通过以直角三角形的边长为边长的图形的面积求出直角三角形的边长。 【典例1】如图，以直角三角形的三边为边作正方形，三个正方形的面积如图所示，正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股树问题：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．根据图形知道所求的A的面积即为正方形中间的直角三角形的A所在直角边的平方，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别为8和14，且它们分别是直角三角形的一直角边和斜边的平方， ∴正方形A的面积． 故选：C． 【变式1】如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．16 C．12 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积．由勾股定理得，再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 【变式2】如图①，是一个封闭的勾股水箱，其中甲，乙，丙三个部分是可以盛水且互相连通的正方形．已知，开始时，丙刚好盛满水，且甲，乙无水．当转动这个勾股水箱到图②位置时，水面刚好经过丙的中心（正方形两条对角线的交点），则此时乙中有水部分的面积为_____．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理．丙部分的面积是，甲部分的面积是，根据已知条件得到丙中有水部分的面积为丙整个正方形面积的一半，即丙中有水部分的面积为，据此计算于是得到结论． 【详解】解：∵， ∴丙部分的面积是，甲部分的面积是， ∵水面刚好经过丙的中心O， ∴丙中有水部分的面积为丙整个正方形面积的一半， 即丙中有水部分的面积为， ∴乙中有水部分的面积为， 故答案为：． 题型五 勾股定理在网格问题中的应用 解｜题｜技｜巧 根据网格特点可得，需求的边长=；可用来判定是否为直角三角形；在网格中常常使用割补发求图形的面积。 【典例1】中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因其趣味性强，深受大众喜爱．如图所示的棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则“车”“炮”两棋子间的距离为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求解． 【详解】解：由勾股定理得：“车”“炮”两棋子间的距离为， 故选：D． 【变式1】如图，在正方形网格中，点均在格点上，则下列线段长为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格图．根据勾股定理解答，即可解答． 【详解】解：根据题意得：． 即线段长为的是． 故选：D． 【变式2】如图，在5×5的正方形网格中， 的顶点均在格点上，若 ，则点 P 与点_______重合．（填“D”“E”或“F”，且点D，E，F均为格点） 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定等知识，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可求解． 【详解】解：如图，当点 P 与点D重合时， ，∴， ，∴， 在和中， ， ∴． 故答案为：D 题型六 解决折叠问题 解｜题｜技｜巧 可根据四步法求解：1标：根据折叠的性质找到相等的边和角；2设：求那一段就设那一段为x；3找：找出新的小的Rt△，利用勾股定理列出方程，解出方程的解取适合的值即可。 【典例1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先利用折叠的性质得到，设，则，，在中，根据勾股定理可得到，求解即可． 【详解】解：∵沿DE翻折，使点A与点B重合， ∴， ∴， 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 【变式1】如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键． 通过折叠得到对应边相等，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度． 【详解】解：∵四边形是长方形，且，， ∴，，， 设， ∴， 由折叠性质得：，，， ∵直线恰好经过点B， ∴， ∴和都是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 【变式2】如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： (1)的长． (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形，求三角形的面积，结合图形求解是解题关键． （1）根据长方形的性质得出，再由折叠的性质确定，利用勾股定理求解即可； （2）结合图形直接求面积即可． 【详解】（1）解：因为四边形为长方形， 所以． 由折叠的性质，得． 由勾股定理，得， 所以， 所以． 设，则． 所以， 解得， 所以． （2）． 题型七 勾股数问题 解｜题｜技｜巧 勾股数是满足的三个正整数，c为斜边，可以通过概念进行判断（所有含有小数，分数，带根号的最简根式都不是勾股数）。 【典例1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．，， B．1.5，2，2.5 C．5，12，11 D．7，24，25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，关键是掌握勾股数需为正整数且满足勾股定理 ，逐项判断即可. 【详解】解：勾股数定义要求是正整数且满足 ， A选项为分数，非正整数，不符合题意； B选项为小数，非正整数，不符合题意； C选项：，，，不符合题意； D选项：，，，符合题意． 故选D. 【变式1】勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；．．．这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：若此类勾股数的勾为（为正整数），则股是___________．（结果用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键；设股为，则弦为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：依题意，勾为，设股为，则弦为．由勾股定理，得， 即，整理得，即，解得． 故股为； 故答案为． 【变式2】（1）一位同学从勾股数“3，4，5”中发现，，，由此他发现最小数是奇数的勾股数的构造方法．你发现了吗？请你写出以下几组勾股数：①5，______，______；②7，______，______；③9，_______，_______． （2）写出勾股数一般规律的表达式（用字母n表示，n为奇数，且）． 【答案】（1）①12  13  ②24  25  ③40  41  （2） 【分析】本题考查的是勾股数的概念，满足的三个正整数，称为勾股数． （1）根据勾股数的概念解答即可； （2）根据给出的几组勾股数总结规律即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴5，12，13是一组勾股数； ②∵，， ∴7，24，25是一组勾股数； ③∵，， ∴9，40，41是一组勾股数； 故答案为：12，13；24，25；40，41 （2）由（1）可知一般规律的表达方式：n，，(n为奇数，且 )． 证明：； ， ∴，即n，， (n为奇数，且 )是一组勾股数． 题型八 与弦图有关的计算 解｜题｜技｜巧 抓住内外正方形求边长差，用面积差或勾股定理列方程，求变成、面积或线段平方和。 【典例1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为48，则小正方形的面积为（    ） A．8 B．16 C．2 D．27 【答案】D 【分析】本题考查了以勾股定理为背景的图形面积的计算，掌握勾股定理的计算是关键． 根据小正方形的面积与4个直角三角形的面积和为大正方形的面积，由此列式求解即可． 【详解】解：4个全等三角形的面积为， ∴小正方形的面积为， 故选：D ． 【变式1】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为18，则小正方形的边长为_______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，化为最简二次根式，由题意可知：中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为， ∵每一个直角三角形的面积为：， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 【答案】(1)6 (2)①证明见解析；②37 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，可得，可求，即可求解； （2）①由可证，可得； ②由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25， ∴， ∴， ∴每个朱实的面积， 故答案为：6； （2）①证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∴阴影部分图形的面积， 故答案为：37． 题型九 利用勾股定理构造直角三角形求线段长 解｜题｜技｜巧 先根据图形构造出直角三角形，再结合边角之间的关系将已知量推导到同一个直角三角形中，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解。 【典例1】明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争藏，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几尺？建立数学模型，如图，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点，于点，于点，，则秋千绳索（或）的长度为（ ） A．14 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，运用勾股定理列方程求解是解题的关键． 设绳索有尺长，此时绳索长，向前推出的尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设的长为尺， 尺，尺， 尺， 在中，尺，尺，尺，则由勾股定理得， 解得， 秋千绳索或的长度为尺， 故选：B． 【变式1】一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用,理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．过作于点，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点 ∴ ∴ 由勾股定理可得： 即离门铃米远的地方，门铃恰好自动响起 故答案为：． 【变式2】某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 【答案】云梯的长度足够 【分析】本题主要考查了勾股定理，连接，利用勾股定理求出，通过比较可知，可知云梯的长度不够． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 云梯的长度足够． 题型十 勾股定理的实际应用 解｜题｜技｜巧 根据实际问题抽象出直角三角形模型，设出所求边为x，利用勾股定理列出方程，解方程取满足题意得未知数的值，再回代到原问题中去，即可求解。 【典例1】如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端A下落了（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．5米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用；解决本题关键在于能找出其中的不变量，在不同的直角三角形中应用勾股定理．在中用勾股定理可得，梯子长，在中用勾股定理可得的长，即可计算． 【详解】解：中，米 中，米，梯子长， 米， 米； 故选A． 【变式1】《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是_______． 【答案】3.2尺 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：． 解得：， ∴折断处离地面的高度为3.2尺， 故答案为3.2尺． 【变式2】“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)观测点C到公路的距离为米 (2)此车没有超速，理由见解析 【分析】此题主要考查了度的角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． （1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点C作于H， 在中， ， ． 米 （米） （米） 即观测点C到公路的距离为（米）． （2）解：米， 米 米 ∴车速为（米/秒） 千米/小时米/秒， ∴此车没有超速． 题型十一 勾股定理与最短路径问题 解｜题｜技｜巧 展开成平面图形，构造直角三角形，利用勾股定理求解；再遇到多种路线时需要算出来比较大小才可以得出结论。 【典例1】如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱外的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离外上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，根据圆柱的侧面展开图为矩形，可知蚂蚁需爬行的最短距离为线段，根据两点之间，线段最短可得解． 【详解】解：如图所示，蚂蚁需爬行的最短距离为线段， 故选：A． 【变式1】运动铸就辉煌，汗水燃烧激情！阳光小学举办运动会，如图是运动会的颁奖台．3个长方体颁奖台的长均为，宽均为号颁奖台的高度分别是．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查展开图求最短路径的问题，运用勾股定理求两点之间的距离是解题的关键． 根据题意将长方体展成平面图，根据两点之间线段最短，由勾股定理即可求得蚂蚁爬行的最短路程． 【详解】解：将长方体部分展成平面图如图，则的长为蚂蚁爬行的最短距离， 由题意，，， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为________米． 【答案】20 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，熟练掌握该知识点是关键． 要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于米，然后问题可求解． 【详解】解：如图是其侧面展开图： 米，米，米， 在中，， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为20米； 故答案为：20． 题型十二 判断三边能否构成直角三角形 解｜题｜技｜巧 先找到最长的边长，再算出两小边的平方和，与最长边的平方相比，若相等则为直角三角形；若不等则不是直角三角形。 【典例1】在下列以线段的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证各选项中较小两边的平方和是否等于最大边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：选项A：∵最大边为，，，，∴不能构成直角三角形，此选项符合题意； 选项B：∵最大边为，，∴能构成直角三角形，此选项不符合题意； 选项C：∵，设，， ，得，∴能构成直角三角形，此选项不符合题意； 选项D：∵最大边为，，∴能构成直角三角形，此选项不符合题意． 【变式1】若一个三角形的三边长分别为，且满足等式，则该三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 【答案】B 【分析】利用完全平方公式将等式左边展开，进而推出，即可得出结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴三角形为直角三角形. 【变式2】若的三边长为、、，并且满足，则的形状是______． 【答案】直角三角形 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了非负数的性质，解本题的关键是求出的值． 根据非负数的性质解得各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定是否直角三角形． 【详解】解：为直角三角形，理由如下： 由题意得， 所以， 因为， 所以， ∴为直角三角形． 故答案为：直角三角形． 题型十三 利用勾股定理逆定理解决几何问题 解｜题｜技｜巧 直接利用勾股定理逆定理验证是否满足,满足则为直角三角形，进一步可用勾股定理解决问题即可。 【典例1】如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 【答案】A 【分析】本题勾股定理的逆定理，涉及直角三角形面积等知识，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，再由直角三角形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，， ， 在中，，，，则，，， ， 即是直角三角形，且， 则， 在中，，，，则的面积为， 故选：A． 【变式1】如图，在四边形中，，若，则的度数为_________ ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股逆定理，三角形内角和性质，等边对等角，先结合，得，，又因为，故，所以，即可计算出的度数，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 则 即， ∴， ∴． 故答案为： 【变式2】如图，点在梯形的边上，,,,,． (1)求的度数． (2)求梯形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，得出是等腰直角三角形，进而可得，根据勾股定理的逆定理求出，计算即可； （2）由（1）可得，从而证明是等腰直角三角形，进而求出、，再根据梯形的面积公式计算，得到答案． 本题考查的是等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理求出是解题的关键． 【详解】（1）解：∵,，， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ， ，，， ， 是直角三角形， ， ． （2）由（1）得， ． ， ， ． 在中，， ， ， ． 题型十四 生活中的实际应用与勾股定理逆定理 解｜题｜技｜巧 先抽象出实际问题中的几何问题，利用勾股定理逆定理验证是否满足,满足则为直角三角形，进一步可用勾股定理解决问题，最后回答实际问题。 【典例1】年7月日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部•联合－”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西方向以海里/小时的速度航行，二号舰以海里/小时的速度航行，离开港口小时后它们分别到达A，B两点，相距海里，则二号舰航行的方向是（    ） A．南偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西 【答案】C 【分析】本题考查了方位角、勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解本题的关键． 由题意可知，，由勾股定理逆定理可知，结合方位角即可确定出二号舰的航行方向． 【详解】解：如图： ， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴二号舰航行的方向是南偏东， 故选：C． 【变式1】如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 【答案】符合 【分析】先在中利用勾股定理求出，然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准． 【变式2】综合与实践：学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）根据勾股定理进行计算即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 在中，，，， ∴， ∴． ∴是直角三角形． （2）∵是直角三角形，在同一直线上， ∴， ∴． 即池塘两端，之间的距离为． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．小明测量4个直角三角形的边长，你认为正确无误的一组数据是（   ） A．5，3，4 B．8，8，10 C．5，11，12 D．10，15，20 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可． 【详解】对选项A：最长边为5，，可以构成直角三角形； 对选项B：最长边为10，，不满足； 对选项C：最长边为12，，不满足； 对选项D：最长边为20，，不满足． 2．下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（　　） A．2，3，4 B．4，7，5 C．6，7，8 D．5，12，13 【答案】D 【分析】先找出每组边长中的最大边，再验证两条较短边的平方和是否等于最大边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项，，，，不能构成直角三角形． B选项，，，，不能构成直角三角形． C选项，，，，不能构成直角三角形． D选项，，，，能构成直角三角形． 3．在中，，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理． 在直角三角形中，利用勾股定理计算未知直角边的长度即可． 【详解】解：∵在中，， ∴根据勾股定理，得， ∴， 故选：A． 4．如图，分别以Rt的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理； 由勾股定理结合正方形的面积可知，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故选：A． 5．在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求根据勾股定理网格中的线段长，由图形可知，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由图形可知，，且是直角三角形， 则斜边， 故选A． 6．如图，在中，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，二次根式的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知条件，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，， 则． 故答案为： ． 7．如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是_______(用字母表示)． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的验证，核心思路是通过计算图形的总面积，两种不同的计算方法建立等式从而推导出勾股定理． 【详解】解：拼接后的图形是一个直角梯形，上底为，下底为，高为， 根据梯形面积公式：， 拼接后的图形由两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形组成： 则两个直角三角形的面积为， 等腰直角三角形(斜边为)的面积为， ∴， 即， 验证的定理是勾股定理． 故答案为：． 8．在平面直角坐标系中，点到原点O的距离是______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理和平面直角坐标系内两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 本题可利用勾股定理，将点到原点的距离转化为横、纵坐标平方和的算术平方根进行求解． 【详解】解：点到原点O的距离是 ， 故答案为：． 9．已知中，，为直角边，为斜边． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （）利用勾股定理直接计算即可； （）利用勾股定理直接计算即可； 【详解】（1）解：∵为直角边，为斜边，， ∴； （2）解：∵为直角边，为斜边，， ∴． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（  ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【分析】若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项：，该三角形不是直角三角形，符合题意； 选项：，该三角形是直角三角形，不符合题意； 选项：，该三角形是直角三角形，不符合题意； 选项：，该三角形是直角三角形，不符合题意． 2．如图是一个弩箭模型，箭经过的中点．已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理．根据等腰三角形的性质，可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵箭经过的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D 3．直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合折叠性质得，设，，根据勾股定理列出一元一次方程并求解即可． 【详解】解：依题意得：，，，， 设，， 中，， ， 解得， ． 4．已知三边长分别为，，，且满足，则是（  ） A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形 C．以为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，先利用非负数的性质求出的三边长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形形状及斜边． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， 解得，，， ∵，， ∴， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，且a为斜边长， 故选C． 5．如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是_____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，求平行线间的距离等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设直线与直线之间的距离是h，根据勾股定理的逆定理得到是，由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设直线与直线之间的距离是h， ∵，，， ∴， ∴是， ∴， ∴， ∴直线与直线之间的距离是， 故答案为：12． 6．如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 连接，根据勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    由题意可知：， 在直角三角形和中， ， 即， ∵， ∴． 故答案为：． 7．某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向由点向点移动，已知点为教学楼，点与直线上两点、的距离分别为和，且，以货车为圆心的周围以内为受影响区域． (1)求证： (2)教学楼会受噪声影响吗？为什么？ (3)若货车的速度为，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 【答案】(1)证明见解析； (2)教学楼会受噪声影响，原因见解析； (3)货车影响教学楼持续的时间为． 【分析】（1）结合勾股定理逆定理即可得证； （2）作交于点，结合直角三角形面积计算公式求出的长，跟受影响区域的距离作比较即可得出结论； （3）设当时，正好影响教学楼，利用勾股定理求出的长，进而得出的长，再根据时间路程速度即可得解． 【详解】（1）证：依题得：，， ， 即， ； （2）解：作交于点， 中，， ， 以货车为圆心的周围以内为受影响区域，故教学楼会受噪声影响； （3）解：如图，当时，正好影响教学楼， 中，， ， 同理可得， ， 货车的速度为， 货车影响教学楼持续的时间为． 8．某中学为提升学生实践能力，在学校围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且． (1)请在图中连接，求的长； (2)请你求出这块菜地的面积． 【答案】(1)的长为； (2)这块菜地的面积是． 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）连接，然后根据勾股定理可进行求解； （2）由（1）及题意易得，则有是直角三角形，，然后根据三角形的面积公式可进行求解． 【详解】（1）解：如图，连接； 在中，，，， 所以， 因此，的长为． （2）解：因为，， 所以，. 所以，是直角三角形，， ； 因此，这块菜地的面积是． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】C 【分析】先利用完全平方公式化简原等式得到，利用勾股定理的逆定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴，则， ∵是三角形的三边长， ∴这个三角形是直角三角形． 2．在中，a，b，c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B．，， C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理及勾股定理逆定理．根据三角形内角和定理及勾股定理逆定理，对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A选项：，且 即，解得 是直角三角形，不符合题意． B选项： ，， ， 是直角三角形，不符合题意． C选项： 设，， ，解得 则 不是直角三角形，符合题意． D选项： ，即 是直角三角形，不符合题意． 故选：C． 3．如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取格点E，连接，，，由勾股定理结合可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理逆定理得为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】解：如图，四边形的四个顶点都在格点上，取格点E，连接，，， 由格点三角形得， ， ， ， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， . 4．如图，在长方形纸片中，点M在边上，沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与折叠，等腰三角形的判定和性质，根据平行线的性质和折叠的性质得出，根据等腰三角形的判定得出；根据折叠和平行线的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，证明，设，在中，利用勾股定理求出的值，最后求出结果即可． 【详解】解：∵长方形纸片沿所在的直线折叠， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴； 由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”其大意为：有一架秋千（如图），当它静止时，踏板离地距离为1尺．将它往前水平推送10尺（尺），则秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高……若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索的长为尺，则可列方程为_________________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设绳索的长为尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：设绳索的长为尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 6．如图，在等边中，是的平分线，点E、P分别是上的动点．若，则的最小值是________________ ． 【答案】 【分析】连接，易得，进而得到，根据垂线段最短得到当时，最小，此时的值最小，三线合一结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵等边，，是的平分线， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，， 又∵点是上的动点， ∴当时，的值最小， 此时， ∴， ∴的最小值为． 7．如图，在中，，，是斜边上的两点，且．将绕点顺时针旋转后，得到，连接．有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是__________．（请填写序号） 【答案】①③④ 【分析】根据等腰直角三角形求出，根据旋转得出，，，，即可判断①，证，即可判断③，求出，根据勾股定理即可判断④，根据与不一定相等判断②即可． 【详解】解：在中，， ， 将绕点顺时针旋转后，得到， ， ，，， ，， ， ，故①正确； 即， 在和中， ， ， ， 即平分，故③正确． ， 将绕点顺时针旋转后，得到， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ，故④正确； 与不一定相等， 与不一定全等，不能推出，故②错误． 8．如图，在中，，于． (1)若，，求的长度． (2)设，，，判断之间的关系，并说明理由 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理、运用方程思想，关键是对三个直角三角形分别应用勾股定理并联立方程，易错点为勾股定理应用时直角边与斜边识别错误; （1）先勾股定理求，再面积法求； （2）对、、分别用勾股定理，联立方程推导关系． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴； ∵， ∴， 即， 解得； （2）关系为；理由如下： ∵在中，，， ∴均为直角三角形； 则，，， ∵，，，则， ∴， 展开并化简：， ∴． 9．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； (3)若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 【答案】(1)监测点A与监测点B之间的距离为 (2)海港C会受到此次台风的影响，见解析 (3)台风影响该海港持续的时间为 【分析】（1）利用勾股定理进行求解； （2）利用等面积法求出的长度，然后进行比较即可； （3）以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F，根据勾股定理求出的长，得出，最后根据速度即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：中，， ∴根据勾股定理得， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2）解：海港C受台风影响， 理由：中，， ， ， ， 海港C会受到此次台风的影响； （3）解：如图，以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F， 则． 在中，， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为． 10．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)24 (3)1.2 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； （2）解：，，， 有勾股定理得，， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $