2026届高考数学模拟卷（十一）（全国适用）

2026届高考数学终极押题卷（十一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1.若集合，，则（ ） A B. C. D. 2.已知，则（ ） A. B. C. D. 1 3.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 4. 如图，矩形 中， ，将 沿 翻折，得到三棱锥 ( 是 在翻折后的对应点)，则三棱锥 体积的最大值为（ ） A. B. C. 8 D. 16 5.已知等差数列的公差为成等比数列，则的前n项和 A. B. C. D. 6.在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 20 7.已知，，设，，，则（ ） A. B. C. D. 8.已知条件为“对，有”，实数在区间上变化时，满足条件的实数最大值与最小值之积为与实数有关的函数，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知函数 ，则（ ） A. 为 的一个周期 B. 的图象关于点 对称 C. 在 上单调递增 D. 的值域为 10.在四棱锥中，底面是边长为1菱形，为的中点，则（ ） A. 四边形为正方形 B. 平面 C. 四棱锥的体积为 D. 直线与平面所成的角为 11.我们把称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为.若直线与双曲余弦函数曲线和双曲正弦函数曲线分别相交于点，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 在随的增大而减小，在随的增大而增大 D. 的面积随的增大而减小 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12.甲同学有 3 本故事书和 1 本科普书，乙同学有 1 本故事书和 3 本科普书，若甲、乙两位同学各取出 本书进行交换，记交换后甲同学有故事书的本数为 的均值为 ，则 _____. 13.在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为______. 14.记表示数集中最大的数，设为正数，，，则的最小值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，的面积为.已知. （1）求； （2）求函数在上的单调递增区间. 16.在科技飞速发展的今天， 人工智能领域迎来革命性的突破， 各种 AI 的人工智能大模型拥有强大的解决问题的能力. 某机构分别用 两种人工智能大模型进行对比研究，检验这两种大模型在答题时哪种更可靠， 从某知识领域随机选取 180 个问题进行分组回答， 其中 人工智能大模型回答 100 个问题，有 91 个正确; 人工智能大模型回答剩下的 80 个问题， 有 65 个正确. （1）完成下列 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，能否认为人工智能大模型的选择与回答正确有关? 回答正确 回答错误 合计 人工智能大模型 人工智能大模型 合计 （2）将频率视为概率，用 人工智能大模型随机回答该知识领域的 道题目， 且各题回答正确与否， 相互之间没有影响. 记其中恰有 2 个问题回答错误的概率为 ，求 取得最大值时 的值. 参考公式及参考数据: . 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 17.已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 关于双曲线 的一条渐近线 的对称点 在 上. （1）求双曲线 的离心率； （2）若 ，双曲线 的左、右顶点分别为 ，过左顶点 作实轴的垂线交渐近线 于点 ，过 作直线分别交双曲线 的左、右两支于 两点，直线 分别交 于 两点. 证明: 四边形 为平行四边形. 18. 已知数列的前项和为 . （1）求数列的通项公式; （2）若无穷的非常数数列 同时满足两个性质: ①对于中任意两项 ，在中都存在一项，使得 ; ②对于中任意一项 ，在中都存在两项 ，使得 . 则称数列为数列. (i)判断数列是否为数列，并说明理由； (ii)若数列是数列且为单调递增数列，证明:数列是等差数列. 19.已知函数，其中为自然对数的底数。 （1）当时，求的单调区间； （2）若当时，关于的方程：有两个不同的根：且， （i）求的范围； （ii）当最小时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考数学终极押题卷（十一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1.若集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解对数不等式得出集合A，再计算分式不等式得出集合B，即可求解交集. 【详解】集合， ， 则 故选：B. 2.已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算、乘方运算得到，再由共轭复数得到. 【详解】，所以， 故选：A 3.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由赋值法求得，进一步求得的值，然后由奇函数的性质即可求解. 【详解】当 时， ，所以令，得， 又因为，所以 在中，令，解得， 又因为函数 是定义在 上的奇函数， 故所求为. 故选：D 4. 如图，矩形 中， ，将 沿 翻折，得到三棱锥 ( 是 在翻折后的对应点)，则三棱锥 体积的最大值为（ ） A. B. C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，当平面平面时，三棱锥 体积的最大，然后结合锥体的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由条件可得， 且， 设点到的距离为，由等面积法可得， 即，则， 由图知，当平面平面时，三棱锥 体积的最大， 此时三棱锥的高为， 则体积为. 故选：C 5.已知等差数列的公差为成等比数列，则的前n项和 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】由等差数列{an}的公差为成等比数列，列出方程求出a1＝﹣1，由此能求出{an}的前n项和Sn． 【详解】∵等差数列{an}的公差为2，a2，a3，a6成等比数列， ∴（a1+4）2＝（a1+2）（a1+10）， 解得a1＝﹣1， ∴{an}的前n项和Snn+n2﹣n＝n2﹣2n＝n（n﹣2）． 故选A． 6.在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式定理展开式计算即可. 【详解】先求展开式中含，的项， 易知，显然其不含， 含的项分别为：，， 所以在的展开式中， 的系数为. 故选：B. 7.已知，，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数的单调性、不等式的性质及基本不等式比较大小. 【详解】由，得，即，则， 由，得，即，则， ，则， 因此，所以，即. 故选：D 8.已知条件为“对，有”，实数在区间上变化时，满足条件的实数最大值与最小值之积为与实数有关的函数，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，所以为过点且在函数下方的直线斜率，过点作的两条切线，设切点求得，再利用函数性质可求解. 【详解】问题转化为，为过点且在函数下方的直线斜率，过点作的两条切线， 设切点为，则有：，解得， 设两个切点横坐标为，，则有，， 而的最大值和最小值分别为和， 所以， 而，则. 故选：C. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知函数 ，则（ ） A. 为 的一个周期 B. 的图象关于点 对称 C. 在 上单调递增 D. 的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据降幂公式化简函数，利用函数的周期性和对称性定义，判断A和B；再对函数进行求导，判断C；通过消元换元，将函数化成求二次函数的值域，判断D即可. 【详解】因为所以， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，， 当时，，则， 即，即在 上单调递增.故C正确； 对于D，令，则， ， 令，则，且， ， 令，则，则 当时，取得最大值3，故，此时，，故D错误. 故选：ABC. 10.在四棱锥中，底面是边长为1菱形，为的中点，则（ ） A. 四边形为正方形 B. 平面 C. 四棱锥的体积为 D. 直线与平面所成的角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定性质求解判断A；利用线面平行的判定推理判断B；求出体积判断C；利用几何法求出线面角判断D. 【详解】对于A，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形， 由平面，得平面， 又平面，则，由，得， 因此，即，则菱形为正方形，A正确； 对于B，令，则为的中点，又为的中点，因此， 又平面平面，则平面，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由选项A知，而平面， 则平面，为直线与平面所成的角， 又，则，，D错误. 故选：ABC 11.我们把称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为.若直线与双曲余弦函数曲线和双曲正弦函数曲线分别相交于点，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 在随的增大而减小，在随的增大而增大 D. 的面积随的增大而减小 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.利用奇偶函数的性质可得；B.将左右两个式子进行化简即可；C求出两条切线方程，再得点坐标，则可计算是关于的函数，研究其单调性即可；D.利用面积公式求得关于的函数即可判断其增减性. 【详解】A：因为偶函数，为奇函数，则是奇函数，故A正确； B：， ， 故，故B错误； C：设，，则，， ，，， 曲线在点处的切线方程为， 即； 曲线在点处的切线方程为， 即； 则， 则 令，则， 得；得， 则在上单调递减，在上单调递增，故C正确； D：的面积为，故面积随的增大而减小，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12.甲同学有 3 本故事书和 1 本科普书，乙同学有 1 本故事书和 3 本科普书，若甲、乙两位同学各取出 本书进行交换，记交换后甲同学有故事书的本数为 的均值为 ，则 _____. 【答案】4 【解析】 【分析】由时，的可能取值为2，3，4，时，的可能取值为0，1，2，分别求得概率，再利用期望公式求解. 【详解】当时，的可能取值为2，3，4， 则， ，所以； 当时，的可能取值为0，1，2， 则， ，所以； 则， 故答案为：4 13.在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标运算以及正弦函数的性质求解. 【详解】 如图，因为，所以以为坐标原点， 方向为轴建立平面直角坐标系，则, 设,则， 过点作轴的垂线，垂足为，则， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 则， ，所以， 所以当，即时，有最大值为， 故答案为：. 14.记表示数集中最大的数，设为正数，，，则的最小值为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】由不等式性质可得，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由题意，， 则， 当且仅当时，全部取得等号，所以，故的最小值为4. 故答案为：4. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，的面积为.已知. （1）求； （2）求函数在上的单调递增区间. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）由三角函数的面积公式和余弦定理可得； （2）由三角恒等变换结合正弦函数的单调性可得. 【小问1详解】 由， 由余弦定理，， 代入即得：，化简得： 因为，所以. 【小问2详解】 ， 由，解得， 又，所以或， 所以单调递增区间为和. 16.在科技飞速发展的今天， 人工智能领域迎来革命性的突破， 各种 AI 的人工智能大模型拥有强大的解决问题的能力. 某机构分别用 两种人工智能大模型进行对比研究，检验这两种大模型在答题时哪种更可靠， 从某知识领域随机选取 180 个问题进行分组回答， 其中 人工智能大模型回答 100 个问题，有 91 个正确; 人工智能大模型回答剩下的 80 个问题， 有 65 个正确. （1）完成下列 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，能否认为人工智能大模型的选择与回答正确有关? 回答正确 回答错误 合计 人工智能大模型 人工智能大模型 合计 （2）将频率视为概率，用 人工智能大模型随机回答该知识领域的 道题目， 且各题回答正确与否， 相互之间没有影响. 记其中恰有 2 个问题回答错误的概率为 ，求 取得最大值时 的值. 参考公式及参考数据: . 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）答案见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到列联表；利用公式求得，结合附表即可得到结论； （2）根据题意得出独立事件概率公式列式，再作商计算判断单调性即可求解. 【小问1详解】 回答正确 回答错误 合计 A人工智能大模型 91 9 100 B人工智能大模型 65 15 80 合计 156 24 180 零假设：人工智能大模型的选择和回答正确无关， ， 故根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 故可以判断人工智能大模型的选择和回答正确有关； 【小问2详解】 由题意，A人工智能大模型回答题目正确的概率为， 恰有 2 个问题回答错误的概率为 ， ， 所以，当时，，当时，， 所以，， 所以 取得最大值时. 17.已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 关于双曲线 的一条渐近线 的对称点 在 上. （1）求双曲线 的离心率； （2）若 ，双曲线 的左、右顶点分别为 ，过左顶点 作实轴的垂线交渐近线 于点 ，过 作直线分别交双曲线 的左、右两支于 两点，直线 分别交 于 两点. 证明: 四边形 为平行四边形. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，结合双曲线的定义即可求解，即可利用离心率公式求解， （2）联立直线与双曲线方程可得韦达定理，即可根据两点求解直线，联立与渐近线方程可得坐标，即可根据向量的坐标运算，代入韦达定理可证明得解. 【小问1详解】 连接, 由于关于直线对称，又，所以， 到直线距离为， 因此，故， 由双曲线定义可得，故， 因此离心率为， 【小问2详解】 当时，则，故双曲线的方程为， ，直线，故， 由题意可知直线有斜率，故设， 联立与可得， 设，则， 则直线，联立与方程可得， 解得，，所以, 同理可得, ,, ， 所以，即， 因此，因此, 故四边形 为平行四边形. 18. 已知数列的前项和为 . （1）求数列的通项公式; （2）若无穷的非常数数列 同时满足两个性质: ①对于中任意两项 ，在中都存在一项，使得 ; ②对于中任意一项 ，在中都存在两项 ，使得 . 则称数列为数列. (i)判断数列是否为数列，并说明理由； (ii)若数列是数列且为单调递增数列，证明:数列是等差数列. 【答案】（1）； （2）（i）是数列；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）变形得，再利用累乘法得，最后降次作差即可； （2）（i）计算得，则其满足性质①，再分析其满足性质②即可； （ii）首先利用性质②：取，则得到即成等差数列，再利用性质①，取，得到数列中必然存在一项的值为．最后证明即可. 【小问1详解】 由得， 即， ， 累乘得：， ，又符合式子， 所以， 当时，， 又符合上式，所以． 【小问2详解】 （i）因为， ，所以具有性质①， 因为， 具有性质②． 数列是数列． （ii）是单调递增数列． 首先利用性质②：取，此时， 由数列的单调性可知， ，故， 此时必有，即， 即成等差数列，不妨设． 利用性质①：取， 则， 即数列中必然存在一项的值为． 下面证明， 若，则由数列的单调性可知． 在性质②中，取，则，从而，则． 若，则，与假设矛盾； 若，则，与假设矛盾； 若，则，与数列的单调性矛盾． 故不存在满足题意的正整数，，可见不成立，从而， 同理可得为等差数列． 19.已知函数，其中为自然对数的底数。 （1）当时，求的单调区间； （2）若当时，关于的方程：有两个不同的根：且， （i）求的范围； （ii）当最小时，求的值． 【答案】（1）单调递增区间为和，无单调递减区间. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先求，再通过研究的正负性来确定的正负性，即可求出的单调区间； （2）（i）将问题转化为在上有两个不同的零点，根据导函数研究其单调性，最后根据零点存在性定理即可得出； （ii）令，通过，先研究函数的单调性，再研究的最小值，利用两者最小值的一致性，可得的值，即可通过求的值. 【小问1详解】 定义域为， 当时，，则， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 因，则或时，，即， 则的单调递增区间为和，无单调递减区间. 【小问2详解】 （i）当时， 有两个不同的根， 则在上有两个不同的非零零点， 因，则在上有两个不同的零点， 因， 当时，，则在上单调递增， 则在上至多存在一个零点，不符合题意； 当时，得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 令，则， 则得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，则在上恒成立， 因，则， 则当时，； 当时，， 则由零点存在性定理可知在上有两个不同的零点， 综上可知，的范围为. （ii）因，结合的单调性可知， 由（i）可知是的两个根，即， 两式相减得， 令，则，则， 令由（1）可知，在上单调递增， 故欲求的最小值，只需求的最小值，即的最小值， 令，则， 令，则，则在上单调递增， 又，则使得，即， 则得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则当时取最小值，取最小值，取最小值， 此时 综上所述，当最小时，. 学科网（北京）股份有限公司 $