(7)平面向量及其线性运算、平面向量基本定理及向量的坐标表示、平面向量线性运算的应用-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第一册&必修第二册同步周测卷（人教B版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (七)平面向量及其线性运算、平面向量基本定理 及向量的坐标表示、平面向量线性运算的应用 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.AC-BD+CD= A.BA B.AB C.BC D.0 2.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与DE相 等的向量为 A.AB B.OF C.OE D.OD 3.已知向量AB=(5,1),BC=(m,9),CD=(8,5).若A,C,D三点共线，则m= A是 B.-11 C.11 D. 4.在四边形ABCD中，满足AB=DC,且AB+AD=|AB-AD,则四边形ABCD为 A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 5.若平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(一1,2)，B(1,1),C(3,4),则顶点 D的坐标为 A.(1,5) B.(5,3) C.(1,4) D.(2,4) 6.设a,b是非零向量，且a+b=1,4a一b=2,则a十2b的最大值为 A R号 c.号 号 数学（人教B版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列结论错误的是 A.若a与b都是单位向量，则a∥b B.若a∥b,b∥c,则a∥c C.若a=b,b=c,则a=c D.若a为非零向量，则日与a同向 8.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其 中八卦深遂的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形 如图2中的正八边形ABCDEFGH,其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是 图1 图2 A.BC=GF B.OB-FG=FO C.Oi+Oi=√2cd D.BC和FG不能构成一组基底 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.某人在静水中游泳，速度为4√3k/h.若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的 流速为4km/h,则此人实际沿与水流方向成 (填弧度数)方向前进，速度为 km/h.(本题第一空2分，第二空3分) 10.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC=入AM十4BD,则 入一4= 高一同步周测卷七 数学（人教B版）必修第二册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 设a,b是不共线的两个非零向量. (1)若OA=4a-2b,OB=6a+2b,OC=2a-6b,求证：A,B,C三点共线； (2)若4a+2仙与2a十b共线，求实数及的值，并指出4a十2b与2a十b反向共 线时k的取值. 12.(本小题满分15分) 已知向量a=(1,2),b=(-3,2),c=a+2b (1)求c; (2)若向量d=(6,4),试用a,b表示d; (3)若c∥ka十2b,求实数k的值. 数学（人教B版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 13.(本小题满分20分) 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2BC=2DA=10a,CD=4a,点E满足 B店-EC,AE与BD相交T点F,G是线段CD上的动点. (1)用AB与AD表示AE: (2求品： (3)设AC=xBD+yAG,求xy的取值范围. D G 一同步周测卷七 数学（人教B版）必修第二册第4页（共4页）高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（七） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 值 (主题内容) [ ⅢW ① ③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 向量的加减法运算 易 0.80 2 选择题 5 确定相等向量 易 0.72 坐标法解决三点共 3 选择题 5 易 线问题 0.70 选择题 利用向量判断四边 5 中 0.55 形形状 利用向量求平行四 选择题 中 0.45 边形顶点坐标 向量模长不等式的 6 选择题 5 中 0.30 应用 平面向量的相关 7 选择题 6 易 0.75 概念 与向量运算有关的 8 选择题 L 中 0.45 文化题 9 填空题 向量在物理中的 5 易 0.71 应用 利用向量解决几何 10 填空题 5 / 中 0.35 问题 利用向量解决向量 11 解答题 13 中 0.60 共线，三点共线问题 12 解答题 15 向量的坐标运算 中 0.45 平面向量基本定理 13 解答题 20 中 0.30 的应用 ·59· ·数学（人教B版）必修第二册· 参考答案及解析 叁考答案及解析 一、选择题 1.B【解析】由题意得，AC-BD+CD=AC+C市十 2到k十1川，两边平方解得=号或人=一6，当为=号 DB=AD+DB=AB.故选B. 时，a十b和4a-b方向相同，舍去，故k=一6，即得 2.B【解析】对于A,虽然A=D,但方向不同， 1a=号，b=号，此时a+2b的最大值为号，故 不满足向量相等的条件，所以A与D龙不相等；对于 选C B,DE与OF方向相同，且DE=OF,所以DE=OF;对 二、选择题 于C,O与D元方向不同，所以O龙与D龙不相等：对于 7.AB【解析】对于A,当a与b分别为一个长度为1 D,O方与D龙方向不同，所以O方与DE不相等.故选B. 的正方形相邻两边对应的向量时，它们都是单位向 3.C【解析】因为向量A=(5,1),BC=(m,9),C方 量，显然两向量不平行，A错误；对于B,当b=0时， =(8,5),所以AC=AB+BC=(m十5,10)，因为A, 向量a,c不一定共线，B错误；对于C,相等向量具有 C,D三点共线，则AC∥CD,所以5(m十5)=8×10， 传递性，C正确：对于D,合是与a同方向的单位向 解得m=11.故选C. 量，D正确.故选AB. 4.C【解析】因为AB=DC,所以AB∥DC,1AB= 8.ACD【解析】对于A,由题意知，∠FOG=∠BOC, |DC|,所以四边形ABCD为平行四边形.又因为 OF=OB,OG=OC,所以△FOG≌△BOC,所以 |AB+AD1=|AB-AD|,所以|AC=|DB|,故 ∠OFG=∠OBC,所以GF∥BC,又因为FG=BC,由 四边形ABCD是矩形.故选C. 相等向量的定义可知，BC=GF,A正确：对于B,OB 5.A【解析】 -FG=-O-FG=G+Fò=GO,B错误；对于C, 根据平面向量的加法法则可知，Oi+O求为以Oi、 OF为邻边的正方形中以O为始点的一条对角线所对 应的向量，所以，|Oi+O|=√2|O|=√2|O心|， 所以Oi+O市=√2O亡，又因为O元=C0,故O方+O =√2CO,C正确；对于D,显然BC∥FG,故BC和FG 令顶点D的坐标为D(xy),又A(一1,2)， 不能构成一组基底，D正确.故选ACD. B(1,1),C(3,4),所以AB=(2,-1),DC= 三、填空题 (3-x,4-y),如图易知，在平行四边形ABCD中， 9.号8【解析】将此人的游泳速度与水的流速， AB=DC,所以《 2=3-x ,所以顶点D -1=4-y 解得1 v=5 平移至共同起点，作出其和速度ⅴ，由此人的游泳速 的坐标为D(1,5).故选A 度为4√3km/h,水的流速为4km/h,可得此人实际 6.C【解析】由题意得1a十2b=号(a十b)-吉(4a 速度为√J(4√3)+4=8km/h,且与水流方向所成 角度为等 b)≤号1a+b1+号14a-b1=号，当a+b和4a -b方向相反时等号成立，若a,b不共线，则设a十b 1=4 =入(4a-b),则 =二，无解故此时a,b共线，设b =ka,则由|a十b1=1,|4a-b|=2可得 |(k+1)a|=1,1(4-k)a|=2,则|4-k|= ·60· 高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第二册· 10.1 【解析】以A为坐标原点建立平面直角坐标系，12.解：(1)因为a=(1,2),b=(-3,2), 设正方形的边长为1， 所以c=a+2b=(1,2)十2(-3,2)=(-5,6)， 所以]c|=√(-5)+6=√6. (5分) (2)由题可知a与b不共线，故设d=xa十b(x,y∈ R), 即(6,4)=x(1,2)十y(-3,2), 所以《 x-3y=6 ,解得x=3,y=-1. 2x+2y=4 因此d=3a-b. (10分) 则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),则M(1,2). (3)由题意得a十2b=k(1,2)+2(-3,2) 故AC=(1,1),AM=(1,号），Bò=(-1,1)，故 =(k-6,2k十4). 因为c∥a+2b, -μ=1 3 所以6(k-6)=-5(2k十4)， 由AC=aAM+uBD,得 1 2+u=1 解得 解得k=1, =号 即k的值为1. (15分) 故入-=1. 13.解：(1)因为成=2心， 四、解答题 11.解：(1)由Oi=4a-2b,0i=6a+2b,0心=2a-6b, 则硫异心=是记， 得Ai=Oi-Oi=6a+2b-(4a-2b)=2a十4b, 又BC=BA+AD+DC, BC=C-OB-2a-6b-(6a+2b)=-4a-8b 又AB=10a,CD=4a,且AB∥CD, =-2(2a+4b)=-2AB, (4分) 所以D心=A店=号AB, 所以AB∥BC,且有公共点B, 所以A,B,C三点共线 (6分) 则BC=-A+市+号A店=-子A成+Aò， (2)由4a+2仙与2a+b共线， 则B应=是B心-号(-号AB+A) 则存在实数入，使得4a十号h=x(宁如十b), =一 A访+子Aò， 即(4-k)a+(分k-以)b=0. 所以A范=A+成=A+(一号A范+是A市) 又a,b是不共线的两个非零向量，因 +动 (6分) (2)因为A,F,E共线， 此 合A0 则存在实数x,使得A市-AA花-A(Ai+子Aò) (11分) 碧访+号A市， 又因为B,F,D共线，则存在实数4，使得A京=uA言 所以实数k的值是士4. +(1-)AD, 当=一4时，4a十之仙与如十b反向共线。 爱- (13分) 所以〈 g=1- ,解得入- 311 ·61·