(2)对数与对数函数、指数函数与对数函数的关系-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第一册&必修第二册同步周测卷（人教B版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (二)对数与对数函数、指数函数与对数函数的关系 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的) 1.已知函数f(x)=log。(4x一7)一3(a>0,且a≠1)的图像恒过点P(m,n),则m十n A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.已知集合M={xy=ln(1-2x)},N={yy=2-1},则M∩N= A.(2,+∞】 B.(-02) c.(-1,2) D. 3.已知x=ln2.8,y=log2,之=log2,则 A.I<y< B.<x<y C.<y<a D.y<< 4.如图①②③④中，不属于函数y=logx,y=logx,y=logx的一个是 ① ② ③ ④ A.① B.② C.③ D.④ b;a< 5.若定义运算a④b= ,则函数f(x)=log2x①log+x的值域是 a,a≥ A.[0,+o∞) B.(0,1] C.[1,+oo) D.R 数学（人教B版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷· 6.猪血木又名阳春红檀，原产于广东阳江阳春市、广西平南县和巴马县，是中国特有的 单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物.猪血木不仅实现了人 工繁育，在阳江阳春市储备苗木近10万株，还被引种到广州、深圳、韶关、云浮等地. 某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年10%的比例增加，且该地的 猪血木数量超过2000株至少需要经过n(n∈N*)年，则n= (参考数据：lg2≈0.3,1g11≈1.04) A.9 B.8 C.7 D.6 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列等式不成立的是 A.1og2(8-4)=log28-1og24 B.log:8-log: 8 ·1og24 C.1og223=3log22 D.1og2(8+4)=1og28+log24 8.已知函数f(x)=1og2(x2-4ax十1)，则 A.f(x)的图像恒过原点 B.若a=0,则f(x)是增函数 C若f()的定义域为k.则a的取值范围为(-2】 D.若f(x)的值域为R,则a的取值范围为 (-,-)U(3+∞) 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知3”==m,且+名-1，则实数m的值为 先享题·高一同步周测卷二 数学（人教B版）必修第二册第2页（共4页） 10.17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重 大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共 同称为17世纪的三大数学发明.我们知道，任何一个正实数N可以表示成N=a× 10"(1≤a<10,n∈Z)的形式，这便是科学计数法，若两边取常用对数，则有lgN=n 十lga,现给出部分常用对数值（如下表），则可以估计3224的最高位的数值 为 真数x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1gx(近似值)0.30103 0.477120.60206 0.698970.778150.845100.90309 0.954241.000 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 求值：(1)log225×1og34×1og59; e)5688+lo9, 1g50-1g40 (3)log3√27+lg25+1g4+7og,2+(-9.8)°. 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=(log2x-2)1og(2x). (1)当x∈[1,64幻时，求该函数的值域； (2)求不等式f(x)>5的解集； (3)若f(x)≤mlog4x对于x∈[4,16]恒成立，求m的最小值. 数学（人教B版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 13.(本小题满分20分) 已知函数y=f(x)与y=e的图像关于直线y=x对称. (1)若函数g(x)=f(ex+1)一mx是偶函数，求实数m的值； (2若关于x的方程f[-】=f儿2计台 有实数解，求实数k的取值 范围； (3)已知实数a,b满足ae=1,b[f(b)一1]=e,求f(a)+f(b)的值. 高一同步周测卷二 数学（人教B版）必修第二册第4页（共4页）高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（二） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) Ⅲ ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 对数型函数图像过 1 选择题 易 0.80 定点问题 2 选择题 5 对数函数的定义域 易 0.72 3 选择题 5 比较大小 中 0.60 对数函数图像的 4 选择题 中 0.55 识别 与对数函数有关的 5 选择题 5 中 0.45 新定义题 对数函数的实际 6 选择题 5 中 0.30 应用 对数运算性质的 选择题 6 易 0.72 辨析 对数函数性质的综 8 选择题 6 中 0.35 合应用 9 与对数运算有关的 填空题 中 0.65 条件求值 与对数有关的数学 10 填空题 5 中 0.35 文化题 对数的运算，换底公 11 解答题 13 中 0.60 式的应用 对数函数与二次函 12 解答题 15 中 0.45 数复合的函数问题 对数函数与指数函 13 解答题 20 难 0.25 数的综合 昏考答案及解析 一、选择题 1.B【解析】令4x-7=1,解得x=2,又f(2)=log.(4 2.C【解析】由1-2x>0,解得x<号，所以M ×2-7)-3=-3,所以函数f(x)=log.(4x-7)-3 (-∞，2)，而y=2-1>-1,所以= (a>0,且a≠1)的图像恒过点(2，-3)，即m=2,n= -3,所以m十n=-1.故选B. (-1,+∞)，所以MnN=(-1,号).故选C ·39· ·数学（人教B版）必修第二册· 参考答案及解析 3.D【解析】由题得x=ln2.8>lne=1,y=log:2< a=1og3,方=1og2,}+号 a b log 3+2logm2= 1og5=1,x=1og2<1og3=1,而1og2=10g5< 1 l1ogm12=1,∴.m=12. og3=log:2,所以<五，故选D. 10.4 【解析】依题意，设304=a×10(1≤a<10,n∈ Z),则1g3221=n十lga,因为lg32024=2024lg3≈ 4.B【解析】：log+号<1og4=log4号，即当x 2024×0.47712=965.69088=965+0.69088,所 以lga≈0.69088，由表格可知，4<a<5,所以32024 号时，l1og+x<1og+x,“③是y=log+x,①是y 的最高位的数值为4， 四、解答题 log5x,又y=log5x=-logx与y=logx关于x轴 对称，.①是y=logx.故选B. 1.解：1原式=长2×竖专×0号 5,A【解析】令logx<log+x=-log2x,即log2x<0, 21g5×2g2×2lg3=8. (4分) 解得0<x<1,所以f(x)=logx⊕log5x= 1g21g31g5 log号x,0<x<1 ,所以当0<x<1时，f(x)=log5x w2 (2)原式= -十logE(2)1=1-1=0.(8分) log2x,x≥1 50 ∈(0，十∞)，当x≥1时，f(x)=log2x∈[0，十∞)， 1g40 综上所述，当x>0时，f(x)∈[0，十∞)，即函数 (3)原式=log3立+lg100十2+1 f(x)的值域为[0，十o).故选A. =号+2+2+1=号 (13分) 6,B【解析】由题意得1000(1十10%)>2000，则 12.解：(1)因为f(x)=(log2x-2)log:(2x) (品）)°>2，解得n>1og#2.因为1og#2=g 11 1g =(2ogx-2)(1ogx+2）: gg而g卡号*是=15，所以m心7.5 1g2 Ig 2 令t=log:x, 由x∈[1,64]，可知t∈[0,3]， 又n∈N”,则n=8.故选B. 函数fx)转化为y=(2-2)(+2）[0,3]. 二、选择题 (2分) 7.ABD【解析】对于A,log:(8-4)=log:4=2,log28 -1684=82=1,A给误：对于B0-子， 因为y=(2-2)(+) 1og:冬=1og2=1,B错误：对于C,1og2=3 =2r--1=2(-7)广g, 3log2,C正确：对于D,log2(8十4)=log:12=2十 所以函数在[0，]上单调递减，在（什，3]上单调 log23,log:8十log24=3十2=5，D错误.故选ABD. 递增， 8.AC【解析】对于A,因为f(0)=log1=0,所以 f(x)的图像恒过原点，故A正确；对于B,若a=0,则 所以当=寻时y取到最小值为一8 f(x)=log2(x2+1),因为f(-√5)=f(W3)= 当t=0时，y=-1;当t=3时，y=14, 1og24=2,可知f(x)不是增函数，故B错误；对于C, 则当t=3时，y取到最大值14， 若f(x)的定义域为R,则x2-4ax十1>0对任意x∈ 故当x∈[1,64]时，函数f(x)的值域为 R恒成立，则△=16a-4<0,解得- 立a<号所 [-,14] (4分) 以a的取值范围为(-子，)，故C正确：对于D, (2)由题得(21og:x-2)(1og:x+7)-5>0, 令t=logx∈R, 若f(x)的值域为R,则y=x2一4ax十1的取值取遍 所有正数，则4=16d-4≥0，解得a≤-号或≥ 则(24-2)(+号）-5>0， 即2t-t-6>0, 合，所以。的取值范围为(-∞，-]U 1 解得>2或4<一多， (6分) [子，十)，故D错误，故选AC 当t>2时，即logx>2,解得x>16; 三、填空题 当K一子时，即6gK一号解得0<日 9.12【解析】由3“=2=m,得a=log,b=log2m, (8分) ·40· 高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第二册· 故不等式f(x)>5的解集为 0<x< 或 依题意，关于x的方程(x十)十23x十6(k>0) 16 有实数解， (9分) 即关于x的方程(3-k)x2-2kx一3k十6=0有实数 (3)由题得(21ogx-2)(logx+2)≤mlog:x对 解， (8分) 当k=3时，方程为-6x-9十6=0， x∈[4,16]恒成立， 令t=log4x∈[1,2]， 解得x=一分，符合题意： (9分) 即(21-2)(+合)≤m在∈[1,2]上恒成立， 当k≠3时，△=4k2-4(3-k)(6-3k) =4(-2k2+15k-18)≥0， 所以m≥21--1在t[1,2]上恒成立， 解得2<≤6，且k≠3， (11分) 所以m≥(2：--1） (12分) 所以实数长的取值范围为[受，6] (12分) 易得函数y-21一}-1在[1,2]上单调递增， (3)由Lf)-1]=e,得1nb-1=分， 所以当t=2时，ys=立， 即h=云，则名 =et, 所以m≥号，n的最小值为号 (15分) 而ae=1, 13.解：(1)因为函数y=f(x)与y=e的图像关于直线 因此ae=1=云eia>0,6>0, y=x对称， 令h(x)=xe,x>0,显然h(x)>0, 所以f(x)=lnx, 设任意0<x1<x2, 则g(x)=f(e十1)-mx=ln(e十1)-mx,函数 g(x)的定义域为R, 则4<1，x1-x2<0,e1-2<1, 由函数g(x)是偶函数，得g(-x)-g(x)=0, In(e *+1)+mz-In(e"+1)+mx=0, (4分) 于-8升<1 (17分) 整理得2m.x=l e"+1 因此h(x)<h(x2), e十1=x, 即函数h(x)=xe在(0，十o∞)上单调递增， 而x不恒为0， 因此2m=1,即m=号 而ae=e, 所以实数m的值为受 即h(a)=h(号)： (6分) k 于是a=云，即ah=, (2)由题得n+)+2=lnx+2+ln3, 所以f(a)+f(b)=lna+lnb=lnab k k2 即r+1+23x+6k>0), ·41·