第2章 二次函数 复习题（习题课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次函数的概念、图像性质及应用，通过知识技能、数学理解、问题解决、联系拓广四个模块，将表达式、顶点坐标、最值问题、实际建模等内容串联，构建完整的二次函数知识网络。 其亮点在于注重数学眼光、思维与语言的培养，如通过汽车撞击影响、喷泉高度等实际问题引导学生用数学眼光观察现实，采用表达式、表格、图像三种方法解决交点问题培养数学思维，分层设计基础题（求顶点）、综合题（面积最值）、拓展题（规律探究），帮助学生巩固知识，教师可精准教学。

九（下）数学教材习题 北 师 版 第二章 复习题 1．两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到多少？利用图象描述乘积与因数之间的关系. 解：设两个数为x，y,两数的积为s,根据题意列方程组得 整理得 s=x（6-x）=-x2+6x． 配方得s=-（x-3）2+9，可见s的最大值为9． 则乘积与因数的关系如图． 知识技能 2．求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： （1）y=2-2x2； （2）y=-3（x-1）2+5； 解：（1）y=2-2x2的对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，2）. （2）y=-3（x-1）2+5的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，5）. 知识技能 2．求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： （3）y=4（x+3）2-1； （4）y=x（5-x）； 解：（3）y=4（x+3）2-1的对称轴为直线x=-3，顶点坐标为（-3，-1）. （4）y=x（5-x）=-（x-2.5）2+6.25的对称轴为直线x=2.5，顶点坐标为（2.5，6.25）. 知识技能 2．求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： （5）y=1+2x-x2；（6）y=2x2-7x+12． 解：（5）y=1+2x-x2=-（x-1）2+2的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2）. （6） 的对称轴为直线 ，顶点坐标为 . 知识技能 3．求下列二次函数的图象与x轴的交点的坐标，并画草图验证： （1）y=x2+6x+9； 解：当y=0时，x2+6x+9=0，解得x1=x2=-3． 则二次函数y=x2+6x+9的图象与x轴的交点坐标为（-3，0）． 如图． 知识技能 3．求下列二次函数的图象与x轴的交点的坐标，并画草图验证： （2）y=9-4x2； 解：当y=0时，9-4x2=0， 解得 则二次函数y=9-4x2的图象与x轴的交点坐标为 如图． 知识技能 3．求下列二次函数的图象与x轴的交点的坐标，并画草图验证： （3）y=（x+1）2-9． 解：当y=0时，（x+1）2-9=0，解得x1=-4，x2=2． 则二次函数 y=（x+1）2-9的图象与x轴的交点坐标为（-4，0），（2，0）．如图． 知识技能 4．把一根长120 cm的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积和最小是多少？ 解：设将铁丝分成x cm和（120-x）cm两部分，面积和为y cm2,得 当x=60时，y最小=450. ∴它们的面积和最小值为450 cm2． 知识技能 5．当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量．某型汽车的撞击影响可以用公式I=2v2来表示，其中v（km/min）表示汽车的速度. （1）列表表示I与v的关系； 解：如表： v 1 2 3 4 … I 2 8 18 32 … 知识技能 5．当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量．某型汽车的撞击影响可以用公式I=2v2来表示，其中v（km/min）表示汽车的速度. （2）当汽车的速度增加到原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？ 解：I=2•（2v）2=4×2v2． 答：当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的4倍． 知识技能 6．自由落体运动是由于引力的作用而造成的，地球上物体自由下落的时间t（s）和下落的距离h（m）的关系是h=4.9t2．我们知道，对同一物体，月球的引力大约是地球引力的 ，因此月球上物体自由下落的时间t（s）和下落的距离h（m）的关系大约是h=0.8t2． 知识技能 （1）在同一平面直角坐标系中画图，分别表示地球、月球上h和t的关系； 解：如图. h=4.9t2 h=0.8t2 知识技能 （2）比较物体下落4 s时，在地球上和月球上分别下落的距离； 解：当t=4时， 在地球上下落的距离为h=4.9×42=78.4（m）， 在月球上下落的距离为h=0.8×42=12.8（m）. 答：在地球上下落的距离为78.4 m，在月球上下落的距离为12.8 m. 知识技能 （3）比较物体下落10 m时，在地球上和月球上分别所需要的时间（结果精确到0.1 s）． 解：当h=10时， 在地球上：10=4.9t2，解得t≈1.4s， 在月球上：10=0.8t2，解得t≈3.5s. 答：在地球上需要的时间约为1.4 s,月球上需要的时间约为3.5 s. 知识技能 7．求二次函数y=x2-x-5的图象与一次函数y=2x-1的图象的交点坐标.请利用函数表达式、表格和图象三种方法求解. 解：（1）表达式法： 联立 解得 所以交点坐标为（-1，-3）和（4，7）. 知识技能 （2）表格法： x -2 -1 0 1 2 3 4 5 y=x2-x-5 1 -3 -5 -5 -3 1 7 15 y=2x-1 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 由表可知当x=-1时，y取得相同值-3；当x=4时，y也取得相同值7，∴函数y=x2-x-5的图象与函数y=2x-1的图象的交点坐标为（-1，-3）和（4，7）. 知识技能 （3）图象法： 如图. 由函数图象可得函数y=x2-x-5的图象与函数y=2x-1的图象的交点坐标为（-1，-3）和（4，7）. 知识技能 8．方程-x2+2x+ =0的根与二次函数y=-x2+2x+ 的图象之间有什么关系？ 解：二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是方程的根. 知识技能 9．利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根：（1）x2+11x=9； 解：将x2+11x=9化为一般式为x2+11x-9=0．作出函数y=x2+11x-9的图象，如图所示．图象与x轴相交于两点，这两点的横坐标约为-11.8和0.8．所以方程x2+11x=9的近似根分别为-11.8和0.8． 知识技能 9．利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根：（2）x2+3x=20； 解：将x2+3x=20化为一般式为x2+3x-20=0．作出函数y=x2+3x-20的图象，如图所示．图象与x轴相交于两点，这两点的横坐标约为-6.2和3.2．所以方程x2+3x=20的近似根分别为-6.2和3.2． 知识技能 9．利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根：（3）x2+2x-9=0； 解：作出函数y=x2+2x-9的图象，如图所示．图象与x轴相交于两点，这两点的横坐标约为-4.2和2.2．所以方程x2+2x-9=0的近似根分别为-4.2和2.2． 知识技能 9．利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根：（4）x2+3=3x. 解：将x2+3=3x变形为一般式为x2-3x+3=0．作出函数y=x2-3x+3的图象，如图所示．图象与x轴无交点， 所以方程x2+3=3x无实根． 知识技能 10．写出等边三角形的面积S与其边长a之间的关系式，并分别计算当a=1， ，2时三角形的面积． 解：在等边三角形中，底边上的高为 当a=1时，S= ；当a= 时，S= ； 当a=2时，S= . 知识技能 11．正方形的边长是x，面积是A，周长是l. （1）分别写出A，l与x的关系式； 解：A与x的关系式为A=x2， l与x的关系式为l=4x. 数学理解 11．正方形的边长是x，面积是A，周长是l. （2）在同一平面直角坐标系中画出（1）中两个函数的图象，比较它们的变化趋势； 解：画出函数图象如图. 函数值都是随x的增大而增大. 数学理解 11．正方形的边长是x，面积是A，周长是l. （3）你所画的函数A=x2的图象与函数y=x2的图象有什么不同？为什么？ 解：函数A=x2的图象是函数y=x2的图象的y轴的右侧部分．因为正方形的边长为正数. 数学理解 12．已知平行四边形的高与底边的比是h∶a=2∶5，用表达式表示平行四边形的面积S与它的底边a的关系，并从图象观察平行四边形的面积随其底边变化而变化的情况． 解：∵平行四边形的高与底边的比是h∶a=2∶5， ∴h= a．∴ 如图所示．平行四边形的面积 随其底边增大而增大． 数学理解 13．如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数 刻画，斜坡可以用一次函数 刻画． （1）求小球到达的最高点的坐标； 解:由题意得 故可得小球到达的最高点的坐标为（4，8）． 数学理解 （2）小球的落点是A，求点A的坐标． 解:联立 解得 故可得点A的坐标为 数学理解 14．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是15 m，如何围篱笆才能使其所围矩形的面积最大？最大面积是多少？ 解：设所围矩形的一边长为x m,则另一边长可表示为（15-x）m,则面积S=x（15-x）=-x2+15x=-（x-7.5）2+56.25（0＜x＜15）．当x=7.5时，面积S有最大值56.25． 答：当矩形的长与宽相等，都为7.5 m时，所围矩形的面积最大，最大值是56.25 m2． 问题解决 15．如图（单位：m），等腰直角三角形ABC以2 m/s的速度沿直线l向正方形移动，直到AB与CD重合.设x s时，三角形与正方形重叠部分的面积为y m2.（1）写出y与x的关系式； 解：易知△ABC与正方形重合部分是个等腰直角三角形，且直角边长是2x cm, ∴y= ×2x×2x=2x2， 即y与x之间的函数关系式为y=2x2. 问题解决 15．如图（单位：m），等腰直角三角形ABC以2 m/s的速度沿直线l向正方形移动，直到AB与CD重合.设x s时，三角形与正方形重叠部分的面积为y m2. （2）当x取2，3，5时，y分别是多少？ 解：当x=2时，y=8； 当x=3时，y=18； 当x=5时，y=50. 问题解决 （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？ 解：∵正方形的面积=10×10=100（cm2）， ∴当重叠部分的面积是正方形的一半时， 2x2= ×100=50. ∴x2=25，解得x=5或x=-5（舍去）.即当重叠部分的面积是正方形的一半时，三角形移动了5 s. 问题解决 16．科研人员在测试一枚火箭向上竖直升空时，获得火箭的高度h（m）与时间t（s）的关系数据如下： 时间t/s 1 5 10 15 20 25 火箭高度h/m 155 635 1010 1135 1010 635 （1）根据上表，以时间t为横轴，高度h为纵轴建立直角坐标系，并描出上述各点； 问题解决 解：如图． 问题解决 （2）你能根据坐标系中各点的变化趋势确定h关于t的函数类型吗？ 解：由图象可知，h是关于t的二次函数． 问题解决 （3）你能确定h关于t的函数表达式吗？ 解：由图象可得到顶点坐标为（15，1135）， 设抛物线表达式为h=a（t-15）2+1135， 把（10，1010）代入可得a（10-15）2+1135=1010， 解得a=-5． ∴h=-5（t-15）2+1135． 问题解决 （4）你能求出该火箭的最高射程是多少吗？你是根据哪种表示方式求解的？ 解：该火箭的最高射程是1135 m,根据（3）中的顶点式可得到． 问题解决 17．如图，喷水池的喷水口位于水池中心，离水面高为0.5 m，喷出的水流呈抛物线形状，最高点离水面 m,落水点离池中心1 m.请建立适当的直角坐标系，用函数表达式描述左右两边的两条水流，并说明自变量的取值范围． 问题解决 解：如图，由水池的中心为坐标原点建立平面直角坐标系． 设右边水流的表达式为y=ax2+bx+c, 由题意得 解得 问题解决 ∴右边水流的表达式为 y=-x2+0.5x+0.5． 由图象得x的取值范围是0≤x≤1． 由图象得左边的水流与右边的水流关于y轴对称， ∴左边水流的函数表达式为 y=-x2-0.5x+0.5（-1≤x≤0）. 问题解决 18．把一个数a拆成两数之和，何时它们的乘积最大？你能得出一个一般性的结论吗？ 解：设其中一个数为m,另一个数为a-m, ∴乘积 当m= 时，y有最大值为 ． 结论：当两个数的和一定，这两个数为它们和的一半时，两个数的积最大. 问题解决 19．相框边的宽窄影响可放入相片的大小.如图，相框长26 cm,宽22 cm,相框边的宽x cm,相框内的面积为y cm2． （1）写出y与x的函数关系式； 解：y=(26-2x)(22-2x)=4x2-96x+572（0＜x≤11）. 问题解决 19．相框边的宽窄影响可放入相片的大小.如图，相框长26 cm,宽22 cm,相框边的宽x cm,相框内的面积为y cm2． （2）画出这个函数的图象； 解：如图. 问题解决 19．相框边的宽窄影响可放入相片的大小.如图，相框长26 cm,宽22 cm,相框边的宽x cm,相框内的面积为y cm2． （3）当x=1，1.5，2时，分别可以放入多大的相片？ 解：y=4x2-96x+572． 当x=1时，y=480；当x=1.5时，y=437； 当x=2时，y=396． 问题解决 20．竖直向上发射的物体的高度h（m）满足关系式h=-5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度．某公园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到15 m,那么喷水的速度应该达到多少？（结果精确到0.01 m/s） 问题解决 解：h=-5t2+v0t= . 由题意得 整理得v02=300， 解得 或 （舍去）. 答：喷水的速度应该达到17.32 m/s. 问题解决 21．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长为16 m，宽为6 m,抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8 m. （1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式； 问题解决 解：根据题意得A（-8，0），B（-8，6），C（0，8）， 设抛物线的表达式为y=ax2+8（a≠0）． 把B（-8，6）代入，得64a+8=6， 解得a=- ． ∴抛物线的函数表达式为y=- x2+8． 问题解决 21．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长为16 m，宽为6 m,抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m. （2）一大型汽车装载某大型设备后高 为7 m,宽为4 m.如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 解：根据题意，把x=4代入表达式，解得y=7.5. ∵7.5 m＞7 m,∴这辆货车能安全通过． 问题解决 22．一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4 m时，拱顶到水面的距离是2 m.当水面下降1 m后，水面宽度是多少？（结果精确到0.1 m） 解：以水面所在的直线为x轴，以这座抛物线型拱桥的对称轴为y轴，建立直角坐标系． 设抛物线的函数关系式为y=ax2+k, ∵抛物线过点（0，2），∴y=ax2+2． 问题解决 又∵抛物线经过点（2，0）， ∴有0=4a+2，解得a=- ．∴y=- x2+2． 水面下降1 m,即-1=- x2+2， 解得x= ，或x=- （舍去）． ∴水面宽度为2 m≈4.9 m． ∴当水面下降1 m后，水面宽度是4.9 m． 问题解决 23．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12.在△ABC中截出一个矩形DEFG，其中D，G分别在AB和AC边上，EF在BC边上．设EF=x,矩形DEFG的面积为y,写出y与x之间的函数关系式，列出表格，并画出相应的函数图象．根据三种表示方法回答下列问题： 解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N． ∵AB=AC=10，BC=12，∴BM=BC=6． 联系拓广 在Rt△ABM中，根据勾股定理，得AM=8． ∵四边形DEFG是矩形，∴DG∥EF，DE⊥BC． ∴AN⊥DG．∴四边形EDNM是矩形． ∵EF=DG=x,设MN=DE=a,则AN=8-a, ∵DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC． 联系拓广 列表得： x … 0 3 6 9 12 … y … 0 18 24 18 0 … 联系拓广 画图得： 联系拓广 （1）自变量x的取值范围是什么？ （2）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么？ （3）你能描述y随x的变化而变化的情况吗？ 解：（1）自变量x的取值范围为0＜x＜12． （2）图象的对称轴为直线x=6，顶点坐标为 （6，24）． （3）当x=6时，y有最大值24；当0＜x＜6时，y随x的增大而增大；当6＜x＜12时，y随x的增大而减小． 联系拓广 24．某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，成本与销售月份之间的关系如图（2）所示（图（1）的图象是线段，图（2）的图象是抛物线）．哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？（收益=售价-成本） 联系拓广 解：设y1=kx+b,将（3，5）和（6，3）代入 得 解得 设y2=a（x-6）2+1，把（3，4）代入， 得4=a（3-6）2+1，解得a= ． ∴y2= （x-6）2+1，即y2= x2-4x+13． 联系拓广 ∴收益 ∵a=- ＜0，∴当x=5时，W最大= ． 故5月出售这这种蔬菜，每千克的收益最大，最大为 元． 联系拓广 25．（1）如图，第n个图形中有多少个小正方形？你是如何计算的？ 解：第n个图形中有n2个小正方形， 由图可得， 第1个图形中有1=12个小正方形， 第2个图形中有1+3=4=22个小正方形， 第3个图形中有1+3+5=9=32个小正方形， …… ∴第n个图形中有1+3+5+…+（2n-1）=n2个小正方形． 联系拓广 25．（2）求1+3，1+3+5，1+3+5+7，1+3+5+7+9，…，1+3+5+7+9+…+（2n-1）． 解：1+3=4， 1+3+5=9， 1+3+5+7=16， 1+3+5+7+9=25， … 1+3+5+7+9+…+（2n-1）=n2． 联系拓广 26．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第6个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？ 解：第1个图形中小圆圈的个数为1； 第2个图形中小圆圈的个数为1+2=3； 第3个图形中小圆圈的个数为1+2+3=6； 第4个图形中小圆圈的个数为1+2+3+4=10． 所以第6个图形中小圆圈的个数为1+2+3+4+5+6=21． 联系拓广 26．（2）完成下表： 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总数 1 3 6 10 15 联系拓广 26．（3）如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？ 解：根据（2）发现规律： 用n表示等边三角形边上的小圆圈数，m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是m= 联系拓广 27．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？ 解：第1个图形有1个圆圈， 第2图形有7个圆圈， 第3个图形有19个圆圈， 第4个图形有37个圆圈， 第5个图形有61个圆圈． 联系拓广 27．（2）完成下表： 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总数 1 7 19 37 61 联系拓广 27．（3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？ 解：将点(n,m)依次画在平面直角坐标系中，发现这些点在抛物线上，设m=an2+bn+c, 则有 解得 ∴m=3n2-3n+1． 联系拓广 28．求如图所示的图形中小圆圈的总数. 解：观察图形，可以看作图形由七部分组成， 即中间蓝色正六边形和外部六个正三角形， ∵六个正三角形构成圆圈数一样， ∴六个正三角形圆圈总数为 （1+2+3+4）×6=10×6=60（个）． 联系拓广 蓝色正六边形圆圈个数为 5+6+7+8+9+8+7+6+5=10+12+14+16+9=61（个） ∴图形中小圆圈的总数为60+61=121（个） 答：图形中小圆圈的总数有121个． 联系拓广 $