3.9 弧长及扇形的面积（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦弧长、扇形面积及弓形面积计算，通过运动会起跑线、传送带转动等生活情境导入，引导学生从圆周长推导弧长公式，再类比探究扇形面积公式，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过类比推理发展数学思维，结合弯形管道、排水管道截面等典例及中考题强化应用意识。结构化小结系统呈现公式，助力学生用数学语言解决问题，也为教师提供丰富实例，提升教学效果。

3.9 弧长及扇形的面积 第三章 圆 九年级下册数学（北师版） 问题1 你注意到了吗，在运动会的 4×100 米比赛中，各选手的起跑线不再同一处，你知道这是为什么吗？ 问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 情景导入 探究一 如图，某传送带的一个转动轮的半径为 10 cm. （1）转动轮转一周，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？ A 2πr = 20π cm 1 弧长的计算 探究新知 如图，某传送带的一个转动轮的半径为 10 cm. （2）转动轮转1°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？ A 如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm. （3）转动轮转 n°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？ A 在半径为 R 的圆中，n° 的圆心角所对的弧长的计算公式为_____________________. n 表示 1° 圆心角的倍数. ° ° 归纳总结 例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料.试计算如图所示的管道的展直长度，即弧 AB 的长度（结果精确到 0.1 mm）. 40 mm 110° A B 典例精析 解：R＝40 mm，n＝110， 所以 的长 因此，管道的展直长度约为 76.8 mm. 1.(广西)如图在 △ABC 中，CA = CB = 4，∠BAC = α 将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 2α 得到 △AB′C′ 连接 B′C 并延长交 AB 于点 D，当 B′D⊥AB 时， 的长是 ( ) B 链接中考 想一想 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长 3 m 的绳子，绳子的一端栓着一只狗. （1）这只狗的最大活动区域有多大？ πr2 = 9π m2 半径为 3 m 的圆的面积 扇形面积的计算 2 （2）如果这只狗只能绕柱子转过 n° 角， 那么它的最大活动区域有多大？ 狗活动的区域是一个什么图形呢？如何求它的面积？ n° 探究二 如何求圆的部分面积? 扇形 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． ° 合作探究 问题1 由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．你能类比刚才我们研究弧长公式的方法推导出扇形面积的计算公式吗？ 360° 所对的扇形的面积： 1° 所对的扇形的面积： πR2 360 πR2 问题2 圆心角是 n° 的扇形的面积呢？ ° 归纳总结 如果扇形的半径为 R，圆心角为 n°，那么扇形面积的计算公式为S扇形=________. ° 探究三 圆心角是 n° 所对的弧长公式和扇形的面积公式之间的关系. R 总结 圆心角为 n° 的扇形的面积是: 方法总结 2.(兰州)如图 1 是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板；该展板的部分示意图如图 2 所示；它是以 O 为圆心，OA，OB 长分别为半径，圆心角∠O =120° 形成的扇面，若 OA = 3m ，OB =1.5m，则阴影部分的面积为 ( ) A. 4.25π m2 B. 3.25π m2 C. 3π m2 D. 2.25π m2 D 链接中考 例2 扇形 AOB 的半径为 12 cm，∠AOB = 120°，求 的长（结果精确到 0.1 cm）和扇形 AOB 的面积（结果精确到 0.1 cm2）. 典例精析 因此， 的长约为 25.1 cm，扇形 AOB 的面积约为150.7 cm2. 例3 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积 (精确到 0.01 m2). ∵ OC＝0.6，DC＝0.3， ∴ OD＝OC - DC＝0.3. ∴ OD＝DC. 又 AD⊥OC， ∴ AD 是线段 OC 的垂直平分线. ∴ AC＝AO＝OC. 从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°. 解：如图，连接 OA、OB，过点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 D，交 于点 C，连接 AC. 在 Rt△AOD 中，OA = 0.6 m，OD = 0.3 m， ∴ AD = m. ∴ AB = 2AD = m. ∴ 截面上有水部分的面积为 S = S扇形AOB - SΔOAB O O 弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积 弓形的面积公式: S弓形 = S扇形 - S三角形 S弓形 = S扇形 + S三角形 方法总结 计算公式 弧长 面积公式 面积公式 ________ 扇形 弓形 ________ ________ S弓形 = S扇形 - S三角形 S弓形 = S扇形 + S三角形 当堂小结 2. 某扇形的圆心角为 72°，面积为 5π，则此扇形的弧长为 ( ) A．π B．2π C．3π D．4π B 1. 75° 的圆心角所对的弧长是 2.5π cm，则此弧所在圆的半径是_____cm. 6 课堂练习 3. 如图，某数学兴趣小组将边长为 5 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形 ABD 的面积为______. 25 4.(宜昌)“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形如图以边长为 2 厘米的等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积是_____________________. S莱洛三角形= (S扇形BAC -S△ABC)×3+S△ABC 5．一个扇形的弧长为 20π cm，面积是 240π cm2，则 该扇形的圆心角为多少? 解：设扇形半径为 R，圆心角为 n°，由扇形 公式 答：该扇形的圆心角为150°． 可得 （cm） 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 Lavf56.15.102 $