专题02 一元二次方程及其应用（期中复习讲义，17题型）八年级数学下学期新教材沪科版

专题02 一元二次方程及其应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 判断是否为一元二次方程 题型02 一元二次方程的解 题型03 直接开平方法解方程 题型04 配方法解一元二次方程 题型05 利用公式法求解一元二次方程 题型06 利用因式分解求解一元二次方程 题型07 判断方程的根的情况 题型08 证明方程恒有实数根或无实数根 题型09 已知根的情况，求参数的取值范围 题型 10 已知方程求两根和、两根积 题型11 利用韦达定理求代数式的值 题型12 已知方程的一根求另一根 题型13 增长率或下降率问题 题型14 销售利润问题 题型15 面积图形问题 题型16 动点与几何线段问题 题型17 握手/循环问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的概念 理解一元二次方程的定义并掌握它的一般形式，能准确辨别二次项、一次项、常数项以及二次项系数和一次项系数，会判断一个方程是否为一元二次方程，能将方程化为一元二次方程的一般形式. 多以选择题、填空题出现，常与方程有意义、参数的取值范围结合考查。 一元二次方程的解 理解一元二次方程的解得意义，会判断一个未知数的值是否是方程得解。 以选择题的形式出现，经常以直接提问以下是方程XXX的解的是直接进行判断。 一元二次方程的解法 掌握一元二次方程常考的四大解法，直接开平方分、配方法、公式法、因式分解法；理解配方得思想，会通过配方得到求根公式。 考查形式多样，在选择、填空中出现较为基础，也常在应用题中出现，以解答利润、形成、分配方案等问题出现。 根的判别式 掌握根的判别式与根的个数的关系；已知根的情况求字母参数的取值范围；会用判别式证明方程有无实数根。 高频在选择、填空中出现，常结合一次函数、几何图形存在性问题考查，需注意含参数时必须保证二次项系数不为0。 根与系数的关系（韦达定理） 掌握韦达定理的内容；会利用韦达定理求两根之积，两根之和，或已知一根求另一个根以及韦达定理的变式求代数的值。 在选择、填空、解答中都有可能出现，常与判别式联用，先保证有实根，再用韦达定理，综合问题中用于简化计算，避免直接解方程。 一元二次方程解决实际问题 能从实际问题中抽象出一元二次方程模型，掌握常考的几大类型，如：增长率/下降率问题、面积与围篱笆问题、销售利润问题、循环赛问题等；会检验是否符合实际意义。 属于必考内容，以解答题的形式呈现，其中利润、面积围篱笆问题出现频率最高。 一元二次方程与几何综合（线段、面积、动点） 结合勾股定理、图形面积问题建立方程；动点问题中常用含x代数式表示线段，再列方程求解，能根据几何图形限制条件取舍根。 常作为解答压轴小问，难度中等或偏上，核心思路：几何关系→代数式→列方程→求解检验。 知识点01 一元二次方程的概念 只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，一般形式为a、b、c均为常数。 ·示例：；；。 ·易错点：易忽略二次项系数a≠0；分母、根号含未知数的不是整式方程，故不能是一元二次方程；有两个及以上的未知数也不是一元二次方程。 知识点02 一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（根）。 ·示例：方程,将x=2代入，方程左边=方程右边，所以x=2是原方程的解。 ·易错点：只写一个根，如方程的解为x=2或x=-2；代入验算时计算错误。 知识点03 直接开平方法 形如（n≥0）的方程，直接开平方求解，连边同时开平方得。 ·示例： 开方得x-3=±4，∴, ·易错点：开方时漏掉；n<0时方程无实数根，强行开方。 知识点04 配方法 通过配方将方程化为的形式求解；步骤为将二次项系数化为1→移项→配方→开方→求解→验根。 ·示例： +9 x-3=±2 ∴, ·易错点：配方时只给一边加常数，二次项系数不为1时忘记先提取系数。 知识点05 公式法 对于一元二次方程，求根公式为： 。 ·示例：， a=2，b=-5，c=2 ∵， ∴ ∴, ·易错点：符号错误：-b、±、根号内运算；没先把方程化为一般式就代系数出错。 知识点06 因式分解 若ab=0，则a=0或b=0，常用提公因式、平方差公式、完全平方式、十字相乘法。 ·示例：, X（x-5）=0 ∴, ·易错点：两边直接除以含未知数的式子，造成漏解；分解因式不够彻底导致出错；未把方程一边化为0就开始分解导致出错。 知识点07 根的判别式 ，当 ·示例：, ∴方程有两个相等的实数根 ·易错点：求参数范围时，忘记二次项系数a≠0；题目说有实数根包含≥0，不只是>0。 知识点08 根与系数的关系（韦达定理） 若方程的两根分别为， 则，, ·示例：。 , ∴，, ·易错点：记混韦达定理，和为，不是；和积记反；未验证根的判别式直接用韦达定理；方程未化为一般式就直接套用公式。 知识点09 增长率问题 基础量a，增长率x，两次增长后的量为b，则。 ·示例：某产量为200，两年后为242，求年均增长率x.由题可得 ·易错点：只增长一次，写成；增长率为负时不会处理；结果不取正值，不符合实际。 知识点10 面积问题 利用长方形，道路，围栏面积列方程，常用总面积-空白面积=道路面积或直接表示长和宽列方程。 ·示例：长方形长20、宽15，中间修等宽的小路，余下面积240，设路宽为x，则（20-2x）（15-2x）=240. ·易错点：长和宽都减路宽时，减x还是2x混淆不清；道路交叉时重复减，多减面积；解方程得负数不知道舍去。 知识点11 销售利润问题 利润=单件商品的利润x销量。 ·示例：进价10，售价为20的商品，每天卖出50减，每降1元多卖出10件，要获利600元，设降价x元，则（20-10-x）（50+10）=600. ·易错点：单价和销量变化方向搞反；单件利润算成售价，忘记成本；解出不合实际的价格不舍去。 知识点12 传染/循环问题 传染问题：单循环（比赛）：；双循环（互送贺卡）：x（x-1）。 ·示例：一人患病，两轮后共得病81人，则。 ·易错点：传染问题第一轮、第二轮混淆；单循环忘记除以2，双循环多除以2。 题型一 判断是否为一元二次方程 解｜题｜技｜巧 先整理成一般形式，再看是否满足以下三点：等号两边都是整式，只含一个未知数，最高次数为2，满足则为一元二次方程。 【典例1】下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不符合题意； 、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不符合题意； 、方程中未知数的最高次数是，不是一元二次方程，该选项不符合题意． 【变式1】构造一个一元二次方程，要求二次项系数和一次项系数都为1．写出这个一元二次方程：__________．（写一个即可） 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义，是解题的关键． 根据题意，二次项系数和一次项系数均为1，可设方程为，其中为常数，选择即可得到简单方程． 【详解】解：一元二次方程的标准形式为，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项． 本题要求二次项系数和一次项系数都为1，即，， 因此方程形式为（为任意实数）． 为构造简单方程，取，得到． 故答案为． 【变式2】若关于的方程是一元二次方程，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解此定义是关键；根据一元二次方程的定义，最高次项指数为2且二次项系数不为零，即可求解． 【详解】解：由题意，方程为一元二次方程， 则满足， 解得， 即或． 当时，二次项系数；当时，二次项系数． 故均符合条件． 故答案为：或． 题型二 一元二次方程的解 解｜题｜技｜巧 直接将未知数的值代入等号左右两边，若能使方程左右两边相等，则该未知数的值就是该方程的解。 【典例1】下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 【变式1】下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，判断一个数是不是一元二次方程的解，将此数代入这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，就是方程的根；若不相等，就不是方程的根．理解和掌握一元二次方程的解的定义解题的关键．将各选项中的的值一一代入方程进行验证即可作出判断． 【详解】解：A．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； B．当时， 左边，右边，左边＝右边， ∴是方程的解，故此选项符合题意； C．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程的根的定义可得，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：． 题型三 直接开平方法解方程 解｜题｜技｜巧 将等号左边化为完全平方式的形式，等号右边为非负数，再两边同时开方，化为一元一次方程求解即可。 【典例1】方程的负根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程． 直接开平方法解出方程的两个根后，选取其中的负根即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，解得， 当时，解得， ∴方程的负根是． 故选：A． 【变式1】一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程，通过移项、系数化为1后开平方即可求出方程的根． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 解得 故选：C． 【变式2】方程的解是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，解这类问题要先把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成的形式求解． 先把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，再利用直接开平方求解即可． 【详解】解：， 移项得， 两边除以3得， 开平方得， 解得或． 故答案为：． 题型四 配方法求解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 化二次项系数为1，再移常数项，配方，写成完全平方式的形式，最后开方求解。 【典例1】用配方法解方程时，原方程变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤，先移项再配方，即可得到原方程变形后的结果． 【详解】解： ． 【变式1】将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　） A．1，2 B．1， C．， D．，2 【答案】D 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即，整理为的形式得， ，． 【变式2】某同学解一元二次方程的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ 该方程没有实数根⑤ (1)问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． (2)请写出用配方法解方程的正确过程． 【答案】(1)第③步，方程两边未同时加上 (2)见解析 【分析】（1）根据解方程的步骤分析判断即可； （2）利用配方法得出，解方程即可． 【详解】（1）解：这位同学解方程的过程中，从第③步开始写错了，错误原因是方程两边未同时加上． （2）解： 或 题型五 利用公式法求解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 先将一元二次方程化为一般形式，，确定a，b，c的值，算出∆的值，代入求根公式计算即可求解。 【典例1】用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】将原方程整理为一般形式，找出对应的二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：原方程为， 移项整理为一般形式得， 可得二次项系数，一次项系数，常数项 【变式1】下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：根据求根公式可得， 可得， 所以对应的一元二次方程为． 【变式2】用公式法解方程： 【答案】， 【分析】根据求根公式，代入系数解答即可． 【详解】解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 题型六 利用因式分解求解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 移项使方程右边=0，将方程左边进行因式分解，进一步得到几个因式至少有一个为0，从而化为一次方程求解。 【典例1】一元二次方程的根是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴或， 解得：，． 【变式1】一元二次方程的解是________． 【答案】， 【详解】解：， ， 或， 解得，． 【变式2】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 移项后用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 题型七 判断方程根的情况 解｜题｜技｜巧 熟记∆>0可得方程有两个不相等的实数根；∆=0可得方程有两个相等的实数根；∆<0可得方程没有实数根；可直接利用其判断方程根的情况。 【典例1】一元二次方程根的情况是（   ）． A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，计算判别式的值即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程， ∵ ，，， ∴， ∴ 该方程有两个不相等的实数根． 【变式1】一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：一元二次方程 其中，，， ， 此一元二次方程没有实数根. 【变式2】关于的一元二次方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式， 由于， 因此， 所以方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 题型八 证明方程恒有实数根或无实数根 解｜题｜技｜巧 配方说明∆的取值情况，常结合完全配方非负数结合，。 【典例1】已知关于的一元二次方程． 求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； 【答案】 【分析】求出方程的判别式得出，即可证明； 【详解】证明：， 无论取何实数，方程总有两个实数根 【变式1】已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是2，求代数式的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式、一元二次方程的根、求代数式的值； （1）计算一元二次方程的判别式，再根据判别式的符号证明即可； （2）代入到方程，得到，再整体代入求值即可． 【详解】（1）证明： ∵，， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：代入到方程，得， ∴， ∴． 【变式2】已知关于x的一元二次方程，求证：不论m取何值，该方程都有实数根． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式并证明其始终非负是解题的关键． 首先通过计算判别式，再证明其始终非负从而得出方程总有实数根． 【详解】证明：∵， 又∵恒成立， ∴， ∴不论m取何值，方程都有实数根． 题型九 已知根的情况，求参数的取值范围 解｜题｜技｜巧 先保证是一元二次方程，即a≠0，再列出关于参数的不等式，解不等式即可求解，特别注意含参数注意是否二次项系数含参数。 【典例1】若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义，得到的取值范围，再结合选项进行判断即可，用到性质：一元二次方程二次项系数不为0，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根 ∴方程是一元二次方程，且判别式 ∴ 解第一个不等式得， 化简第二个不等式：， 解得 因此的取值范围是且 结合选项判断：只有满足条件 【变式1】若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握一元二次方程没有实数根时，根的判别式，根据判别式列出不等式即可求出的取值范围. 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴，在方程中，，，， ∴，解得. 故选：B. 【变式2】关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判别式等于0计算即可． 【详解】解：由题意知，， 解得． 题型十 已知方程求两根和、两根积 解｜题｜技｜巧 已知方程，直接套用公式，不用解方程。 【典例1】已知一元二次方程的两个根为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，若方程的两个根为，，则，，直接利用公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵方程的两个根为， ∴． 【变式1】已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】先确定一元二次方程的系数a、b、c，再根据根与系数的关系公式计算两根之积． 【详解】∵一元二次方程的两根分别为，， ∴． 【变式2】若是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的两根之和为，两根之积为，即可得到结果. 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，且方程中，，， ∴，. 题型十一 利用韦达定理求代数式的值 解｜题｜技｜巧 变形配方，如;。 【典例1】若方程的两个实数根分别是，则的值为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】A 【分析】由根与系数的关系求出和的值，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵方程的两个实数根分别是， ∴， ∴． 【变式1】一元二次方程的两根为、，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由根与系数的关系可求得，，再对所求分式通分后代入计算即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 【变式2】若，是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，代入数值计算即可得到结果. 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 原式 ． 题型十二 已知方程的一根求另一根 解｜题｜技｜巧 用和或积直接算，无需代入展开。 【典例1】关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵ 一元二次方程 的两个根的乘积为，一个根为3， ∴另一个根为． 【变式1】若关于x的方程 的一个根是1，则另一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系快速求出另一个根，也可先代入已知根求出k的值，再解方程得到结果． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵对于一元二次方程，两根之和为， 又∵方程中，，一个根为1， ∴， ∴， 即方程的另一个根为， 故选：A． 【变式2】已知：关于的方程有一个根是2，则__________，另一个根是__________． 【答案】 2 1 【分析】设方程的另一个根为，根据根与系数的关系求解即可. 【详解】解：设方程的另一个根为， 可得 解得 ，， 题型十三 增长率或下降率问题 解｜题｜技｜巧 牢记公式，分清增长后与两年总和累计；设增长率为x，不用百分号列方程，解方程舍去负根。 【典例1】（2024七年级上·重庆期中）某市为了满足新能源汽车充电的需求，计划再建一批快充充电桩．第一个月新建了360个充电桩，第三个月新建了480个充电桩．设该市新建快充充电桩个数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意可得． 【变式1】近年来，快递行业快速发展，据调查，某家快递公司，去年十月份与十二月份完成投递的快递总件数分别为万件和万件，则月平均增长率为_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用——增长率问题，关键是掌握增长率问题的模型：若初始量为，平均增长率为，经过次增长后的量为，则有． 【详解】解：设月平均增长率为． 根据题意，得， 开平方，得． ∵增长率， ∴， 解得； 故答案为：． 【变式2】某农场去年种植了亩地的南瓜，亩产量为，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的，设南瓜种植面积的增长率为． (1)则今年南瓜的种植面积为________亩；今年南瓜亩产量为_______（用含的代数式表示） (2)今年南瓜的总产量为，求南瓜亩产量的增长率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）南瓜种植面积的增长率为，去年种植了亩地的南瓜，可求出南瓜种植面积，南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的，则南瓜亩产量的增长率为，由此即可求解； （2）去年南瓜亩产量为，今年南瓜的总产量为，南瓜亩产量的增长率为，由此列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：去年种植了亩地的南瓜，南瓜种植面积的增长率为， ∴今年南瓜的种植面积为， ∵去年种植南瓜亩产量为，今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的， ∴南瓜亩产量的增长率是， ∴今年南瓜亩产量为， 故答案为：，． （2）解：根据题意得：， ∴，解方程得，或（舍去）， ∴南瓜亩产量的增长率为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用，掌握题目中的数量关系列方程是解题的关键． 题型十四 销售利润问题 解｜题｜技｜巧 牢记公式：利润=单件商品的利润x销量；设降价或涨价为x；表示出变化后的销量与单价；检验根是否符合实际。 【典例1】某商场销售某种纪念品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，纪念品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元，那么纪念品的单价降了多少元？设纪念品的单价降了元，则满足的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．设纪念品的单价降了元，则每件盈利元，平均每天可售出件，根据每天盈利平均每天的销售量每件盈利建立方程即可得． 【详解】解：设纪念品的单价降了元，则每件盈利元，平均每天可售出件， ∵降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元， ∴可列方程为， 故选：C． 【变式1】某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个，每个小家电定价每增加1元，销售量将减少10个，且定价不得超过55元．如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是_________元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（营销问题），读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 设该小家电每个定价是元，根据“每个利润销量总利润”可得，解方程即可求出的值，再结合“定价不得超过55元”，即可得出答案． 【详解】解：设该小家电每个定价是元， 根据题意可得：， 整理，得：， 解得：，， 定价不得超过55元， ， 即：该小家电每个定价是元， 故答案为：． 【变式2】永和红枣作为山西省永和县特产，其种植历史可追溯至唐代，以核小、皮薄、肉厚、无虫蛀、无公害为显著特点．某电商选择了销售永和特产红枣，其进价为每箱40元．按每箱60元出售，平均每天可售出120箱．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20箱．若该电商销售这种红枣，要想平均每天获利2520元． (1)每箱红枣应定价多少元？ (2)在平均每天获利不变的情况下为尽可能让利于顾客赢得市场，应按原售价的几折出售？ 【答案】(1)每箱红枣应定价54元或58元 (2)应按原售价的九折出售 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． （1）设每箱红枣降价x元，利用销售量×每件利润元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折． 【详解】（1）解：设每箱红枣应降价x元， 根据题意，得， 解得，， ∴，， 答：每箱红枣应定价54元或58元； （2）解：由（1）可知每箱红枣可降价2元或6元， ∵要尽可能让利于顾客， ∴每箱红枣应降价6元， 此时，售价为：（元）， ， 答：该店应按原售价的九折出售． 题型十五 面积与图形问题 解｜题｜技｜巧 可利用平移法把道路移到边缘，整体算面积；设小路宽为x，表示长和宽；根据面积=长x宽列出方程求解。 【典例1】春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为    （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，将不规则图形变成规则图形，从而找出等量关系，正确列出方程． 设小路的宽为，根据矩形的面积公式（将绿化区域合成矩形），进而即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽为，则绿化区域的长为，宽为， 根据题意，得 故选：A． 【变式1】公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设正方形空地原来的边长为，则可列方程为________．    【答案】 【分析】剩余空地的长为，宽为，根据长方形面积公式，可得关于的一元二次方程． 【详解】解：根据题意可知剩余空地的长为，宽为，可得 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实际问题与一元二次方程，用含有未知数的代数式将等量关系表示出来是解题的关键． 【变式2】如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，求道路的宽为多少米？ 【答案】2米 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程解决问题，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 设道路的宽为x米，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程，解出即可． 【详解】解∶设道路的宽为x米，根据题意得 整理得， 解得：（舍去）， 答∶道路的宽为2米． 题型十六 动点与几何线段问题 解｜题｜技｜巧 用时间t表示线段的长度，利用勾股定理或面积列出方程，同时注意t的取值范围，解方程即可求解。 【典例1】在中，，，．动点、分别从点、同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．多长时间后，能使的面积为？（   ） A．3秒或5秒 B．5秒 C．3秒 D．8秒 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t秒，则，，由三角形的面积公式结合的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之取合适的值即可． 【详解】解：设运动时间为t秒，则，， 依题意得：， 解得：， ， ， ． 故答案为：C． 【变式1】如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．若点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为．当五边形的面积等于时，t的值为______．    【答案】3或5/5或3 【分析】根据题意，知，则可求出，再由面积为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意，知， ， ∵五边形的面积等于， ∴ ， 矩形， ， ， ， ∴3秒或5秒后五边形的面积等于． 故答案为：3或5． 【变式2】如图，在长方形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动．设运动时间为 (1) cm， cm；(用含x的式子表示) (2)若的面积为，求x的值． 【答案】(1)， (2)1或5 【分析】（1）根据点，的运动速度及时间，即可用含的代数式表示出当运动时间为 时，的长度； （2）根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出，的长度；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【详解】（1）解：当运动时间为 时， ，， ，． 故答案为：；． （2）解：依题意得：， 即， 整理得：， 解得：，． 答：的值为1或5． 题型十七 握手/循环问题 解｜题｜技｜巧 牢记基本公式传染问题：单循环（比赛）总场次=；双循环（互送贺卡）=x（x-1）。看清楚是单循环还是双循环、每两人一次列出方程求解检验即可。 【典例1】在元旦庆祝活动中，小组内的同学互赠新年贺卡，某小组共送贺卡56张，问该小组共有多少人？设该小组共有x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键；设该小组共有x个人，则每人需送出张贺卡，根据共送贺卡56张，可列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小组有x人，则每人送出张贺卡， 总贺卡数为， 故选A． 【变式1】国庆节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手78次，则参加聚会的有________ 人． 【答案】13 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意准确找出等量关系是解答本题的关键．设参加聚会的人数是x人，根据题意列方程解答即可． 【详解】设有x个人参加聚会， 根据题意可得：， 所以， 解得，（不合题意舍去）， 所以参加聚会的人数是有13人． 故答案为：13． 【变式2】九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． (1)依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 【答案】(1)正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， 整理得 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法是正确， （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 整理得， ∴， 解得（舍去）， ∴x的值为． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程需要同时满足三个条件：1、 是整式方程 ，2 、只含有一个未知数； 3、 未知数的最高次数为2，根据三个条件逐一判断选项即可． 【详解】解：A、方程含有2个未知数，属于二元一次方程，不是一元二次方程； B、分母含有未知数，属于分式方程，不是一元二次方程； C、方程是整式方程，只含1个未知数，且未知数最高次数为2，是一元二次方程； D、方程含有2个未知数，属于二元二次方程，不是一元二次方程． 2．一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】通过计算判别式的值即可判断根的情况，根据判别式与0的大小关系即可得出结论． 【详解】解：∵对于一元二次方程，其中，，， ∴根的判别式， ∴该方程有两个不相等的实数根． 3．将一元二次方程化为一般形式是(        ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对原方程依次进行去括号、移项、合并同类项，整理得到符合要求的一般形式即可． 【详解】解：∵原方程为 先去括号，可得 将所有项移到等号左侧，移项变号得 合并同类项得． 4．一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（    ） A．，1 B．2，1 C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程的一般形式为（），其中为一次项系数，为常数项． 【详解】解：在方程中，一次项系数是，常数项是． 5．已知是方程的一个根，则代数式的值是_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将a代入方程，得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 6．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为____． 【答案】 【详解】解：， ， ； 故一次项系数为. 7．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，因此． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 8．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）配方法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解： ， 移项，得， 两边同时加上4，得 即 开平方，得 解得：； （2）， 方程左边分解因式，得 即， 所以或， 解得：． 9．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程——直接开平方法，解题的关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）直接开平方法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 开平方，得， 即，； （2）， 移项，得， 方程左边分解因式，得， 所以或， 解得：，． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程二次项系数不为0的要求，即可求解． 【详解】∵ 方程是关于的一元二次方程． ∴ 二次项系数不能为，即 ． 解得 ． 2．若是方程的根，则代数式的值为（） A．0 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】根据方程根的定义得到的值，再整体代入计算即可. 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 3．一元二次方程的实数根是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】先将原一元二次方程整理为一般形式，再利用一元二次方程求根公式求解即可． 【详解】解：， ， 判别式 ， ∴代入求根公式得 ∴，即选项D符合题意． 4．一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个相等的实数根时，判别式，由此得到关于的关系式，再整体代入所求代数式计算即可. 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 等式两边同除以得， 将代入， 得：． 5．当t满足_______________时，关于的一元二次方程有实数根． 【答案】 【分析】需先将方程化为一元二次方程的标准形式，计算判别式，再根据判别式非负求解答案即可． 【详解】解：， ， 由于一元二次方程有实数根， ． 故答案：． 6．若，是方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，对所求代数式因式分解，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，. ∴ ． 7．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 【答案】(1) 进馆人次的日平均增长率为 (2) 校图书馆不能接纳第四天的进馆人次 【分析】（1）设进馆人次的日平均增长率为，根据第一天进馆64人次，第三天进馆100人次，列出方程进行求解即可； （2）根据增长率求出第四天的进馆人数，进行判断即可. 【详解】（1）解：设进馆人次的日平均增长率为， 由题意，， 解得或（舍去）； 答：进馆人次的日平均增长率为； （2）解：不能，理由如下： ， 故校图书馆不能接纳第四天的进馆人次. 8．《疯狂动物城2》于2025年11月26日上映．某影院抓住商机，购买了一批卡通玩偶，每个成本为24元，当售价定为每个36元时，平均每天售出60个．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出10个． 根据以上信息，解决问题： (1)每个玩偶降价______元时，影院每天销量可达到100个； (2)影院当天想获得650元利润，则每个玩偶应降价多少元． 【答案】(1)4 (2)7元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）根据“每降1元出售，平均每天多售出10个．”即可求解； （2）设每个玩偶应降价x元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：元， 即每个玩偶降价4元时，影院每天销量可达到100个； 故答案为：4 （2）解：设每个玩偶应降价x元，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：每个玩偶应降价7元． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，结合方程有两个不相等的实数根可得根的判别式，解不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， 且， 即， 解得， 实数的取值范围是且． 2．某电池厂2025年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取数据列出一元二次方程即可． 【详解】解：设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意得 ． 3．若是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．11 B．10 C． D．0 【答案】A 【分析】先利用一元二次方程根的定义，将用含的一次式表示，再结合韦达定理（根与系数的关系）得到的值，最后代入代数式化简求值． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， 是方程的两个实数根， ， ∴ ． 4．已知关于的一元二次方程，其中、在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是_______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】由数轴可得，且，则，，再求出，即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得：，且， ∴，， ∴， ∴这个方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 5．已知点是在线段上，满足，若，则线段的长为_____． 【答案】 / 【分析】设的长为，根据线段和差关系用表示出的长，代入已知等式得到一元二次方程，求解后舍去不符合题意的根，即可得到的长． 【详解】解：设， ∵点在线段上，， ∴， 将，代入得：， 展开整理得：， ∴， ∵，，不符合题意，舍去， ∴． 6．关于的方程根的情况描述如下： ①一定有两个实数根        ②可能只有一个实数根        ③可能无实数根 ④当时，方程有两个负实数根．其中正确的有______． 【答案】②④ 【分析】根据一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系逐一判断可得答案． 【详解】解：当时，此方程为，是一元一次方程，有一个实数根，故①错误，②正确； ∴当时，方程有一个实数根； 当时，因， ∴方程有两个实数根，综上，原方程总有实数根，故③错误； ∵， ∴，， ∴当时，方程有两个负实数根，故④正确． 7．已知方程的两个根为，，且，则________． 【答案】． 【分析】运用直接开平方法求出，，从而求出． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，， ∴． 8．如图①，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图②），得到大小两个正方形． (1)用关于的代数式表示图②中小正方形的边长为______； (2)如图②，当大正方形与小正方形的面积差为28时，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形边长； （2）由图可知，列式求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵直角三角形较短的直角边， 较长的直角边， ∴小正方形的边长； （2）解：由图可知， ∴， 化简为， 解得：或（舍）， 则的值为2． 9．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程及其应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 判断是否为一元二次方程 题型02 一元二次方程的解 题型03 直接开平方法解方程 题型04 配方法解一元二次方程 题型05 利用公式法求解一元二次方程 题型06 利用因式分解求解一元二次方程 题型07 判断方程的根的情况 题型08 证明方程恒有实数根或无实数根 题型09 已知根的情况，求参数的取值范围 题型 10 已知方程求两根和、两根积 题型11 利用韦达定理求代数式的值 题型12 已知方程的一根求另一根 题型13 增长率或下降率问题 题型14 销售利润问题 题型15 面积图形问题 题型16 动点与几何线段问题 题型17 握手/循环问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的概念 理解一元二次方程的定义并掌握它的一般形式，能准确辨别二次项、一次项、常数项以及二次项系数和一次项系数，会判断一个方程是否为一元二次方程，能将方程化为一元二次方程的一般形式. 多以选择题、填空题出现，常与方程有意义、参数的取值范围结合考查。 一元二次方程的解 理解一元二次方程的解得意义，会判断一个未知数的值是否是方程得解。 以选择题的形式出现，经常以直接提问以下是方程XXX的解的是直接进行判断。 一元二次方程的解法 掌握一元二次方程常考的四大解法，直接开平方分、配方法、公式法、因式分解法；理解配方得思想，会通过配方得到求根公式。 考查形式多样，在选择、填空中出现较为基础，也常在应用题中出现，以解答利润、形成、分配方案等问题出现。 根的判别式 掌握根的判别式与根的个数的关系；已知根的情况求字母参数的取值范围；会用判别式证明方程有无实数根。 高频在选择、填空中出现，常结合一次函数、几何图形存在性问题考查，需注意含参数时必须保证二次项系数不为0。 根与系数的关系（韦达定理） 掌握韦达定理的内容；会利用韦达定理求两根之积，两根之和，或已知一根求另一个根以及韦达定理的变式求代数的值。 在选择、填空、解答中都有可能出现，常与判别式联用，先保证有实根，再用韦达定理，综合问题中用于简化计算，避免直接解方程。 一元二次方程解决实际问题 能从实际问题中抽象出一元二次方程模型，掌握常考的几大类型，如：增长率/下降率问题、面积与围篱笆问题、销售利润问题、循环赛问题等；会检验是否符合实际意义。 属于必考内容，以解答题的形式呈现，其中利润、面积围篱笆问题出现频率最高。 一元二次方程与几何综合（线段、面积、动点） 结合勾股定理、图形面积问题建立方程；动点问题中常用含x代数式表示线段，再列方程求解，能根据几何图形限制条件取舍根。 常作为解答压轴小问，难度中等或偏上，核心思路：几何关系→代数式→列方程→求解检验。 知识点01 一元二次方程的概念 只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，一般形式为a、b、c均为常数。 ·示例：；；。 ·易错点：易忽略二次项系数a≠0；分母、根号含未知数的不是整式方程，故不能是一元二次方程；有两个及以上的未知数也不是一元二次方程。 知识点02 一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（根）。 ·示例：方程,将x=2代入，方程左边=方程右边，所以x=2是原方程的解。 ·易错点：只写一个根，如方程的解为x=2或x=-2；代入验算时计算错误。 知识点03 直接开平方法 形如（n≥0）的方程，直接开平方求解，连边同时开平方得。 ·示例： 开方得x-3=±4，∴, ·易错点：开方时漏掉；n<0时方程无实数根，强行开方。 知识点04 配方法 通过配方将方程化为的形式求解；步骤为将二次项系数化为1→移项→配方→开方→求解→验根。 ·示例： +9 x-3=±2 ∴, ·易错点：配方时只给一边加常数，二次项系数不为1时忘记先提取系数。 知识点05 公式法 对于一元二次方程，求根公式为： 。 ·示例：， a=2，b=-5，c=2 ∵， ∴ ∴, ·易错点：符号错误：-b、±、根号内运算；没先把方程化为一般式就代系数出错。 知识点06 因式分解 若ab=0，则a=0或b=0，常用提公因式、平方差公式、完全平方式、十字相乘法。 ·示例：, X（x-5）=0 ∴, ·易错点：两边直接除以含未知数的式子，造成漏解；分解因式不够彻底导致出错；未把方程一边化为0就开始分解导致出错。 知识点07 根的判别式 ，当 ·示例：, ∴方程有两个相等的实数根 ·易错点：求参数范围时，忘记二次项系数a≠0；题目说有实数根包含≥0，不只是>0。 知识点08 根与系数的关系（韦达定理） 若方程的两根分别为， 则，, ·示例：。 , ∴，, ·易错点：记混韦达定理，和为，不是；和积记反；未验证根的判别式直接用韦达定理；方程未化为一般式就直接套用公式。 知识点09 增长率问题 基础量a，增长率x，两次增长后的量为b，则。 ·示例：某产量为200，两年后为242，求年均增长率x.由题可得 ·易错点：只增长一次，写成；增长率为负时不会处理；结果不取正值，不符合实际。 知识点10 面积问题 利用长方形，道路，围栏面积列方程，常用总面积-空白面积=道路面积或直接表示长和宽列方程。 ·示例：长方形长20、宽15，中间修等宽的小路，余下面积240，设路宽为x，则（20-2x）（15-2x）=240. ·易错点：长和宽都减路宽时，减x还是2x混淆不清；道路交叉时重复减，多减面积；解方程得负数不知道舍去。 知识点11 销售利润问题 利润=单件商品的利润x销量。 ·示例：进价10，售价为20的商品，每天卖出50减，每降1元多卖出10件，要获利600元，设降价x元，则（20-10-x）（50+10）=600. ·易错点：单价和销量变化方向搞反；单件利润算成售价，忘记成本；解出不合实际的价格不舍去。 知识点12 传染/循环问题 传染问题：单循环（比赛）：；双循环（互送贺卡）：x（x-1）。 ·示例：一人患病，两轮后共得病81人，则。 ·易错点：传染问题第一轮、第二轮混淆；单循环忘记除以2，双循环多除以2。 题型一 判断是否为一元二次方程 解｜题｜技｜巧 先整理成一般形式，再看是否满足以下三点：等号两边都是整式，只含一个未知数，最高次数为2，满足则为一元二次方程。 【典例1】下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】构造一个一元二次方程，要求二次项系数和一次项系数都为1．写出这个一元二次方程：__________．（写一个即可） 【变式2】若关于的方程是一元二次方程，则___________． 题型二 一元二次方程的解 解｜题｜技｜巧 直接将未知数的值代入等号左右两边，若能使方程左右两边相等，则该未知数的值就是该方程的解。 【典例1】下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 【变式2】已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 题型三 直接开平方法解方程 解｜题｜技｜巧 将等号左边化为完全平方式的形式，等号右边为非负数，再两边同时开方，化为一元一次方程求解即可。 【典例1】方程的负根是（   ） A． B． C． D． 【变式1】一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【变式2】方程的解是__________． 题型四 配方法求解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 化二次项系数为1，再移常数项，配方，写成完全平方式的形式，最后开方求解。 【典例1】用配方法解方程时，原方程变形为（　　） A． B． C． D． 【变式1】将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　） A．1，2 B．1， C．， D．，2 【变式2】某同学解一元二次方程的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ 该方程没有实数根⑤ (1)问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． (2)请写出用配方法解方程的正确过程． 题型五 利用公式法求解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 先将一元二次方程化为一般形式，，确定a，b，c的值，算出∆的值，代入求根公式计算即可求解。 【典例1】用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】用公式法解方程： 题型六 利用因式分解求解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 移项使方程右边=0，将方程左边进行因式分解，进一步得到几个因式至少有一个为0，从而化为一次方程求解。 【典例1】一元二次方程的根是（  ） A． B． C． D． 【变式1】一元二次方程的解是________． 【变式2】解方程：． 题型七 判断方程根的情况 解｜题｜技｜巧 熟记∆>0可得方程有两个不相等的实数根；∆=0可得方程有两个相等的实数根；∆<0可得方程没有实数根；可直接利用其判断方程根的情况。 【典例1】一元二次方程根的情况是（   ）． A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【变式1】一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【变式2】关于的一元二次方程的根的情况是______． 题型八 证明方程恒有实数根或无实数根 解｜题｜技｜巧 配方说明∆的取值情况，常结合完全配方非负数结合，。 【典例1】已知关于的一元二次方程． 求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； 【变式1】已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是2，求代数式的值． 【变式2】已知关于x的一元二次方程，求证：不论m取何值，该方程都有实数根． 题型九 已知根的情况，求参数的取值范围 解｜题｜技｜巧 先保证是一元二次方程，即a≠0，再列出关于参数的不等式，解不等式即可求解，特别注意含参数注意是否二次项系数含参数。 【典例1】若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 【变式1】若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（   ） A． B． C． D． 题型十 已知方程求两根和、两根积 解｜题｜技｜巧 已知方程，直接套用公式，不用解方程。 【典例1】已知一元二次方程的两个根为，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则（    ） A． B． C．2 D．3 【变式2】若是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型十一 利用韦达定理求代数式的值 解｜题｜技｜巧 变形配方，如;。 【典例1】若方程的两个实数根分别是，则的值为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【变式1】一元二次方程的两根为、，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】若，是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 题型十二 已知方程的一根求另一根 解｜题｜技｜巧 用和或积直接算，无需代入展开。 【典例1】关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（   ） A．3 B． C．5 D． 【变式1】若关于x的方程 的一个根是1，则另一个根为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知：关于的方程有一个根是2，则__________，另一个根是__________． 题型十三 增长率或下降率问题 解｜题｜技｜巧 牢记公式，分清增长后与两年总和累计；设增长率为x，不用百分号列方程，解方程舍去负根。 【典例1】（2024七年级上·重庆期中）某市为了满足新能源汽车充电的需求，计划再建一批快充充电桩．第一个月新建了360个充电桩，第三个月新建了480个充电桩．设该市新建快充充电桩个数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】近年来，快递行业快速发展，据调查，某家快递公司，去年十月份与十二月份完成投递的快递总件数分别为万件和万件，则月平均增长率为_____． 【变式2】某农场去年种植了亩地的南瓜，亩产量为，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的，设南瓜种植面积的增长率为． (1)则今年南瓜的种植面积为________亩；今年南瓜亩产量为_______（用含的代数式表示） (2)今年南瓜的总产量为，求南瓜亩产量的增长率． 题型十四 销售利润问题 解｜题｜技｜巧 牢记公式：利润=单件商品的利润x销量；设降价或涨价为x；表示出变化后的销量与单价；检验根是否符合实际。 【典例1】某商场销售某种纪念品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，纪念品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元，那么纪念品的单价降了多少元？设纪念品的单价降了元，则满足的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式1】某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个，每个小家电定价每增加1元，销售量将减少10个，且定价不得超过55元．如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是_________元． 【变式2】永和红枣作为山西省永和县特产，其种植历史可追溯至唐代，以核小、皮薄、肉厚、无虫蛀、无公害为显著特点．某电商选择了销售永和特产红枣，其进价为每箱40元．按每箱60元出售，平均每天可售出120箱．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20箱．若该电商销售这种红枣，要想平均每天获利2520元． (1)每箱红枣应定价多少元？ (2)在平均每天获利不变的情况下为尽可能让利于顾客赢得市场，应按原售价的几折出售？ 题型十五 面积与图形问题 解｜题｜技｜巧 可利用平移法把道路移到边缘，整体算面积；设小路宽为x，表示长和宽；根据面积=长x宽列出方程求解。 【典例1】春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为    （    ） A． B． C． D． 【变式1】公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设正方形空地原来的边长为，则可列方程为________．    【变式2】如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，求道路的宽为多少米？ 题型十六 动点与几何线段问题 解｜题｜技｜巧 用时间t表示线段的长度，利用勾股定理或面积列出方程，同时注意t的取值范围，解方程即可求解。 【典例1】在中，，，．动点、分别从点、同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．多长时间后，能使的面积为？（   ） A．3秒或5秒 B．5秒 C．3秒 D．8秒 【变式1】如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．若点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为．当五边形的面积等于时，t的值为______．    【变式2】如图，在长方形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动．设运动时间为 (1) cm， cm；(用含x的式子表示) (2)若的面积为，求x的值． 题型十七 握手/循环问题 解｜题｜技｜巧 牢记基本公式传染问题：单循环（比赛）总场次=；双循环（互送贺卡）=x（x-1）。看清楚是单循环还是双循环、每两人一次列出方程求解检验即可。 【典例1】在元旦庆祝活动中，小组内的同学互赠新年贺卡，某小组共送贺卡56张，问该小组共有多少人？设该小组共有x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】国庆节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手78次，则参加聚会的有________ 人． 【变式2】九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． (1)依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 3．将一元二次方程化为一般形式是(        ) A． B． C． D． 4．一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（    ） A．，1 B．2，1 C． D． 5．已知是方程的一个根，则代数式的值是_____． 6．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为____． 7．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 8．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 9．解下列方程： (1) (2) 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若是方程的根，则代数式的值为（） A．0 B．2023 C．2024 D．2025 3．一元二次方程的实数根是（    ） A． B． C．， D． 4．一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_____． 5．当t满足_______________时，关于的一元二次方程有实数根． 6．若，是方程的两个根，则________． 7．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 8．《疯狂动物城2》于2025年11月26日上映．某影院抓住商机，购买了一批卡通玩偶，每个成本为24元，当售价定为每个36元时，平均每天售出60个．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出10个． 根据以上信息，解决问题： (1)每个玩偶降价______元时，影院每天销量可达到100个； (2)影院当天想获得650元利润，则每个玩偶应降价多少元． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．某电池厂2025年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．若是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．11 B．10 C． D．0 4．已知关于的一元二次方程，其中、在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是_______． 5．已知点是在线段上，满足，若，则线段的长为_____． 6．关于的方程根的情况描述如下： ①一定有两个实数根        ②可能只有一个实数根        ③可能无实数根 ④当时，方程有两个负实数根．其中正确的有______． 7．已知方程的两个根为，，且，则________． 8．如图①，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图②），得到大小两个正方形． (1)用关于的代数式表示图②中小正方形的边长为______； (2)如图②，当大正方形与小正方形的面积差为28时，求的值． 9．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $